1. HTPC – Adições e subtrações nos anos iniciais
O que torna difícil o ensino da matemática é o inalterável hábito latino
de começar sempre pelo abstrato, sem passar pelo concreto.
( LE BON, in VIANA, E., 9 )
Sob a perspectiva da Teoria dos Campos Conceituais,
adicionar e subtrair são ações vinculadas ao campo aditivo.
Para saber qual operação usar em um problema, as crianças precisam
considerar o que o enunciado pede: Juntar, tirar, ganhar, perder e comparar
quantias são alguns dos verbos relacionados à adição e à subtração. Mas os
conceitos que envolvem essas duas operações básicas não significam o uso
de palavras-chave para realizar contas "de mais" ou "de menos". De acordo
com a Teoria dos Campos Conceituais, desenvolvida na década de 70 pelo
psicólogo francês Gérard Vergnaud, as operações são duas faces de uma
mesma moeda. O pesquisador estudou as aprendizagens matemáticas com
base na nas relações estabelecidas pelos problemas e não na operação em
jogo. "Ela (sua teoria) é fundamental para ensinar a disciplina, pois permite
prever formas mais eficientes de trabalhar os conteúdos," afirma. Ele
classifica as questões que envolvem a adição e a subtração dentro do campo
aditivo e as de multiplicação e divisão pertencentes ao campo multiplicativo.
Nas escolas, no entanto, a adição e a subtração são entendidas muitas
vezes apenas como operações opostas ou conflitantes: ganhar e colocar
corresponde à adição, já perder e tirar, à subtração. Vergnaud considera que
uma mesma situação do campo aditivo pode ser proposta de diferentes
formas que determinam qual operação usar, a adição ou a subtração. As
questões relacionadas ao campo aditivo são divididas em cinco classes que
variam conforme a relação e a alteração dos números. Essas categorias
podem ser percebidas com o enunciado do problema. São elas:

2. • Transformação - Alteração do estado inicial por meio de uma situação
positiva ou negativa que interfere no resultado final.
• Combinação de medidas - Junção de conjuntos de quantidades pré-
estabelecidas.
• Comparação - Confronto de duas quantidades para achar a diferença.
• Composição de transformações - Alterações sucessivas do estado
inicial.
• Estados relativos - Transformação de um estado relativo em outro estado relativo (essa
categoria não é abordada nos Parâmetros Curriculares Nacionais, PCNs, do Ensino
Fundamental por ser de maior complexidade e, por isso, não trataremos de problemas
referentes a ela).
EXEMPLO OBSERVAÇÃO VARIAÇÕES
Transformação positiva de um estado inicial
Marina tinha 20 figurinhas e
ganhou 15 num jogo. Quantas
figurinhas ela tem agora?
ACRESCENTAR
• Marina tinha algumas figurinhas, ganhou
15 num jogo e ficou com 35. Quantas
figurinhas ela tinha?
• Marina tinha 20 figurinhas. Ganhou
algumas e ficou com 35. Quantas figurinhas
ela ganhou?
Transformação negativa de um estado inicial
Pedro tinha 37 bolinhas, mas perdeu TIRAR • Pedro tinha várias bolinhas, perdeu 12 e agora

3. 12. Quantas bolinhas ele tem agora? tem 25.
Quantas bolinhas ele tinha antes?
• Na semana passada, Pedro tinha 37 bolinhas.
Hoje tem 25. O que aconteceu no decorrer da
semana?
Combinação de medidas
Numa classe, há 15 meninos e 13
meninas. Quantas crianças há ao
todo?
JUNTAR
• Em uma classe de 28 alunos, há alguns
meninos e 13 meninas. Quantos são os meninos?
• Em uma classe de 28 alunos, 15 são meninos.
Quantas são as meninas?
Comparação
Paulo tem 13 carrinhos e Carlos tem
7 a mais que ele. Quantos carrinhos
tem Carlos?
COMPARAR
• Paulo tem 13 carrinhos e Carlos, 20. Quantos
carrinhos a mais Paulo precisa para ter o mesmo
que Carlos?
• Carlos tem 20 carrinhos. Paulo tem 7 a menos
que ele. Quantos carrinhos tem Paulo?
Composição de transformações

4. No início do jogo, Flávia tinha 42
pontos. Ela ganhou 10 pontos e, em
seguida, mais 25. O que aconteceu
com seus pontos no fim?
ACRESCENTAR/
ACRESCENTAR
TIRAR/TIRAR
ACRESCENTAR/
TIRAR
• No início do jogo, Flávia tinha 42 pontos. Ela
perdeu 10 pontos e, em seguida, perdeu mais 25.
O que aconteceu com seus pontos no fim?
• No início do jogo, Flávia tinha 42 pontos. Ela
ganhou 10 pontos e, em seguida, perdeu 25. O
que aconteceu com seus pontos no fim?
Para cada um dos tipos de problemas, a escolha sobre a
operação a ser usada depende do que é pedido no enunciado. No item 3.2
Interpretação de enunciados, você encontra exemplos de problemas para usar
em sala de aula.
Dá para perceber que essas concepções mudam totalmente a maneira
de ensinar adição e subtração, certo? As diferenças entre a perspectiva
anterior sobre o ensino da adição e da subtração de Vergnaud podem ser
mais bem compreendidas com o quadro abaixo:
PERSPECTIVA
ANTERIOR
PERSPECTIVA DO CAMPO ADITIVO
ENUNCIADO
A incógnita está
sempre no fim do
enunciado (5 + 5 = ?;
16 - 3 = ?)
A incógnita pode estar em qualquer
parte do enunciado (? + 5 = 10; 16 - ?
=13)
PALAVRAS-
CHAVE
Palavras como
"ganhar" e "perder"
dão certeza ao aluno
sobre a operação a
Não se estimula o uso. As crianças
precisam analisar os dados do problema
para decidir a melhor estratégia a ser
utilizada (João tinha algumas bolinhas

5. ser usada de gude, ganhou 5 num jogo e ficou
com 15. Quantas bolinhas ele tinha
antes?)
COMO O
ALUNO
PENSA
Para chegar ao
resultado, é preciso
saber qual operação
usar (adição ou
subtração)
Com várias possibilidades de chegar ao
valor final, o aluno tem mais autonomia
e o pensamento fica menos engessado
RESOLUÇÃO
Está diretamente
ligada à operação
proposta no
enunciado
Está atrelada à análise das informações
e à criação de procedimentos próprios
INTERAÇÃO
COM O
ALUNO
Cabe ao professor
validar ou não a
resposta encontrada
O professor propõe discussões em
grupo e o aluno tem recursos para
justificar seus procedimentos
REGISTRO Conta armada
O percurso do raciocínio é valorizado,
seja ele feito com contas parciais,
armado ou não, desenho de pauzinhos
ou outra estratégia
3.1. Procedimentos de cálculo
3.1.1 Contagem
A contagem é um dos primeiros recursos
que a criança usa para adicionar e
subtrair valores

6. Com o tempo, as crianças percebem que existem maneiras mais
econômicas para adicionar ou subtrair durante as séries iniciais, a contagem
é um método recorrente entre as crianças quando são desafiadas a resolver
questões de adição e subtração. Materializar quantidades com objetos
concretos, contar nos dedos e se apoiar na sequência numérica oral são
estratégias válidas nessa fase. E entre as contagens, existem evoluções.
Primeiro contam de um em um, depois, realizam sobrecontagens de
dois em dois, cinco em cinco, dez em dez - o que pode indicar
apropriações das regularidades do sistema de numeração decimal.
A contagem como recurso para estabelecer relações entre valores
sempre foi usada pela humanidade, com pedras, desenhos no chão etc.
Mas, com o tempo, foi substituída por outros procedimentos e ferramentas, já
que o contar é limitado a quantidades representáveis e dá muitas margens
ao erro. Da mesma forma acontece com as crianças. Quanto mais se
apropriam das regularidades do sistema de numeração e compreendem o
que significam as operações, mais são capazes de escolher maneiras
eficientes de resolver problemas. "Quando a criança constrói a estrutura
mental do número e assimila as palavras a essa estrutura, a contagem torna-
se um instrumento confiável. No entanto, a partir dos 7 anos de idade, a
correspondência um a um, a cópia da configuração espacial, ou mesmo
estimativas imperfeitas representam para a criança procedimentos mais
viáveis", explica Constance Kamii, em seu livro A Criança e o Número.
O seu trabalho é propor situações diversificadas (para os problemas de
adição e subtração o "tamanho" dos números é uma variável decisiva),
discussões em que possam argumentar sobre seus métodos, jogos, entre
outras atividades que favoreçam essa mudança de estratégias pessoais. É
necessário assegurar que elas consigam fazer essa passagem da
representação figurativa (desenhos, contagens dos dedos) para a

7. matemática (cálculo mental e, posteriormente, algorítmico).
Quando ensinar
Quando trabalhar procedimentos de cálculos
Cálculo mental
Estimule a turma a desenvolver as próprias estratégias de
cálculo, pensar sobre os procedimentos
mais adequados a cada situação e a
formar um repertório de cálculos
memorizados que dê base para a
realização de operações
Calcular mentalmente permite que a criança escolha o caminho para
chegar a um resultado
Cálculo mental é um conjunto de procedimentos que permite o aluno
antecipar, controlar e julgar a confiabilidade de um resultado. Essa é a
abordagem adotada pela pesquisadora argentina Cecilia Parra, organizadora
do livro Didática da Matemática - Reflexões Psicopedagógicas. Para a
especialista, é um método pensado ou refletido em que, "uma vez analisados
os dados a serem tratados, esses se articulam sem recorrer a um algoritmo
pré-estabelecido para obter resultados exatos ou aproximados".
Mas muitas vezes esse cálculo pensado é considerado pelo professor o
oposto de cálculo escrito - o que é um erro, pois calcular mentalmente não
significa abandonar o lápis e o papel para fazer contas rápidas e "de
cabeça". Pelo contrário, o registro de cálculos intermediários,
decomposições, esquemas, sequências numéricas faz parte dos recursos
para se resolver um problema sem o cálculo algorítmico, também conhecido

8. como conta armada, que será aprofundado no próximo tópico deste roteiro.
Não se trata de oferecer estratégias prontas para que os alunos as
encaixem de acordo com os problemas que tiverem de enfrentar, mas de
discuti-las e de estimular que desenvolvam os próprios mecanismos para
trilhar caminhos seguros, inteligentes e autônomos na resolução de questões
matemáticas.
Desafios propostos
A base do trabalho de cálculo mental está nas questões que você pode
colocar para os alunos. Ao sugerir questões que envolvem a adição e a
subtração, é preciso primeiro verificar se eles compreenderam os valores em
jogo e o que essa operação implicará.
Compreendida a proposta, cada aluno procura as próprias estratégias
para chegar ao resultado. É hora, então, de compartilhar os valores
encontrados e discutir os procedimentos usados. Você pode registrar na
lousa as operações parciais desenvolvidas pelos estudantes, escrevendo-as
em linguagem matemática, conforme as informações fornecidas por eles
mesmos. Nessa etapa, é realizada uma síntese do que foi construído durante
o processo e no que a turma progrediu com as discussões.
Repertório de cálculos memorizados
É preciso propor que a turma crie uma base firme de cálculos a qual
possa recorrer para adicionar e subtrair. Para os adultos, ter na ponta da
língua que 1+1=2 ou que 10+10=20 é simples. Enquanto para as crianças, a
compreensão do que está por trás dessas relações é um processo que o
professor deve considerar para evitar que as operações sejam desvinculadas
de seus significados. Ou seja, é preciso que os alunos consigam estabelecer
o raciocínio feito para somar ou subtrair números simples para que possam

9. apoiar-se nessas regularidades quando aparecerem números maiores.
Você pode iniciar com números mais familiares às crianças, como 1, 2
e 5, para chegar à memorização de contas que envolvem 7 ou 9. A ideia é
que todos da turma consigam progressivamente avançar nas respostas para
cálculos a+b=c, quando a<10 e b<10.O ideal, então, é que você organize
situações para que a turma construa, organize e compreenda o seu
repertório.
Abaixo, grupos de cálculos possíveis para trabalhar com as turmas das
séries iniciais:
- Adição e subtração de 1 a qualquer algarismo. Por exemplo, 3 + 1 e 8 - 1.
- Adição e subtração de números de um algarismo, como 4 + 2 e 6 + 3.
- Adições que tenham como resultado 10, como 7 + 3 e 2 + 8.
- Subtrações com base no 10. Por exemplo, 10 - 7 e 10 - 2.
- Adição e subtração de 10 a qualquer algarismo, como 5 + 10.
- Subtrações que tenham como resultado 1, como 8 - 7 e 3 - 2.
- Adições de números de um algarismo a 10, 20, 30, como 1 + 10.
- Adições de múltiplos de 10 que totalizem 100, como 40 + 60.
- Conhecimento da propriedade comutativa, como 2 + 3 = 3 + 2.
- Cálculo de dobro de números até 10. Por exemplo, 7 + 7 e 8 + 8.
Jogos podem ser recursos poderosos para incentivar a turma a
construir esse repertório. Um jogo com dois dados, como o Feche a Caixa,
pode ajudar no trabalho sobre a adição de números com resultado até 12.
Jogos com cartas contribuem com a realização de contagens e cálculos.
NOVA ESCOLA disponibiliza online três jogos da memória para exercitar a
adição e a subtração dos números mais conhecidos pela turma. No primeiro,
a criança é convidada a realizar subtrações com base no 10. O segundo jogo
trabalha com os dobros de números. Já o terceiro, ainda mais desafiador,
propõe que cada aluno consiga descobrir as expressões equivalentes, de acordo
com seu resultado.

10. Álbum: como trabalhar estratégias de cálculo com jogos
matemáticos
(Revista Nova Escola)
Com jogos de dados, boliche e de argolas, os alunos da
professora Luciane Ribeiro, da EMEF Professor
Raimundinho, em Marabá, no Pará, aprenderam mais sobre
as estratégias de cálculo, os números e as operações, como
adição, subtração e multiplicação.
Jogo de comparação de quantidade
Características
Ele tem como objetivo o acúmulo de peças ao longo de determinado
percurso ou contexto. Vence quem conseguir reunir a maior quantia.
Origem
O precursor é o africano Mancala, criado há aproximadamente 7 mil anos.
Por que propor
Para as crianças ref letirem sobre as diferentes estratégias de comparação
de quantidades.
Como enriquecer o brincar
■ Discuta com os pequenos quais as estratégias possíveis para determinar
quem é o vencedor da partida. Pergunte, por exemplo, "quando um jogador
tem muito mais peças que os outros, é preciso contar para saber quem
ganhou?".

11. ■ Observe e discuta em outros momentos as estratégias utilizadas pelas
crianças em situações semelhantes às do jogo. Uma ideia é reunir
quantidades de dois ou três jogadores e pedir que a turma determine o
ganhador e explique por quê.
O erro mais comum
■ Ensinar a estratégia de contagem como a única possibilidade para definir o
vencedor. É papel do educador proporcionar situações que estimulem a
garotada a buscar diversas maneiras de saber quem ganhou a partida.
Jogo de percurso
Características
Também chamado de jogo de trilha, tem como objetivo chegar ao fim de um caminho,
dividido em casas, de acordo com o que for tirado no dado.
Origem
O precursor das diversas variações é um jogo italiano do século 16 chamado Jogo da
Glória, ou Real Jogo do Ganso - considerado um animal sagrado na época. O trajeto a ser
percorrido simbolizava as diversas etapas da vida.
Por que propor
Para os pequenos relacionarem as casas do percurso de acordo com a quantidade que
sai no dado.
Como enriquecer o brincar
■ Ajude a garotada a localizar o ponto de início e de término do tabuleiro.
■ Questione as crianças sobre a observação do jogo. Por exemplo: "Meu peão estava na
casa 10 e tirei 5 no dado. Em que casa fui parar?"
Os erros mais comuns
■ Oferecer a modalidade só aos menores. O fato de o jogo de percurso não depender
de estratégias, mas da sorte, não o torna menos enriquecedor.

12. ■ Fazer as crianças atuarem como peões num tabuleiro desenhado no chão. É
equivocado o conceito de que os pequenos aprendem só quando passam por uma
experiência real.
Jogo de linhas e colunas.
Características
Tem como base um tabuleiro com linhas verticais, horizontais e diagonais, onde os
jogadores devem colocar, desenhar ou mover suas peças. Os movimentos consistem
basicamente na aproximação e no recuo estratégicos, com variações que incluem o ato
de pular determinadas casas do tabuleiro. Nesse jogo, o avanço é diferente do que ocorre
no de percurso, em que ele é determinado pela sorte, com o lançamento de dados. Aqui,
é preciso desenvolver estratégias desde a primeira jogada para estabelecer uma dinâmica
que leve à vitória.
Origem
Ao longo do tempo, foram surgindo, simultaneamente, jogos de linhas e colunas em
diversas sociedades. O da velha, por exemplo, tem origem no Egito, aproximadamente no
século 14 a.C.
Por que propor
Para as crianças formularem as estratégias e anteciparem as dos colegas considerando a
distribuição espacial.
Jogo cooperativo
Características
A ideia básica desse tipo de jogo é a união de todos os participantes contra um inimigo
comum - o próprio tabuleiro -, que pode ser representado por um personagem do jogo.
Geralmente, ele possui caráter simbólico - por exemplo, a missão de um grupo de
príncipes de evitar que uma princesa seja capturada por uma bruxa malvada.
Origem
Remontam às atividades tribais e aos rituais mágicos de diversas sociedades antigas para
combater um inimigo comum real (como a chuva) ou imaginário (como duendes).

13. Por que propor
Para os pequenos refletirem sobre a importância de coordenar ações em conjunto e
compreenderem regras estruturadas.
Como enriquecer o brincar
■ Ponha em debate, logo depois da partida, as decisões tomadas a respeito das jogadas
executadas pelo grupo.
O erro mais comum
■ Oferecer só jogos cooperativos. A ideia de que competir é ruim não se sustenta. A
importância de ofertar a modalidade está na diversidade de regras com que as crianças
entrarão em contato.
Jogo de alvos e obstáculos
Características
Envolve a habilidade dos jogadores em acertar um alvo predeterminado para transpor
obstáculos.
Origem
Recriação de um jogo celta e egípcio em que estacas de madeira fixadas no chão eram
derrubadas com um bastão. Em tabuleiro, a versão mais antiga é o Quilles, surgido na
França e na Inglaterra no século 14, que tem como meta derrubar pinos com uma bola
presa a uma haste.
Por que propor
Para a turma desenvolver a habilidade de controlar movimentos de acordo com o alvo ou
os obstáculos existentes.
Como enriquecer o brincar
■ Estimule a observação e os comentários sobre as jogadas para que as estratégias e
técnicas sejam socializadas e aperfeiçoadas por todos.
■ Amplie os desafios e complique os obstáculos à medida que a turma vai ficando craque
nas técnicas.

14. Os erros mais comuns
■ Ensinar as estratégias. Não faz sentido encarar as dificuldades dos pequenos como
um fracasso. Para que aprendam, exponha as regras e deixe que experimentem jogadas
diversas.
■ Estimular uma única tática. Faz parte do jogo observar os outros participantes para
conhecer várias manobras.
■ Apontar uma tática como errada. Algumas manobras podem não ser boas. Porém a
postura adequada é os próprios jogadores debaterem a questão.

15. Jogo de memória
Características
Como o próprio nome indica, ele requer boas estratégias de memorização dos
integrantes para acumular pontos.
Origem
Foi criado na China no século 15. Era formado por baralho de cartas ilustradas
e duplicadas.
Por que propor
Para que os pequenos estabeleçam relações entre imagens e a posição no
tabuleiro e, assim, desenvolvam estratégias de memorização.
Como enriquecer o brincar
■ Discuta com a turma as estratégias para localizar as figuras no espaço, como
a fixação de um ponto de referência e a observação do entorno de uma figura.
■ Converse com os pequenos ao término de cada partida para socializar as
táticas usadas por cada jogador.
O erro mais comum
■ Elaborar jogos da modalidade para fixar conteúdos. A modalidade impõe
desafios por si próprios e não faz sentido ensinar recorrendo à memorização.