O documento aborda a distribuição de Poisson, apresentando fórmulas para probabilidade, valor esperado, variância e coeficientes de assimetria e curtose. Exemplos práticos são fornecidos, incluindo a análise de acidentes domésticos com média diária de 1, bem como a presença de menores nos acidentes. É discutida a importância da função geradora de momentos e suas aplicações em variáveis aleatórias associadas à distribuição de Poisson.

1. Distribuição de Poisson
Anselmo Alves de Sousa
July 21, 2016

2. concurseiro_estatistico@outlook.com

3. Distribuição de Poisson
P(X = x) =
λx
e−λ
x!
, x = 0, 1, 2, . . .
Valor Esperado: µ = E(X) = λ
Variância: σ2
= V ar(X) = λ ⇒ σ =
√
λ
Coeciente de Assimetria: α3 = 1/
√
λ
Coeciente de Curtose: α4 = 3 + 1/λ
Função Geratriz de Momentos: MX(t) = E(etX
)

4. Preliminares
Regras de derivação:
Se f(x) = h(x) + g(x) ⇒ f (x) = h (x) + g (x)
Se f(x) = h(x)g(x) ⇒ f (x) = h (x)g(x) + h(x)g (x)
Se f(x) = eg(x)
⇒ f (x) = g (x)eg(x)
Outros Resultados importantes:
∞
x=0
λx
x!
= 1 + λ +
λ2
2!
+
λ3
3!
+ . . . = eλ
∞
x=0
λet x
= 1 + λet
+
(λet
)2
2!
+
(λet
)3
3!
+ . . . = eλet

5. FGM da Poisson
P(X = x) =
λx
e−λ
x!
, x = 0, 1, 2, . . .
MX(t) = E(etX
) =
∞
x=0
etx
·
λx
e−λ
x!
= e−λ
∞
x=0
(λet
)x
x!
= e−λ
1 + λet
+
(λet
)2
2!
+
(λet
)3
3!
+ . . .
= e−λ
eλet
= eλet
−λ
= exp[λ exp(t) − λ]

6. Importância da FGM
MX(t) = E(etX
)
MX(t) = E(X · etX
) ⇒ MX(0) = E(X)
MX(t) = E(X2
· etX
) ⇒ MX(0) = E(X2
)
MX(t) = E(X3
· etX
) ⇒ MX(0) = E(X3
)
. . . = . . .
M
(n)
X (t) = E(Xn
· etX
) ⇒ M
(n)
X (0) = E(Xn
)

7. Média, Variância e Desvio Padrão da Poisson
P(X = x) =
λx
e−λ
x!
, x = 0, 1, 2, . . . ⇒ MX(t) = exp[λ exp(t) − λ]
MX(t) = exp
g(t)
[λ exp(t) − λ] = eg(t)
MX(t) = λ exp(t) exp[λ exp(t) − λ] = λ exp(t)MX(t)
MX(0) = λ exp(0) [λ exp(0) − λ]
MX(0) = λ exp [λ − λ] = λ exp(0) = λ ⇒ E(X) = λ

8. Média, Variância e Desvio Padrão da Poisson
V ar(X) = E(X2
) − E(X)2
MX(t) = exp [λ exp(t) − λ]
MX(t) = λ exp(t)MX(t)
MX(t) = λ exp(t)MX(t) + λ exp(t)MX(t)
= λ exp(t) MX(t) + MX(t)
MX(0) = λ exp(0) MX(0) + MX(0) = E(X2
) = λ (1 + λ)
V ar(X) = E(X2
) − E(X)2
= λ + λ2
− λ2
= λ e σ =
√
λ

9. CESPE/UnB SEI/SAEB 2012
A quantidade diária de acidentes domésticos X segue
uma distribuição de Poisson. Sabe-se que a média da variável
aleatória X é igual a 1 acidente por dia. Em 70% dessas
ocorrências de acidentes, há envolvimento de pessoas menores
de idade. A partir dessas informações, julgue os itens que se
seguem.
70. ln[P(X = 0)] = −1.
71. A quantidade diária de acidentes domésticos que têm o
envolvimento de pessoas menores de idade segue uma
distribuição de Poisson com média igual a 0, 7 acidente/dia.
72. O coeciente de variação da distribuição X é igual a 1.

10. CESPE/UnB SEI/SAEB 2012
70. Para λ = 1 acidente/dia
P(X = x) =
λx
e−λ
x!
, x = 0, 1, 2, . . . ⇒ P(X = x) =
e−1
x!
Consequentemente:
P(X = 0) = e−1
⇒ ln[P(X = 0)] = ln e−1
= −1
Certo!

11. CESPE/UnB SEI/SAEB 2012
71. Para os acidentes envolvendo menores λ1 = 0, 70 acidente/dia
P(X = x) =
λx
e−λ
x!
, x = 0, 1, 2, . . . ⇒ P(X = x) =
0, 70x
e−0,70
x!
Certo!

12. CESPE/UnB SEI/SAEB 2012
72. Para X ∼ Poisson(λ) ⇒ E(X) = λ e σ =
√
λ.
CV (X) =
σ
µ
=
√
λ
λ
=
1
√
λ
= 1
Errado!

13. Próxima Aula
Coeciente de Assimetria
α3 = E
(X − µ)3
σ3
Coeciente de Curtose
α4 = E
(X − µ)4
σ4