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Aula de vetores
- 1. Digite a equaçãoaqui. VETORES Professor Leandro Fernandes Batista 𝐹1 𝐹2 𝑃
- 2. O que éum vetor? • É um ente matemático representado por um segmento de reta orientado. Assim sendo, é característica do vetor: 1) Ter módulo. (Que é o comprimento do segmento) 2) Ter uma direção. 3) Ter um sentido. (Que é pra onde a “flecha” está apontando). Módulo Direção da Reta Suporte Sentido
- 3.
- 4. Grandezas escalares evetoriais • Grandeza Vetorial Algumas vezes necessitamos mais que um número e uma unidade para representar uma grandeza física. Grandezas físicas que necessitam de módulo, direção e se sentido, são chamadas de grandezas vetoriais. Exemplos: Velocidade, Aceleração e Força • Grandeza Escalar são aquelas que necessitam apenas de um número seguido de uma unidade de medida para serem completamente caracterizadas. Exemplos: Temperatura, tempo e massa
- 5. ATENÇÃO • Deslocamento (ΔS)também é grandeza vetorial. Já distância percorrida é uma grandeza escalar. ΔS
- 6. Representação de umaGrandeza Vetorial • As grandezas vetoriais são representadas da seguinte forma: a letra que representa a grandeza e uma a “flechinha” sobre a letra. Da seguinte forma: V F d Ao se referir ao módulo (tamanho) a notação é: F Fou ATENÇÃO:
- 7. Comparação entre vetores •Vetores Iguais Reta suporte: r Reta suporte: s 𝑨 𝑩 • Mesmo módulo • Mesma direção • Mesmo sentido 𝑨 = 𝑩
- 8. Comparação entre vetores •Vetores opostos Reta suporte: r Reta suporte: s 𝑨 Reta suporte: t 𝑩 𝑪 • Sobre os vetores 𝐵 e 𝐶 podemos afirmar: Possuem o mesmo módulo, mesma direção, mas sentidos opostos. 𝑨 = 𝑩 = −𝑪 ATENÇÃO: O vetor 𝑪 é oposto aos vetores 𝑨 𝑒 𝑩.
- 9. Adição de vetores •A soma de dois vetores é um vetor: 𝑨 𝑩 𝑨 𝑺 𝑺 = 𝑨 + 𝑩 • Note que 𝑨 + 𝑩 = 𝑩 + 𝑨 (a soma é comutativa) 𝑨 𝑩 𝑺 𝑩 𝑺 = 𝑨 + 𝑩 𝑩 𝑨 𝑺 𝑺 = 𝑩 + 𝑨
- 10. 𝑨 𝑩 Adição devetores 𝑪 • Fazendo a adição dos três vetores: 𝑺 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 𝑨 𝑩 𝑪𝑺
- 11. Adição de vetores:Calculando o módulo do vetor soma 1°Caso: Adição de dois vetores com a mesma direção e sentidos. 𝑨 𝑩 𝑨 𝑩 𝑺 𝑺 = 𝑨 + 𝑩 • Para esse caso o módulo de 𝑺 será: S = A + B EXEMPLO: Seja A = 3u e B = 4u, determine o módulo do vetor 𝑺 S = A + B S = 3 + 4 S = 7u
- 12. 2°Caso: Adição dedois vetores com a mesma direção e sentidos opostos. 𝑨 𝑩 𝑨 𝑩 𝑺 𝑺 = 𝑨 + 𝑩 𝑩 𝑺 • Para esse caso o módulo de 𝑺 será: S = B - A EXEMPLO: Seja A = 3u e B = 4u, determine o módulo do vetor 𝑺 S = B - A S = 4 - 3 S = 1u
- 13. 3°Caso: Adição dedois vetores que formam entre eles um ângulo de 90°. 𝑨 𝑩 𝑨 𝑩 𝑺 𝑺 = 𝑨 + 𝑩 • Para esse caso o módulo de 𝑺 será: S² = A² + B² (Pitágoras) 𝐒 = 𝟐 𝐀 𝟐 + 𝐁² Seja A = 3u e B = 4u, determine o módulo do vetor 𝑺 𝐒 = 𝟐 𝐀 𝟐 + 𝐁² 𝐒 = 𝟐 𝟑 𝟐 + 𝟒² 𝐒 = 𝟐 𝟗 + 𝟏𝟔 𝐒 = 𝟐 𝟐𝟓 𝐒 = 𝟐 𝟐𝟓 𝐒 = 𝟓𝐮 OBSERVAÇÃO: Regra do paralelogramo 𝑨 𝑩 A origem dos vetores coincidem 𝑺 𝐒 = 𝟐 𝐀 𝟐 + 𝐁²
- 14. Caso geral: Adiçãode dois vetores que formam entre eles um ângulo qualquer (θ). 𝑨 𝑩 θ Usar a regra do paralelogramo! 𝑨 𝑩 θ 𝑺 • O módulo de 𝑺 será: 𝑺 𝟐 = 𝑨 𝟐 + 𝑩 𝟐 + 𝟐. 𝑨. 𝑩. 𝑪𝒐𝒔θ 𝑺 = 𝑨 + 𝑩
- 15. EXEMPLO: Seja osvetores 𝑨 e 𝑩 de módulos respectivos 6u e 8u e θ = 60°, determine o valor do módulo de 𝑺. 𝑨 𝑩 θ 𝑺 Dados: A = 6u B = 8u θ = 60° Cos60° = ½ = 0,5 𝑺 𝟐 = 𝑨 𝟐 + 𝑩 𝟐 + 𝟐. 𝑨. 𝑩. 𝑪𝒐𝒔θ 𝑺 𝟐 = 𝟔 𝟐 + 𝟖 𝟐 + 𝟐. 𝟔. 𝟖. 𝑪𝒐𝒔60° 𝑺 𝟐 = 𝟑𝟔 + 𝟔𝟒 + 𝟐. 𝟔. 𝟖. 𝟎, 𝟓 𝑺 𝟐 = 𝟑𝟔 + 𝟔𝟒 + 𝟒𝟖 𝑺 𝟐 = 𝟏𝟒𝟖 𝑺 = 𝟐 𝟏𝟒𝟖 𝑺 ≅ 𝟏𝟐, 𝟐𝒖
- 16. EXEMPLO: Seja osvetores 𝑨 e 𝑩 de módulos iguais a 10u, 𝑪 de módulo 8u, 𝑫 de módulo 6u e 𝑬 de módulo 4u , determine o valor do módulo de 𝑺 em todos os itens a seguir. A) 𝑨 𝑩 𝑪 𝑨 𝑩 𝑪 𝑺 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑪 𝑆 = 𝐴 + 𝐵 + 𝐶 𝑆 = 10 + 10 + 8 𝑆 = 28𝑢 B) 𝑨 𝑩 𝑫 𝑨 𝑩 𝑫 𝑺 = 𝑨 + 𝑩 + 𝑫 𝑆 = 𝐴 + 𝐵 − 𝐷 𝑆 = 10 + 10 − 6 𝑆 = 14𝑢
- 17. C) 𝑨 𝑩120° 𝑨𝑩120° 𝑺 = 𝑨 + 𝑩 ATENÇÃO: Cos120° = -0,5 𝑺 𝟐 = 𝑨 𝟐 + 𝑩 𝟐 + 𝟐. 𝑨. 𝑩. 𝑪𝒐𝒔θ 𝑺 𝟐 = 𝟏𝟎² + 𝟏𝟎² + 𝟐. 𝟏𝟎. 𝟏𝟎. 𝑪𝒐𝒔120° 𝑺 𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 + 𝟏𝟎𝟎 + 𝟐. 𝟏𝟎. 𝟏𝟎. (−𝟎, 𝟓) 𝑺 𝟐 = 𝟐𝟎𝟎 − 𝟏𝟎𝟎 𝑺 𝟐 = 𝟏𝟎𝟎 𝑺 = 𝟐 𝟏𝟎𝟎 𝑺 = 𝟏𝟎𝒖 𝑨 𝑩 𝑺 = 𝑨 + 𝑩
- 18. 𝑨 𝑬 𝑪 𝑫 D) 𝑨 𝑬 𝑪 𝑫 Lembrando: A =10u, D= 6u, C =8u e E =4u 𝑿 = 𝑨 + 𝑫 𝑋 = 𝐴 + 𝐷 𝑋 = 10 + 6 𝑋 = 16𝑢 𝑋 = 16𝑢 𝒀 = 𝑪 + 𝑬 𝑌 = 𝐶 + 𝐸 𝑌 = 8 + 4 𝑌 = 12𝑢 𝑺 = 𝑨 + 𝑫 + 𝑪 + 𝑬 𝑿 𝒀 𝑺 = 𝑿 + 𝒀 • Os novos vetores 𝑿 e 𝒀, que substituem os outros 4 vetores, formam entre eles um ângulo de 90°. Logo usaremos o teorema de Pitágoras para encontra o módulo de 𝑺. Do Teorema de Pitágoras, temos: 𝑺 𝟐 = 𝑿 𝟐 + 𝒀² 𝑺 𝟐 = 𝟏𝟔 𝟐 + 𝟏𝟐² 𝑺 𝟐 = 𝟐𝟓𝟔 + 𝟏𝟒𝟒 𝑺 𝟐 = 𝟒𝟎𝟎 𝑺 = 𝟐 𝟒𝟎𝟎 𝑺 = 𝟐𝟎𝒖
- 19. Decomposição vetorial • Quandosomamos dois vetores que não possuem a mesma direção, podemos lançar mão da regra do paralelogramo. Utilizando então essa mesma regra, podemos fazer o caminho inverso. 𝑺 𝑨 𝑩 • Dado um vetor, podemos imaginar infinitos pares de outros vetores que o originam pela soma. Esses pares de vetores são chamados de componentes do vetor 𝑺. • 𝑺 = 𝑨 + 𝑩 𝑪 𝑫 • 𝑺 = 𝑪 + 𝑫 𝑬 𝑭 • 𝑺 = 𝑬 + 𝑭 • Poderíamos encontrar mais pares de vetores cuja soma seja 𝑺, mas como dito esses pares são infinitos. ATENÇÃO: • É comum usar as direções horizontal (eixo x) e vertical (eixo y) como preferenciais para fazer a decomposição vetorial.
- 20. Decomposição vetorial PLANO CARTESIANO: X Y 𝑽 𝜃𝑉𝑋 𝑉𝑌 𝑽 = 𝑽 𝑿 + 𝑽 𝒀 • Dizemos que 𝑉𝑋 e 𝑉𝑌 são as componentes cartesianas de 𝑽 𝑽 𝜃 𝑉𝑋 𝑉𝑌 𝑉𝑋 = 𝐶𝑎𝑡. 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑉𝑌 = 𝐶𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝜃 Pitágoras: 𝑉2 = 𝑉𝑋 2 + 𝑉𝑌 2 𝑉 = 2 𝑉𝑋 2 + 𝑉𝑌 2 Relações trigonométricas: 𝑉𝑋 = 𝐶𝑎𝑡. 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑉𝑌 = 𝐶𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝜃 𝑉𝑋 = 𝐶𝑎𝑡. 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑉𝑌 = 𝐶𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝜃 𝑉𝑋 = 𝐶𝑎𝑡. 𝐴𝑑𝑗𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑉𝑌 = 𝐶𝑎𝑡. 𝑜𝑝𝑜𝑠𝑡𝑜 𝜃 S𝒆𝒏𝜽 = 𝒄𝒂𝒕.𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 S𝒆𝒏𝜽 = 𝑽 𝒀 𝑽 S𝒆𝒏𝜽. 𝑽 = 𝑽 𝒀 𝑽 𝒀 = 𝑽. 𝑺𝒆𝒏𝜽 Cos𝜽 = 𝒄𝒂𝒕.𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂 Cos𝜽 = 𝑽 𝑿 𝑽 Cos𝜽. 𝑽 = 𝑽 𝑿 𝑽 𝑿 = 𝑽. 𝑪𝒐𝒔𝜽
- 21. EXEMPLO: Seja omódulo de 𝑽 igual a 10u, cosθ = 0,6 e senθ =0,8, determine os módulos das componentes cartesianas do vetor 𝑽. Dados: V = 10u Cosθ = 0,6 Senθ = 0,8 𝑽 𝒀 = 𝑽. 𝑺𝒆𝒏𝜽 𝑽 𝒀 = 𝟏𝟎. 𝟎, 𝟖 𝑽 𝒀 = 𝟖𝒖 𝑽 𝑿 = 𝑽. 𝑪𝒐𝒔𝜽 𝑽 𝑿 = 𝟏𝟎. 𝟎, 𝟔 𝑽 𝒀 = 𝟔𝒖
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