1) Definição de vetores 2) Soma de vetores 3) Calculando o módulo do vetor soma 4) Regra do paralelogramo 5) Decomposição vetorial

1. Digite a equação aqui.
VETORES
Professor Leandro Fernandes Batista
𝐹1
𝐹2
𝑃

2. O que é um vetor?
• É um ente matemático representado por um segmento de reta
orientado. Assim sendo, é característica do vetor:
1) Ter módulo. (Que é o comprimento do segmento)
2) Ter uma direção.
3) Ter um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está apontando).
Módulo
Direção da
Reta Suporte
Sentido

3. ATENÇÃO

4. Grandezas escalares e vetoriais
• Grandeza Vetorial
 Algumas vezes necessitamos mais que
um número e uma unidade para
representar uma grandeza física.
Grandezas físicas que necessitam de
módulo, direção e se sentido, são
chamadas de grandezas vetoriais.
 Exemplos:
Velocidade, Aceleração e Força
• Grandeza Escalar
 são aquelas que necessitam apenas de
um número seguido de uma unidade
de medida para serem completamente
caracterizadas.
 Exemplos:
Temperatura, tempo e massa

5. ATENÇÃO
• Deslocamento (ΔS) também é grandeza vetorial. Já
distância percorrida é uma grandeza escalar.
ΔS

6. Representação de uma Grandeza Vetorial
• As grandezas vetoriais são representadas da seguinte forma: a letra que representa
a grandeza e uma a “flechinha” sobre a letra. Da seguinte forma:
V
F d
Ao se referir ao módulo (tamanho) a
notação é:
F Fou
ATENÇÃO:

7. Comparação entre vetores
• Vetores Iguais
Reta suporte: r
Reta suporte: s
𝑨
𝑩
• Mesmo módulo
• Mesma direção
• Mesmo sentido
𝑨 = 𝑩

8. Comparação entre vetores
• Vetores opostos
Reta suporte: r
Reta suporte: s
𝑨
Reta suporte: t
𝑩
𝑪
• Sobre os vetores 𝐵 e 𝐶 podemos afirmar:
Possuem o mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos opostos.
𝑨 = 𝑩 = −𝑪
ATENÇÃO:
O vetor 𝑪 é oposto aos vetores 𝑨 𝑒 𝑩.

9. Adição de vetores
• A soma de dois vetores é um vetor:
𝑨
𝑩
𝑨
𝑺
𝑺 = 𝑨 + 𝑩
• Note que 𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨 (a soma é comutativa)
𝑨
𝑩
𝑺
𝑩
𝑺 = 𝑨 + 𝑩 𝑩
𝑨
𝑺
𝑺 = 𝑩 + 𝑨

10. 𝑨 𝑩
Adição de vetores
𝑪
• Fazendo a adição dos três vetores:
𝑺 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪
𝑨
𝑩
𝑪𝑺

11. Adição de vetores: Calculando o
módulo do vetor soma
1°Caso: Adição de dois vetores com a mesma direção e sentidos.
𝑨
𝑩
𝑨 𝑩
𝑺
𝑺 = 𝑨 + 𝑩
• Para esse caso o módulo de 𝑺 será:
S = A + B
EXEMPLO:
Seja A = 3u e B = 4u, determine o módulo do vetor 𝑺
S = A + B
S = 3 + 4
S = 7u

12. 2°Caso: Adição de dois vetores com a mesma direção e sentidos opostos.
𝑨
𝑩
𝑨 𝑩
𝑺
𝑺 = 𝑨 + 𝑩
𝑩
𝑺
• Para esse caso o módulo de 𝑺 será:
S = B - A
EXEMPLO:
Seja A = 3u e B = 4u, determine o módulo do vetor 𝑺
S = B - A
S = 4 - 3
S = 1u

13. 3°Caso: Adição de dois vetores que formam entre eles um ângulo de 90°.
𝑨
𝑩
𝑨
𝑩
𝑺
𝑺 = 𝑨 + 𝑩
• Para esse caso o módulo de 𝑺 será:
S² = A² + B² (Pitágoras)
𝐒 =
𝟐
𝐀 𝟐 + 𝐁²
Seja A = 3u e B = 4u, determine o
módulo do vetor 𝑺
𝐒 =
𝟐
𝐀 𝟐 + 𝐁²
𝐒 =
𝟐
𝟑 𝟐 + 𝟒²
𝐒 =
𝟐
𝟗 + 𝟏𝟔
𝐒 =
𝟐
𝟐𝟓
𝐒 =
𝟐
𝟐𝟓
𝐒 = 𝟓𝐮
OBSERVAÇÃO: Regra do
paralelogramo
𝑨
𝑩
A origem dos vetores coincidem
𝑺
𝐒 =
𝟐
𝐀 𝟐 + 𝐁²

14. Caso geral: Adição de dois vetores que formam entre eles um ângulo
qualquer (θ).
𝑨
𝑩
θ
Usar a regra do paralelogramo!
𝑨
𝑩
θ
𝑺
• O módulo de 𝑺 será:
𝑺 𝟐 = 𝑨 𝟐 + 𝑩 𝟐 + 𝟐. 𝑨. 𝑩. 𝑪𝒐𝒔θ
𝑺 = 𝑨 + 𝑩

15. EXEMPLO: Seja os vetores 𝑨 e 𝑩 de módulos respectivos 6u e 8u e θ = 60°, determine o valor
do módulo de 𝑺.
𝑨
𝑩
θ
𝑺
Dados:
A = 6u
B = 8u
θ = 60°
Cos60° = ½ = 0,5
𝑺 𝟐
= 𝑨 𝟐
+ 𝑩 𝟐
+ 𝟐. 𝑨. 𝑩. 𝑪𝒐𝒔θ
𝑺 𝟐
= 𝟔 𝟐
+ 𝟖 𝟐
+ 𝟐. 𝟔. 𝟖. 𝑪𝒐𝒔60°
𝑺 𝟐 = 𝟑𝟔 + 𝟔𝟒 + 𝟐. 𝟔. 𝟖. 𝟎, 𝟓
𝑺 𝟐 = 𝟑𝟔 + 𝟔𝟒 + 𝟒𝟖
𝑺 𝟐
= 𝟏𝟒𝟖
𝑺 =
𝟐
𝟏𝟒𝟖
𝑺 ≅ 𝟏𝟐, 𝟐𝒖

16. EXEMPLO: Seja os vetores 𝑨 e 𝑩 de módulos iguais a 10u, 𝑪 de módulo 8u, 𝑫 de módulo 6u e
𝑬 de módulo 4u , determine o valor do módulo de 𝑺 em todos os itens a seguir.
A) 𝑨
𝑩
𝑪
𝑨 𝑩 𝑪
𝑺 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪
𝑆 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑆 = 10 + 10 + 8 𝑆 = 28𝑢
B) 𝑨
𝑩
𝑫
𝑨 𝑩 𝑫
𝑺 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑫
𝑆 = 𝐴 + 𝐵 − 𝐷 𝑆 = 10 + 10 − 6 𝑆 = 14𝑢

17. C)
𝑨 𝑩120° 𝑨 𝑩120°
𝑺 = 𝑨 + 𝑩
ATENÇÃO:
Cos120° = -0,5
𝑺 𝟐 = 𝑨 𝟐 + 𝑩 𝟐 + 𝟐. 𝑨. 𝑩. 𝑪𝒐𝒔θ
𝑺 𝟐
= 𝟏𝟎² + 𝟏𝟎² + 𝟐. 𝟏𝟎. 𝟏𝟎. 𝑪𝒐𝒔120°
𝑺 𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 + 𝟐. 𝟏𝟎. 𝟏𝟎. (−𝟎, 𝟓)
𝑺 𝟐
= 𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎
𝑺 𝟐
= 𝟏𝟎𝟎
𝑺 =
𝟐
𝟏𝟎𝟎
𝑺 = 𝟏𝟎𝒖
𝑨 𝑩
𝑺 = 𝑨 + 𝑩

18. 𝑨
𝑬
𝑪
𝑫
D)
𝑨
𝑬
𝑪
𝑫
Lembrando:
A =10u, D = 6u,
C =8u e E =4u
𝑿 = 𝑨 + 𝑫
𝑋 = 𝐴 + 𝐷
𝑋 = 10 + 6
𝑋 = 16𝑢
𝑋 = 16𝑢
𝒀 = 𝑪 + 𝑬
𝑌 = 𝐶 + 𝐸
𝑌 = 8 + 4
𝑌 = 12𝑢
𝑺 = 𝑨 + 𝑫 + 𝑪 + 𝑬
𝑿 𝒀
𝑺 = 𝑿 + 𝒀
• Os novos vetores 𝑿 e 𝒀, que substituem os outros 4 vetores,
formam entre eles um ângulo de 90°. Logo usaremos o teorema
de Pitágoras para encontra o módulo de 𝑺.
Do Teorema de Pitágoras, temos:
𝑺 𝟐 = 𝑿 𝟐 + 𝒀²
𝑺 𝟐 = 𝟏𝟔 𝟐 + 𝟏𝟐²
𝑺 𝟐 = 𝟐𝟓𝟔 + 𝟏𝟒𝟒
𝑺 𝟐 = 𝟒𝟎𝟎
𝑺 =
𝟐
𝟒𝟎𝟎
𝑺 = 𝟐𝟎𝒖

19. Decomposição vetorial
• Quando somamos dois vetores que não possuem a mesma direção, podemos lançar mão da regra do
paralelogramo. Utilizando então essa mesma regra, podemos fazer o caminho inverso.
𝑺
𝑨
𝑩
• Dado um vetor, podemos imaginar infinitos pares de outros vetores que o originam pela soma. Esses pares
de vetores são chamados de componentes do vetor 𝑺.
• 𝑺 = 𝑨 + 𝑩
𝑪
𝑫
• 𝑺 = 𝑪 + 𝑫
𝑬
𝑭
• 𝑺 = 𝑬 + 𝑭
• Poderíamos encontrar mais pares de vetores cuja soma seja 𝑺, mas como dito esses pares são infinitos.
ATENÇÃO:
• É comum usar as direções horizontal (eixo x) e vertical (eixo y) como preferenciais para fazer a
decomposição vetorial.

20. Decomposição vetorial
PLANO CARTESIANO:
X
Y
𝑽
𝜃 𝑉𝑋
𝑉𝑌
𝑽 = 𝑽 𝑿 + 𝑽 𝒀
• Dizemos que 𝑉𝑋 e 𝑉𝑌 são as componentes
cartesianas de 𝑽
𝑽
𝜃
𝑉𝑋
𝑉𝑌
𝑉𝑋 = 𝐶𝑎𝑡. 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑉𝑌 =
𝐶𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝜃
Pitágoras:
𝑉2
= 𝑉𝑋
2
+ 𝑉𝑌
2 𝑉 =
2
𝑉𝑋
2
+ 𝑉𝑌
2
Relações trigonométricas:
𝑉𝑋 = 𝐶𝑎𝑡. 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑉𝑌 =
𝐶𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝜃
𝑉𝑋 = 𝐶𝑎𝑡. 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑉𝑌 =
𝐶𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝜃
𝑉𝑋 = 𝐶𝑎𝑡. 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒
𝑉𝑌 =
𝐶𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜
𝜃
S𝒆𝒏𝜽 =
𝒄𝒂𝒕.𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
S𝒆𝒏𝜽 =
𝑽 𝒀
𝑽
S𝒆𝒏𝜽. 𝑽 = 𝑽 𝒀
𝑽 𝒀 = 𝑽. 𝑺𝒆𝒏𝜽
Cos𝜽 =
𝒄𝒂𝒕.𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
Cos𝜽 =
𝑽 𝑿
𝑽
Cos𝜽. 𝑽 = 𝑽 𝑿
𝑽 𝑿 = 𝑽. 𝑪𝒐𝒔𝜽

21. EXEMPLO: Seja o módulo de 𝑽 igual a 10u, cosθ = 0,6 e senθ =0,8, determine os módulos das
componentes cartesianas do vetor 𝑽.
Dados:
V = 10u
Cosθ = 0,6
Senθ = 0,8
𝑽 𝒀 = 𝑽. 𝑺𝒆𝒏𝜽
𝑽 𝒀 = 𝟏𝟎. 𝟎, 𝟖
𝑽 𝒀 = 𝟖𝒖
𝑽 𝑿 = 𝑽. 𝑪𝒐𝒔𝜽
𝑽 𝑿 = 𝟏𝟎. 𝟎, 𝟔
𝑽 𝒀 = 𝟔𝒖

22. Exercícios do livro
Página 55

23. Página 57

24. Página 58