O documento discute técnicas de interpolação para estimar valores de uma função f(x) entre pontos amostrados. A interpolação polinomial aproxima f(x) por um polinômio que passa exatamente pelos pontos amostrados, enquanto a interpolação de Lagrange e Newton usam fórmulas que dependem das diferenças divididas entre os pontos.

1. Interpolação

2. A necessidade de obter um valor
intermediário que não consta de uma
tabela ocorre comumente
 Dados experimentais, tabelas estatísticas
e de funções complexas são exemplos
desta situação.
 Como obter estes dados?


3. 
Dado um conjunto de dados {xi,f(xi)} tal como na
tabela abaixo:
xi
f(xi)


0
0,001
1,5
3,0
4,5
6,0
0,016
0,028
0,046
0,057
Como obter o valor de f(x) para um valor de x que
não tenha sido medido, como x=2.0 ?
Quando se deseja saber o valor de f(x) para um x
intermediário entre duas medidas, isto é, xi<x<xi+1,
pode-se usar as técnicas da interpolação

4. 


A interpolação consiste em determinar uma
função, que assume valores conhecidos em
certos pontos (nós de interpolação)
A classe de funções escolhida para a
interpolação é a priori arbitrária, e deve ser
adequada às características que pretendemos
que a função possua
Função a ser considerada:
 Polinômios ⇒ Interpolação Polinomial

5. 
Métodos de interpolação polinomial são
utilizados para aproximar uma função f(x),
principalmente nas seguintes situações:
 conhece-se apenas valores de f(x) em
apenas pontos discretos x0, x1 , x2 , ...
 f(x)
é extremamente complicada e de difícil
manejo
 f(x) não é conhecida explicitamente

6. 
A interpolação por meio de polinômios consiste em:

Interpolar um ponto x a um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)},
significa calcular o valor de f(x), sem conhecer a forma
analítica de f(x) ou ajustar uma função analítica aos dados

7. 
Interpolação polinomial consiste em se obter um polinômio p(x)
que passe por todos os pontos do conjunto de (n+1) dados
{xi,f(xi)}, isto é:
p(x0)=f(x0)
p(x1)=f(x1)
…
p(xn)=f(xn)
Obs: contagem começa em zero, portanto tem-se n+1 pontos na expressão

8. 
Polinômio p(x) - polinômio interpolador
 Pode-se demonstrar que existe um único
polinômio p(x) de grau menor ou igual a n que
passa por todos os (n+1) pontos do conjunto
{xi,f(xi)}
p n (x 0
)=
2
n
a 0 + a 1 ⋅ x 0 + a 2 ⋅ x 0 + ... + a n ⋅ x 0 = f
(x )
0
2
n
p n ( x 1 ) = a 0 + a 1 ⋅ x 1 + a 2 ⋅ x 1 + ... + a n ⋅ x 1 = f ( x 1 )
...
2
n
p n (x n ) = a 0 + a 1 ⋅ x n + a 2 ⋅ x n + ... + a n ⋅ x n = f (x n )

9. 
O conjunto de equações corresponde a um
sistema linear de n+1 equações e n+1 variáveis
 Quais
são as variáveis independentes? ai
ou xi ?
 Poderia
ser resolvido diretamente
 Essa é uma das formas de se obter o
polinômio interpolador

10. f ( x ) ≈ P ( x ) = a0 +a1x
1
P ( x0 ) = y 0
1
P ( x1 ) = y1
1
a0 +a1x0 = y0

a0 +a1x1 = y1
1
⇔ 
1
x0  a0 
 y0 
 a  =  y 
x1   1 
 1
y1 − y0
P ( x ) = y0 +
( x − x0 )
1
x1 − x0

11. Problema

Determinar o polinômio interpolador
através da resolução de um sistema linear
é caro computacionalmente

Outros modos de se obter o polinômio:
 Lagrange
 Newton

12. 
Seja um conjunto de n+1 dados {xi,f(xi)}.
Encontrar um polinômio interpolador p(x)
que passe por todos os pontos
p(x) = L0(x) ⋅ f (x0) + L1(x) ⋅ f (x1)+...+Ln (x) ⋅ f (xn)
Lk(x) são polinômios tais que:
Lk ( xi ) = δ ki
sendo que:
0 se , k ≠ i
δ ki = 
1 se , k = i

13. (x − x )⋅ (x − x )⋅ ...⋅(x − x )⋅ (x − x )⋅ ...⋅(x − x )
L ( x) =
(x − x )⋅ (x − x )⋅...⋅(x − x )⋅ (x − x )⋅ ...⋅(x − x )
0
k −1
1
k +1
n
k
k
0
k
Pois:
Lk ( x k ) = 1 e
Lk ( xi ) = 0 se, i ≠ k
1
k
ki −1
k
ki +1
k
n

14. Interpolação Linear

Interpolação para 2 pontos (n+1=2) ajuste de retas (n=1) (Interpolação
Linear)
x
x
x
i
0
f(xi)
p ( x) =
1
f(x0)
f(x1)
1
∑ L ( x). f ( x ) = L ( x). f ( x ) + L ( x). f ( x )
i= 0
i
i
0
0
1
1

15. 
Ajuste uma reta aos seguintes pontos
(x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6)
 x − x1 
 x − x0 
p( x ) = 
 x − x  ⋅ f ( x0 ) +  x − x  ⋅ f ( x1 )



 0 1
 1 0

16. 
Ajuste uma reta aos seguintes pontos
(x;f(x)): (2; 3,1) e (4; 5,6)
 x − x1 
 x − x0 
p( x ) = 
 x − x  ⋅ f ( x0 ) +  x − x  ⋅ f ( x1 )



 0 1
 1 0
 x − 4
 x − 2
p( x ) = 
⋅ 3 .1 + 

 ⋅ 5.6 = − 1.55 ⋅ ( x − 4 ) + 2.8 ⋅ ( x − 2)
 2− 4
 4− 2
p ( x ) = 1.25 ⋅ x + 0.6

17. Forma de Newton
p ( x ) = d 0 + d 1( x − x 0) + d 2( x − x1)( x − x 0) + ... +
dn ( x − xn − 1)( x − xn − 2)...( x − x 0)
dn -> é o operador diferença dividida

18. Diferenças divididas
Ordem 0
f [ x 0] = f ( x 0)
f [ x 0, x1] =
f [ x1] − f [ x 0]
f ( x1) − f ( x 0)
=
x1 − x 0
x1 − x 0
f [ x 0, x1, x 2] =
f [ x1, x 2] − f [ x 0, x1]
x 2 − x0
f [ x 0, x1, x 2, x 3] =
f [ x1, x 2, x 3] − f [ x 0, x1, x 2]
x3 − x 0
Ordem 1
Ordem 2
Ordem 3

19. Ordem 0
f [ x 0]
Ordem 1
Ordem 2
f [ x 0, x1]
f [ x 0, x1, x 2]
f [ x1]
f [ x 2]
f [ x 3]
...
f [ xn ]
f [ x1, x 2]
f [ x 2 , x 3]
...
f [ x1, x 2, x3]

20. Exemplo

Calcule a tabela de diferenças divididas
para os seguintes valores:
x
-1
0
1
2
3
F(x)
1
1
0
-1
-2

21. 1
0
1
- 1/2
-1
0
1/6
0
-1
-1
-2
0
0
-1
- 1/24

22. 
Mas qual o valor de d?
d 0 = f ( x 0)
d 1 = f [ x 0, x1]
d 2 = f [ x 0, x1, x 2]
dn = f [ x 0, x1,...xn ]

23. 
Assim,
p ( x ) = f ( x 0) + f [ x 0, x1]( x − x 0) +
f [ x 0, x1, x 2]( x − x1)( x − x 0) + ... +
f [ x 0, x1,...xn ]( x − xn − 1)( x − xn − 2)...( x − x 0)