O documento discute o conceito de derivada, sua introdução na física e aplicações em economia. Apresenta a definição formal de derivada e explica como calculá-la para uma função simples usando a definição.

1. 2016 D E R I V A D A S - Prof Julio Cezar
D E R I V A D A S
e suas aplicações.

2. 2016- D E R I V A D A S - Prof Julio Cezar
D E R I V A D A S .
O conceito de Derivada foi introduzido em meados dos séculos XVII e XVIII em estudos de
problemas de Física, ligados ao estudo dos movimentos. Entre outros, destacam-se o físico e
matemático inglês Isaac Newton (1642-1727) e o filósofo e matemático alemão Gottfried Leibniz (1616-
1716) .
As ideias, preliminarmente introduzidas na Física foram, aos poucos, sendo incorporadas a
outras áreas de conhecimento. Em Economia e Administração o conceito de Derivada é utilizado
principalmente no estudo de gráficos de funções, determinação de máximos e mínimos e cálculo de
taxas de variações de funções, particularmente na área econômica (Lucros, Custos, Preços, Receita, etc)
Sabemos que uma função f ( x ) = y , definida por uma regra, determina o valor da grandeza y ,
quando a variável x assume um possível valor real.
Para conhecermos os conceitos de Derivadas, vamos analisar a seguinte situação aplicativa:
Considere a função R = 200 + 40.x - 4 x² , que calcula o total da receita mensal de uma empresa,
em milhares de reais, em função de x, nº de meses a partir de
01/12/2015 ( x = 0) , até 01/06/2016.(x = 6) . Nessas condições, vamos calcular:
I. a taxa de variação média da Receita dessa empresa estimada para todo o período de análise do
evento (de 01/12/2015 a 01/06/2015). (6 meses de análise)
II. a taxa de variação média da Receita dessa empresa estimada para o período de análise do evento
(de 01/12/2015 a 01/02/2016). (2 meses de análise)
III. a taxa de variação média da Receita dessa empresa estimada para o período de análise do
evento (de 01/12/2015 a 01/01/2016). (1 mês de análise)
IV. a taxa de variação (marginal) da Receita dessa empresa estimada para o período de análise do
evento (de 01/12/2015 a 02/12/2015). (1 dia de análise)
A partir da regra da função f (x), podemos obter outra regra (Função Derivada) que permite
calcular a taxa de variação “marginal” da função, estimada a partir de qualquer ponto
(momento) desejado no evento. Assim, no caso acima apresentado, podemos obter a Derivada a
função Receita, que representamos por R ‘(x), que permite calcular a taxa de variação marginal
da receita a partir de 01/12/2015, correspondendo à taxa de variação de 01/12 a 02/12/2015.
Com esse valor estimado para um dia, (taxa de variação marginal) pode-se estimar a taxa
mensal que seria obtido, se as circunstâncias se mantivessem constantes até o final do mês.
Assim, será muito importante, matematicamente, obter uma nova regra de cálculo, (FUNÇÃO
DERIVADA) , a partir da função principal, pois permitirá determinar a TAXA DE VARIAÇÃO MARGINAL
ou INSTANTANEA da grandeza, quando houver uma variação mínima possível da variável ∆ x → 0
A obtenção dessa DERIVADA será efetuada mediante algumas técnicas apresentadas na
sequência.
Contudo, concluímos inicialmente que podemos utilizar os conceitos de DERIVADA , para
determinar a TAXA DE VARIAÇÃO de uma função a partir de um determinado referencial, bem como o
valores mínimos e máximos possíveis do valor da grandeza principal.
A técnica de cálculo que permite obter essa nova função ”DERIVADA “ é chamada de DERIVAÇÃO ou
Diferenciação, apresentado no estudo do Cálculo Diferencial e Integral brevemente.

3. OBTENÇÃO DA DERIVADA ATRAVÉS DA DEFINIÇÃO MATEMÁTICA.
Derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0
Considere a figura abaixo, que representa o gráfico de uma função y = f(x), definida num intervalo de
números reais.
Observando a figura, podemos definir o seguinte quociente, denominado razão incremental da função
y = f(x), quando x varia de x para x + ∆ x :
∆ y = f (x + ∆ x) – f ( x) = f (x + ∆ x) – f ( x)
αβDefine-se a derivada da função y = f(x) no ponto x , como sendo o limite da razão incremental
acima, quando ∆ x tende a zero, e é representada por f ' (x) , ou seja:
lim f (x + ∆ x) – f ( x) = f ‘ (x)
∆ x → 0 ∆ x
A derivada de uma função y = f(x), pode ser representada também pelos símbolos y ' ou dy/dx.
Observe que, quando ∆ x → 0 , o ponto Q no gráfico acima, tende a coincidir com o ponto P da
mesma figura, definindo a reta r , que forma um ângulo b com o eixo horizontal (eixo das
abcissas), e, neste caso, o ângulo SPQ = α tende ao valor do ângulo β .
Ora, quando ∆ x → 0 , já vimos que o quociente ∆y/∆ x representa a derivada da função y =
f(x) no ponto x0. Mas, o quociente ∆ y/∆ x representa , como sabemos da Trigonometria, a
tangente do ângulo SPQ = α , onde P é o vértice do ângulo. Quando ∆ x → 0 , o ângulo SPQ = α ,
tende ao ângulo β .
Assim, não é difícil concluir que a derivada da função y = f(x) no ponto x = x0 , é igual
numericamente à tangente do ângulo b . Esta conclusão será muito utilizada no futuro.
Podemos escrever então: f '(x) = tg α
Conclusão Importante:
A derivada de uma função y = f(x) num ponto x = x0 , coincide numericamente com o valor da
tangente trigonométrica do ângulo formado pela tangente geométrica à curva representativa de
y = f(x), no ponto x = x0.

4. Para obtermos uma expressão matemática que calcule a taxa de variação de uma função f num
determinado ponto de análise variável x, devemos fazer com que a variação da grandeza x (∆ x ) seja “ tão
pequena “ quanto possível
(∆x tender a 0 ) ; (∆ x → 0) . Assim, a variação de y, (∆ y) também ocorrerá, gerando uma variação da
grandeza y praticamente no ponto de análise x.
Sendo f ( x ) = y uma função . A Derivada de f, indicada por f ‘ ( x ) ou y ‘ é determinada por:
DEFINIÇÃO DE DERIVADA
Seja o ponto de uma função ( x ; f ( x ) )
Seja (∆ x) o acréscimo de x
Então, outro ponto da função é ( x + ∆ x ; f (x + ∆ x ) ). Assim, por definição,
f’ ( x ) = dy = lim ∆ y = lim f (x+ ∆ x) - f ( x )
dx ∆ x → 0 ∆ x ∆ x → 0 ∆ x
Existem fórmulas para o cálculo das derivadas das funções - as quais serão mostradas no decorrer
deste curso - mas, por enquanto, vamos calcular a derivada de uma função simples, usando a
definição. Isto servirá como um ótimo exercício introdutório, que auxiliará no entendimento pleno da
definição acima.
Calcule a derivada da função y = x2
, no ponto x = 10.
Temos neste caso:
y = f(x) = x2
f(x + ∆ x) = (x + ∆ x)2
= x2
+ 2x. ∆ x + (∆ x)2
f(x + ∆ x) - f(x) = x2
+ 2x. ∆ x + (∆ x)2
- x2
= 2x. ∆ x + (∆ x)2
Ay = f(x + ∆ x) - f(x) = x2
+ 2x. ∆ x + (∆A x)2
- x2
= 2x. ∆ x + (∆ x)2
Portanto,
Observe que colocamos na expressão acima, D x em evidencia e, simplificamos o resultado obtido.
Portanto a derivada da função y = x2
é igual a dy' = 2x
dx
Logo, a derivada da função y = x2
, no ponto x = 10 , será igual a : y ' (10) = 2.10 = 20.
Qual a interpretação geométrica do resultado acima?
Ora, a derivada da função y = x2
, no ponto de abcissa x = 10 , sendo igual a 20, significa que a se, a
partir do valor 10, houver uma variação mínima de x, o valor de y terá uma variação estimada de 20
unidades.
Representa também o valor da tangente trigonométrica da reta tangente à curva y = x2
, no ponto x = 10
, ou seja, será também igual a 20 , conforme teoria vista acima.
Ora, sendo b o ângulo formado por esta reta tangente com o eixo dos x , b será um ângulo tal que tg α =
20. Consultando uma tábua trigonométrica ou através de uma calculadora científica, concluímos que α
» 87º 8' 15" .
Então, isto significa que a reta tangente à curva de equação y = x2
, no ponto de abcissa x = 10, forma
com o eixo dos x um ângulo aproximadamente igual a » 87º 8' 15" .
Cálculo de Derivada de uma função através da Definição:
a). Seja f(x) = 6x +42 b) Seja f(x) = 2 x ² - 5 c)Seja y = 10 - 3x²