1. O documento explica o conceito de derivada de uma função, apresentando sua definição formal através do limite de uma razão e exemplos de cálculo da derivada de funções polinomiais de 1o, 2o e 3o grau. 2. A derivada representa a inclinação da reta tangente ao gráfico da função em determinado ponto e é utilizada para escrever a equação da reta tangente. 3. São mostrados exemplos de cálculo da derivada e escrita da equação da reta tangente ao gráfico de uma função para

1. numerosnamente 1
Função derivada
Considere uma função 𝑓, real de variável real, e 𝑥0um elemento do seu domínio, a derivada
de 𝑓 em 𝑥0é 𝑓′(𝑥0). Calcula-se através de:
𝑓´( 𝑥0) = lim
ℎ→0
(
𝑓( 𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)
ℎ
) ou 𝑓´( 𝑥0) = lim
𝑥→𝑥0
(
𝑓( 𝑥)−𝑓(𝑥0)
𝑥−𝑥0
)
Exemplo:
Seja 𝑓 a função definida por 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 − 3𝑥 e o ponto 𝑥 = 𝑎 , com 𝑎 ∈ 𝐷𝑓.
𝑓′( 𝑎) = lim
ℎ→0
(
𝑓( 𝑥0+ℎ)−𝑓(𝑥0)
ℎ
)
𝑓( 𝑎 + ℎ) = (𝑎 + ℎ)2 − 3( 𝑎 + ℎ) = 𝑎2 + 2𝑎ℎ + ℎ2 − 3𝑎 − 3ℎ
𝑓( 𝑎) = 𝑎2 − 3𝑎
Assim:
𝑓′( 𝑎) = lim
ℎ→0
(
𝑓( 𝑥0 + ℎ) − 𝑓( 𝑥0)
ℎ
) = lim
ℎ→0
(
𝑓( 𝑎 + ℎ) − 𝑓( 𝑎)
ℎ
) =
= lim
ℎ→0
(
𝑎2 + 2𝑎ℎ + ℎ2 − 3𝑎 − 3ℎ − 𝑎2 + 3𝑎
ℎ
) = lim
𝑥→0
(
2𝑎ℎ + ℎ2 − 3ℎ
ℎ
)
= lim
𝑥→0
ℎ (
2𝑎 + ℎ − 3
ℎ
) = 2𝑎 − 3
Então sendo 𝑥 um elemento qualquer do domínio de 𝑓, tem-se:
𝑓′( 𝑥) = ( 𝑥2 − 3𝑥)′ = 2𝑥 − 3
À funçãoque a cada 𝑥 faz corresponder 𝑓´(𝑥) dá-se o nome de função derivada da função 𝑓 e
representa-se por 𝑓′.
A reta tangente ao gráfico da função 𝑓 no ponto de abcissa 𝑥 = 𝑎 tem a inclinação ou declive
obtido por 𝑓′(𝑎)=𝑚.
Assim o ponto de tangencia é P=( 𝑎, 𝑓( 𝑎)) e a reta tangente em 𝑥 = 𝑎 é:
𝑦 = 𝑓′( 𝑎). 𝑥 + 𝑏  𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏
Derivada de uma função afim
Considere a função 𝑓, tal que 𝑓( 𝑥) = 𝑚𝑥 + 𝑏 , com 𝑚, 𝑏 ∈ 
A derivada da função em 𝑥 = 𝑎 é:
𝑓′( 𝑎) = lim
ℎ→0
(
𝑓( 𝑎 + ℎ) − 𝑓( 𝑎)
ℎ
) = lim
ℎ→0
(
𝑚𝑎 + 𝑚ℎ + 𝑏 − 𝑚𝑎 − 𝑏
ℎ
) = lim
ℎ→0
(
𝑚ℎ + 𝑏
ℎ
) = 𝑚

2. numerosnamente 2
Conclui-se que se a função 𝑓 é constante, a sua derivada é nula (zero).
Exemplo:
Seja 𝑓( 𝑥) = 2𝑥 − 2 ; 𝑓′( 𝑥) = 2 ; A sua representação gráfica é:
Derivada de uma função polinomial do 2º grau
Considere a função 𝑓, tal que 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥2 , com 𝑎 ≠ 0
A derivada no ponto 𝑥 = 𝑥0 é:
𝑓′( 𝑥0) = lim
ℎ→0
(
𝑓( 𝑥0 + ℎ) − 𝑓( 𝑥0)
ℎ
) = lim
ℎ→0
(
𝑎( 𝑥0 + ℎ)2 − 𝑎𝑥0
2
ℎ
) =
= lim
ℎ→0
(
𝑎𝑥0
2 + 2𝑎𝑥0ℎ + 𝑎ℎ2 − 𝑎𝑥0
2
ℎ
) = lim
ℎ→0
(
2𝑎𝑥0 + 𝑎ℎ
ℎ
) ℎ = 2𝑎𝑥0
Assim 𝑓′( 𝑥) = 𝑓′( 𝑎𝑥2)′ = 2𝑎𝑥
Exemplo:
Seja 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 ; 𝑓′( 𝑥) = 2𝑥 ; A sua representação gráfica é:

3. numerosnamente 3
Considere a função 𝑓, tal que 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 , com 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ∈ 
A derivada no ponto 𝑥 = 𝑥0 é:
𝑓′( 𝑥0) = lim
ℎ→0
(
𝑓( 𝑥0 + ℎ) − 𝑓( 𝑥0)
ℎ
) = lim
ℎ→0
(
𝑎( 𝑥0 + ℎ)2 + 𝑏𝑥0 + 𝑏ℎ − 𝑎𝑥0
2 − 𝑏𝑥0
ℎ
) =
= lim
ℎ→0
(
𝑎𝑥0
2 + 2𝑎𝑥0ℎ + 𝑎ℎ2 + 𝑏𝑥0 + 𝑏ℎ − 𝑎𝑥0
2 − 𝑏𝑥0
ℎ
) = lim
ℎ→0
(
2𝑎𝑥0 + 𝑎ℎ + 𝑏
ℎ
)ℎ =
= 2𝑎𝑥0 + 𝑏
Assim 𝑓′( 𝑥) = ( 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥)′ = 2𝑎𝑥 + 𝑏
Exemplo:
Seja 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 ; 𝑓′( 𝑥) = 2𝑥 − 2 ; A sua representação gráfica é:

4. numerosnamente 4
Considere a função 𝑓, tal que 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 , com 𝑎 ≠ 0 e 𝑏 ∈ e 𝑐 ∈ 
A derivada no ponto 𝑥 = 𝑥0 é:
𝑓′( 𝑥0) = lim
ℎ→0
(
𝑓( 𝑥0 + ℎ) − 𝑓( 𝑥0)
ℎ
) = lim
ℎ→0
(
𝑎( 𝑥0 + ℎ)2 + 𝑏( 𝑥0 + ℎ) + 𝑐 − 𝑎𝑥0
2 − 𝑏𝑥0 − 𝑐
ℎ
)
= lim
ℎ→0
(
𝑎𝑥0
2 + 2𝑎𝑥0ℎ + 𝑎ℎ2 + 𝑏𝑥0 + 𝑏ℎ + 𝑐 − 𝑎𝑥0
2 − 𝑏𝑥0 − 𝑐
ℎ
) =
= lim
ℎ→0
(
2𝑎𝑥0ℎ + 𝑎ℎ2 + 𝑏ℎ
ℎ
) = lim
ℎ→0
(
2𝑎𝑥0 + 𝑎ℎ + 𝑏
ℎ
) ℎ = 2𝑎𝑥0 + 𝑏
Assim 𝑓′( 𝑥) = ( 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐)′ = 2𝑎𝑥 + 𝑏
Exemplo:
Seja 𝑓( 𝑥) = 𝑥2 − 2𝑥 − 1 ∶ 𝑓′( 𝑥) = 2𝑥 − 2 ;A sua representação gráfica é:
Derivada de uma função polinomial do 3º grau
Considere a função 𝑓, tal que 𝑓( 𝑥) = 𝑎𝑥3 , com 𝑎 ≠ 0
A derivada no ponto 𝑥 = 𝑥0 é:
𝑓′( 𝑥0) = lim
ℎ→0
(
𝑓( 𝑥0 + ℎ) − 𝑓( 𝑥0)
ℎ
) = lim
ℎ→0
(
𝑎𝑥0
3 + 3𝑎𝑥0
2ℎ + 3𝑎𝑥0ℎ2 + 𝑎ℎ3 − 𝑎𝑥0
3
ℎ
) =
= lim
ℎ→0
(
3𝑎𝑥0
2 + 3𝑎𝑥0ℎ+ 𝑎ℎ2
ℎ
)ℎ = 3𝑎𝑥0
2

5. numerosnamente 5
Assim 𝑓′( 𝑥) = ( 𝑎𝑥3)′ = 3𝑎𝑥2
Exemplo:
Seja 𝑓( 𝑥) = 𝑥3 ; 𝑓´( 𝑥) = 3𝑥2 ;A sua representação gráfica é:
Reta tangente ao gráfico de uma função
Seja a função 𝑓 e um ponto 𝑃 = (𝑥0 ,𝑓( 𝑥0)). A reta tangente ao gráfico de 𝑓 no ponto de
abcissa 𝑥 = 𝑥0 é a reta que tem de declive (inclinação) = 𝑚 = 𝑓′(𝑥0)
Exemplo:
Considere a função 𝑓( 𝑥) = 2𝑥2 − 1 . Escreva uma reta tangente ao gráfico da função 𝑓 que
contenha o ponto cuja abcissa é 2.
Resolução:
.Ponto de tangencia: 𝑃 = (2, 𝑓(2)) = (2 ,7)
.Função derivada: 𝑓´( 𝑥) = 4𝑥
.Declive: 𝑚 = 𝑓′(2) = 8
.Reta tangente: 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 ; 𝑦 = 8𝑥 + 𝑏
.Calcular 𝑏: 7 = 8(2) + 𝑏  𝑏 = −9
.Reta tangente: 𝑦 = 8𝑥 − 9

6. numerosnamente 6
Exemplo:
Sejaa função 𝑔( 𝑥) = 𝑥2. Escreva a reta tangente aográficoda função noponto cuja ordenada
é 9.
Resolução:
.Pontos de tangencia: 𝑃 = (?, 9) ; 9 = 𝑥2  𝑥 = ±3….Temos dois pontos: 𝑃 = (3,9)e
𝑄 = (−3,9)
.Função derivada: 𝑔′( 𝑥) = 2𝑥
.Declive: 𝑚 = 𝑔′(3) = 6 e 𝑔′(−3) = −6 ; Como temos 2 pontos, vamos também ter duas
retas.
.Retas tangentes: 𝑦 = 6𝑥 + 𝑏 ; 𝑦 = −6𝑥 + 𝑏
.Calcular 𝑏: Para 𝑃 = (3,9); 9 = 6(3) + 𝑏  𝑏 = −18
Para 𝑄 = (−3,9);9 = −6(−3) + 𝑏  𝑏 = −18
.Retas tangentes: 𝑦 = 6𝑥 − 18 ; 𝑦 = −6𝑥 − 18