Este documento fornece um resumo de três frases ou menos do documento sobre Sistemas Dinâmicos Caóticos:
O documento descreve os conceitos fundamentais de sistemas dinâmicos, incluindo equações diferenciais e de diferenças, e como eles podem ser usados para modelar fenômenos na natureza. Também apresenta exemplos de sistemas dinâmicos caóticos como o Mapa Logístico e o Conjunto de Mandelbrot, demonstrando comportamentos complexos como bifurcações e atratores estranhos
Conteúdo: História dos raios X e da radioatividade; química, ampola de raios X, Kv, mAs, efeito anódico, produção de raios X, interação da radiação com a matéria.
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Trata de física das radiações e suas interações com os sistemas biológicos, exames de radiologia convencional, mamografia e fluoroscopia, métodos de imagem tomográficos: tomografia computadorizada propriamente dita, ressonância magnética e ultrassonografia, além de densitometria óssea, Medicina Nuclear e Radioterapia.
Uso de Cintiladores como Método de Análise - Conteúdo vinculado ao blog ...Rodrigo Penna
Dentro da Instrumentação Nuclear, exemplifica a utilização de cristais cintiladores nos métodos de análise. A conversão de arquivo do SlideShare "mata" várias animações. Todo o conteúdo vinculado a este arquivo está descrito, organizado e lincado no nosso blog:
http://fisicanoenem.blogspot.com/
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Notas de aulas de Geometria Analítica traz muitos exercícios resolvidos de conteúdos que são estudados no primeiro semestre dos cursos de Engenharia, além da teoria bem estruturada para apoiar os conceitos. Bons estudos e força sempre.
Cálculo da média, variância, desvio padrão, coeficiente de assimetria e coeficiente de curtose da distribuição de Poisson. Veja ainda resoluções envolvendo o coeficiente de variação e os momentos da distribuição de poisson usando a função geratriz de momentos.
Semelhante a Sistemas dinâmicos caóticos [com minha participação] (20)
Estudo das bifurcações de codimensão um em sistemas unidimensionais, sendo o termo "bifurcação de codimensão um" relacionado a mudanças no tipo de estabilidade de pontos de equilíbrio ao se variar um único parâmetro do sistema. Três tipos de bifurcação são analisados: bifurcação sela-nó, bifurcação transcrítica e bifurcação de forquilha, juntamente com o diagrama de
bifurcação, que ilustra cada tipo de bifurcação.
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1. Sistemas Dinâmicos
Caóticos
Elton Ribeiro da Cruz
Licenciando em Matemática
Orientadora: Profa. Dra. Maria do Carmo Pacheco de Toledo Costa
UFLA – Lavras – MG
2º Semestre de 2011
2. Introdução
• A humanidade procurou descrever os
fenômenos que se passam no universo,
utilizando as Ciências Naturais.
• Mas qual como fazer um modelo capaz de
simular esses fatos e acontecimentos?
• Sistemas de Equações Diferenciais e Equações
de Diferenças!
3. Equações Diferenciais
• Igualdade que envolve uma
função desconhecida e sua
taxas de variação, as
derivadas, com diferentes
ordens.
• Exemplo: Equação de Euler
Equações de Diferenças
)(
2
2
xfcy
dx
dy
bx
dx
yd
ax
• Equação onde envolvem as
diferenças entre os
sucessivos valores de uma
função de variável inteira.
• Exemplo: Modelo
Populacional de Malthus
)()1()1( tNrtN
São muito importantes! Aparecem em muitos ramos da
Ciência, como a Economia, Geografia, Geologia, Biologia,
Química... E até mesmo na Música!
4. Os Sistemas Dinâmicos
• São conjuntos de uma ou várias equações
diferenciais (ou de diferenças), cujo estado
muda com o tempo.
• Uma forma de se tentar prever o futuro (ou
explicar o passado) de modo científico.
5. Classificação dos Sistemas
Dinâmicos
Segundo Monteiro (2006), são classificados pelos
atributos de cada modelo:
• Em relação à variável de tempo, podem ser de tempo
contínuo ou de tempo discreto;
• Quanto ao tipo de modelo, um sistema pode ser linear
ou não linear;
• Em relação aos parâmetros, pode ser a parâmetros fixos
ou dependentes do tempo;
• Quanto à derivada, pode ser ordinárias ou parciais;
• Quanto à memória, um sistema pode ser instantâneo ou
dinâmico.
6. Sistemas Dinâmicos
Caóticos
De acordo com o livro texto de Villate (2007) ,
um sistema é caótico se apresenta as seguintes
características:
• Possuem comportamento aleatório, não
periódico;
• Sensibilidade às condições iniciais;
• Estrutura fractal.
7. Para esboçar os gráficos e figuras serão utilizados os
programas:
• Maxima – Sistema algébrico computacional
(CAS) manipulador de equações algébricas.
• Xaos – Programa criador de figuras fractais,
associadas à dinâmica caótica.
8. O Modelo Populacional de
Verhulst: Caso contínuo
• Pierre François de Verhulst (1804-1849)
propôs um modelo não linear para tentar
prever o crescimento populacional de uma
espécie, a Equação Logística:
Com r > 0 e k > 0.
)(1 NF
k
N
rN
dt
dN
9. • A equação logística é do tipo separável, basta
isolar os termos dependentes de N dos termos
dependentes de t.
• Fazendo algumas manipulações algébricas e
integrando temos a solução:
Sendo N0 uma condição inicial em t = 0.
rt
rt
eNNk
keN
tN
00
0
)(
)(
10. Campo de direções do Modelo de Verhulst tomando, por exemplo,
k = 3 e r = 1, com algumas curvas para valores distintos de N0
Comandos utilizados no Maxima:
load("plotdf")$
plotdf(y*(1-(y/3)), [xcenter,4], [ycenter,4], [xradius,5],
[yradius,5]);
11. Análise da função N(t)
• Em geral, para qualquer N0 > 0, tem-se:
• Se N0 = 0 ou N0 = k, o sistema permanece no
valor inicial para sempre, porque dN/dt = 0;
• Se N0 > k a taxa dN/dt é negativa, indicando
que N(t) decresce até o valor limite N(t) = k;
• Caso 0 < N0 < k, dN/dt é positivo e o valor de
N(t) cresce até atingir N(t) = k.
ktN
t
)(lim
12. • Agora seja F(N) dada por:
• Essa função é uma parábola com concavidade
voltada para baixo, tendo um ponto de máximo
em N = k/2.
• Para 0 < N0< k/2, N(t) apresenta comportamento
sigmoidal (com forma de “S”), com ponto de
inflexão em N(t) = k/2. Isso significa que a
população cresce até atingir o valor de k/2 e
depois cresce mais lentamente;
• Para N0 ≥ k/2, a função cresce monotonamente até
alcançar N(t) = k.
k
N
rNNF 1)(
13. • A forma discreta do Modelo de Verhulst é dada por:
• Podendo ser reescrita como:
Sendo:
A equação é chamada de mapa logístico. Possui uma riqueza
de comportamentos conforme varia o parâmetro µ.
O Modelo Populacional de
Verhulst: Caso discreto
)1()( 1 tttt xxxxF
01,
)1(
rN
rk
r
x tt
k
N
rNNN t
ttt 11
14. Análise da função F(xt)
• É uma parábola com concavidade voltada para baixo,
tendo um ponto de máximo em xt = 1/2.
• Se o parâmetro está situado no intervalo 0 < µ ≤ 4 e
0 ≤ x0 ≤ 1, então xt (t = 1, 2,...) também pertence ao
intervalo [0, 1].
• Caso µ > 4, em alguma iteração se obtém um ponto xt
negativo, embora 0 < x0 < 1.
15. • De acordo com Monteiro (2006), seja xt um ponto
localizado na vizinhança do ponto fixo x*, denotado por:
Sendo ηt = xt − x* e |ηt| << 1.
O ponto xt+1 pode ser escrito como:
• Desse modo, a estabilidade de x* é determinada
comparando as distâncias |ηt| e |ηt+1|.
• Se |ηt+1| < |ηt|, então x* é assintoticamente estável; se
|ηt+1| > |ηt|, x* é instável.
,*
tt xx
1
*
1
*
1 )()(
tt
ttt
xx
xfxfx
16. • Considere a distância |ηt| “pequena”. Expandindo f(xt)
na série de Taylor em torno de x* e tomando apenas
até o termo linear, obtém-se:
• Como f(xt) = x* + ηt+1 e f(x*) = x*, a expressão acima
pode ser simplificada para:
• Sendo λ um autovalor dado por:
t
xx
tt
dx
xdf
xfxfxf
*
** )(
)()()(
tt 1
*
)(
xxdx
xdf
17. • |ηt + 1| < |ηt| implica −1 < λ < 1, o que corresponde à
estabilidade assintótica.
Se 0 < λ < 1, as sucessivas iterações aproximam-se de x*
monotonamente.
Se −1 < λ < 0, as sucessivas iterações aproximam-se de x*
de forma oscilatória.
• No caso em que |ηt + 1| > |ηt|, indica instabilidade.
Para λ > 1, as sucessivas iterações afastam-se
monotonamente de x*.
Para λ < −1, elas se afastam de modo oscilatório. Nesses
casos, x* é um ponto fixo instável.
18. Voltando ao Mapa
Logístico...
• Para saber quais são os ponto fixos de F(xt),
basta resolver a equação F(x*) = x*:
0
1
1
)1(
**
***
xx
xxx
0*
1x
1
1*
2xou
19. • Tem-se que dF/dx = µ(1 − 2x). Então, os autovalores
associados são:
• Logo, a origem é assintoticamente estável para 0 ≤ µ < 1 e
instável para µ > 1. O outro ponto fixo é instável para µ < 1
ou µ > 3 e assintoticamente estável para 1 < µ < 3.
• A convergência para x* = 1 − (1/µ) é monótona para 1 < µ < 2,
e oscilatória para 2 < µ < 3.
• Se 3 < µ < 4, aparecem órbitas periódicas.
• Conforme aumenta o valor de µ, o número de órbitas
periódicas vai aumentando até que a evolução do mapa se
torna desordenada.
2
1
1
2
0
1
x
x
dx
dF
dx
dF
20. Considere agora alguns casos de evolução do mapa logístico
onde 0 < µ ≤ 4, com x0 = 0,1:
• Para µ = 2, os pontos fixos são x1
* = 0 e x2
* = 1/2. Os
autovalores valem, respectivamente, λ1 = 2 e λ2 = 0.
Assim, a origem é instável e outro ponto é
assintoticamente estável.
• Para µ = 3,1; os pontos fixos são x* = 0 e x* ≈ 0,677. Os
autovalores valem, respectivamente, λ1 = 3,1 e λ2 ≈ −1,1.
Logo, a origem e o ponto x* ≈ 0,677 são instáveis.
• Para µ = 4, os pontos fixos são x* = 0 e x* = 3/4. Os
autovalores valem, respectivamente, λ1 = 4 e λ2 = −2.
Logo, a origem e o ponto x* = 3/4 são instáveis.
Mas o que houve para obtermos dois pontos fixos instáveis?
21. Diagrama de degraus do mapa logístico com valor inicial
x0 = 0,1 e µ = 2
Comandos utilizados no Maxima:
load("dynamics")$
staircase(2*y*(1-y), 0.1, 15,[y, 0, 1]);
A sequência para
µ = 2 converge
rapidamente para o
ponto fixo x* = 1/2
22. Diagrama de degraus do mapa logístico com valor inicial
x0 = 0,1 e µ = 3,1
Comandos utilizados no Maxima:
load("dynamics")$
staircase(3.1*y*(1-y), 0.1, 15,[y, 0, 1]);
Aparece aqui uma
órbita de período 2.
23. Diagrama de degraus do mapa logístico com valor inicial
x0 = 0,1 e µ = 4
Comandos utilizados no Maxima:
load("dynamics")$
staircase(4*y*(1-y), 0.1, 15,[y, 0, 1]);
O estado do
sistema evolui sem
seguir nenhum
padrão, implicando
a presença de caos.
24. Observações
• Quando o comportamento do mapa logístico é
periódico, é fácil prever as condições futuras, pois
obedecem a uma regularidade que, em longo
prazo, se estabiliza na forma de um atrator.
• Mas, no regime caótico, quaisquer variações nas
condições presentes (condições iniciais)
provocam grandes variações nas condições
futuras. O atrator perde qualquer regularidade, por
isso é denominado atrator estranho.
25. • A melhor maneira de observar a transição para
o comportamento caótico é traçando o
conjunto de atratores do mapa logístico para
diferentes valores do parâmetro μ.
• Esta transição para o caos é conhecida como
rota de duplicação de período. As duplicações
ocorrem nos pontos de bifurcação.
• Bifurcação é um ponto onde há perda de
estabilidade do atrator.
26. Existem três tipos diferentes de atratores para o
mapa logístico:
• Atrator tipo ponto fixo, quando o sistema
evolui para um único ponto;
• Atrator tipo duplo ciclo, quando se estabiliza
numa repetição de dois pontos;
• Atrator estranho, quando não há um padrão de
repetição.
27. Por fim, a verdadeira face do mapa logístico é dado pelo
diagrama de órbitas:
1 bifurcação
2 bifurcações
4 bifurcações
Comandos utilizados no Maxima:
load("dynamics")$
orbits(x*y*(1-y), 0.5, 50, 200, [x, 0.5, 4], [style, dots]);
2n bifurcações
↓
Caos
28. O Conjunto de Mandelbrot
• É “um agrupamento de números complexos cuja
sequência, com valor inicial na origem, não tende
para o infinito” (Villate, 2007).
• É gerado pelo mapa quadrático:
sendo C uma constante complexa.
• Trata-se de um sistema discreto no plano complexo.
,0
)(
0
2
1
z
Czzzf nnn
29. Representação gráfica do Conjunto de Mandelbrot:
Cardioide
Círculo
exato
Infinidade de
quase
círculos
Figura fractal
30. • Recebeu esse nome em homenagem ao matemático francês
Benoit Mandelbrot (1924-2010).
• Ele propôs um novo conceito de Geometria, a Geometria
Fractal.
• Historicamente, o conjunto de Mandelbrot foi definido pela
primeira vez em 1905 por Pierre Fatou (1878-1929), um
matemático francês que trabalhou no campo da dinâmica
analítica complexa.
• Fatou percebeu que a órbita de z0 = 0 sob a transformação z →
z2 + C forneceria alguma introspecção sobre o comportamento
de tais sistemas. Fatou não teve acesso a um computador capaz
de plotar as órbitas de todas essas funções, mas ele tentou
fazer isso a mão. Ele provou que uma vez que um ponto atinge
uma distância da origem maior que 2, a órbita explode para o
infinito. Mais adiante, Mandelbrot foi a primeira pessoa a
utilizar um computador para plotar o conjunto.
31. O conceito de Fractal
• O fractal é uma figura da Geometria não
euclidiana (no caso, a Geometria fractal), em
que suas partes se repetem recursivamente em
escalas menores e menores;
• A palavra fractal lembra frações, fragmentos;
• Podem ser gerados por sistemas de funções
iterativas, relações de recorrência em cada
ponto do espaço (plano complexo) ou de forma
aleatória.
32. Exemplos de fractais naturais:
• O litoral de um país banhado pelo mar;
• A superfície de uma montanha;
• As nuvens;
• Um rio e seus afluentes;
• Os sistemas de vasos sanguíneos;
• A samambaia.
33. O Conjunto de Julia
• É um conjunto de números no plano complexo que
conduzem a órbitas limitadas, segundo a definição de
Villate (2007).
• Nome em homenagem a Gaston Julia (1893-1978), um
matemático francês.
• A iteração segue de forma similar ao obter o conjunto de
Mandelbrot, porém mantendo a constante C fixa e variando
o valor de zn.
• Para desenhar o conjunto, selecionam-se vários pontos
numa região e calcula-se a sequência de iterações do mapa
quadrático, até que a sequência dê um valor complexo com
módulo maior que 2, ou n for igual a um número máximo
de iterações.
34. • A estrutura da figura formada é fractal, porque
analisando uma parte menor da estrutura
corresponde aproximadamente ao todo.
• E alterando o número de iterações não altera
significativamente o tamanho. Apenas os
limites da figura tornam-se mais definidos.
• O Conjunto de Mandelbrot atua como um
“catálogo” de Conjuntos de Julia, porque cada
ponto no plano complexo corresponde a um
Conjunto de Julia diferente.
35. Alguns exemplos
Conjunto de Julia para
C = 0,342326 + 0,011800i
Zoom no ponto
0,473543583473 + 0,29002384797i
36. Alguns exemplos
Conjunto de Julia para
C = −1,202980 + 0,011088i
Zoom no ponto
−0,375770304757 − 0,239417314410i
38. Observações
• Os Conjuntos de Julia interessantes correspondem aos
pontos próximos à fronteira do Conjunto de
Mandelbrot: pontos mais internos ao conjunto de
Mandelbrot correspondem a formas geométricas
relativamente simples, enquanto os pontos mais
externos lembram poeira rodeada por manchas de
cores.
• O conjunto de Mandelbrot também “contém” estruturas
semelhantes aos conjuntos de Julia; de fato, para
qualquer valor de C, a região do conjunto de
Mandelbrot ao redor de C lembra o centro do conjunto
de Julia com parâmetro C.
39. Referências Bibliográficas
• ALMEIDA, R. M. C. de. A Ciência da Complexidade. Física na Escola, Porto Alegre, v. 6, n. 1. 2005.
Disponível em: < http://www.sbfisica.org.br/fne/Vol6/Num1/complexidade.pdf >. Acesso em: 18 out. 2011.
• CONJUNTO DE MANDELBROT. Disponível em:
<http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Mandelbrot>. Acesso em: 16 nov. 2011.
• CONJUNTO DE JULIA. Disponível em: <http://pt.wikipedia.org/wiki/Conjunto_de_Julia>. Acesso em: 16
nov. 2011.
• FIGUEIREDO, D. G. de; NEVES, A. F. Equações Diferenciais Aplicadas. Rio de Janeiro, Instituto de
Matemática Pura e Aplicada, CNPq, 1997. 301 p. (Coleção Matemática Universitária)
• MONTEIRO, L. H. A. Sistemas Dinâmicos. 2ª ed. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2006. 625 p.
• UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS. Introdução ao Caos em Sistemas Dinâmicos. Disponível em:
<http://www.geocities.ws/projeto_caos_ufg/minicurso/aula1.html>. Acesso em: 14 nov. 2011.
• VILATTE, J. E. Introdução aos sistemas dinâmicos: uma abordagem prática com Máxima. Porto, 2007.
Disponível em: <http://fisica.fe.up.pt/maxima/book/sistdinam-1_2.pdf>. Acesso em: 17 out. 2011.