Este documento fornece um resumo sobre radiciação. Ele explica os elementos envolvidos em radiciais, como calcular raízes de diferentes formas, e as regras para somar, subtrair, multiplicar, dividir e elevar radicais a potências. O documento também explica como racionalizar frações com radicais no denominador.

1. Radiciação

2. Ao final dessa aula
você saberá:
 Identificar os elementos envolvidos em na
radiciação
 Relacionar potências e raízes
 Calcular uma raiz de 2 formas diferentes
 Todas as regras e propriedades da radiciação
 Somar, subtrair, multiplicar e dividir radicais
 Elevar um radical a uma potência e extrair sua
raiz.
 Racionalizar denominadores

3. Quais são os elementos
envolvidos na radiciação?
Toda operação com raiz apresenta um radical,
um índice e o radicando.
índice radical
Exemplos:
3 5
216 144 32
radicando
Note que quando indicamos a raiz quadrada,
não colocamos o 2 no lugar do índice.

4. Qual é a relação entre
radiciação e potenciação?
A radiciação é a operação inversa da
potenciação.
Exemplos:
32 = 9 9 =3
53 = 125 3
125 = 5

5. Por que não existe raiz com
índice par de um número
negativo no conjunto real?
Porque não existe um número que, elevado
a expoente par, tenha como resultado um
número negativo.
Veja: −9
Não existe um número que
elevado ao quadrado dá -9,
pois -3 e 3 elevado ao
quadrado dá 9.

6. Como calculamos raiz de
um número grande?
Usando a decomposição em fatores primos.
Exemplos: 448 3
3375
448 2 2 3375 3
224 2 1125 3 3
112 2 375 3
2
56 2 125 5
28 2 25 5 5
2
14 2 5 5
7 7 1
1
448 = 8 7 3
50625 = 3 x5 = 15

7. Como simplificamos o
radicando com o índice?
Basta dividir o expoente do radicando pelo índice.
Exemplos:
 3
7 =7
18 6
 54 = 52 Note que no último
exemplo foi
2500 = 2 2.54 = 2.52 = 50 necessário decompor

o número para
simplificar. Essa é
outra forma de
calcular uma raiz.

8. E se o resultado da
divisão não for exato?
Só sai da raiz se o resultado for exato, caso
contrário, continua lá dentro.
Exemplos:
 125 = 5 = 5 .5
3 2
 5 35
b .c 42
= b c c =b c
5 35 40 2 7 85
c 2

9. E se o índice for
maior que o expoente
do radicando?
Podemos apenas dividir pelo mesmo número,
mas sem tirar de dentro da raiz.
Exemplos:
 9
1,7 6 = 3 1,7 2
 15
( a + 1) 5
= 3 ( a + 1)

10. Tente fazer sozinho
Simplifique o radical:
3 12 6
6
8x y z

11. Solução
6
8x y z = 2 x y z =
3 12 6 6 3 3 12 6
y z 2 x =y z 2 x
2 6 3 3 2

12. Como indicamos uma raiz
sem usar o radical?
Trocando o índice e o expoente do radicando
por um expoente fracionário.
Exemplos:
O expoente do
2 = ( 2)
5

3 5 3 radicando vira
numerador e o
índice vira
23 = ( 23)
1
2
 denominador.

13. O que são radicais
semelhantes?
São os radicais que apresentam o mesmo
índice e o mesmo radicando.
Exemplo:
5 2e3 2 são semelhantes
5 2e5 24 não são semelhantes
4
5 2e7 2 4
são semelhantes
3 3
9e 12 não são semelhantes

14. Como somamos e
subtraímos radicais?
Basta somar ou subtrair a quantidade de radicais
semelhantes.
Exemplo:
3 7 + 7 − 6 7 = −2 7
Caso fosse 3 2 + 5 − 6 7 nada
poderíamos fazer, pois os radicais não são
semelhantes.

15. Como multiplicamos
e dividimos radicais
de mesmo índice?
Basta juntar os radicandos dentro de um radical.
Exemplo:
6.11 5
5
6 . 11 : 3 = 5
5 5
= 22
3

16. E se os índices forem
diferentes?
Basta igualar os índices e juntar os radicandos.
Como igualamos os índices?
Basta achar o mmc entre os índices e ajustar os
expoentes dos radicandos.
3 2 4
Exemplo: 5 . 7
mmc (3,4) =12. Assim, temos: 12 8 12
5 . 7 3
Juntando no mesmo radical, temos:
12 8 3
5 .7

17. Tente fazer
sozinho
(Vunesp) O valor da expressão
3
4
16 4
2
1
: 2 é igual a:
8
8 3
a) 2-1 b) 20 c) 21/2 d) 24 e) 26

18. Solução
(2 )
3
4 4 3 4 4 4 3 4
16 24
16 2 2
: 2 = 3 : = : 6 =
1
83
8 8 23 ( ) 2
2 2
4 12 4 3 6
2 2 2 2
: 6 = ⋅ 4 =2 4
2 2 2 2

19. Como elevamos um
radical a uma
potência?
Basta elevar o radicando a essa potência.
Exemplos:
 ( 3 ) = 3 = 27
4
3 4 3 4
 (2 5 ) = 8 5 = 8 125
3 3

20. Como extraímos a
raiz de um
radical?
Basta multiplicar os índices.
Exemplos:
 3
5 = 2 x3 5 = 6 5
 4 3
6 = 4 x3x 2
6= 24
6

21. Tente fazer sozinho
Sabendo que a = 2 e b = 4 2 ,
calcule 3
ab .

22. Solução
3
ab = 3
2 2=
4
mmc (2,4) = 4.
Logo, igualando os índices, temos:
3 4
2 24
2= 3 4
4.2 = 3 4
8= 8
12

23. O que é
racionalização?
É o cálculo que usamos para tirar um
radical do denominador de uma fração.
Como racionalizamos um denominador?
Existem 3 procedimentos, que serão
descritos a seguir.

24. 1º) Quando o denominador é um produto e o
índice do radical é 2.
Basta multiplicar o numerador e o denominador
2
por .
Exemplos: . 2
5 5 5 2
= =
 2 2. 2 2
3 3. 2 3 2 3 2
= = =
4 2 4 2 . 2 4.2 8


25. 2º) Quando o denominador é um produto
e o índice do radical é diferente 2.
Basta multiplicar o numerador e o denominador
pelo fator racionalizante.
O que é o fator racionalizante?
É o radical mais conveniente para eliminar o radical
do denominador.
3
7. 7 = 7 = 7
3 2 3 3
Veja:
Fatores racionalizantes
5
32 .5 33 = 5 35 = 3

26. Exemplo:
7 3 7 3 7 3
18 18. 3 18. 3 18. 3
= = = =6 3
7 3
7 4
3 7 4 7 3
3 . 3 7 7
3 3
Tente fazer sozinho
Indique o valor da expressão:
3 1 5
5
243 + + − 3
4 3 6

27. Solução
3 1 5
5
243 + + − 3=
4 3 6
3 1 5 3 10 5 3 3 5 3
5
3 +
5
+ − = 3 + + − =
4 3 6 2 3 6
3 3 5 3 6 3 +3 3 + 2 3 −5 3
3+ + − = =
2 3 6 6
6 3
= = 3
6

28. 3º) O denominador é uma soma ou subtração.
Basta multiplicar numerador e denominador pelo
conjugado.
2− 3 2+ 3
Veja: é conjugado de .
7+ 5 7− 5
é conjugado de .
2
=
(
2. 7 + 3
=
)
Exemplo: 7− 3 (
7 − 3. 7 + 3 )
( ) (
2 7+ 3 2 7+ 3
= =
7+ 3 )
7−3 4 2

29. Tente fazer
sozinho
(UFSE) Racionalizando-se o denominador de
3
obtém-se:
2+ 5

30. Solução
3
=
(
3. 2 + 5
=
)
2+ 5 ( 2+ 5 2+ 5)( )
( )
3. 2 + 5 3. 2 + 5
=
(
=− 2+ 5
)
2−5 −3