Baixar para ler offline
![𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 12𝑥 − 5
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
[(𝑥 + ℎ)2
−12 𝑥 + ℎ − 5] − [𝑥2
− 12𝑥 − 5)]
ℎ
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑥2
+ 2𝑥ℎ + ℎ2
− 12𝑥 − 12ℎ − 5 − 𝑥2
+ 12𝑥 + 5
ℎ
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
2𝑥ℎ + ℎ2
− 12ℎ
ℎ
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
ℎ(2𝑥 + ℎ − 12)
ℎ
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
2𝑥 + ℎ − 12 = 2𝑥 − 12
Calculando derivada pela definição:
Aula 10: Derivadas: identificar como função](https://image.slidesharecdn.com/webconferncia07-05mati-240115013510-4aa60d7f/85/Webconferencia-07-05-Mat-I-pdf0098776421-17-320.jpg)
![𝑓 𝑥 = 𝑥3 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥3−1 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥2
𝑓 𝑥 =
3
𝑥2 podemos escrever como 𝑓 𝑥 = 𝑥
2
3
𝑓´ 𝑥 =
2
3
𝑥
−1
3
𝑓 𝑥 =
1
𝑥3 podemos escrever como 𝑓 𝑥 = 𝑥−3
Então 𝑓´ 𝑥 = −3𝑥−3−1= −3𝑥−4 =
−3
𝑥4
Regra da potência
𝑑
𝑑𝑥
𝑥𝑛
= 𝑛 ∙ [𝑥]𝑛−1
, onde n é um número qualquer.
Aula 10: Derivadas: identificar como função](https://image.slidesharecdn.com/webconferncia07-05mati-240115013510-4aa60d7f/85/Webconferencia-07-05-Mat-I-pdf0098776421-18-320.jpg)
![𝑓 𝑥 = 5𝑥3
Regra do múltiplo constante:
𝑑
𝑑𝑥
𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓 𝑥 ], onde k é uma constante.
Regra da soma:
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 +
𝑑
𝑑𝑥
𝑔 𝑥 , onde f x e g x são funções contínuas.
𝑓 𝑥 = 5𝑥3
− 4𝑥 + 10
𝑓´ 𝑥 = 3.5𝑥2 = 15𝑥2
𝑓 ´ 𝑥 = 15𝑥2
− 4
Aula 10: Derivadas: identificar como função
𝑓 𝑥 = 3.5𝑥2 − 4 + 0](https://image.slidesharecdn.com/webconferncia07-05mati-240115013510-4aa60d7f/85/Webconferencia-07-05-Mat-I-pdf0098776421-19-320.jpg)
![Regra da potência geral
𝑓 𝑥 = (𝑥2
+ 4𝑥)3
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑟 = 𝑟 ∙ [𝑓 𝑥 ]𝑟−1 ∙
𝑑
𝑑𝑥
[𝑓 𝑥 ], onde r é um número qualquer.
𝑓´ 𝑥 = 3. (𝑥2 + 4𝑥)2. (2𝑥 + 4)
Regra do produto
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥)
𝑓 𝑥 = 𝑥6
. 5𝑥 − 4𝑥3 2
𝑓´ 𝑥 = 6𝑥5
. 5𝑥 − 4𝑥3 2
+ 𝑥6
. 2. (5𝑥 − 4𝑥3
) . (5 − 12𝑥2
)
Aula 10: Derivadas: identificar como função](https://image.slidesharecdn.com/webconferncia07-05mati-240115013510-4aa60d7f/85/Webconferencia-07-05-Mat-I-pdf0098776421-20-320.jpg)
Webconferência 07-05 Mat I.pdf0098776421
- 1. Web das aulas9 e 10 Prof. Daniel Moreira Matemática I 1º Semestre - 2021
- 2. Calendário 2021 Calendário Webconferência– Matemática I Horário 1º semestre – Horário: 17h50 Datas Prof. Daniel Moreira 09/04 Boas-Vindas e Web: Aulas 1 e 2 16/04 Web: Aulas 3 e 4 23/04 Web: Aulas 5 e 6 30/04 Web: Aulas 7 e 8 07/05 Web: Aulas 9 e 10 14/05 Web: Aulas 11 e 12 21/05 Web: Aulas 13 e 14 28/05 Web: Aulas 15 e 16 24/05 Entrega da PTI 07/06 Finalização do Quiz 07/06 Início das provas
- 3.
- 4. O ESTUDO DOSLIMITES (8) Propriedades Operatórias Limite da soma: lim 𝑥→2 𝑓 𝑥2 + 𝑥 = lim 𝑥→2 𝑓 𝑥2 + lim 𝑥→2 𝑓𝑥 = 22 + 2 = 4 + 2 = 6 Limite da produto: lim 𝑥→10 𝑓2𝑥. 1 2 𝑥 = lim 𝑥→10 𝑓 2𝑥. lim 𝑥→10 𝑓 1 2 𝑥 = 210. 1 2 10 = 210. 1 210 = 210 210 =1
- 5. Limites (Racionalização doNumerador) Relembrar: Racionalização de denominadores.
- 6. AULA 9 -ASSÍNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS Limites infinitos Define-se por lim 𝑥→𝑎+ 𝑓 𝑥 = ∞ ou lim 𝑥→𝑎− 𝑓 𝑥 = ∞ Assíntotas verticais envolvem limites infinitos. Assíntotas horizontais envolvem limites no infinito (reta y = 𝑏 é 𝑎𝑠𝑠í𝑛𝑡𝑜𝑡𝑎 ℎ𝑜𝑟𝑖𝑧𝑜𝑛𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑔𝑟á𝑓𝑖𝑐𝑜 𝑦 = 𝑓 𝑥 , 𝑠𝑒 lim 𝑥→+𝑜𝑢 −∞ 𝑓 𝑥 = 𝑏) . A reta 𝑥 = 2 é uma assíntota vertical de y = 1 (𝑥−2)2 lim 𝑥→2 1 (𝑥−2)2 = 1 0 lim 𝑥→2+ 1 (𝑥−2)2 = +∞ y x 2
- 7. AULA 9 -ASSÍNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS y x 2 Casos de assíntota vertical
- 8. Assíntotas Horizontais* AULA 9- ASSÍNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS; CONTINUIDADE Ex: As retas 𝑦 = 1 e 𝑦 = −1 são assíntotas horizontais de 𝑦 = 3𝑥 𝑥−1
- 9. Assíntotas Horizontais* AULA 9- ASSÍNTOTAS VERTICAIS E HORIZONTAIS; CONTINUIDADE Ex: As retas 𝑦 = 1 e 𝑦 = −1 são assíntotas horizontais de 𝑦 = 3𝑥 𝑥−1 𝑙𝑖𝑚 𝑥→+∞ 𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑥−1 = 3𝑥 𝑥 = 3 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 𝑓(𝑥) = 3𝑥 𝑥−1 = 3𝑥 𝑥 = 3
- 10. Condições: 1) 𝑓 𝑥𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 3) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎), o limite igual ao valor da função Aula 9 - Continuidade
- 11. Aula 9 -Continuidade Situação: Verificar se existe continuidade no ponto 0 𝑓 𝑥 = {2, 𝑠𝑒 𝑥=0 1 𝑥2, 𝑠𝑒 𝑥≠0 1) 𝑓 0 = 2 existe. 2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑓 1 𝑥2 = ? 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0+ 𝑓 1 𝑥2 = +∞ e 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0− 𝑓 1 𝑥2 = +∞ , os limites laterais mesmo valores, ∴ existe. 3) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎), como 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 = +∞ e 𝑓 0 = 2 , então não satisfaz a terceira condição. Portanto não há continuidade. 1) 𝑓 𝑥 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 2) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 3) 𝑙𝑖𝑚 𝑥→𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑓(𝑎), o limite igual ao valor da função 2 1 y x o o
- 12. AULA 10 –INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS Taxa média de variação 𝑇𝑀𝑉 = ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎) 𝑏 − 𝑎 Coeficiente Angular 𝑚𝐴𝐵 = ∆𝑦 ∆𝑥 = 𝑦𝐵 − 𝑦𝐴 𝑥𝐵 − 𝑥𝐴 Derivada Definição: Se uma função f é definida em um intervalo aberto contendo x0 , então a derivada de f em x0, denotada por 𝑓′ (x0), é dada por: 𝑓′ (𝑥0) = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥0) ∆𝑥 Reescrevendo: 𝑓′ (𝑥0) = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0) 𝑥 − 𝑥0 𝑚𝐴𝐵 𝑏 𝑎 “A inclinação da tangente representa a taxa de variação daquele ponto”. Aplicação na economia/administração: Análise Marginal
- 13. a. 𝐶 100 −𝐶(0) 100−0 = 4100−1500 100 = 2600 100 =26 dólares por unidade b. 𝐶 200 −𝐶(100) 200−100 = 6900−4100 100 = 2800 100 = 28 dólares por unidade Fonte: J., HARSHBARGER, Ronald, and REYNOLDS, James J..Matemática Aplicada: Administração, Economia e Ciências Sociais e Biológicas, 7th Edition. AMGH, 2006. VitalBook file Suponha que o custo total de uma empresa, em dólares, para produzir x unidades do seu produto seja dado por 𝐶 𝑥 = 0,01𝑥2 + 25𝑥 + 1500. Encontre a taxa de variação média do custo total para a. as 100 primeiras unidades produzidas b. a segunda centena produzida AULA 10 – INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS
- 14. Compreensão do efeitode Derivada. Qual a representação gráfica da função abaixo? 𝑦 = 𝑥2 Agora, deriva 𝑦 = 𝑥2 : 𝑦′ = 2𝑥 Agora, qual a representação gráfica da função derivada? AULA 10 – INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS Em cálculo, a derivada é a inclinação da reta tangente em um determinado ponto da curva que representa a função f(x).
- 15. Notações mais frequentespara a derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥) são: 𝑓′ , 𝑦′ , 𝑑𝑓 𝑑𝑥 , 𝑑𝑦 𝑑𝑥 Quando for preciso especificar o ponto em que a derivada é calculada: 𝑓′ (𝑥0), 𝑦′ (𝑥0), 𝑑𝑓 𝑑𝑥 (𝑥0) AULA 10 – INTRODUÇÃO ÀS DERIVADAS
- 16. Se 𝑓 𝑥= 𝑥2 , então 𝑓′ 1 = 2 ? 𝑓′ 1 = lim 𝑥→1 𝑓(𝑥)−𝑓(1) 𝑥−1 = lim 𝑥→1 𝑥2−1 𝑥−1 = lim 𝑥→1 𝑥2−1 𝑥−1 = (𝑥+1)(𝑥−1) 𝑥−1 = lim 𝑥→1 𝑥 + 1 =2 Aula 10: Derivadas: identificar como função 𝑓′(𝑥0) = lim ∆𝑥→0 𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑥0) 𝑥 − 𝑥0
- 17. 𝑓´ 𝑥 =lim ℎ→0 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥) ℎ 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 12𝑥 − 5 𝑓´ 𝑥 = lim ℎ→0 [(𝑥 + ℎ)2 −12 𝑥 + ℎ − 5] − [𝑥2 − 12𝑥 − 5)] ℎ 𝑓´ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑥2 + 2𝑥ℎ + ℎ2 − 12𝑥 − 12ℎ − 5 − 𝑥2 + 12𝑥 + 5 ℎ 𝑓´ 𝑥 = lim ℎ→0 2𝑥ℎ + ℎ2 − 12ℎ ℎ 𝑓´ 𝑥 = lim ℎ→0 ℎ(2𝑥 + ℎ − 12) ℎ 𝑓´ 𝑥 = lim ℎ→0 2𝑥 + ℎ − 12 = 2𝑥 − 12 Calculando derivada pela definição: Aula 10: Derivadas: identificar como função
- 18. 𝑓 𝑥 =𝑥3 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥3−1 𝑓´ 𝑥 = 3𝑥2 𝑓 𝑥 = 3 𝑥2 podemos escrever como 𝑓 𝑥 = 𝑥 2 3 𝑓´ 𝑥 = 2 3 𝑥 −1 3 𝑓 𝑥 = 1 𝑥3 podemos escrever como 𝑓 𝑥 = 𝑥−3 Então 𝑓´ 𝑥 = −3𝑥−3−1= −3𝑥−4 = −3 𝑥4 Regra da potência 𝑑 𝑑𝑥 𝑥𝑛 = 𝑛 ∙ [𝑥]𝑛−1 , onde n é um número qualquer. Aula 10: Derivadas: identificar como função
- 19. 𝑓 𝑥 =5𝑥3 Regra do múltiplo constante: 𝑑 𝑑𝑥 𝑘 ∙ 𝑓 𝑥 = 𝑘 ∙ 𝑑 𝑑𝑥 [𝑓 𝑥 ], onde k é uma constante. Regra da soma: 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑔 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 + 𝑑 𝑑𝑥 𝑔 𝑥 , onde f x e g x são funções contínuas. 𝑓 𝑥 = 5𝑥3 − 4𝑥 + 10 𝑓´ 𝑥 = 3.5𝑥2 = 15𝑥2 𝑓 ´ 𝑥 = 15𝑥2 − 4 Aula 10: Derivadas: identificar como função 𝑓 𝑥 = 3.5𝑥2 − 4 + 0
- 20. Regra da potênciageral 𝑓 𝑥 = (𝑥2 + 4𝑥)3 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑟 = 𝑟 ∙ [𝑓 𝑥 ]𝑟−1 ∙ 𝑑 𝑑𝑥 [𝑓 𝑥 ], onde r é um número qualquer. 𝑓´ 𝑥 = 3. (𝑥2 + 4𝑥)2. (2𝑥 + 4) Regra do produto 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔(𝑥) = 𝑓′(𝑥)𝑔 𝑥 + 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑓 𝑥 = 𝑥6 . 5𝑥 − 4𝑥3 2 𝑓´ 𝑥 = 6𝑥5 . 5𝑥 − 4𝑥3 2 + 𝑥6 . 2. (5𝑥 − 4𝑥3 ) . (5 − 12𝑥2 ) Aula 10: Derivadas: identificar como função
- 21. Regra do quociente 𝑓𝑥 = 5𝑥3 𝑥2 − 10 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓′(𝑥)𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′(𝑥) 𝑔 𝑥 2 𝑓´ 𝑥 = 15𝑥2 . 𝑥2 − 10 − 5𝑥3 . (2𝑥 ) (𝑥2−10)2 𝑓´ 𝑥 = 15𝑥2. 𝑥2−10 −10𝑥4 (𝑥2−10)2 = 15𝑥4 −150𝑥2−10𝑥4 (𝑥2−10)2 = 5𝑥4 −150𝑥2 (𝑥2−10)2 Aula 10: Derivadas: identificar como função
- 22. Referências Material de estudo:Matemática I. São Paulo: Editora Senac São Paulo.
- 23. Bom estudo atodos!!! ☺ Contem conosco e participem!