Matemática II - IFRS Campus Rio Grande TCE - TRC Integração de funções racionais com grau do numerador menor que o denominador e raízes do denominador complexas e diferentes.

1. Profª Débora Bastos

2. Integração de funções racionais do 1º tipo:
grau(g) >grau(h).
g x)
( R(x)
dx Q x)
( dx dx
h(x) h(x)
Integração de funções racionais do 2º tipo: grau(g) >grau(h).
(a) h(x) tem raízes a, b, c, ...,n, reais e diferentes.
g x)
( A B N
dx dx dx ... dx
h(x) a n(x a) x b x n
 Onde A, B, ..., N são constantes a determinar.
(b) h(x) tem raízes reais e algumas iguais.
g x)
( A B1 B2 B3 K1
dx dx dx dx ... dx ... dx
h(x) a n(x a) m m 1 (x b) n
(x b) (x b) (x k)
K2 Kn
dx ... dx
n 1 x k
(x k)
 Onde A, B1, B2, ...,Bm, ...,K1,K3,...kN são constantes a determinar.

3. (c) O denominador tem raízes complexas diferentes.
Quando o denominador tem raízes complexas, a fatoração mínima é
com expressões do segundo grau, uma cada par de raízes complexas
conjugadas.
Por exemplo, h(x) tem uma raiz real e dois pares de complexos como
raízes. (isso quer dizer que de ambos os fatores é negativo). Então a
cada expressão do tipo x2+px+q no denominador corresponde uma
fração do tipo PX Q 2
p 4q
2
x px q
g x)
( g x)
( A PX Q
h x)
( 2 2 a n(x a) 2
a n(x a)( x px q)( x rx s) x px q
RX S
2
x rx s
g x)
( dx Adx PX Q dx RX S dx
h x)
( a n(x a) 2 2
x px q x rx s
2
p 4q
2
r 4s

4. Exemplos:
x
1 dx
3
x 1
dx
2
2 2
(x 1)( x 1)
4 3 2
(2x 4x 4x 5x 3)dx
3
5 4 3
x 3x 4x 5x 3

5. Exercícios:
3 2
4x 4x x 4
1 dx
4 3 2
x x 2x 2x
2 3 2
x 2 x 1 x
Rta ln arctg k
x 1 2 2
3 2
2x x 13 x 1
2 dx
4 2
x 13 x 36
4 2 1 x 1 x
Rta ln x 13 x 36 arctg arctg k
2 2 3 3