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Matemática - ÁlgebraMatemática - Álgebra
O que são fraçõesO que são frações
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O que são?
Frações com variável no denominador
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Frações com variável no denominador
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O que são?
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O que são?
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Adição e Subtração deAdição e Subtração de
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O que são?
Frações com variável no denominador
Denominador deve ser diferente de zeroRegra
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O que são?
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Divisão de fraçõesDivisão de frações
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O que são?
Frações com variável no denominador
Denominador deve ser diferente de zeroRegra
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Potenciação de fraçõesPotenciação de frações
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O que são?
Frações com variável no denominador
Denominador deve ser diferente de zeroRegra
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O que são?
Frações com variável no denominador
Denominador deve ser diferente de zeroRegra
Operações
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Soma e ...
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O que são?
Frações com variável no denominador
Denominador deve ser diferente de zeroRegra
Operações
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Soma e ...
BibliografiaBibliografia
 NAME, Miguel Assis.NAME, Miguel Assis. Tempo deTempo de
Matemática – 7ª sérieMatemática – 7ª sé...
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  1. 1. FraçõesFrações AlgébricasAlgébricas Matemática - ÁlgebraMatemática - Álgebra
  2. 2. O que são fraçõesO que são frações algébricas?algébricas?  São frações que tem variáveis no denominador.São frações que tem variáveis no denominador. Ex.:Ex.: xy a 2 7 ) 5 4 ) + − y yx b 12 5 ) 2 +− aa x c
  3. 3. O que são fraçõesO que são frações algébricas?algébricas?  São frações que temSão frações que tem variáveis no denominadorvariáveis no denominador.. Ex.:Ex.: xy a 2 7 ) 5 4 ) + − y yx b 12 5 ) 2 +− aa x c
  4. 4. O que são? Frações com variável no denominador Resumindo...Resumindo...
  5. 5. Denominador sempreDenominador sempre diferente de 0diferente de 0  O denominador de uma fração nunca pode serO denominador de uma fração nunca pode ser zero.zero.  Assim, deve-se excluir os valores das variáveisAssim, deve-se excluir os valores das variáveis que anulam o denominador.que anulam o denominador. 0 5 ) ≠→ x x a a 3 62 8 ) ≠→ − + x x x d7 7 1 ) ≠→ − + y y x b 5 5 2 ) −≠→ + a a x c 7 07 ≠ ≠− y y 5 05 −≠ ≠+ a a 3 2 6 62 062 ≠ ≠ ≠ ≠− x x x x
  6. 6. Denominador sempreDenominador sempre diferente de 0diferente de 0  OO denominadordenominador de uma fraçãode uma fração nunca pode sernunca pode ser zerozero..  Assim, deve-seAssim, deve-se excluir os valoresexcluir os valores das variáveisdas variáveis que anulam o denominadorque anulam o denominador.. 0 5 ) ≠→ x x a a 3 62 8 ) ≠→ − + x x x d7 7 1 ) ≠→ − + y y x b 5 5 2 ) −≠→ + a a x c 7 07 ≠ ≠− y y 5 05 −≠ ≠+ a a 3 2 6 62 062 ≠ ≠ ≠ ≠− x x x x
  7. 7. O que são? Frações com variável no denominador Denominador deve ser diferente de zeroRegra Resumindo...Resumindo...
  8. 8. Simplificação de fraçõesSimplificação de frações algébricasalgébricas  Para simplificar uma fração, fatoramos oPara simplificar uma fração, fatoramos o numerador e o denominador.numerador e o denominador. Ex.:Ex.: b a bbbba bbbaa ab ba a 3 2 .....3.2 .....2.2 6 4 ) 4 32 == ( )( ) ( ) 5 3 35 33 155 9 ) 2 − = + −+ = + − a a aa a a b
  9. 9. Simplificação de fraçõesSimplificação de frações algébricasalgébricas  Para simplificar uma fração,Para simplificar uma fração, fatoramos ofatoramos o numerador e o denominadornumerador e o denominador.. Ex.:Ex.: b a bbbba bbbaa ab ba a 3 2 .....3.2 .....2.2 6 4 ) 4 32 == ( )( ) ( ) 5 3 35 33 155 9 ) 2 − = + −+ = + − a a aa a a b
  10. 10. O que são? Frações com variável no denominador Denominador deve ser diferente de zeroRegra Operações Simplificação Resumindo...Resumindo... Dividir numerador e denominador pelo divisor comum
  11. 11. Tente fazer sozinhTente fazer sozinh 1- Simplifique:1- Simplifique: = − = = x x c x x b yx xy a 15 3 ) 20 2 ) ) 2 2 2 = = − = 22 43 2 33 22 ) 16 4 ) 48 18 ) yzx yzx f ab ab e rs sr d
  12. 12. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 1- Simplifique:1- Simplifique: 5 1 .5.3 .3 15 3 ) 10 1 ..10.2 .2 20 2 ) .. .. ) 2 2 2 −=−= − == == x x x x c xxx x x x b x y yxx yyx yx xy a 3 2 .....11.3 ........11.2 33 22 ) 4 1 ..4.4 ..4 16 4 ) 8 3 ..8.6 ...6.3 48 18 ) 2 22 43 2 xz zzyxx zzzzyxxx yzx yzx f ba ba ab ab e r sr srr rs sr d == −=−= − ==
  13. 13. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 2- Simplifique:2- Simplifique: = + + = − = + bybx ayax c a b yx a ) 21 714 ) 6 33 ) = + + = − = + + 17 214 ) 23 ) 1 ) 2 23 2 x xx f xx x e cac a d
  14. 14. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 2- Simplifique:2- Simplifique: ( ) ( ) ( ) ( ) b a yxb yxa bybx ayax c aaa b yxyxyx a = + + = + + − = − = − + = + = + ) 3 2 7.3 27 21 714 ) 23.2 3 6 33 ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x xx x xx f xxx x xx x e cac a cac a d 2 17 172 17 214 ) 23 1 2323 ) 1 1 11 ) 2 2 2 23 2 = + + = + + − = − = − = + + = + +
  15. 15. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 3- Simplifique:3- Simplifique: ( ) = + − = − − = +− − 33 1 ) 7 49 ) 44 25 ) 2 2 2 x x c x x b mm m a
  16. 16. Tente fazer sozinhTente fazer sozinh 3- Simplifique:3- Simplifique: ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) 3 1 13 11 13 1 33 1 ) 7 7 77 7 7 7 49 ) 2 5 22 25 2 25 44 25 ) 222 222 22 − = + +− + − = + − += − +− = − − = − − − = −− − = − − = +− − x x xx x x x x c x x xx x x x x b mmm m m m mm m a
  17. 17. Tente fazer sozinhTente fazer sozinh 3- Simplifique (continuação):3- Simplifique (continuação): = +− − = + − = − +− 96 62 ) 36 4 ) 14 144 ) 2 2 2 2 xx x f x x e x xx d
  18. 18. Tente fazer sozinhTente fazer sozinh 3- Simplifique (continuação):3- Simplifique (continuação): ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 32 96 62 ) 3 2 23 22 23 2 36 4 ) 12 1 1212 12 12 12 14 144 ) 22 222 222 2 − = − − = +− − − = + −+ = + − = + − + = −+ − = − − = − +− xx x xx x f x x xx x x x x e xxx x x x x xx d
  19. 19. Adição e Subtração deAdição e Subtração de frações algébricasfrações algébricas Utilizamos as mesmas regras das fraçõesUtilizamos as mesmas regras das frações numéricas.numéricas.  Frações comFrações com denominadores iguaisdenominadores iguais:: Ex.:Ex.: ( ) xx mm x mm x m x m b a c a cc a c a c a 2 9 2 18 2 18 2 1 2 8 ) 3753125312 ) = +−+ = −−+ = − − + + = −+ = − +
  20. 20. Adição e Subtração deAdição e Subtração de frações algébricasfrações algébricas Utilizamos asUtilizamos as mesmas regras das fraçõesmesmas regras das frações numéricasnuméricas..  Frações comFrações com denominadores iguaisdenominadores iguais:: Ex.:Ex.: ( ) xx mm x mm x m x m b a c a cc a c a c a 2 9 2 18 2 18 2 1 2 8 ) 3753125312 ) = +−+ = −−+ = − − + + = −+ = − +
  21. 21. O que são? Frações com variável no denominador Denominador deve ser diferente de zeroRegra Operações Simplificação Soma e Subtração Resumindo...Resumindo... Denominadores iguais Trabalhar os numeradores e manter o denominador Dividir numerador e denominador pelo divisor comum
  22. 22. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 1- Calcule e simplifique, se possível, os resultados:1- Calcule e simplifique, se possível, os resultados: = + + + = − − − − − = + − + + + 1 1 1 ) 3 54 3 14 ) 1 9 1 9 ) aa a c x x x x b x a x a a
  23. 23. Tente fazer sozinhTente fazer sozinh 1- Calcule e simplifique, se possível, os resultados:1- Calcule e simplifique, se possível, os resultados: 1 1 1 1 1 1 ) 3 4 3 5414 3 54 3 14 ) 1 2 1 99 1 9 1 9 ) = + + = + + + − = − +−− = − − − − − + = + −++ = + − + + + a a aa a c xx xx x x x x b x a x aa x a x a a
  24. 24. Adição e SubtraçãoAdição e Subtração d frações algébricasfrações algébricas  Frações comFrações com denominadores diferentesdenominadores diferentes:: Devemos tirar o m.m.c dos denominadores.Devemos tirar o m.m.c dos denominadores. Ex.:Ex.: ( ) x x x x x x x x x b x m x mm x m x m a 6 313 6 3310 6 1310 2 1 3 5 ) 2 13 2 310 2 35 ) − = +− = −− = − − = + =+
  25. 25. Adição e Subtração deAdição e Subtração de frações algébricasfrações algébricas  Frações comFrações com denominadores diferentesdenominadores diferentes:: Devemos tirar oDevemos tirar o m.m.c dos denominadoresm.m.c dos denominadores.. Ex.:Ex.: ( ) x x x x x x x x x b x m x mm x m x m a 6 313 6 3310 6 1310 2 1 3 5 ) 2 13 2 310 2 35 ) − = +− = −− = − − = + =+
  26. 26. O que são? Frações com variável no denominador Denominador deve ser diferente de zeroRegra Operações Simplificação Soma e Subtração Resumindo...Resumindo... Denominadores iguais Denominadores diferentes Trabalhar os numeradores e manter o denominador Mmc dos denominadores Dividir numerador e denominador pelo divisor comum
  27. 27. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 2- Calcule e simplifique, se possível, os resultados:2- Calcule e simplifique, se possível, os resultados: =+ + − − =− =+ xx x x x c a m a m b yx a 10 1 5 53 6 4 ) 3 2 6 5 ) 11 )
  28. 28. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 2- Calcule e simplifique, se possível, os resultados:2- Calcule e simplifique, se possível, os resultados: ( ) ( ) x x x x x x x xx xx x x x xx x x x c a m a mm a m a m b xy xy yx a 6 75 .6.5 755 30 3525 30 33018205 30 3 30 3018 30 205 10 1 5 53 6 4 ) 66 45 3 2 6 5 ) 11 ) +− = +− = −− = +−−− = =+ + − − =+ + − − = − =− + =+
  29. 29. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 2- Calcule e simplifique (continuação):2- Calcule e simplifique (continuação): = + − − + = − − − =+ + 2 4 4 17 ) 3 2 25 ) 4 3 1 ) 2 2 2 xx x f x xx x x e x x d
  30. 30. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 2- Calcule e simplifique (continuação):2- Calcule e simplifique (continuação): ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 4 93 4 8417 22 2417 2 4 22 17 2 4 4 17 ) 2 43 2 43 2 43 2 6225 2 32253 2 25 ) 14 37 14 33 14 4 4 3 1 ) 22 2 22 2 2 22 2 2 2 2 − + = − +−+ = −+ −−+ = + − −+ + = + − − + + = + = + = +−− = = −−− = − − − + + = + + + + =+ + x x x xx xx xx xxx x xx x f x x x xx x xx x xxxx x xxxx x xx x x e x x x x x x x x d
  31. 31. Multiplicação de fraçõesMultiplicação de frações algébricasalgébricas  Multiplicamos da mesma maneira queMultiplicamos da mesma maneira que multiplicamos os números fracionários:multiplicamos os números fracionários: Numerador x numeradorNumerador x numerador Denominador x denominadorDenominador x denominador Ex.:Ex.: ( ) ( ) x m a m x a c am yx ma yxyx m yx a yx b xy a y a x a a 2 3 1 3 . 2 1 ) 7.7 . . 7 ) 10 3 2 . 5 3 ) 22 2 = + + − = −+ = −+ =
  32. 32. Multiplicação de fraçõesMultiplicação de frações algébricasalgébricas  Multiplicamos da mesma maneira queMultiplicamos da mesma maneira que multiplicamos os números fracionários:multiplicamos os números fracionários: Numerador x numeradorNumerador x numerador Denominador x denominadorDenominador x denominador Ex.:Ex.: ( ) ( ) x m a m x a c am yx ma yxyx m yx a yx b xy a y a x a a 2 3 1 3 . 2 1 ) 7.7 . . 7 ) 10 3 2 . 5 3 ) 22 2 = + + − = −+ = −+ =
  33. 33. O que são? Frações com variável no denominador Denominador deve ser diferente de zeroRegra Operações Simplificação Soma e Subtração Multiplicação Resumindo...Resumindo... DB CA D C B A . . . = Denominadores iguais Denominadores diferentes Trabalhar os numeradores e manter o denominador Mmc dos denominadores Dividir numerador e denominador pelo divisor comum
  34. 34. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 1- Efetue as multiplicações.1- Efetue as multiplicações. = −+ =      − = 5 . 5 ) 2 . 3 5 ) 3 . 2 7 ) 3 2 yxyx c b yx a xy b c x a x a
  35. 35. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 1- Efetue as multiplicações.1- Efetue as multiplicações. 255 . 5 ) 3 102 . 3 5 ) 6 7 3 . 2 7 ) 22 3 23 3 2 2 yxyxyx c ab yx b yx a xy b ac x c x a x a − = −+ −=      − =
  36. 36. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 1- Efetue as multiplicações (continuação).1- Efetue as multiplicações (continuação). = + − = − + + =      − x ca ca x f x x x x e xx xd 3 .) 7 53 . 7 ) 8 . 2 .7) 22 2
  37. 37. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 1- Efetue as multiplicações (continuação).1- Efetue as multiplicações (continuação). ( ) ( ) ( )( ) ( )cacaca ca ca ca x ca ca x f x xx x x x x e xxx xd − = −+ + = − + = + − − + = − + + −=      − 3 1 33.3 .) 49 53 7 53 . 7 ) 16 7 8 . 2 .7) 2222 2 2 42
  38. 38. Divisão de fraçõesDivisão de frações algébricasalgébricas  Procedemos da mesma forma como dividimos asProcedemos da mesma forma como dividimos as frações numéricas:frações numéricas: Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segundaMultiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fração.fração. Ex.:Ex.: m a m x x a x m x a c x aa x a ax a b cn am n m c a m n c a a = + + = ++ == == 1 . 11 : 1 ) 10 21 2 7 . 5 3 7 2 : 5 3 ) .:) 2
  39. 39. Divisão de fraçõesDivisão de frações algébricasalgébricas  Procedemos da mesma forma como dividimos asProcedemos da mesma forma como dividimos as frações numéricas:frações numéricas: Multiplicar a primeira fração pelo inverso da segundaMultiplicar a primeira fração pelo inverso da segunda fraçãofração.. Ex.:Ex.: m a m x x a x m x a c x aa x a ax a b cn am n m c a m n c a a = + + = ++ == == 1 . 11 : 1 ) 10 21 2 7 . 5 3 7 2 : 5 3 ) .:) 2
  40. 40. O que são? Frações com variável no denominador Denominador deve ser diferente de zeroRegra Operações Simplificação Soma e Subtração Multiplicação Divisão Resumindo...Resumindo... C D B A D C B A .: = DB CA D C B A . . . = Denominadores iguais Denominadores diferentes Trabalhar os numeradores e manter o denominador Mmc dos denominadores Dividir numerador e denominador pelo divisor comum
  41. 41. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 1- Efetue as divisões.1- Efetue as divisões. = = = 3 2 2 32 6 : 2 3 ) 3 : 3 5 ) 4 :) y x y x c qppq a b a c c a a
  42. 42. 1- Efetue as divisões.1- Efetue as divisões. 46 . 2 36 : 2 3 ) 9 5 3 . 3 53 : 3 5 ) 44 . 4 :) 2 2 321 3 2 2 2 4 3 3 232 xy x y y x y x y x c apqp pq a qppq a b c a c a c a a c c a a == == == Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho
  43. 43. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 1- Efetue as divisões (continuação).1- Efetue as divisões (continuação). = − + = = 1 : 7 1 ) 7 4 :8) 3: 5 9 ) 2 2 x a x x f a ae x x d
  44. 44. 1- Efetue as divisões (continuação).1- Efetue as divisões (continuação). xa x a x x x x a x x f aa a a ae x x x x x d 7 11 . 7 1 1 : 7 1 ) 14 4 7 .8 7 4 :8) 5 3 3 1 . 5 9 3: 5 9 ) 2 21 2 2 1 232 − = −+ = − + == == Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho
  45. 45. Potenciação de fraçõesPotenciação de frações algébricasalgébricas  Faz-se da mesma forma como nas fraçõesFaz-se da mesma forma como nas frações numéricas:numéricas: Elevamos numerador e denominador à mesmaElevamos numerador e denominador à mesma potência.potência. Ex.:Ex.: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 9 3 33 33 3 16 49 4 7 4 7 ) 8 27 2 3 2 3 ) m a m a m a b a x a x a x a = − =      − ==     
  46. 46. Potenciação de fraçõesPotenciação de frações algébricasalgébricas  Faz-se da mesma forma como nas fraçõesFaz-se da mesma forma como nas frações numéricas:numéricas: Elevamos numerador e denominador à mesmaElevamos numerador e denominador à mesma potência.potência. Ex.:Ex.: ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 22 9 3 33 33 3 16 49 4 7 4 7 ) 8 27 2 3 2 3 ) m a m a m a b a x a x a x a = − =      − ==     
  47. 47. O que são? Frações com variável no denominador Denominador deve ser diferente de zeroRegra Operações Simplificação Soma e Subtração Multiplicação Divisão Potenciação Resumindo...Resumindo... C D B A D C B A .: = n nn B A B A =      DB CA D C B A . . . = Denominadores iguais Denominadores diferentes Trabalhar os numeradores e manter o denominador Mmc dos denominadores Dividir numerador e denominador pelo divisor comum Expoente positivo
  48. 48. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 1- Calcule as potências.1- Calcule as potências. =      − =      − =      3 5 2 42 3 4 2 4 3 ) 3 5 ) ) y x c a b x ba a
  49. 49. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 1- Calcule as potências.1- Calcule as potências. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 15 6 35 323 5 2 8 4 4242 12 36 34 323 4 2 64 27 4 3 4 3 ) 81 625 3 5 3 5 ) ) y x y x y x c aaa b x ba x ba x ba a − = − =      − = − =      − ==     
  50. 50. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 1- Calcule as potências (continuação).1- Calcule as potências (continuação). =      − =      − + =      − 02 2 2 13 5 ) 3 1 ) 5 3 ) x x f x m e n n d
  51. 51. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 1- Calcule as potências (continuação).1- Calcule as potências (continuação). ( ) ( ) ( ) ( ) 1 13 5 ) 96 12 96 21 33..2 .1.21 3 1 3 1 ) 2510 9 55..2 9 5 3 5 3 ) 02 2 2 2 2 22 22 2 22 2 2 22 2 2 22 =      − +− ++ = +− ++ = +− ++ = − + =      − + +− = +− = − =      − x x f xx mm xx mm xx mm x m x m e nn n nn n n n n n d
  52. 52. Potenciação de fraçõesPotenciação de frações algébricasalgébricas  Expoente negativoExpoente negativo Invertemos a base e depois trocamos o sinal doInvertemos a base e depois trocamos o sinal do expoente.expoente. Ex.:Ex.: 4 62 2 32 3 2 11 ) ) a c a c c a b x y x y y x a =      =      =      =      − −
  53. 53. Potenciação de fraçõesPotenciação de frações algébricasalgébricas  Expoente negativoExpoente negativo Invertemos a base e depois trocamos o sinal doInvertemos a base e depois trocamos o sinal do expoenteexpoente.. Ex.:Ex.: 4 62 2 32 3 2 11 ) ) a c a c c a b x y x y y x a =      =      =      =      − −
  54. 54. O que são? Frações com variável no denominador Denominador deve ser diferente de zeroRegra Operações Simplificação Soma e Subtração Multiplicação Divisão Potenciação Resumindo...Resumindo... C D B A D C B A .: = n nn B A B A =      DB CA D C B A . . . = Denominadores iguais Denominadores diferentes Trabalhar os numeradores e manter o denominador Mmc dos denominadores Dividir numerador e denominador pelo divisor comum Expoente positivo Expoente negativo n nn A B B A =      −
  55. 55. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 2- Calcule as potências negativas.2- Calcule as potências negativas. =      + − =      =      − − − 1 3 2 3 7 13 ) ) ) x x c m ac b b a a
  56. 56. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 2- Calcule as potências negativas.2- Calcule as potências negativas. 13 7 7 13 ) ) ) 1 33 333 2 6232 3 − + =      + − =      =      =      =      − − − x x x x c ca m ac m m ac b a b a b b a a
  57. 57. Tente fazer sozinhoTente fazer sozinho 2- Calcule as potências negativas (continuação).2- Calcule as potências negativas (continuação). =      − − =      =      + − − − − 2 3 2 2 3 ) 2 ) 3 1 ) a ba f yx e x x d
  58. 58. Tente fazerTente fazer sozinhosozinho 2- Calcule as potências negativas (continuação).2- Calcule as potências negativas (continuação). 22 222 36323 2 2 2 22 2222 2 93 3 ) 82 2 ) 12 96 11..2 33..2 1 3 3 1 ) baba a ba a a ba f yxyx yx e xx xx xx xx x x x x d +− =      − − =      − − =      =      +− ++ = +− ++ =      − + =      + − − − −
  59. 59. O que são? Frações com variável no denominador Denominador deve ser diferente de zeroRegra Operações Simplificação Soma e Subtração Multiplicação Divisão Potenciação FRAÇÕES ALGÉBRICASFRAÇÕES ALGÉBRICAS C D B A D C B A .: = n nn B A B A =      DB CA D C B A . . . = Denominadores iguais Denominadores diferentes Trabalhar os numeradores e manter o denominador Mmc dos denominadores Dividir numerador e denominador pelo divisor comum Expoente positivo Expoente negativo n nn B A B A =     
  60. 60. BibliografiaBibliografia  NAME, Miguel Assis.NAME, Miguel Assis. Tempo deTempo de Matemática – 7ª sérieMatemática – 7ª série. 1ª edição. SP:. 1ª edição. SP: Editora do Brasil, 1996.Editora do Brasil, 1996.  Site Exatas, acessado em 29/03/2011:Site Exatas, acessado em 29/03/2011: http://www.exatas.mat.br/fracaoalg.htmhttp://www.exatas.mat.br/fracaoalg.htm

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