O documento discute estratégias para ensinar cálculo e resolução de problemas matemáticos de forma significativa para os alunos. Ele enfatiza que os problemas matemáticos devem ser usados para desencadear atividades matemáticas e permitir que os alunos estabeleçam relações entre conceitos, em vez de apenas treinar algoritmos. Também discute estratégias como cálculo mental, uso de materiais manipuláveis e jogos para ajudar os alunos a desenvolver compreensão conceitual.

1. Resolução
e
Formulação de Problemas
O. E.: ARIANNA
Prefeitura de Jundiaí
06/10/2014
CADERNO 4

2. Mudança de concepção: PROBLEMA
ANTES: PROBLEMAS MATEMÁTICOS ERAM UTILIZADOS COMO FORMA DE
TREINAR O USO DE ALGORITMOS.
X
HOJE: RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DEVE DESENCADEAR A ATIVIDADE
MATEMÁTICA, POSSIBILITANDO QUE OS ALUNOS ESTABELEÇAM DIFERENTES
TIPOS DE RELAÇÕES ENTRE OBJETOS, AÇÕES E EVENTOS A PARTIR DO MODO
DE PENSAR DE CADA UM ESTABELECENDO LÓGICAS PRÓPRIAS, A PARTIR DAS
QUAIS, OS ALUNOS PODEM SIGNIFICAR OS PROCEDIMENTOS DA RESOLUÇÃO E
CONSTUIR OU CONSOLIDAR CONCEITOS MATEMÁTICOS PERTINENTES À
SOLUÇÃO.

3. CAMPOS CONCEITUAIS – VERGNAUD
emaranhado de conceitos
Nunca um
conceito
aparece
isolado
As crianças
poderão
estabelecer
relações entre o
que a situação
propõe pelo
enunciado e os
conhecimentos
matemáticos a ela
pertinentes.

4. • Não se pode descolar a adição da subtração, assim como não se separa a
multiplicação da divisão, e não há somente um caminho para solucionar os
problemas.
• Primeiro você apresenta a situação-problema. Só depois de ela ser elaborada
pelos alunos é possível começar a discussão sobre as possíveis estratégias
para resolvê-la.
• O aluno pode não ter familiaridade com o algoritmo nem perceber que a
adição repetida faz parte do caminho para a multiplicação, mas vai se
apropriando da operação com as ferramentas que já possui.
• Relações matemáticas que podem ser trabalhadas nas séries iniciais – a
proporcionalidade (direta e inversa), a organização espacial e a combinatória.
• A tendência é que a diversidade de questões e de resoluções cresça, assim
como a rede de saberes do próprio aluno.
• Fonte Nova Escola: Caderno Especial Teoria Campo Multiplicativo
Conclusão

6. •É importante lembrar que a compreensão dos
conceitos próprios das operações requer
coordenação com os diferentes sistemas de
representação.
•Como afirmam Nunes, Campos, Magina e Bryant:
“[...] enfatizar o raciocínio não significa deixar de
lado o cálculo na resolução de problemas:
significa calcular compreendendo as propriedades
das estruturas aditivas e das operações de adição
e subtração.” (2005, p. 56)

7. O QUE É ALGORITMO?
SÃO PROCEDIMENTOS DE CÁLCULO QUE ENVOLVEM TÉCNICAS
COM PASSOS OU SEQUÊNCIAS DETERMINADAS QUE CONDUZEM A
UM RESULTADO (é uma das maneiras de se “fazer contas”).
AS OPERAÇÕES DEVEM ESTAR IMERSAS EM SITUAÇÕES-
PROBLEMA PARA QUE HAJA UM ENTENDIMENTO SOBRE
SEUS USOS EM DIFERENTES CONTEXTOS E PRÁTICAS
SOCIAIS
POR ISSO:
IMPORTANTE: O Cálculo deve estar fundamentado
na compreensão das propriedades do SND que
sustentam o algoritmo (COMPREENSÃO
CONCEITUAL).

8. Problema
É definido aqui como qualquer tarefa ou
atividade na qual os estudantes não tenham
nenhum método ou regra já receitados ou
memorizados e nem haja uma percepção
por parte dos estudantes de que haja um
método “correto” específico de solução.
(Hiebert et al., 1997)
Os estudantes devemresolverproblemas não
paraaplicarmatemática, mas paraaprender
novamatemática. (Van deWalle, 2009)

9. SITUAÇÕES-PROBLEMA: RESOLVA
MENTALMENTE
Tenho R$400,00 e vou gastar R$48,00. Com quantos reais
vou ficar?
Meu irmão tinha R$ 2699,00 e ganhou mais R$50,00 da
nossa avó. Quantos reais ele tem agora?
Quanto devo pagar por oito metros e meio de fita sendo
que o metro custa R$1,50?

10. TÉCNICA OPERATÓRIA
• Resolva do seu jeito, usando lápis e papel:
400 – 48 =
2699 + 50 =

11. VÍDEO: CÁLCULO MENTAL – FÁCIL OU DIFÍCIL?VÍDEO: CÁLCULO MENTAL – FÁCIL OU DIFÍCIL?

12. Estratégias de cálculo não
surgem do nada, precisam
ser trabalhadas em sala de
aula.

13. ESTIMULANDO AS ESTRATÉGIAS DE
CÁLCULO
CONTAGEM: Procedimento natural e bastante útil na
resolução de cálculos pelas crianças. Algumas contagens
importantes:
•contar para a frente;
•contar para trás;
•contar de 2 em 2, de 3 em 3, de 5 em 5, de 10 em 10;
•contar a partir de um determinado número;
Exemplo: Jogos de percurso.

14. PROPRIEDADE COMUTATIVA
 A propriedade comutativa da multiplicação é definida por “a x b = b x a”, ou
seja, a ordem dos fatores não altera o produto. É válida para qualquer
número natural. Por exemplo, 3 x 4 = 4 x 3, pois facilita a memorização e a
realização dos cálculos. Exemplo:
Um professor trabalha 4 horas por dia, de segunda-feira à sexta-feira.
Quantas horas ela trabalha nesse período da semana?
SEGUNDA TERÇA QUARTA QUINTA SEXTA
4 horas 4 horas 4 horas 4 horas 4 horas

15. • Joana precisa tomar 4 comprimidos por dia, durante 7 dias.
Quantos comprimidos Joana terá tomado durante esse período?
• Se Joana tomar 7 comprimidos em 4 dias, terá o mesmo efeito?
Houve a propriedade comutativa?
1 dia 2 dias 3 dias 4 dias 5 dias 6 dias 7 dias
1 dia 2 dias 3 dias 4 dias
PROPRIEDADE COMUTATIVA

16. MEMORIZAÇÃO DE FATOS
NUMÉRICOS
A tabuada pode agilizar processos de cálculos a partir
da memorização de resultados entre os fatores, desde
que:
A memorização deve ser consequência da adoção de
estratégias metodológicas que permitam a
construção/estruturação de regularidades entre os fatos
numéricos e a memorização dos mesmos por caminhos
diferentes da “decoreba” destituída de significado.

17. INVESTIGAÇÃO MATEMÁTICA NA
TABUADA
João Pedro da Ponte sugere o desenvolvimento de atividades
investigativas, nas quais os alunos são convidados a analisar
padrões e regularidades existentes nas operações. Observe:
•Construa a tabuada do 3.
•O que encontra de curioso nesta tabuada?
•Prolongue-as calculando 11 × 3, 12 × 3, 13 × 3.... E formule
algumas conjecturas.

18. • Construção de recursos
cognitivos que auxiliam a
memorização;
• Estabelecer relações entre
os fatos;
• Perceber regularidades
por processos
investigativos.
Pode-se pedir que os alunos façam registros escritos em
forma de textos das suas descobertas para que expressem
as relacionem com as propriedades do SND.

19. CONSTRUÇÃO DA TÁBUA DECONSTRUÇÃO DA TÁBUA DE
PITÁGORASPITÁGORAS

20. DOBROS E METADES
• Dobros e metades são fáceis de memorizar e podem
ser um recurso bastante interessante para o cálculo
mental. O reagrupamento em torno de um dobro pela
decomposição de uma das parcelas e o apoio da
propriedade associativa da adição permitem
relacionar os números de modo a facilitar o cálculo.

21. REAGRUPAR EM DEZENAS OU CENTENAS

22. 1. Leitura Deleite: “A reunião geral dos
ratos” – Fábula de Esopo
2. SOBRE CÁLCULOS E ALGORÍTMOS
(Caderno 4, P. 43 - 58).
 Explorar as estratégias inventadas pelos alunos
como procedimentos de cálculo mental. (
vídeo “Cálculo Mental)
 Utilizar recursos didáticos como ábaco, material
dourado, jogos e o quadro de centenas (Van de
Walle).

23. Apresentar atividades que promovem o
desenvolvimento de conceitos de valor
posicional e de base 10, envolvendo contagem.
 Promover o estabelecimento de padrões e
relações com números de múltiplos algarismos.
 Explorar o cálculo envolvendo as operações de
adição e subtração e suas propriedades.
 Explorar relações de dobros e metades.

24. ATIVIDADES:
1. Em pequenos grupos, leitura do texto “Sobre
Cálculos e Algorítmos”, pp. 43-46
2. Análise do jogo de percurso “Coelhinho
procurando a toca”, pp. 46-47
3. Elaboração de jogos de percurso para o
desenvolvimento do raciocínio aditivo e
multiplicativo. Apresentação e exposição do
material elaborado.

25. ALGORITMOS TRADICIONAIS (Cad. 4, p. 59)
A expressão “fazer contas” faz parte do cotidiano
escolar. Até o momento mostramos que o “fazer contas”
pode ser realizado de diferentes maneiras. O algoritmo
tradicional é uma dessas maneiras e é sobre ele que
trataremos a seguir.
O algoritmo tradicional das operações permite realizar
cálculos de uma maneira ágil e sintética principalmente
quando envolve números altos. Possibilita, também,
ampliar a compreensão sobre o Sistema de Numeração
Decimal (SND).

26. O ábaco é considerado, historicamente, como o
precursor da calculadora e conhecido como a
primeira máquina de calcular construída pelo
homem. Há diferentes modelos de ábaco, todos
eles com o mesmo princípio constitutivo do SND
que permite o trabalho centrado no valor
posicional do número.
O material dourado, o ábaco e o Quadro Valor
Lugar (QVL), são recursos que podem ser
utilizados, para favorecer a compreensão dos
algoritmos tradicionais.

27. Por razões didáticas, para o ciclo de alfabetização,
sugerimos atividades com o ábaco aberto e apenas
até a ordem das unidades de milhar. Isto porque, a
ideia é que depois disso, o algoritmo já esteja
consolidado, não sendo mais necessário o uso de
materiais manipuláveis. (p. 59)
Como podemos trabalhar os algoritmos tradicionais
com o material dourado e com o ábaco, tendo como
base o trabalho sugerido com agrupamentos em
base dez? (Ver p. 59-60, Cad. 4)

28. Inicialmente sugerimos que as crianças joguem o
Jogo “Nunca Dez” utilizando as peças do Material
Dourado. Deste modo, se familiarizarão com as
trocas e destrocas possíveis.
Também sugerimos que realizem o mesmo jogo
com o Ábaco. Nesse caso, as trocas e destrocas
assumirão características diferentes, uma vez
que unidades, dezenas e centenas são
determinadas pela posição que ocupam no
ábaco.

29. Tarefa para casa
Leitura/estudo do texto iniciado com o
item: “Adição sem agrupamento ou
reserva”, seguido dos demais itens. (pp.
61-69)
Objetivo: Analisar as situações
propostas para cada item e avaliar as
possibilidades do uso do material
dourado e do ábaco em sala de aula.

30. Intencionalidade Pedagógica
 Explorar habilidades de leitura no quadro de centenas.
 Valorizar os procedimentos pessoais dos alunos em
relação ao cálculo mental.
 Explorar as relações de regularidades que aparecem
no quadro de centenas.
 Trabalhar estratégias de cálculo, utilizando os recursos
didático: ábaco, material dourado, jogo e quadro de
centenas.
 Explorar as relações numéricas da adição e subtração
e evidenciar as propriedades dessas operações

31. 1.Leitura Deleite: “Brincar de pensar” – Clarice
Lispector
2. No caderno 4, o autor Van de Walle (2009)
refere-se às diversas “formas de calcular como
estratégias ‘inventadas’ e as define como
métodos pessoais e flexíveis de calcular que são
compreendidos pela pessoa que os usa. São
estratégias que podem ser feitas mentalmente ou
por escrito, mais rápidas e menos sujeita a erros
do que os algoritmos tradicionais, uma vez que
fazem sentido para quem as utiliza.”

32. “Para o autor o desenvolvimento dessas
estratégias inventadas, além de proporcionar
fluência no cálculo e possibilitar que se tornem
mais ágeis e cometam menos erros, expressam
uma compreensão rica e profunda do sistema
numérico, fornecendo uma base sólida para o
cálculo mental e por estimativas e contribuem
para o envolvimento num processo de “fazer
matemática”. (Cad. 4, p. 44)

33. Estratégias de cálculo diferentes das tradicionais
são construídas a partir da compreensão das
propriedades das operações e do Sistema de
Numeração Decimal de quem as “inventa”. Por
exemplo, cálculos realizados por decomposição
de números são utilizados com frequência por
facilitar e tornar mais ágil o processo e estão
apoiados na compreensão do princípio aditivo do
sistema de numeração decimal.

34. Atividades importantes para o desenvolvimento do
cálculo mental, da percepção de regularidades e
outras potencialidades, podem ser elaboradas a
partir do quadro de centenas como veremos
adiante inspirados nas propostas de Van de Walle.
(Vide slides 97 a 108)

42. Podemo
s usar
também
ábaco
de pinos
ou
material
dourado

44. Relações com números referência
Geralmente os marcos numéricos são decompostos nos cálculos. A
próxima atividade é dirigida ao marco numérico talvez mais
importante, a centena

47. Reagrupar em dezenas ou centenas
Caderno 4, pp. 56 –58
• Relacionar as continhas com o
quadro de centenas
• Analisar as operações de : Luis,
Carlos, Gabriel , Margarida

48. Retomada de alguns temas do Caderno 4 para
discussões e aprofundamentos
A proposta didática de Parra (1996) é que os alunos
possam articular o que sabem com o que têm que
aprender diante de situações partindo da análise dos
dados, buscando os procedimentos que lhes pareçam
mais úteis, discutindo suas escolhas e analisando sua
pertinência e sua validade. Nessa perspectiva, cada
cálculo é um problema novo e o caminho a ser seguido
é próprio de cada aluno, o que faz com que para uns
possa ser mais simples e, para outros, mais complexo.
(p. 45)

49. Contagem
A contagem é um procedimento natural e
bastante útil na resolução de cálculos pelas
crianças. Alguns procedimentos que auxiliam
no desenvolvimento de estratégias de cálculo
são: contar para frente; contar para trás;
contar de 2 em 2, 3 em 3, 5 em 5, 10 em 10;
contar a partir de um determinado número.
Dentre os procedimentos possíveis de serem
estimulados e propostos pelos professores
sugerimos alguns que descreveremos a seguir.

50. Exemplo de uma situação lúdica
Coelhinho procurando a toca
Objetivo do jogo: Contagem de 2 em 2
Materiais:
•1 tabuleiro;
•1 dado com três faces azuis e com três faces
vermelhas, contendo apenas o número 2 nas
faces; 3 peões (coelhinhos).
Número de jogadores: 3 jogadores

51. Recurso à propriedade comutativa (p. 48)
A propriedade comutativa da adição e da
multiplicação é um recurso importante para o
cálculo, uma vez que facilita a memorização e
também a realização dos cálculos.
Memorização de fatos numéricos (p.49)
Quando falamos em memorização como recurso
aos cálculos mentais, logo vem à mente a questão
da tabuada: decorar ou não decorar?
Leitura: O USO DA TABUADA EM SALA DE
AULA
Marina de Fátima Dolata – professora regente 2º. e
3º. Anos.

52. Dobros e metades (p.54)
Dobros e metades são fáceis de memorizar e
podem ser um recurso bastante interessante para
o cálculo mental. O reagrupamento em torno de
um dobro pela decomposição de uma das
parcelas e o apoio da propriedade associativa da
adição permitem relacionar os números de modo
a facilitar o cálculo.

53. O algoritmo tradicional das operações permite realizar cálculos de uma
maneira ágil e sintética principalmente quando envolve números altos.
Possibilita, também, ampliar a compreensão sobre o Sistema de
Numeração Decimal (SND). P. 59.
E os matérias como ábaco, quadro QVL e o material dourado são
recursos que podem ajudar na compreensão dos algoritmos tradicionais.
ALGORITMOS TRADICIONAIS

54. • 24+15=
•
• 24-11=

55. • 25+16 =
11= 10 + 1 = 1d + 1u
=
D U
1 2 5
+ 1 6
4 1

56. • 26 – 18=
=

57. D U
21 16
– 1 8
0 8

58. • O professora precisa estar atento aos recursos disponíveis em
seu meio, como reportagens, filmes, propagandas, visitas ao
supermercado, dialogo em sala de situações que acontecem
com eles, o uso da calculadora de forma direcionada, são meios
que podem ajudar no planejamento da matemática em sala de
aula de forma significativa.
AS OPERAÇÕES, AS PRÁTICAS SOCIAIS E A
CALCULADORA

59. EMEF Profº João Alcindo Vieira – Professora Claudia Simone – 3º ano

60. SEÇÃO COMPARTILHANDO
Atividade 6:
•Lembre-se das suas aulas e procure uma
situação em que você almejou a realização de
cálculo com objetivo apenas algorítmico e de
cálculo com objetivo de compreensão conceitual.
Com os conhecimentos adquiridos nesta
formação, você modificaria as atividades
relatadas? Em que as modificaria? No caso de
não modificá-las, justifique por que as manteria
como realizou.

61. SEÇÃO COMPARTILHANDO
•Atividade 7 Reflita sobre as considerações da professora Denise Balão e
registre as proposta para esta tarefa. Pag. 78-79

62. TAREFA
• Entregue a ficha de cálculos para os alunos resolverem.
• Entregue a ficha de problemas para os alunos resolverem.
• Crie um problema cuja solução pertença ao campo conceitual
multiplicativo. Escreva um problema decorrente dessa situação.
• Elabore atividades problematizadoras para serem trabalhadas com
seus alunos, em sua sala de aula, a partir do jogo “Contas e mais
contas”.
• OBS: CADA ATIVIDADE TEM ALGUMAS CONSIDERAÇÕES A
SEREM FEITAS, DA PAGINA 84 A 86.