O documento aborda conceitos fundamentais de geometria, incluindo áreas e volumes de figuras como retângulos, triângulos e prismas. Ele descreve as fórmulas necessárias para calcular diâmetros, volumes e áreas laterais, além de fornecer exemplos práticos para a melhor compreensão. A teoria é complementada com definições de prismas e cilindros, destacando suas características e aplicações na resolução de problemas geométricos.

3. Relembrando
Antes de começar a aula de hoje, precisamos
rever alguns pontos de geometria plana e
unidades de medidas:
Área do retângulo: Área do quadrado:
2
A b.h A l

4. Relembrando
Diagonal do quadrado: Área do triângulo:
d l 2 b.h
A
2

5. Relembrando
Triângulo Equilátero:
Altura
l 3
h
2
Área
2
l . 3
A
4

6. Relembrando
Hexágono:
Apótema:
l 3
a
2
Área:
2 2
l . 3 l . 3
A 6. 3.
4 2

7. Relembrando
Comprimento da Área do círculo
circunferência
2
c 2. .r A .r

8. Relembrando
Sendo o metro (m) a unidade de medida,
temos:
1 m = 10 dm = 100 cm
1 m2 = 100 dm2 = 10000 cm2
1 m3 = 1000dm3 = 1000000 cm3
Observação: 1 dm3 = 1 litro

9. Prismas e Cilindros
definição
definição
elementos
elementos
Cilindros Caso Cilindro
Prismas retos particular equilátero
retos
Área da base
Área da base
áreas Área lateral
áreas Área lateral
Área total
Área total
volume
Volume

10. Prismas
Prisma é uma sólido geométrico delimitado
por faces planas, no qual as duas bases se
situam em planos paralelos.
Exemplos:

11. sólido
definição Limitado por faces planas
Duas bases paralelas
prismas

12. Prismas
Podemos classificar um prisma quanto ao
número de arestas da base.
Triangular Quadrangular Pentagonal Hexagonal

13. sólido
definição Limitado por faces planas
Duas bases paralelas
triangulares Base é um triângulo
prismas
Nº de arestas quadrangulares Base é um quadrilátero
da base
pentagonal Base é um pentágono
hexagonal Base é um hexágono
classificação

14. Prismas
Podemos classificar um prisma quanto à
inclinação das arestas laterais.
Oblíquos: arestas Retos: arestas laterais
laterais oblíquas às perpendiculares às
bases. bases.

15. sólido
definição Limitado por faces planas
Duas bases paralelas
triangulares Base é um triângulo
prismas
Nº de arestas quadrangulares Base é um quadrilátero
da base
pentagonal Base é um pentágono
hexagonal Base é um hexágono
classificação
Arestas laterais
oblíquos
oblíquas à base
Inclinação das
arestas laterais Arestas laterais
definição
perpendiculares à base
retos

16. Prismas
Os elementos de um prisma reto são:

17. Prismas
Note que
todas as
faces laterais
dos prismas
retos são
retângulos

18. sólido
definição Limitado por faces planas
Duas bases paralelas
triangulares Base é um triângulo
prismas
Nº de arestas quadrangulares Base é um quadrilátero
da base
pentagonal Base é um pentágono
hexagonal Base é um hexágono
classificação
Arestas laterais
oblíquos
oblíquas à base
Inclinação das
arestas laterais Arestas laterais
definição
perpendiculares à base
vértices
retos
base
arestas
elementos lateral
base
faces
Lateral = altura

19. Paralelepípedos
Paralelepípedos são prismas quadrangulares,
cuja base é um paralelogramo. Quando as bases
são retângulos, chamamos de paralelepípedo
retângulo.

20. Paralelepípedos
Podemos calcular a diagonal do paralelepípedo
através do Teorema de Pitágoras ou pela
fórmula:
2 2 2
D a b c

21. Paralelepípedos
Exemplo: Dado um paralelepípedo retângulo
de dimensões 5 cm, 4 cm e 3 cm. Calcule a
medida da sua diagonal.

22. Exemplo
Pelo Teorema de Pitágoras:
2 2 2 2 2 2
d 4 5 D 3 d
d 2
16 25 D2 9 41
d 2
41 D2 50 D 5 2

23. Exemplo
Pela Fórmula: D a 2
b 2
c 2
2 2 2
D 3 4 5
D 9 16 25
D 50 D 5 2

24. Paralelepípedos
Caso particular: Cubo
O cubo é um paralelepípedo reto retângulo,
no qual todas as faces são quadrados, ou seja
todas as arestas apresentam a mesma medida.
D a 3

25. Paralelepípedos
Exemplo: Calcule a diagonal de um cubo,
cujo perímetro de uma face é 24 cm.
Se o perímetro da é 24cm, então a
aresta do cubo mede 24 : 4 = 6 cm
D a 3
D 6 3

26. Tente fazer sozinho
A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantos
centímetros deve ser aumentada a medida da
diagonal desse cubo, de modo a obter-se um
novo cubo cuja aresta meça 6 cm.

27. Tente fazer sozinho
A aresta de um cubo mede 4 cm. De quantos
centímetros deve ser aumentada a medida da
diagonal desse cubo, de modo a obter-se um
novo cubo cuja aresta meça 6 cm.

28. Solução
4 3 x 6 3 x 6 3 4 3 x 2 3

29. Áreas do Prisma
 Área da base: é a área do polígono que
constitui a base.
A) No prisma triangular.
2
b.h l . 3
Ab ou Ab
2 4

30. Áreas do Prisma
Exemplo: Calcule a área da base de um prisma
triangular regular, sabendo que a altura do
triângulo da base mede 4 3.
l 3
h 4 3 l 8
2
2 2
l 3 8 3
Ab 16 3
4 4

31. Áreas do Prisma
B) No prisma quadrangular.
2
Ab b.h Ab l

32. Áreas do Prisma
Exemplo: Uma piscina de fundo retangular de
1,80 m de profundidade, foi instalada em um
buraco cujo fundo tem dimensões a 3 m x 5 m.
Calcule a área da base da piscina.
Ab b.h
2
Ab 3.5 15cm

33. Áreas do Prisma
C) No prisma hexagonal.
2
3l . 3
Ab
2

34. Áreas do Prisma
Exemplo: Os senhores Balo Ofos pediram
uma pizza que veio em uma caixa de base
hexagonal, calcule á área da base da caixa,
sabendo que o lado do hexágono mede 12 cm.
2
3l . 3
Ab
2
2
3.12 . 3 2
Ab 216 3cm
2

35. Arestas laterais
definição
perpendiculares à base
vértices
base
arestas
elementos lateral
base
faces
Lateral = altura
Prismas
retos
Área da base Área do polígono da base
áreas

36. Áreas do Prisma
 Área lateral: é a soma das áreas das faces
laterais.
A) No prisma triangular
Como temos 3 faces laterais,
então Al 3.b.h .

37. Áreas do Prisma
Exemplo: O monumento de uma praça no norte
da Croácia tem forma de um prisma triangular
regular de altura igual a 7m. Calcule a área
lateral do monumento, sabendo que a área da
base mede 4 3 .
2
l 3
Ab 4 3 l 4m
4
2
Al 3.4.7 84m

38. Áreas do Prisma
B) No prisma quadrangular
Al 2ac 2bc Al 4.b.h

39. Áreas do Prisma
Exemplo: Para reformar o móvel abaixo, um
designer colocará 2 portas e pintará todas
as faces laterais. Calcule toda superfície
que será pintada?

40. Áreas do Prisma
Al 2.2,1.0,6 2.0,4.0,6
Al 2,52 0,48
2
Al 3m

41. Áreas do Prisma
C) No prisma hexagonal regular.
Al 6.b.h

42. Áreas do Prisma
Exemplo: Um instrumento de base hexagonal
regular está sendo testado por uma banda de
reagge. Sabendo que as bases desse prisma
devem ser vermelhas. Calcule a área, em m2 a
ser pintada de amarelo e verde.
Al 6.b.h
Al 6.50.30
2 2
Al 9000cm 0,9m

43. Arestas laterais
definição
perpendiculares à base
vértices
base
arestas
elementos lateral
base
faces
Lateral = altura
Prismas
retos
Área da base Área do polígono da base
áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais

44. Áreas do Prisma
 Área total: é a área de toda a superfície
do prisma, portanto, é a soma das áreas das
bases com a área lateral.
At 2. Ab Al

45. Arestas laterais
definição
perpendiculares à base
vértices
base
arestas
elementos lateral
base
faces
Lateral = altura
Prismas
retos
Área da base Área do polígono da base
áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais
Área total 2Ab + Al

46. Áreas do Prisma
Exemplo: Seja um prisma reto de 20 cm de
altura, cuja base é um triângulo retângulo com
catetos de 8 cm e 15 cm. Calcule a área total
do prisma.

47. Áreas do Prisma
x 2 152 82
2
x 225 64
2
x 289 x 17
At 2. Ab Al
15.8
At 2. 15.20 8.20 17.20
2
2
At 120 300 160 340 920cm

48. Tente fazer sozinho
Calcule a medida do lado da base de um
prisma hexagonal regular, sabendo que a
sua área total é 216 3 dm2 e que a sua
altura é igual ao apótema da base.

49. Tente fazer sozinho
Calcule a medida do lado da base de um
prisma hexagonal regular, sabendo que a
sua área total é 216 3 dm2 e que a sua
altura é igual ao apótema da base.

50. Solução
At 216 3
2. Ab Al 216 3
2
3.l 3
2. 6.b.h 216 3
2
3.l 2 3 l 3
2. 6.l. 216 3
2 2
2 2
3l 3 3l 3 216 3
6l 2 3 216 3 l 6dm

51. Tente fazer sozinho
(Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,
cuja base é um triângulo equilátero de 10 2 cm
de lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é o
ponto médio da aresta DF, calcule o seno do
ângulo B M E .

52. Tente fazer sozinho
(Fatec) A figura abaixo é um prisma reto,
cuja base é um triângulo equilátero de 10 2 cm
de lado e cuja altura mede 5 cm. Se M é o
ponto médio da aresta DF, calcule o seno do
ângulo B M E .

53. Solução
l 3 2 2 2
EM BM 5 6 5 5
2 sen x
BM 2
150 25 5 7
10 2 3
EM BM 2 175 7
2 sen x
7
EM 5 6 BM 5 7

54. Áreas do Prisma
Caso particular: cubo
Como o cubo apresenta todas as faces com
a mesma área, então:
2
At 6.l

55. Áreas do Prisma
Exemplo: A diagonal de um cubo mede 12 cm.
Calcule a área total.
l 3 12 l 4 3
2
At 6.l
2
At 64 3
2
At 288cm

56. Volume do Prisma
O volume de todo prisma é o produto entre
a área da base e a altura.
V Ab .h

57. Volume do Prisma
Exemplo: Determine o volume da piscina
ilustrada abaixo:
3
V Ab .h 300.150.50 2250000cm
3
V 2250dm 2250l

58. Volume do Prisma
Caso particular: cubo
Como o cubo apresenta todas as arestas
com a mesma medida, então:
V Ab .h
2 3
V a .a V a

59. Volume do Prisma
Exemplo: Um tanque cúbico sem tampa será
revestido internamente com uma massa
impermeabilizante. Calcule o volume do tanque,
sabendo que a área da superfície a ser
revestida é 125m2.
área revestida = área do cubo – tampa
125 = 6l2 – l2  125 = 5l2  l = 5 m
Logo, V = l3 = 53 = 125m3

60. Arestas laterais
definição
perpendiculares à base
vértices
base
arestas
elementos lateral
base
faces
Lateral = altura
Prismas
retos
Área da base Área do polígono da base
áreas Área lateral Soma das áreas dos retângulos das faces laterais
Área total 2Ab + Al
volume V = Ab . h

61. Tente fazer sozinho
(Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96
m2 de material para se montar uma caixa
cúbica. O volume dessa caixa é:
a) 64 dm3
b) 40 cm3
c) 96 dm3
d) 160 cm3
e) 55 dm3

62. Tente fazer sozinho
(Faap-SP) Sabe-se que foram gastos 0,96
m2 de material para se montar uma caixa
cúbica. O volume dessa caixa é:
a) 64 dm3
b) 40 cm3
c) 96 dm3
d) 160 cm3
e) 55 dm3

63. Solução
3
At 0,96 V a
2 3
6a 0,96 V 0,4
2 3
a 0,16 V 0,064m
a 0,4m V 64dm 3
Letra A

64. Tente fazer sozinho
(UFPI) A base de um prisma reto é um
triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5
cm e um dos catetos mede 3 cm. Se a
medida da altura desse prisma é 10 cm, seu
volume, em centímetros cúbicos, mede:
a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

65. Tente fazer sozinho
(UFPI) A base de um prisma reto é um
triângulo retângulo cuja hipotenusa mede 5
cm e um dos catetos mede 3 cm. Se a
medida da altura desse prisma é 10 cm, seu
volume, em centímetros cúbicos, mede:
a) 60 b) 70 c) 80 d) 90 e) 100

66. Solução
2 2 2
5 3 x
2
25 9 x
2
x 16 x 4
b.h 3.4
V Ab .h .h .10 60 Letra A
2 2

67. Cilindros
Cilindros retos são sólidos de revolução,
obtidos através do giro de um retângulo.

68. sólidos
definição
Gerados pela rotação de um retângulo
Cilindros
retos

69. Cilindros
Os elementos do cilindro reto são:

70. sólidos
definição
Gerados pela rotação de um retângulo
base
elementos
Geratriz = altura
Cilindros
retos

71. Cilindros
Caso particular: cilindro equilátero.
O cilindro equilátero apresenta altura com
a mesma medida do diâmetro da base.

72. sólidos
definição
Gerados pela rotação de um retângulo
base
elementos
Geratriz = altura
Cilindros Caso Cilindro
h= 2r
retos particular equilátero

73. Áreas do Cilindro
 Área da base: é a área do círculo que
constitui a base.
2
Ab .r

74. Áreas do cilindro
Exemplo: Determine a área da base de
um cilindro cujo raio do círculo da base
mede 4cm.
2
Ab .r
2
Ab .4
2
Ab 16 cm

75. sólidos
definição
Gerados pela rotação de um retângulo
base
elementos
Geratriz = altura
Cilindros Caso Cilindro
h= 2r
retos particular equilátero
Área da base Área do círculo da base Ab = πr2
áreas

76. Áreas do Cilindro
 Área lateral: é a área da superfície lateral
planificada.
Al 2. .r.h

77. Áreas do Cilindro
Exemplo: A base do ofurô, ilustrado abaixo
tem diâmetro igual a 0,8 m. Na fábrica onde é
construído, a base cilíndrica não é de madeira
e a altura padrão é de 0,7 m. Calcule, em cm2 a
área da superfície revestida de madeira.
Al 2. .r.h
Al 2.3,14.40.70
2
Al 17,684 18cm

78. sólidos
definição
Gerados pela rotação de um retângulo
base
elementos
Geratriz = altura
Cilindros Caso Cilindro
h= 2r
retos particular equilátero
Área da base Área do círculo da base Ab = πr2
áreas Área lateral Al = 2πrh

79. Áreas do Cilindro
 Área total: é a área de toda a superfície
do prisma, portanto, é a soma das áreas das
bases com a área lateral.
At 2. Ab Al

80. Áreas do Cilindro
Exemplo: Determine a área total de um
cilindro reto, cujo perímetro da base mede
10π cm, igual a medida da altura.
2. .r 10 r 5cm
Ab .r 2
25 At 2. Ab Al
2
Al 2. .r.h At 2.25 250
2
Al 2. .5.10 At 50 250
2
Al 250 At 50 1 2

81. sólidos
definição
Gerados pela rotação de um retângulo
base
elementos
Geratriz = altura
Cilindros Caso Cilindro
h= 2r
retos particular equilátero
Área da base Área do círculo da base Ab = πr2
áreas Área lateral Al = 2πrh
Área total At = 2Ab + Al

82. Tente fazer sozinho
(UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de
diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantos
centímetros quadrados de material são
usados, aproximadamente, para fabricar essa
lata? (Considere π = 3,14)
a) 396 b) 126 c) 285
d) 436 e) 578

83. Tente fazer sozinho
(UFAM) Uma lata de óleo tem 6 cm de
diâmetro na base e 18 cm de altura. Quantos
centímetros quadrados de material são
usados, aproximadamente, para fabricar essa
lata? (Considere π = 3,14)
a) 396 b) 126 c) 285
d) 436 e) 578

84. Solução
d 6cm r 3cm e h 18cm
At 2 Ab Al
2
At 2. .r 2. .r.h
2
At 2. .3 2. .3.18
At 18. 108.
At 126. 126.3,14
At 395,64 396cm 2 Letra A

85. Áreas do Cilindros
Caso particular: cilindro equilátero.
Como o cilindro equilátero apresenta altura
com a mesma medida do diâmetro da base,
então:
2
Al 2. .r 2r Al 4. .r
2 2 2 2
At 4. .r 2. . r At 6. .r

86. Áreas do Cilindros
Exemplo: Calcule a área lateral e a área
total de um cilindro reto equilátero, cujo
raio da base mede 5 cm.
2 2
Al 4. .r 4. .5 100
2 2
At 6. .r 6. .5 150

87. Volume do Cilindro
O volume de todo cilindro é o produto entre
a área da base e a altura.
V Ab .h

88. Volume do Cilindro
Exemplo: Calcule o volume da piscina abaixo,
em litros, sabendo que é um cilindro reto, o
diâmetro mede 1m e a altura mede 50 cm.
1m 10dm r 5dm
50cm 5dm
V Ab .h
V .52.5
V 125 litros

89. Volume do Cilindro
Caso particular: cilindro equilátero
Como o cilindro equilátero apresenta a
altura com a mesma medida do diâmetro da
base, então:
V Ab .h
2 3
V .r 2.r V 2. .r

90. Volume do Cilindro
Caso particular: cilindro equilátero
Exemplo: Um cilindro equilátero de volume
128π litros, tem diâmetro de quantos
centímetros?
V Ab .h
3 3
128 2. .r 128 2r
3
r 64 r 4dm 40cm

91. sólidos
definição
Gerados pela rotação de um retângulo
base
elementos
Geratriz = altura
Cilindros Caso Cilindro
h= 2r
retos particular equilátero
Área da base Área do círculo da base Ab = πr2
áreas Área lateral Al = 2πrh
Área total At = 2Ab + Al
Volume V = Ab . h

92. Tente fazer sozinho
(UFPI) Um reservatório com capacidade para
6280 litros tem a forma de um cilindro
circular reto. Se o raio da base do reservatório
mede 1 metro, sua altura, também em metros,
mede: (Considere π = 3,14)
a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3

93. Tente fazer sozinho
(UFPI) Um reservatório com capacidade para
6280 litros tem a forma de um cilindro
circular reto. Se o raio da base do reservatório
mede 1 metro, sua altura, também em metros,
mede: (Considere π = 3,14)
a) 1 b) 1,4 c) 1,8 d) 2 e) 2,3

94. Solução
3 3
V 6280l 6280dm 6,280m
r 1m
V Ab .h
3 2
6,280m 3,14.1 .h
6,28
h 2m Letra D
3,14

95. Tente fazer sozinho
(UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com
aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um
copo cilíndrico vazio, com raio da base
também igual a 3cm. Após o gelo derreter
completamente, a altura da água no copo
será de aproximadamente:
a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm

96. Tente fazer sozinho
(UFRN) Nove cubos de gelo, cada um com
aresta igual a 3 cm, derretem dentro de um
copo cilíndrico vazio, com raio da base
também igual a 3cm. Após o gelo derreter
completamente, a altura da água no copo
será de aproximadamente:
a) 8,5 cm b) 8,0 cm c) 7,5 cm d) 9,0 cm

97. Solução
3 3 3
Vcubo a 3 27cm
3
Vcilindro 27.9cm
2
Vcilindro .r .h
2
27.9 3,14.3 .h
27
h 8,59 8,5cm Letra A
3,14

98. Tente fazer sozinho
(UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de
altura e área da base igual a 1200 cm2, está
com água até a metade da sua capacidade.
Colocando-se pedras dentro desse aquário, de
modo que fiquem totalmente submersas, o
nível da água sobe para 16,5 cm. O volume das
pedras, em centímetros cúbicos, é:
a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100

99. Tente fazer sozinho
(UFMG) Um aquário cilíndrico, com 30 cm de
altura e área da base igual a 1200 cm2, está
com água até a metade da sua capacidade.
Colocando-se pedras dentro desse aquário, de
modo que fiquem totalmente submersas, o
nível da água sobe para 16,5 cm. O volume das
pedras, em centímetros cúbicos, é:
a) 1200 b) 1500 c) 1800 d) 2100

100. Solução
h 30cm e Ab 1200cm 2
3
Vaquário Ab .h 1200.30 36000cm
Vaquário 36000 3
18000cm
2 2
3
Vaquáriocom pedras 1200.16,5 19800cm
V pedras 19800 18000 1800cm Letra C
3

101. Bibliografia
• http://pessoal.sercomtel.com.br/matemati
ca/geometria/prisma/prisma.htm
• Matemática – Volume Único: Iezzi,
Gelson; Dolce, Osvaldo; Degenszajn, David;
Périgo, Roberto – Atual Editora – 4ª
edição – 2007 – Páginas: 456 até 464.
• Figuras: google imagens