2. Para vocês, estudantes ...
É consenso que pessoas como vocês, que futuramente vão
atuar numa área ligada às ciências exatas, devem adquirir todo
conhecimento matemático possível e – mais do que isso – devem
desenvolver a habilidade de resolver problemas com ferramentas
da matemática.
A noção de Vetor é básica em Matemática.
3. Vetores – Noção Intuitiva
Existem dois tipos de grandezas:
Grandezas Escalares:
São aquelas que ficam completamente definidas por apenas um número real
(acompanhado de uma unidade).
Exemplos: Comprimento, área, volume, massa, temperatura, densidade...
Grandezas Vetoriais:
São aquelas que além de definidas por um número real, é necessário conhecer a
sua direção e o seu sentido.
Exemplos: Força, velocidade, aceleração...
5. Segmento de Reta
Orientado
• Um segmento orientado representa um 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟
• Consideremos uma reta r e sejam A e B dois pontos de r
• Ao segmento de reta 𝐴𝐵, podemos associar 2 sentidos : de A para B e de
B para A
• Escrevemos 𝐴𝐵 para representar o vetor (segmento de reta orientado)
𝐴𝐵 associado com o sentido de A para B
• Dados dois segmentos orientados não nulos 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷, dizemos que eles
têm mesma direção, se as retas suportes destes segmentos são
paralelas ou colineares.
7. Módulo de um Vetor
É o comprimento do segmento que define o vetor. É também
chamado de Norma ou Comprimento do vetor.
Indica-se por:
v
8. • Qualquer segmento de mesmo comprimento (módulo), mesma direção e
mesmo sentido de AB representa o mesmo vetor 𝑣, tendo origem em
qualquer ponto do espaço;
• O módulo de um vetor é denotado por 𝑣 ou 𝑣
• 𝐴𝐵 é o segmento orientado de origem A e extremidade B
• 𝐵𝐴 é o segmento orientado de origem B e extremidade A
• Chamamos 𝐵𝐴 , oposto de 𝐴𝐵
• Se A = B então o segmento orientado 𝐴𝐵= 𝐵𝐴 é o segmento nulo, denotado
por 𝐴𝐴 = 0
• Só podemos comparar os sentidos de dois segmentos orientados, se eles têm a
mesma direção.
Segmento de Reta
Orientado
10. Casos particulares de
Vetores
1. Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são paralelos (𝑢//𝑣) se eles tiverem mesma direção, com mesmo sentido ou
sentidos contrários;
2. Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são iguais (𝑢 = 𝑣)se tiverem módulos iguais, mesma direção e mesmo sentido;
3. Um vetor nulo (ou zero) é representado por qualquer ponto do espaço (𝐴𝐴 ou 0). Como ele não
possui direção e sentido definidos, consideramos esse vetor sendo paralelo a qualquer outro;
4. A cada vetor não-nulo 𝑣 corresponde um vetor oposto −𝑣, com mesma direção, mesmo módulo,
mas sentido contrário;
5. Um vetor 𝑢 é unitário se 𝑢 = 1. Para cada vetor 𝑣 podemos associar dois vetores unitários: 𝑢 e
− 𝑢. O vetor com o mesmo sentido de 𝑣 é chamado de versor de 𝑣. Todos os vetores unitários 𝑢
são versores de todos os vetores paralelos e de mesmo sentido, medidos com a mesma unidade;
6. Dois vetores 𝑢 e 𝑣 são ortogonais (𝑢 ⊥ 𝑣) se os vetores ou seus representantes formarem um
ângulo de 90°;
7. Dois ou mais vetores são coplanares se estão representados num mesmo plano. No caso de dois
vetores, estes sempre serão coplanares, determinando a direção do plano que os contém.
11. Operações com vetores
𝑢 + 𝑣 = 𝐴𝐶 ou 𝐴𝐵 + 𝐵𝐶 = 𝐴𝐶
• Para somar mais de dois vetores, representar cada vetor na extremidade do anterior.
• Se tiverem mesma direção e sentido,
somente somam-se os seus módulos;
• Se tiverem mesma direção e sentido,
subtraem-se os seus módulos.
(𝑢 + (- 𝑣) = 𝑢 - 𝑣
• Se o início do primeiro vetor
da soma coincidir com o final do
último vetor, a soma será o vetor
nulo.
v
u u
v
v
u
A
C
B
Adição de vetores
18. Exercício
• Determine os vetores abaixo expressando-os com origem no ponto A:
a)
b)
c)
d)
BE
AB
CJ
AC
EG
AD
BD
AF
19. Operação com Vetores
Multiplicação de um Vetor por um Número Real (escalar):
Módulo : 𝛼𝑣 = 𝛼 𝑣
Direção : 𝛼𝑣 é paralelo a 𝑣
Sentido : 𝛼𝑣 e 𝑣 tem o mesmo sentido se 𝛼 > 0 e sentido
oposto se 𝛼 < 0.
Se 𝛼 ou 𝑣 forem iguais a zero, então: 𝛼𝑣 = 0
u
𝑣
2𝑣
−3𝑣
1/2𝑣
20. Multiplicação
Escalar-Vetor
• Se 𝑣 ≠ 0 , o produto
1
𝑣
. 𝑣 é indicado por
𝑣
𝑣
. Se 𝑣 ≠ 0, é fácil mostrar que
𝑣
𝑣
é o
versor de 𝑣. Então 𝑣0=
𝑣
𝑣
. portanto 𝑣= 𝑣0. 𝑣
• Exemplos:
1) Se 𝑣 =5, o versor de 𝑣é
𝑣
5
;
Se 𝑣 =
1
3
, o versor de 𝑣 é 3𝑣;
Se 𝑣 =10, o versor de -𝑣 é −
𝑣
10
;
Seja o vetor 𝑣 ≠ 0. Determinar o vetor paralelo a 𝑣 tal que:
a) Tenha o mesmo sentido de 𝑣 e módulo 5:
b) Tenha sentido contrário ao vetor de 𝑣 e módulo 10:
5𝑣
𝑣
−
10𝑣
𝑣
21. Propriedades
• Considere 𝑢 e 𝑣 vetores quaisquer, a e b números reais quaisquer
• (1) a(b 𝑣) = (ab) 𝑣
• (2) a(𝑢 + 𝑣) = a𝑢+ a𝑣
• (3) (a + b) 𝑣 = a𝑣 + b𝑣
• (4) 1 𝑣 = 𝑣
24. Exercício 2
• O paralelogramo ABCD é determinado pelos vetores 𝐴𝐵 e 𝐴𝐷, Sendo
M e N pontos médios dos lados 𝐷𝐶e 𝐴𝐵. Encontre
• 𝐴𝐷+ 𝐴𝐵
• 𝐵𝐴+𝐷𝐴
• 𝐴𝐶- 𝐵𝐶
A N B
M C
D
26. Exercício 2
• 𝐴𝐷 + 𝐴𝐵= 𝐴𝐶
• 𝐵𝐴+𝐷𝐴=𝐶𝐷+𝐷𝐴=𝐶𝐴
• 𝐴𝐶 − 𝐵𝐶= 𝐴𝐶+𝐶𝐵=𝐴𝐵
• 𝐴𝑁+𝐵𝐶=𝐴𝑁+𝑁𝑀=𝐴𝑀
• 𝑀𝐷+ 𝑀𝐵=𝑀𝐷+ 𝐷𝑁=𝑀𝑁
• 𝐵𝑀 −
1
2
𝐷𝐶=𝐵𝑀+𝑀𝐷=𝐵𝐷
A N B
M C
D
27. Operação com Vetores
ÂNGULO DE DOIS VETORES:
O ângulo entre vetores não nulos 𝑢 e 𝑣 é um ângulo 𝜃 formado pelas
duas semi-retas AO e OB de mesma origem.
0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋 (radianos) ou 0° ≤ 𝜃 ≤ 180° (graus)
𝑢
2𝑢
𝑢
-3𝑢
Se 𝑢 e 𝑣 tem o mesmo sentido, então 𝜃 = 0
Se 𝑢 e 𝑣 tem sentidos contrários, então 𝜃 = 𝜋
