Matemática ead senac adm

1. Web das aulas 9 e 10
Prof. Daniel Moreira
Matemática I
1º Semestre - 2021

2. Calendário
2021 Calendário Webconferência – Matemática I
Horário 1º semestre – Horário: 17h50
Datas Prof. Daniel Moreira
09/04 Boas-Vindas e Web: Aulas 1 e 2
16/04 Web: Aulas 3 e 4
23/04 Web: Aulas 5 e 6
30/04 Web: Aulas 7 e 8
07/05 Web: Aulas 9 e 10
14/05 Web: Aulas 11 e 12
21/05 Web: Aulas 13 e 14
28/05 Web: Aulas 15 e 16
24/05 Entrega da PTI
07/06 Finalização do Quiz
07/06 Início das provas

3. Leis do Limite
Propriedades

4. O ESTUDO DOS LIMITES (8)
Propriedades Operatórias
Limite da soma:
lim
𝑥→2
𝑓 𝑥2 + 𝑥 = lim
𝑥→2
𝑓 𝑥2 + lim
𝑥→2
𝑓𝑥 = 22 + 2 = 4 + 2 = 6
Limite da produto:
lim
𝑥→10
𝑓2𝑥.
1
2
𝑥
= lim
𝑥→10
𝑓 2𝑥. lim
𝑥→10
𝑓
1
2
𝑥
= 210.
1
2
10
= 210.
1
210 =
210
210 =1

5. Limites (Racionalização do Numerador)
Relembrar: Racionalização
de denominadores.

6. AULA 9 - ASSÍNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS
Limites infinitos
Define-se por lim
𝑥→𝑎+
𝑓 𝑥 = ∞ ou lim
𝑥→𝑎−
𝑓 𝑥 = ∞
Assíntotas verticais envolvem limites infinitos. Assíntotas horizontais envolvem limites no
infinito (reta y = 𝑏 é 𝑎𝑠𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑠𝑒 lim
𝑥→+𝑜𝑢 −∞
𝑓 𝑥 = 𝑏) .
A reta 𝑥 = 2 é uma assíntota vertical de y =
1
(𝑥−2)2
lim
𝑥→2
1
(𝑥−2)2 =
1
0
lim
𝑥→2+
1
(𝑥−2)2 = +∞
y
x
2

7. AULA 9 - ASSÍNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS
y
x
2
Casos de assíntota
vertical

8. Assíntotas Horizontais*
AULA 9 - ASSÍNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS; CONTINUIDADE
Ex: As retas 𝑦 = 1 e 𝑦 = −1 são assíntotas horizontais de 𝑦 =
3𝑥
𝑥−1

9. Assíntotas Horizontais*
AULA 9 - ASSÍNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS; CONTINUIDADE
Ex: As retas 𝑦 = 1 e 𝑦 = −1 são assíntotas horizontais de 𝑦 =
3𝑥
𝑥−1
𝑙𝑖𝑚
𝑥→+∞
𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥−1
=
3𝑥
𝑥
= 3
𝑙𝑖𝑚
𝑥→−∞
𝑓(𝑥) =
3𝑥
𝑥−1
=
3𝑥
𝑥
= 3

10. Condições:
1) 𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
2) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
3) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎),
o limite igual ao valor
da função
Aula 9 - Continuidade

11. Aula 9 - Continuidade
Situação: Verificar se existe continuidade no ponto 0
𝑓 𝑥 = {2, 𝑠𝑒 𝑥=0
1
𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥≠0
1) 𝑓 0 = 2 existe.
2) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0
𝑓
1
𝑥2 = ?
𝑙𝑖𝑚
𝑥→0+
𝑓
1
𝑥2 = +∞ e 𝑙𝑖𝑚
𝑥→0−
𝑓
1
𝑥2 = +∞ , os limites laterais mesmo valores, ∴ existe.
3) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎), como 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓 𝑥 = +∞ e 𝑓 0 = 2 , então não satisfaz a terceira
condição. Portanto não há continuidade.
1) 𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
2) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒
3) 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑎
𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎), o limite igual ao valor da função
2
1
y
x
o
o

12. AULA 10 – INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS
Taxa média de variação
𝑇𝑀𝑉 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)
𝑏 − 𝑎
Coeficiente Angular
𝑚𝐴𝐵 =
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑦𝐵 − 𝑦𝐴
𝑥𝐵 − 𝑥𝐴
Derivada
Definição: Se uma função f é
definida em um intervalo
aberto contendo x0 , então a
derivada de f em x0, denotada
por 𝑓′
(x0), é dada por:
𝑓′
(𝑥0) = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0)
∆𝑥
Reescrevendo:
𝑓′
(𝑥0) = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0
𝑚𝐴𝐵
𝑏
𝑎
“A inclinação da tangente representa a taxa de variação daquele ponto”.
Aplicação na economia/administração: Análise Marginal

13. a.
𝐶 100 −𝐶(0)
100−0
=
4100−1500
100
=
2600
100
= 26 dólares por unidade
b.
𝐶 200 −𝐶(100)
200−100
=
6900−4100
100
=
2800
100
= 28 dólares por unidade
Fonte: J., HARSHBARGER, Ronald, and REYNOLDS, James J..Matemática Aplicada: Administração, Economia e Ciências Sociais e
Biológicas, 7th Edition. AMGH, 2006. VitalBook file
Suponha que o custo total de uma empresa, em dólares, para produzir x unidades do seu produto seja
dado por 𝐶 𝑥 = 0,01𝑥2
+ 25𝑥 + 1500.
Encontre a taxa de variação média do custo total para
a. as 100 primeiras unidades produzidas
b. a segunda centena produzida
AULA 10 – INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS

14. Compreensão do efeito de Derivada.
Qual a representação gráfica da função abaixo?
𝑦 = 𝑥2
Agora, deriva 𝑦 = 𝑥2 :
𝑦′ = 2𝑥
Agora, qual a representação gráfica da função derivada?
AULA 10 – INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS
Em cálculo, a derivada é a inclinação da reta tangente em um
determinado ponto da curva que representa a função f(x).

15. Notações mais frequentes para a derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) são:
𝑓′
, 𝑦′
,
𝑑𝑓
𝑑𝑥
,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
Quando for preciso especificar o ponto em que a derivada é calculada:
𝑓′
(𝑥0), 𝑦′
(𝑥0),
𝑑𝑓
𝑑𝑥
(𝑥0)
AULA 10 – INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS

16. Se 𝑓 𝑥 = 𝑥2 , então 𝑓′ 1 = 2 ?
𝑓′ 1 = lim
𝑥→1
𝑓(𝑥)−𝑓(1)
𝑥−1
= lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
=
lim
𝑥→1
𝑥2−1
𝑥−1
=
(𝑥+1)(𝑥−1)
𝑥−1
= lim
𝑥→1
𝑥 + 1 =2
Aula 10: Derivadas: identificar como função
𝑓′(𝑥0) = lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0)
𝑥 − 𝑥0

17. 𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 12𝑥 − 5
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
[(𝑥 + ℎ)2
−12 𝑥 + ℎ − 5] − [𝑥2
− 12𝑥 − 5)]
ℎ
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2
− 12𝑥 − 12ℎ − 5 − 𝑥2
+ 12𝑥 + 5
ℎ
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2
− 12ℎ
ℎ
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥 + ℎ − 12)
ℎ
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
2𝑥 + ℎ − 12 = 2𝑥 − 12
Calculando derivada pela definição:
Aula 10: Derivadas: identificar como função

18. 𝑓 𝑥 = 𝑥3 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥3−1 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥2
𝑓 𝑥 =
3
𝑥2 podemos escrever como 𝑓 𝑥 = 𝑥
2
3
𝑓´ 𝑥 =
2
3
𝑥
−1
3
𝑓 𝑥 =
1
𝑥3 podemos escrever como 𝑓 𝑥 = 𝑥−3
Então 𝑓´ 𝑥 = −3𝑥−3−1= −3𝑥−4 =
−3
𝑥4
Regra da potência
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛
= 𝑛 ∙ [𝑥]𝑛−1
, onde n é um número qualquer.
Aula 10: Derivadas: identificar como função

19. 𝑓 𝑥 = 5𝑥3
Regra do múltiplo constante:
𝑑
𝑑𝑥
𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓 𝑥 ], onde k é uma constante.
Regra da soma:
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥 , onde f x e g x são funções contínuas.
𝑓 𝑥 = 5𝑥3
− 4𝑥 + 10
𝑓´ 𝑥 = 3.5𝑥2 = 15𝑥2
𝑓 ´ 𝑥 = 15𝑥2
− 4
Aula 10: Derivadas: identificar como função
𝑓 𝑥 = 3.5𝑥2 − 4 + 0

20. Regra da potência geral
𝑓 𝑥 = (𝑥2
+ 4𝑥)3
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑟 = 𝑟 ∙ [𝑓 𝑥 ]𝑟−1 ∙
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓 𝑥 ], onde r é um número qualquer.
𝑓´ 𝑥 = 3. (𝑥2 + 4𝑥)2. (2𝑥 + 4)
Regra do produto
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑥6
. 5𝑥 − 4𝑥3 2
𝑓´ 𝑥 = 6𝑥5
. 5𝑥 − 4𝑥3 2
+ 𝑥6
. 2. (5𝑥 − 4𝑥3
) . (5 − 12𝑥2
)
Aula 10: Derivadas: identificar como função

21. Regra do quociente
𝑓 𝑥 =
5𝑥3
𝑥2 − 10
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑓′(𝑥)𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)
𝑔 𝑥 2
𝑓´ 𝑥 =
15𝑥2
. 𝑥2
− 10 − 5𝑥3
. (2𝑥 )
(𝑥2−10)2
𝑓´ 𝑥 =
15𝑥2. 𝑥2−10 −10𝑥4
(𝑥2−10)2 =
15𝑥4 −150𝑥2−10𝑥4
(𝑥2−10)2
=
5𝑥4 −150𝑥2
(𝑥2−10)2
Aula 10: Derivadas: identificar como função

22. Referências
Material de estudo: Matemática I. São Paulo: Editora Senac São Paulo.

23. Bom estudo a todos!!!
☺
Contem conosco e participem!