GEOMETRIA ANALÍTICA
“Penso, logo existo”
René Descartes (1596 - 1650)
Pai da Geometria Analítica
Figura 1
Prof. Luiz Gusta...
O Plano Cartesiano
Figura 2
Eixos
• X  eixo das abscissas
• Y  eixo das ordenadas
• Z  eixo das cotas (3ª dimensão)
OBS: No momento vamos trabalhar...
Sinais dos Quadrantes
• 1º Quadrante: x > 0 e y > 0
• 2º Quadrante: x < 0 e y > 0
• 3º Quadrante: x < 0 e y < 0
• 4º Quadr...
Distância entre dois pontos
Figura 3
Razão de Secção
Figura 4
Ponto Médio
Figura 5





 ++++
2
,
3
CbaCba yyyxxx
G





 ++
2
,
2
BABA yyxx
P
Baricentro de um triângulo
Figura 6





 ++++
3
,
3
CBACBA yyyxxx
G
Condições de Alinhamento de 3 pontos
0
1
1
1
=
CC
BB
AA
yx
yx
yx
3 pontos alinhados horizontalmente
Gráfico 1
3 pontos alinhados verticalmente
Gráfico 2
3 pontos numa reta não-paralela aos eixos
Gráfico 3
Se 0
1
1
1
≠
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Os pontos A, B e C são vértices de um
triângulo!
Gráfico 4
Área de um Triângulo
Figura 7
2
1
1
1
CC
BB
AA
yx
yx
yx
Área =
Mediatriz
Figura 8
O coeficiente angular da
mediatriz é igual ao inverso
negativo do coeficiente
angular da reta que conté...
Simetria
A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas
geométricas, equações matemáticas ou out...
Figura 13
Figura 14
Figura 15 Figura 16
Figura 17
Figura 18
Equações da Reta
Equação Geral da Reta
0
1
1
1
=
BB
AA
yx
yx
yx
ax+by+c=0
Equação Segmentária da Reta
1=+
q
y
p
x
q = 3
p = 1
Gráfico 5
Equações Paramétricas da Reta
Se y = f(x), temos:
x = f(t)
e
y = g(t)
Rt ∈∀
Exemplo
Se ax + by + c = 0 ,
Vamos parametrizá-la!
Escolhendo x = t ,
Teremos,
at + by + c = 0
by + c = -at
by = -at – c
P...
Equação Reduzida da Reta
y = mx + q
Onde,
m= -a/b
q (o mesmo da equação segmentária) = -c/b
Coeficiente angular da reta
x
y
xx
yy
b
a
tgm
AB
AB
∆
∆
−=
−
−
−=−==
)(
)(
θ
Equação de uma reta r
(conhecidos o coeficiente angular e um ponto P de r)
)(
)(
P
P
xx
yy
m
−
−
−=
Pra que servem essas Equações?
• Usadas na Química;
• Usadas na Física (Sxt no MU, vxt no MUV, etc....)
• Usadas em divers...
Representação gráfica de Retas
Basta plotarmos 2 pontos no plano cartesiano!
É aconselhável usarmos a equação Reduzida par...
Coordenadas do ponto de intersecção entre duas ou mais retas
Nada mais é do que o ponto comum entre elas!
Basta pegarmos a...
Posições relativas entre retas
• Duas ou mais retas são paralelas, se e somente se, tiverem
coeficientes angulares iguais!...
Ângulo entre duas Retas
sr
sr
sr
sr
mm
mm
arctg
mm
mm
tg
+
−
=⇒
+
−
=
11
θθ
Distância entre um Ponto e uma reta
²²
,
ba
cbyax
d PP
rP
+
++
=
Bissetrizes de duas retas
Figura 19
EXERCÍCIOS...
Figura 20
Referências Bibliográficas
• Figura 1:
http://sumateologica.files.wordpress.com/2010/09/frans_hals_portreit_rene_descartes...
Apresentação geometria analítica
Próximos SlideShares
Carregando em…5
×

Apresentação geometria analítica

2.535 visualizações

Publicada em

Publicada em: Educação
0 comentários
0 gostaram
Estatísticas
Notas
  • Seja o primeiro a comentar

  • Seja a primeira pessoa a gostar disto

Sem downloads
Visualizações
Visualizações totais
2.535
No SlideShare
0
A partir de incorporações
0
Número de incorporações
6
Ações
Compartilhamentos
0
Downloads
91
Comentários
0
Gostaram
0
Incorporações 0
Nenhuma incorporação

Nenhuma nota no slide

Apresentação geometria analítica

  1. 1. GEOMETRIA ANALÍTICA “Penso, logo existo” René Descartes (1596 - 1650) Pai da Geometria Analítica Figura 1 Prof. Luiz Gustavo da Silva
  2. 2. O Plano Cartesiano Figura 2
  3. 3. Eixos • X  eixo das abscissas • Y  eixo das ordenadas • Z  eixo das cotas (3ª dimensão) OBS: No momento vamos trabalhar somente com duas dimensões (x,y).
  4. 4. Sinais dos Quadrantes • 1º Quadrante: x > 0 e y > 0 • 2º Quadrante: x < 0 e y > 0 • 3º Quadrante: x < 0 e y < 0 • 4º Quadrante: x > 0 e y < 0
  5. 5. Distância entre dois pontos Figura 3
  6. 6. Razão de Secção Figura 4
  7. 7. Ponto Médio Figura 5       ++++ 2 , 3 CbaCba yyyxxx G       ++ 2 , 2 BABA yyxx P
  8. 8. Baricentro de um triângulo Figura 6       ++++ 3 , 3 CBACBA yyyxxx G
  9. 9. Condições de Alinhamento de 3 pontos 0 1 1 1 = CC BB AA yx yx yx
  10. 10. 3 pontos alinhados horizontalmente Gráfico 1
  11. 11. 3 pontos alinhados verticalmente Gráfico 2
  12. 12. 3 pontos numa reta não-paralela aos eixos Gráfico 3
  13. 13. Se 0 1 1 1 ≠ CC BB AA yx yx yx Os pontos A, B e C são vértices de um triângulo!
  14. 14. Gráfico 4
  15. 15. Área de um Triângulo Figura 7 2 1 1 1 CC BB AA yx yx yx Área =
  16. 16. Mediatriz Figura 8 O coeficiente angular da mediatriz é igual ao inverso negativo do coeficiente angular da reta que contém o segmento AB. ABcontémquereta mediatriz m m ___ 1 −=
  17. 17. Simetria A simetria é uma característica que pode ser observada em algumas formas geométricas, equações matemáticas ou outros objetos Figura 9 Figura 10 Figura 11 Figura 12
  18. 18. Figura 13 Figura 14 Figura 15 Figura 16
  19. 19. Figura 17
  20. 20. Figura 18
  21. 21. Equações da Reta Equação Geral da Reta 0 1 1 1 = BB AA yx yx yx ax+by+c=0
  22. 22. Equação Segmentária da Reta 1=+ q y p x
  23. 23. q = 3 p = 1 Gráfico 5
  24. 24. Equações Paramétricas da Reta Se y = f(x), temos: x = f(t) e y = g(t) Rt ∈∀
  25. 25. Exemplo Se ax + by + c = 0 , Vamos parametrizá-la! Escolhendo x = t , Teremos, at + by + c = 0 by + c = -at by = -at – c Portanto, y = (-a/b)t – c/a
  26. 26. Equação Reduzida da Reta y = mx + q Onde, m= -a/b q (o mesmo da equação segmentária) = -c/b
  27. 27. Coeficiente angular da reta x y xx yy b a tgm AB AB ∆ ∆ −= − − −=−== )( )( θ
  28. 28. Equação de uma reta r (conhecidos o coeficiente angular e um ponto P de r) )( )( P P xx yy m − − −=
  29. 29. Pra que servem essas Equações? • Usadas na Química; • Usadas na Física (Sxt no MU, vxt no MUV, etc....) • Usadas em diversas disciplinas das mais variadas engenharias; • Usadas em qualquer tipo de problema onde há um constante crescimento ou decrescimento; • E muito mais!
  30. 30. Representação gráfica de Retas Basta plotarmos 2 pontos no plano cartesiano! É aconselhável usarmos a equação Reduzida para isso! Assim, Teremos y = f(x) , que é uma função do 1º grau. E sabemos que toda função do 1º grau gera uma reta!
  31. 31. Coordenadas do ponto de intersecção entre duas ou mais retas Nada mais é do que o ponto comum entre elas! Basta pegarmos a equação de cada reta e fazermos um sisteminha entre elas!
  32. 32. Posições relativas entre retas • Duas ou mais retas são paralelas, se e somente se, tiverem coeficientes angulares iguais! • Duas ou mais retas são concorrentes, se e somente se, tiverem coeficientes angulares diferentes! • Duas retas são perpendiculares quando o produto entre seus coeficientes angulares for ( - 1 )! Você pode dizer também que o coeficiente angular de uma reta é o inverso negativo do coeficiente angular da outra reta!
  33. 33. Ângulo entre duas Retas sr sr sr sr mm mm arctg mm mm tg + − =⇒ + − = 11 θθ
  34. 34. Distância entre um Ponto e uma reta ²² , ba cbyax d PP rP + ++ =
  35. 35. Bissetrizes de duas retas Figura 19
  36. 36. EXERCÍCIOS... Figura 20
  37. 37. Referências Bibliográficas • Figura 1: http://sumateologica.files.wordpress.com/2010/09/frans_hals_portreit_rene_descartes.jpg • Figura 2: http://www.brasilescola.com/upload/e/1(25).jpg • Figuras 3, 4 e 5: http://www.google.com/images • Figura 6: http://www.somatematica.com.br/emedio/retas/Image36.gif • Gráficos 1,2,3 e 4: Software Graphmatica • Figura 7: http://www.mundoeducacao.com.br/upload/conteudo/AREA%20TRI1.JPG • Figura 8: http://www.colegiocatanduvas.com.br/desgeo/constfundamentais/mediatriz01.gif • Figuras 9,10,11, 12 e 13: http://www.google.com/images • Figura 14: http://2.bp.blogspot.com/_vNhEHA-Xo0U/ • Figuras 15 e 16: http://parafernaliaartesanal.blogspot.com/ • Figura 17: http://www.google.com/images • Figura 18: http://seraksei.blogspot.com/2009/02/simetria.html • Figura 19: http://alfaconnection.net/images/GAN020117a.gif • Figura 20: www.dialogocomosfilosofos.com.br/category/metodo/ • VIVEIRO, Tânia, CORRÊA, Marlene. Minimanual Compacto de Matemática. 1. ed. São Paulo, 1999.

×