1. VETORES – PROF. MENDONÇA
RESUMO TEÓRICO
Vetores
Determinado por um segmento orientado
AB, é o conjunto de todos os segmentos
orientados equipolentes a AB.
Se indicarmos com este conjunto,
simbolicamente poderemos escrever:
onde XY é um segmento qualquer do
conjunto.
O vetor determinado por AB é indicado
por ou B - A ou .
Um mesmo vetor é determinado por
uma infinidade de segmentos orientados,
chamados representantes desse vetor, os
quais são todos equipolentes entre si.
Assim, um segmento determina um
conjunto que é o vetor, e qualquer um
destes representantes determina o mesmo
vetor. Usando um pouco mais nossa
capacidade de abstração, se considerarmos
todos os infinitos segmentos orientados de
origem comum, estaremos caracterizando,
através de representantes, a totalidade dos
vetores do espaço. Ora, cada um destes
segmentos é um representante de um só
vetor. Consequentemente, todos os vetores
se acham representados naquele conjunto
que imaginamos.
As características de um vetor são as
mesmas de qualquer um de seus
representantes, isto é: o módulo, a direção
e o sentido do vetor são o módulo, a
direção e o sentido de qualquer um de seus
representantes.
O módulo de se indica por | | .
Soma de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a soma de
v e w, por:
v + w = (a+c,b+d)
Propriedades da Soma de vetores
Diferença de vetores
Se v=(a,b) e w=(c,d), definimos a
diferença entre v e w, por:
v - w = (a-c,b-d)
Produto de um número escalar por um vetor
Se v=(a,b) é um vetor e c é um número
real, definimos a multiplicação de c por v
como:
c.v = (ca,cb)
Propriedades do produto de escalar por vetor
Quaisquer que sejam k e c escalares, v e w
vetores:
Módulo de um vetor
O módulo ou comprimento do vetor
v=(a,b) é um número real não negativo,
definido por:
Vetor unitário

2. Vetor unitário é o que tem o módulo igual a
1.
Existem dois vetores unitários que formam
a base canônica para o espaço R², que
são dados por:
i = (1,0) j = (0,1)
Para construir um vetor unitário u que
tenha a mesma direção e sentido que um
outro vetor v, basta dividir o vetor v pelo
seu módulo, isto é:
Observação:
Para construir um vetor u paralelo a um
vetor v, basta tomar u=cv, onde c é um
escalar não nulo. Nesse caso, u e v serão
paralelos:
Se c = 0, então u será o vetor nulo.
Se 0 < c < 1, então u terá comprimento
menor do que v.
Se c > 1, então u terá comprimento maior
do que v.
Se c < 0, então u terá sentido oposto ao de
v.
Decomposição de vetores em Vetores
Unitários
Para fazer cálculos de vetores em apenas
um dos planos em que ele se apresenta,
pode-se decompor este vetor em vetores
unitários em cada um dos planos
apresentados.
Sendo simbolizados, por convenção, î como
vetor unitário do plano x e como vetor
unitário do plano y. Caso o problema a ser
resolvido seja dado em três dimensões, o
vetor utilizado para o plano z é o vetor
unitário .
Então, a projeção do vetor no eixo x do
plano cartesiano será dado por , e sua
projeção no eixo ydo plano será: . Este
vetor pode ser escrito como:
=( , ), respeitando que sempre o
primeiro componente entre parênteses é a
projeção em x e o segundo é a projeção no
eixo y. Caso apareça um terceiro
componente, será o componente do eixo z.
No caso onde o vetor não se encontra na
origem, é possível redesenhá-lo, para que
esteja na origem, ou então descontar a
parte do plano onde o vetor não é
projetado.
Fonte:
http://www.sofisica.com.br/conteudos/Mec
anica/Cinematica/Vetores.php

3. EXERCÍCOS
Questão 01 - (UDESC/2012)
Observando o movimento de um carrossel no
parque de diversões, conclui-se que seu
movimento é do tipo circular uniforme.
Assinale a alternativa correta em relação ao
movimento.
a) Não é acelerado porque o módulo da
velocidade permanece constante.
b) É acelerado porque o vetor velocidade muda
de direção, embora mantenha o mesmo
módulo.
c) É acelerado porque o módulo da velocidade
varia.
d) Não é acelerado porque a trajetória não é
retilínea.
e) Não é acelerado porque a direção da
velocidade não varia.
Questão 02 - (MACK SP/2012)
Um avião, após deslocar-se 120 km para nordeste
(NE), desloca-se 160 km para sudeste (SE). Sendo
um quarto de hora, o tempo total dessa viagem, o
módulo da velocidade vetorial média do avião,
nesse tempo, foi de
a) 320 km/h
b) 480 km/h
c) 540 km/h
d) 640 km/h
e) 800 km/h
Questão 03 - (FMTM MG/2006)
A figura apresenta uma “árvore vetorial” cuja
resultante da soma de todos os vetores
representados tem módulo, em cm, igual a
a) 8.
b) 26.
c) 34.
d) 40.
e) 52.
Questão 04 - (UNIFICADO RJ)
Considere um helicóptero movimentando-se no ar
em três situações diferentes:
I. Subindo verticalmente com velocidade
constante;
II. Descendo verticalmente com velocidade
constante;
III. Deslocando-se horizontalmente para a direita,
com velocidade constante.
A resultante das forças exercidas pelo ar sobre o
helicóptero, em cada uma dessas situações, é
corretamente representada por:
a.
b.
c.
d.
e.
 

 


I II III
Questão 05 - (MACK SP/2007)
O movimento de uma partícula é caracterizado por
ter vetor velocidade e vetor aceleração não nulo de
mesma direção. Nessas condições, podemos
afirmar que esse movimento é
a) uniforme.
b) uniformemente variado.
c) harmônico simples.
d) circular uniforme.
e) retilíneo.
Questão 06 - (PUC MG)
Marque a alternativa INCORRETA.
a) Quando o módulo da velocidade é constante, a
aceleração pode não ser nula.
b) Quando a aceleração é nula, o módulo da
velocidade é constante.
c) A componente de um vetor é um vetor.
d) Quando um vetor é nulo, ele pode ter
componentes não nulas.
Questão 07 - (UNIUBE MG)
Em uma pista de Fórmula Indy, um piloto faz o
trajeto CD e FA com movimentos retardado, os
trajetos AB e DE com movimento acelerado e os
trechos BC e EF com movimento uniforme. A
alternativa que mostra o vetor aceleração
resultante corretamente, supondo que o
movimento se realize na ordem alfabética, é:
F E
B C
A D
a.
F E
B C
A D
b.
F E
B C
A D
c.

4. F E
B C
A D
d.
A
F E
B C
D
e.
Questão 08 - (PUC MG)
Você e um amigo resolvem ir ao último andar de
um edifício. Vocês partem juntos do primeiro
andar. Entretanto, você vai pelas escadas e seu
amigo, pelo elevador. Depois de se encontrarem na
porta do elevador, descem juntos pelo elevador até
o primeiro andar. É CORRETO afirmar que:
a) o seu deslocamento foi maior que o de seu
amigo.
b) o deslocamento foi igual para você e seu
amigo.
c) o deslocamento de seu amigo foi maior que o
seu.
d) a distância que seu amigo percorreu foi maior
que a sua.
Questão 09 - (UFSC)
Assinale a(s) afirmativa correta, some os valores
respectivos e marque o resultado no cartão-
resposta.
A representação correta da velocidade tangencial
“ v

”, da quantidade de movimento “ q

”, da
aceleração centrípeta “ a

” e da força normal “ F

”,
atuantes sobre um ponto material de massa m que
descreve um movimento circular uniforme
(MCU), está(ão) corretamente representada(s)
no(s) esquema(s)
01.
F
a
0
q
v
02.
F
a
0
q
v
04.
F
a
0
q v
08.
Fa
0
q
v
16.
F
a
0
q
v
32.
F
a
0
q
v
64. Fa
0
q
v
Questão 10 - (CESGRANRIO RJ)
A figura a seguir mostra a fotografia
estroboscópica do movimento de uma partícula.
V
P
IV III
II
I
A aceleração da partícula, no ponto P da
trajetória, é melhor representada pelo vetor:
a) I;
b) II;
c) III;
d) IV;
e) V.
Questão 11 - (UEL PR/2008)
Um ciclista percorre as rotas 1 e 2 para se deslocar
do ponto A ao ponto B, como mostrado no mapa a
seguir, e registra em cada uma a distância
percorrida.
Assinale a alternativa que apresenta os valores
aproximados da distância percorrida na rota 1 e na
rota 2.
Considere como aproximação todos os quarteirões
quadrados com 100 m de lado. As rotas 1 e 2
encontram-se pontilhadas.
a) rota 1  800 m;
rota 2  800 m.
b) rota 1  700 m;
rota 2  700 m.
c) rota 1  800 m;
rota 2  900 m.
d) rota 1  900 m;
rota 2  700 m.
e) rota 1  900 m;
rota 2  600 m
Questão 12 - (UEL PR/2013)
Uma família viaja para Belém (PA) em seu
automóvel. Em um dado instante, o GPS do
veículo indica que ele se localiza nas seguintes

5. coordenadas: latitude 21°20’ Sul e longitude
48°30’ Oeste. O motorista solicita a um dos
passageiros que acesse a Internet em seu celular e
obtenha o raio médio da Terra, que é de 6730 km,
e as coordenadas geográficas de Belém, que são
latitude 1°20’ Sul e longitude 48°30’ Oeste. A
partir desses dados, supondo que a superfície da
Terra é esférica, o motorista calcula a distância D,
do veículo a Belém, sobre o meridiano
48°30’Oeste.
Assinale a alternativa que apresenta,
corretamente, o valor da distância D, emkm.
a) 6730
9
D


b) 2
)6730(
18
D


c) 6730
9
D


d) 6730
36
D


e) 6730
3
D
2





 

Questão 13 - (PUCCAMP SP/2011)
Analise o esquema abaixo.
O vetor resultante ou soma vetorial das três
medidas acima representadas tem módulo
a) 11
b) 13
c) 15
d) 17
e) 19
Questão 14 - (UNESP/2012)
No dia 11 de março de 2011, o Japão foi sacudido
por terremoto com intensidade de 8,9 na Escala
Richter, com o epicentro no Oceano Pacífico, a
360 km de Tóquio, seguido de tsunami. A cidade
de Sendai, a 320 km a nordeste de Tóquio, foi
atingida pela primeira onda do tsunami após 13
minutos.
(O Estado de S.Paulo, 13.03.2011. Adaptado.)
Baseando-se nos dados fornecidos e sabendo que
cos   0,934, onde  é o ângulo Epicentro-
Tóquio-Sendai, e que 28
 32
 93,4  215 100, a
velocidade média, em km/h, com que a 1.ª onda
do tsunami atingiu até a cidade de Sendai foi de:
a) 10.
b) 50.
c) 100.
d) 250.
e) 600.
Questão 15 - (UFSCar SP)
Nos esquemas estão representadas a velocidade V
e a aceleração a do ponto material P. Assinale a
alternativa em que o módulo da velocidade desse
ponto material permanece constante.
a.
P v
a

 b.
P
a
v

c.
P
a
v

.
d.
P
a v
. e.
P v
a


Questão 16 - (UNIFESP SP/2002)
Na figura, são dados os vetores a , b e c
Sendo u a unidade de medida do módulo desses
vetores, pode-se afirmar que o
vetor cbad  :tem módulo
a) 2u, e sua orientação é vertical, para cima.
b) 2u, e sua orientação é vertical, para baixo.
c) 4u, e sua orientação é horizontal, para a
direita.

6. d) 2 u, e sua orientação forma 45º com a
horizontal, no sentido horário.
e) 2 u, e sua orientação forma 45º com a
horizontal, no sentido anti-horário.
Questão 17 - (UNIFOR CE)
Numa sala cúbica, de aresta a, uma mosca voa
numa diagonal (segmento que une dois vértices,
passando pelo centro a sala). O deslocamento da
mosca tem módulo
a) a
b) 2a
c) 3a
d) a
4
9
e) 3a
Questão 18 - (FUVEST SP/2002)
Em uma estrada, dois carros, A e B, entram
simultaneamente em curvas paralelas, com raios
RA e RB. Os velocímetros de ambos os carros
indicam, ao longo de todo o trecho curvo, valores
constantes VA e VB. Se os carros saem das curvas
ao mesmo tempo, a relação entreVA e VB é:
a) VA = VB
b) VA/VB = RA/ RB
c) VA/VB = (RA/ RB )2
d) VA/VB = RB/ RA
e) VA/VB = (RB/ RA)2
Questão 19 - (UFOP MG)
A velocidade do centro de massa de um disco que
rola sem deslizar, em um plano horizontal é v. As
velocidades dos pontos A e B, mostrados na
figura são, respectivamente.
O
V
A
B
X
Y 
a) – v e v
b) 0 e v
c) 0 e 2v
d) v e v
e) v e 2v
Questão 20 - (MACK SP)
Um corpo é atirado verticalmente para cima a
partir do solo com velocidade inicial de módulo
50 m/s. O módulo de sua velocidade vetorial
média entre o instante de lançamento e o instante
em que retorna ao solo é:
a) 50 m/s;
b) 25 m/s;
c) 5,0 m/s;
d) 2,5 m/s;
e) zero.
Questão 21 - (FGV/2013)
Um avião decola de um aeroporto e voa 100 km
durante 18 min no sentido leste; a seguir, seu
piloto aponta para o norte e voa mais 400 km
durante 1 h; por fim, aponta para o oeste e voa os
últimos 50 km, sempre em linha reta, em 12 min,
até pousar no aeroporto de destino. O módulo de
sua velocidade vetorial média nesse percurso todo
terá sido, em km∕h, de aproximadamente
a) 200.
b) 230.
c) 270.
d) 300.
e) 400.
Questão 22 - (MACK SP/2013)
Duas partículas P e Q deslocam-se com
velocidades escalares constantes nas trajetórias
retilíneas AB e CD, perpendiculares entre si. A
partícula P, na trajetória AB, tem velocidade de 1
080 km/h, e a Q, na trajetória CD, tem velocidade
1 440 km/h. Após 1,010–4
s do instante em que
essas partículas se cruzarem em O, a distância
entre elas é de
a) 3,0 cm
b) 4,0 cm
c) 4,5 cm
d) 5,0 cm
e) 5,5 cm
Questão 23 - (CESJF M)

7. Um garoto está nadando contra a correnteza de
um rio, de tal modo que permanece sempre no
mesmo lugar.
Marque a afirmativa correta
a) Em relação ao rio , o garoto não realiza
trabalho
b) Em relação ao rio , o garoto realiza trabalho
c) Em relação à margem o garoto realiza trabalho
d) Tanto em relação ao rio como em relação à
margem , o garoto não realiza trabalho.
e) Por falta de dados , não da para analisar a
questão
Questão 24 - (CESJF MG)
Sendo o vetor x

perpendicular ao vetor y

, a soma
vetorial ( x

+ y

) e a diferença ( x

- y

) serão sempre
vetores :
a) iguais
b) de módulos iguais
c) de sentidos opostos
d) perpendiculares
e) de direções iguais
Questão 25 - (ITA SP/2007)
A figura mostra uma pista de corrida A B C D E F,
com seus trechos retilíneos e circulares percorridos
por um atleta desde o ponto A, de onde parte do
repouso, até a chegada em F, onde pára. Os trechos
BC, CD e DE são percorridos com a mesma
velocidade de módulo constante.
Considere as seguintes afirmações:
I. O movimento do atleta é acelerado nos trechos
AB, BC, DE e EF.
II. O sentido da aceleração vetorial média do
movimento do atleta é o mesmo nos trechos
AB e EF.
III. O sentido da aceleração vetorial média do
movimento do atleta é para sudeste no trecho
BC, e, para sudoeste, no DE.
Então, está(ão) correta(s)
a) apenas a I.
b) apenas a I e II.
c) apenas a I e III.
d) apenas a II e III.
e) todas.
Questão 26 - (UFAL)
Um caminhão de entrega de gás percorre as ruas
de um bairro, de A até B, como mostra a figura,
em 30 minutos.
Sabendo que a distância entre duas ruas paralelas
consecutivas é de 100 m, o módulo da velocidade
vetorial média em km/h, nesse percurso, é de
a) 2,2
b) 2,0
c) 1,5
d) 1,0
e) 0,50
Questão 27 - (UNESP/2007)
Um corpo de 1,0 kg em repouso é submetido à
ação de 3 forças coplanares, como ilustrado na
figura. Esse corpo passa a se locomover em
movimento retilíneo acelerado no plano.
Pode-se afirmar que o módulo da aceleração do
corpo, em m/s2
, a direção e o sentido do
movimento são, respectivamente,
a) 1, paralela ao eixo y e para cima.
b) 2, paralela ao eixo y e para baixo.
c) 2,5, formando 45º com x e para cima.
d) 4, formando 60º com x e para cima.
e) 4, paralela ao eixo y e para cima.
Questão 28 - (PUC RS)
As informações a seguir referem-se a um
movimento retilíneo realizado por um objeto
qualquer.
I. a velocidade vetorial pode mudar de sentido.

8. II. a velocidade vetorial tem sempre módulo
constante.
III. a velocidade vetorial tem direção constante.
A alternativa que representa corretamente o
movimento retilíneo é:
a) I, II e III
b) somente III
c) somente II
d) II e III
e) somente I e III
Questão 29 - (UFS SE)
Dois automóveis A e B descrevem
circunferências concêntricas com movimentos
uniformes.
O automóvel A está numa pista de raio 20m e o
automóvel B numa pista de raio 30m.
Sabendo-se que A e B têm acelerações centrípetas
com intensidades iguais, a razão entre as
intensidades de suas velocidades (VA/VB) é igual
a:
a) 2/3
b) 3/2
c) 4/5
d) 2
3
e) 3
2
Questão 30 - (ESCS DF/2008)
Um projétil é lançado obliquamente do solo.
Supondo desprezível a resistência do ar, o gráfico
que representa melhor como o módulo do vetor
velocidade do projétil varia em função do tempo
durante o vôo é:
GABARITO:
1) Gab: B
2) Gab: E
3) Gab: C
4) Gab: A
5) Gab: E
6) Gab: D
7) Gab: B
8) Gab: B
9) Gab: 04
10) Gab: B
11) Gab: D
12) Gab: A
13) Gab: B
14) Gab: E
15) Gab: C
16) Gab: B
17) Gab: C
18) Gab: B
19) Gab: C
20) Gab: E
21) Gab: C
22) Gab: D
23) Gab: B
24) Gab: B
25) Gab: E
26) Gab: D
27) Gab: E
28) Gab: E
29) Gab: E
30) Gab: A