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- 1. Primeira Aula de Geometria Analítica Prof. Leonardo de Amorim e Silva
- 2. Informações da Disciplina Horários e Local das Aulas Sextas-Feiras das 19:00 às 20:40 parte síncrona. Ementa Vetores no plano e no espaço. Retas e planos. Cônicas. Superfícies Quádricas. Bibliograa Básica - WINTERLE, Paulo. Vetores e geometria analítica. São Paulo: Makron Books, 2009. - CAMARGO, Ivan; BOULOS, Paulo. Geometria Analítica. 3 a Edição. São Paulo: Prentice-Hall, 2005. - REIS, Genésio Lima dos; SILVA, Valdir Vilmas da. Geometria Analítica. 2 a Edição. Rio de Janeiro: LTC, 1996. - DELGADO, J.; FRENSEL, K.; CRISSAF, Lhaylla. Geometria Analítica. Coleção PROFMAT. SBM, 2013.
- 3. Avaliações As avaliações nesta disciplina se darão por meio de 2 provas (peso 5) e na entrega das atividades propostas (peso 5). Em cada semana será proposta uma lista de exercícios que deverá ser enviada até a data proposta.
- 4. Introdução A Geometria Analítica foi inicialmente elaborada por René Descartes (1596-1650) e Pierre de Fermat (1601-1665). A Geometria Analítica trata, desde a sua origem, das relações entre as equações algébricas e os objetos geométricos (por exemplo, a equação y = x2 está associada a uma parábola), buscando a simplicação técnica dos problemas geométricos e a interpretação geométrica dos resultados obtidos nos cálculos algébricos.
- 5. As técnicas da Geometria Analítica desempenham um papel fundamental ainda hoje, por exemplo, no desenvolvimento da Computação Gráca. As telas dos nossos computadores são modelos da estrutura do plano cartesiano com um número nito de pontos, que é sempre mencionado quando escolhemos a conguração da tela. Aumentando o número de pontos, melhoramos a qualidade da imagem do monitor ou da impressão dessa imagem. Nas muitas utilizações de recursos de imagens, como na tomograa ou na localização por satélite, essa organização é fundamental para uma interpretação precisa dos resultados obtidos.
- 6. Existem grandezas, chamadas escalares, que são caracterizadas por um número (e a unidade correspondente): 50 m2 de área, 4 m de comprimento, 7 kg de massa. Outras, no entanto, para serem completamente identicadas requerem mais que isso. Por exemplo, para caracterizarmos uma força ou uma velocidade, precisamos dar a direção, a intensidade (ou módulo) e o sentido. Estas grandezas são chamadas vetores. Geometricamente, vetores são representados por segmentos (de retas) orientados (segmentos de retas com um sentido de percurso) no plano ou no espaço.
- 7. A ponta da seta do segmento orientado é chamada ponto nal ou extremidade e o outro ponto extremo é chamado de ponto inicial ou origem do segmento orientado. Um segmento orientado pode ser presentado por uma par ordenado (A, B), onde A representa a origem e B representa a extremidade do seguimento orientado. Assim, se um vetor ~ v é representado pelo segmento orientado (A, B), então denotamos ~ v = − → AB.
- 8. Dois ou mais segmentos orientados de mesmo comprimento, mesma direção e mesmo sentido são representantes de um mesmo vetor. Por exemplo, na gura abaixo, todos os segmentos orientados de mesma direção, mesmo sentido e mesmo comprimento de − → AB, representam o mesmo vetor − → AB. Esta é a razão de o vetor também ser chamado vetor livre, no sentido de que o representante pode ter sua origem colocada em qualquer ponto do plano ou do espaço.
- 9. Denição 1- Denimos a norma, ou módulo de um vetor ~ v como sendo o comprimento de qualquer um de seus representantes. A norma do vetor ~ v é denotada por ||~ v|| ou |~ v|. Um vetor ~ v é unitário quando sua norma é igual a 1, ou seja, ||~ v|| = 1. 2- Denimos o vetor nulo como sendo o vetor que tem como representante qualquer ponto do plano ou do espaço. Neste caso, o denotamos por ~ 0 ou − → AA (a origem coincide com a extremidade). 3- Dado um vetor ~ v = − → AB, denimos o vetor oposto de ~ v como sendo o vetor −~ v = − → BA, que possui origem em B e extremidade em A. Neste caso, − → BA = − − → AB.
- 10. Denição 4- Dizemos que dois vetores ~ u e ~ v são iguais, e o denotamos por ~ u = ~ v, se ambos possuem o mesmo módulo, mesma direção e o mesmo sentido. 5- Dizemos que dois vetores ~ u e ~ v são paralelos, e o denotamos por ~ u//~ v, se os seus representantes tiverem a mesma direção.
- 11. Denição 6- Dizemos que dois vetores ~ u e ~ v são ortogonais, e o denotamos por ~ u⊥~ v, se algum representante de ~ u formar ângulo reto com algum representante de ~ v. Observação Pelo fato do vetor nulo não possuir direção e sentido denidos, considera-se esse vetor tanto paralelo quanto ortogonal a qualquer vetor.
- 12. Denição 7- Dizemos que dois ou mais vetores são coplanares se existir um plano onde estes vetores estão representados. Observações Dois vetores ~ u e ~ v quaisquer são sempre coplanares, pois podemos sempre tomar um ponto no espaço e, com origem nele, os dois representantes de ~ u e ~ v pertencendo a um plano π que passa por este ponto.
- 13. Observações Três vetores podem ou não ser coplanares.
- 14. Exemplo 1− A gura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho). Verique se é verdadeira ou falsa e justique cada uma das seguintes armações: a) − − → AM = − → PH g) − → AB ⊥ − → EG b) − → BC = − → OP h) − − → AM ⊥ − → BL c) − → BL = − − − → MC i) || − → AC|| = || − → FP|| d) − → KN = − → FI j) || − → IF|| = || − − → MF|| e) − → AC// − → HI k) || − → AJ|| = || − → AC|| f ) − → AJ// − → FG l) || − → AO|| = 2|| − → NP||
- 15. Exemplo 2− A gura abaixo representa um paralelepípedo retangular. Verique se é verdadeira ou falsa e justique cada uma das seguintes armações:
- 16. Operações com Vetores Soma de Vetores Denição Dados dois vetores ~ u e ~ v, sejam (A, B) um representante qualquer de ~ u e (B, C) um representante qualquer de ~ v. Denimos o vetor soma de ~ u e ~ v, denotado por ~ u + ~ v, como sendo o vetor que tem (A, C) como representante, isto é, ~ u + ~ v = − → AC, ou ainda − → AB + − → BC = − → AC.
- 17. Pela denição, para determinar o vetor soma ~ u + ~ v no caso em que ~ u e ~ v não são paralelos basta fechar o triângulo, com o cuidado de escolher a origem do representante de ~ v coincidindo com a extremidade do representante de ~ u. Pode-se também adotar a regra do paralelogramo, que consiste em escolher representantes de ~ u e ~ v com a mesma origem A e construir o paralelogramo ABCD. O segmento orientado AC é um representante de ~ u + ~ v, já que − → BC = ~ v e a diagonal fecham o triângulo ABC.
- 18. Para o caso em que ~ u e ~ v são paralelos, a maneira de se obter o vetor ~ u + ~ v é a mesma. ~ u e ~ v de mesmo sentido ~ u e ~ v de sentidos contrários
- 19. Propriedades da Soma de Vetores Sejam ~ u, ~ v e ~ w vetores quaisquer. A soma de vetores satisfaz as seguintes propriedades: (a) Associativa: ~ u + (~ v + ~ w) = (~ u + ~ v) + ~ w (b) Comutativa: ~ u + ~ v = ~ v + ~ u
- 20. (c) Elemento Neutro: Existe um único vetor ~ 0 que somado a ~ u dá como resultado o próprio ~ u, isto é, ~ u +~ 0 = ~ u. (d) Elemento Oposto: Para cada ~ u, existe um único vetor −~ u que somado a ~ u dá como resultado o vetor nulo, isto é, ~ u + (−~ u) = ~ 0. Denição Dados os vetores ~ u e ~ v, a soma de ~ u com o oposto de ~ v é chamada diferença entre ~ u e ~ v, e é indicada por ~ u − ~ v. Assim, ~ u − ~ v = ~ u + (−~ v)
- 21. Observemos que no paralelogramo determinado pelos vetores ~ u e ~ v, verica-se que a soma ~ u + ~ v é representada por uma das diagonais e a diferença ~ u − ~ v é representada pela outra diagonal.
- 22. Exercício: Com base na gura abaixo, determine os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A:
- 23. Exercício: Com base na gura abaixo, determine os vetores abaixo, expressando-os com origem no ponto A: