Este documento resume os principais tópicos do cálculo diferencial e integral básico, incluindo derivadas, integrais, aplicações e derivadas de múltiplas variáveis. Aborda propriedades e regras de derivação, derivadas de funções comuns, integração por substituição e partes, e derivadas parciais.

1. CÁLCULO INTEGRAL E DIFERENCIAL BÁSICO

2. Engeprática | Cálculo Integral e Diferencial Básico
Sumário
1 DERIVADAS .......................................................................................................................................3
1.1 PROPRIEDADES ........................................................................................................................................ 3
1.1.1 Derivada de uma constante.............................................................................................................. 3
1.1.2 Derivada da função potência de x................................................................................................... 3
1.1.3 Derivada da constante vezes a função .......................................................................................... 3
1.1.4 Derivada da soma e subtração de funções................................................................................... 4
1.1.5 Regra do produto................................................................................................................................. 4
1.1.6 Regra do Quociente............................................................................................................................. 4
1.1.7 Derivadas de ordem superior.......................................................................................................... 4
1.2 DERIVADAS DE FUNÇÕES...................................................................................................................... 4
1.2.1 Revisão de identidades trigonométricas...................................................................................... 4
1.2.2 Derivadas de funções trigonométricas ......................................................................................... 3
1.2.3 Derivadas e identidades de funções exponenciais e logarítmicas........................................ 4
1.3 REGRA DA CADEIA................................................................................................................................... 4
1.4 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA.......................................................................................................................... 5
2 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS E PRIMITIVAS..............................................................................6
2.1 REGRA DE L'HOSPITAL........................................................................................................................... 6
2.2 RETA TANGENTE...................................................................................................................................... 6
2.3 EXTREMOS DE FUNÇÕES ....................................................................................................................... 6
2.4 TEOREMA DE ROLLE E TEOREMA DO VALOR MÉDIO ................................................................. 6
3 INTEGRAIS.........................................................................................................................................6
3.1 PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA....................................................................................... 6
3.1.1 Panorama do assunto de integrais................................................................................................. 6
3.1.2 Propriedades das Integrais Definidas........................................................................................... 6
3.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO ........................................................................................ 6
3.3 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO.................................................................................................................. 6

3. Engeprática | Cálculo Integral e Diferencial Básico
3.3.1 Substituição Simples .......................................................................................................................... 6
3.3.2 Integração por partes......................................................................................................................... 6
3.3.3 Substituição Trigonométrica ........................................................................................................... 6
3.3.4 Frações Parciais................................................................................................................................... 6
3.4 APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS............................................................................................................... 6
3.4.1 Cálculo de Áreas................................................................................................................................... 6
3.4.2 Cálculo de Volumes............................................................................................................................. 6
3.4.3 Comprimento de Arco........................................................................................................................ 6
4 DERIVADAS DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS.......................................................................................7
4.1 DERIVADAS PARCIAIS............................................................................................................................. 7
4.1.1 Derivadas de Ordem Superior e Mistas ........................................................................................ 7
4.2 EXTREMOS DE FUNÇÕES DE MUITAS VARIÁVEIS E PONTO DE SELA .................................... 7
4.3 REGRA DA CADEIA................................................................................................................................... 7

4. 3
1 DERIVADAS
1.1 PROPRIEDADES
As propriedades das derivadas tornam o processo de derivação mais prático e
consequentemente mais rápido.
As notações mais utilizadas para a derivada da função 𝑓(𝑥) são: 𝑓′(𝑥), [𝑓(𝑥)]′,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
ou
𝑦′
.
Para as regras abaixo, sejam 𝑓(𝑥) e 𝑔(𝑥) funções deriváveis e seja 𝒂 um número real
qualquer.
1.1.1 Derivada de uma constante
Se 𝑓(𝑥) = 𝑎, então
𝑓′(𝑥) = 0
1.1.2 Derivada da função potência de x
Essa regra também é chamada de “regra do tombo”, pois o expoente cai, multiplicando
a função, e o novo expoente é diminuído de 1.
Se 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑎
, então
𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥𝑎−1
Se 𝑓(𝑥) = 𝑥3
, então 𝑓′(𝑥) = 3𝑥3−1
= 3 𝑥 2
1.1.3 Derivada da constante vezes a função
Se 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥, então
𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥1−1
= 𝑎𝑥0
= 𝑎
Se f (x) = 3x4, então 𝑓′(𝑥) = 3.4𝑥4−1
= 12𝑥3

5. 4
1.1.4 Derivada da soma e subtração de funções
[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)]′
= 𝑓′(𝑥) + 𝑔′(𝑥)
Ex: [2𝑥² + 𝑥5]′
= (2𝑥2)′
+ (𝑥5)′
= 4𝑥 + 5𝑥4
1.1.5 Regra do produto
[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)]′
= 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
Ex: [(2𝑥²)(𝑥 + 1)]′
= (2𝑥)′(𝑥 + 1) + 2𝑥2(𝑥 + 1)′
= 2(𝑥 + 1) + 2𝑥2(1) = 2𝑥2
+ 2𝑥 + 2
1.1.6 Regra do Quociente
(
𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥)
)
′
=
𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥)
[𝑔(𝑥)]2
Ex: (
4𝑥3+1
5𝑥2 )
′
=
(4𝑥3
+ 1)′
5𝑥2
− (4𝑥3
+ 1)(5𝑥2)′
[5𝑥2]2
=
12𝑥2
5𝑥2
− (4𝑥3
+ 1)10𝑥
25𝑥4
=
60𝑥4
− 40𝑥4
− 10𝑥
25𝑥4
=
20𝑥4
− 10𝑥
25𝑥4
1.1.7 Derivadas de ordem superior
𝑓(𝑥) = 𝑥5
𝑓′(𝑥) = 5𝑥4
𝑓′′(𝑥) = 20𝑥3
𝑓′′′(𝑥) = 60𝑥2
𝑓(4)(𝑥) = 120𝑥
𝑓(5)(𝑥) = 120
1.2 DERIVADAS DE FUNÇÕES
1.2.1 Revisão de identidades trigonométricas
Aqui são apresentadas as principais identidades trigonométricas, que são usadas
constantemente nas questões deste tipo.
Comentado [Enge1]: Derivada da soma é a soma das
derivadas.
Comentado [Enge2]: Decorar: “Derivada do primeiro,
vezes o segundo, mais o primeiro, vezes derivada do
segundo”
Comentado [Enge3]: Decorar: “Derivada do de cima,
vezes o debaixo, menos o de cima, derivada do debaixo,
sobre o debaixo ao quadrado”

6. 3
sin −𝑥 = − sin 𝑥 cos −𝑥 = cos 𝑥
tan𝑥 =
sin 𝑥
cos 𝑥
cot 𝑥 =
1
tan 𝑥
=
cos 𝑥
sin 𝑥
sec 𝑥 =
1
cos 𝑥
csc 𝑥 =
1
sin 𝑥
sin 2𝑥 = 2 sin 𝑥 cos 𝑥 cos 2𝑥 = cos2
𝑥 − sin2
𝑥
sin(𝑎 ± 𝑏) = sin 𝑎 cos 𝑏 ± cos 𝑎 sin 𝑏 cos(𝑎 ± 𝑏) = cos 𝑎 cos 𝑏 ∓ sin 𝑎 sin 𝑏
sin2
𝑥 =
(1 − cos 2𝑥)
2
cos2
𝑥 =
(1 + cos 2𝑥)
2
sec2
𝑥 − tan2
𝑥 = 1 csc2
𝑥 − cot2
𝑥 = 1
sin2
𝑥 + cos2
𝑥 = 1 cos 𝑎 cos 𝑏 =
[cos(𝑎 − 𝑏) + cos(𝑎 − 𝑏)]
2
sin 𝑎 cos 𝑏 =
[sin(𝑎 − 𝑏) + sin(𝑎 + 𝑏)]
2
sin 𝑎 sin 𝑏 =
[cos(𝑎 − 𝑏) − cos(𝑎 + 𝑏)]
2
sin 𝛼 ± sin 𝛽 = 2 sin
1
2
(𝛼 ± 𝛽) cos
1
2
(𝛼 ∓ 𝛽) cos 𝛼 + cos 𝛽 = 2 cos
1
2
(𝛼 + 𝛽) cos
1
2
(𝛼 − 𝛽)
1.2.2 Derivadas de funções trigonométricas
Aqui são apresentadas as principais derivadas trigonométricas.
Vale lembrar que a função inversa 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛 𝑥 também pode ser escrita como sin−1
𝑥. O
mesmo vale para todos os outros casos.
(sin 𝑥)′
= cos 𝑥 𝑑𝑥 (cos 𝑥)′
= − sin 𝑥 𝑑𝑥
(tan 𝑥)′
= sec2
𝑥 𝑑𝑥 (cot 𝑥)′
= − csc2
𝑥 𝑑𝑥
(sec 𝑥)′
= sec 𝑥 tan𝑥 𝑑𝑥 (csc 𝑥)′
= − csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑𝑥
(sin−1
𝑥)′
=
1
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥 (cos−1
𝑥)′
= −
1
√1 − 𝑥2
𝑑𝑥
(tan−1
𝑥)′
=
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥 (cot−1
𝑥)′
= −
1
1 + 𝑥2
𝑑𝑥
Comentado [Enge4]: Troca o sinal!!
Comentado [Enge5]: *Mais utilizado*
Comentado [Enge6]: Dica para decorar os casos abaixo:
em todos os casos na coluna da direita foi colocado “co” e
a resposta mudou pra “co negativo” em relação à coluna
da esquerda.
Ver: tan’ x -> sec² x________ cotan’ x-> -cosec² x

7. 4
(sec−1
𝑥)′
=
1
𝑥√𝑥2 − 1
𝑑𝑥 (csc−1
𝑥)′
= −
1
𝑥√𝑥2 − 1
𝑑𝑥
1.2.3 Derivadas e identidades de funções exponenciais e logarítmicas
ln 𝑥𝑦 = ln 𝑥 + ln 𝑦 ln (
𝑥
𝑦
) = ln 𝑥 − ln 𝑦
ln 𝑦𝑐
= 𝑐 ln 𝑦 𝑒𝑥
= 𝑦 <=> ln 𝑦 = 𝑥
𝑒ln 𝑥
= 𝑥 ln 𝑒𝑥
= 𝑥
(ln 𝑥)′
=
1
𝑥
𝑑𝑥 (𝑒𝑥
)′
= 𝑒𝑥
𝑑𝑥
(log𝑎 𝑥)′
=
1
𝑥 ln 𝑎
𝑑𝑥
1.3 REGRA DA CADEIA
A regra da cadeia é uma propriedade de derivação quando existir um "aninhamento"
de funções, ou seja, um tipo de função dentro de outra.
𝑓′(𝑔(𝑥)) = 𝑓′(𝑔(𝑥)). 𝑔′(𝑥)
Ex:
Se ℎ(𝑥) = (𝑥2
+ 7𝑥 + 2)5
, então
ℎ′(𝑥) = 5(𝑥2
+ 7𝑥 + 2)4
. (𝑥2
+ 7𝑥 + 2)′
= 5(𝑥2
+ 7𝑥 + 2)4
(2𝑥 + 7)
Comentado [Enge7]: Decorar: “derivada do de fora,
vezes a derivada da de dentro”

8. 5
1.4 DERIVAÇÃO IMPLÍCITA
Expressões implícitas são expressões onde o 𝑦 e o 𝑥 ficam misturados, não sendo
possível separá-los. Para resolver expressões desta forma, derivamos os dois lados em relação
ao 𝑥. Usando a regra da cadeia, ao derivar o 𝑦, ele vira 𝑦′ ou
𝑑𝑦
𝑑𝑥
.
Ex: 𝑥2
+ 𝑦3
+ 2𝑦 = 1
Derivando ambos os lados em relação a x:
2𝑥 + 3𝑦2
𝑦′
+ 2𝑦′ = 0
Isolando o 𝑦′
:
𝑦′(3𝑦2
+ 2) = −2𝑥
𝑦′
= −
2𝑥
(3𝑦2+2)
Ex 2: 𝑥2
𝑦 = 2
Derivando ambos os lados em relação a x:
2𝑥𝑦 + 𝑥2
𝑦′
= 0
𝑦′
= −
2𝑥𝑦
𝑥2 = −
2𝑦
𝑥
Para ter acesso ao conteúdo completo, adquira a apostila dessa matéria.
No pacote existem também exercícios resolvidos. Novos exercícios semanalmente! 
Comentado [Enge8]: Utilizada a regra do produto.

9. 6
2 APLICAÇÕES DAS DERIVADAS E PRIMITIVAS
2.1 REGRA DE L'HOSPITAL
2.2 RETA TANGENTE
2.3 EXTREMOS DE FUNÇÕES
2.4 TEOREMA DE ROLLE E TEOREMA DO VALOR MÉDIO
3 INTEGRAIS
3.1 PROPRIEDADES DA INTEGRAL DEFINIDA
3.1.1 Panorama do assunto de integrais
3.1.2 Propriedades das Integrais Definidas
3.2 TEOREMA FUNDAMENTAL DO CÁLCULO
3.3 TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
3.3.1 Substituição Simples
3.3.2 Integração por partes
3.3.3 Substituição Trigonométrica
3.3.4 Frações Parciais
3.4 APLICAÇÕES DAS INTEGRAIS
3.4.1 Cálculo de Áreas
3.4.2 Cálculo de Volumes
3.4.3 Comprimento de Arco

10. 7
4 DERIVADAS DE MÚLTIPLAS VARIÁVEIS
4.1 DERIVADAS PARCIAIS
4.1.1 Derivadas de Ordem Superior e Mistas
4.2 EXTREMOS DE FUNÇÕES DE MUITAS VARIÁVEIS E PONTO DE SELA
4.3 REGRA DA CADEIA