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Síntese
Operações na resolução de problemas
INICIANDO A CONVERSA
O caderno 4 dá continuidade ao trabalho desenvolvido nos dois cadernos anteriores, agora focando os procedimentos
operatórios. Observa-se que tais procedimentos são desenvolvidos em duas frentes: a conceitual e a procedimental.
Os procedimentos dizem respeito a técnicas e estratégias de cálculo, mental ou escrito, assim como a usos de
instrumentos como o ábaco e materiais manipuláveis, como o material dourado. A frente conceitual é relativa aos
contextos, às ideias.
Em destaque:
► o princípio da continuidade do trabalho (os cadernos);
► tem como FOCO MAIOR: os procedimentos operatórios;
▼
Como tais procedimentos são desenvolvidos?
▼
ATRAVÉS DE DUAS DIMENSÕES
▼ ▼
Conceitual Procedimental
▼ ▼
É IMPORTANTE DESTACAR
OPERAÇÕES NA RESOLUÇÃO DE
PROBLEMAS
Síntese do Caderno 04
Ministério
da Educação
► o trabalho com as operações em diferentes contextos e práticas sociais;
► o recurso aos jogos é primordial;
► promover mais atividades com os jogos tendo o cuidado de sistematizar os
conhecimentos;
► aborda as situações aditivas e multiplicativas;
► apresenta maneiras de trabalhar o cálculo escrito.
Os objetivos do caderno:
1 – elaborar, interpretar e resolver
situações-problemas do campo aditivo
(adição e subtração) e multiplicativo
(multiplicação e divisão), utilizando e
comunicando suas estratégias pessoais,
envolvendo os seus diferentes
significados.
2 – calcular adição e subtração com e sem
agrupamento e desagrupamento.
3 – construir estratégias de cálculo mental
e estimativo, envolvendo dois ou mais
termos.
4 – elaborar, interpretar e resolver
situações-problema convencionais e não
convencionais, utilizando e comunicando
suas estratégias pessoais.
COMPREENDENDO ALGUNS CONCEITOS
2º Texto: CÁLCULOS E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA SALA DE AULA. Da página 9 a 16.
► As autoras iniciam o texto ressaltando:
● na atividade com resolução de problemas envolvendo os algoritmos o professor NÃO PODE ESQUECER
DE Observar e considerar os modos próprios de resolução e de aprendizagem de cada criança. Veja no
exemplo a seguir que os três alunos desenvolveram estratégias diferentes e todas conduziram à resolução correta
do problema. Evidenciam movimentos cognitivos diferentes em função de conhecimentos matemáticos mobilizados
por cada uma delas.
Exemplo:
Um aquário tem 15 peixes de cor amarela e verde. 6 peixes são da cor amarela. Quantos são os peixes
da cor verde?
APROFUNDANDO O TEMA
1º Texto: AO CHEGAR NA ESCOLA . . .da página 6 a 8.
No texto os autores destacam:
► considerar os conhecimentos trazidos pelas crianças:
● HIPÓTESES PRÓPRIAS SOBRE quantidade / espaço / tempo /
escritas numéricas / contagem / agrupar / desagrupar / repartir . . .
► No recreio as crianças brincam e nesse brincar elas estabelecem
relações diversas:
● contagem e quantificação;
● relações espaciais e temporais;
● realizam cálculos e resolvem problemas.
NÃO PODEMOS ESQUECER QUE NAS ATIVIDADES DO
RECREIO E FORA DELE AS CRIANÇAS representam com
diferentes formas de registro simbólico números de canais de TV e
telefone / preços / placas que fazem parte do seu cotidiano.
TUDO ISSO FAVORECE a
familiarização gradativa com as
escritas numéricas e com S N D. Se
as crianças chegam à escola com um
grande repertório de conhecimento
das suas vivências, elas trazem
também: O desejo e a urgência de
aprender mais matemática
(números grandes e fazer contas).
Contudo, ao trabalhar com os
cálculos numéricos é importante
realizar este trabalho de forma
integrada aos processos de
construção de conceitos que
envolvam as operações e suas
representações.
► ALGORITMOS
Algoritmos são procedimentos de cálculo que envolvem técnicas com passos ou sequências determinadas
que conduzem a um resultado numérico.
► O que deve ser considerado no trabalho com os algoritmos:
1 – Não é suficiente que o aluno saiba fazer contas mecanicamente, mas é preciso garantir as
crianças na realização desta atividade o direito de compreender as ideias matemáticas que são pertinentes;
2 – A resolução de problemas matemáticos com o uso do algoritmo deve estar fundamentada na
compreensão do SND – agrupamentos e reagrupamentos na base dez.
PROBLEMA MATEMÁTICO
Um problema matemático é uma situação que requer descoberta de informações desconhecidas para obter
um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la.
Observe as estratégias que as crianças elaboraram para essa resolução.
AÇÃO PEDAGÓGICA IMPORTANTE
A socialização dessas estratégias desenvolvidas pelos
alunos é um recurso a mais para que os mesmos
percebam as diferentes possibilidades de resolução de
um problema. É interessante que os caminhos
pensados e construídos para chegar às respostas sejam
discutidos pelo grupo de alunos.
O QUE APERENDEMOS COM ESTAS REPRESENTAÇÕES?
▼
Aprendemos que cada criança construiu um caminho de resolução diferente, no entanto todas chegaram ao
mesmo resultado
▼
Aprendemos, ainda, que as estratégias utilizadas têm uma construção conceitual (das operações matemáticas
– campo conceitual aditivo – adição e subtração)
▼
Aprendemos que é necessário socializar as estratégias de cada criança valorizando-as.
Fica evidente na discussão das autoras uma necessidade primeira para se resolver uma situação problema:
● interpretar o enunciado / compreendê-lo para assim mobilizar os conhecimentos matemáticos a serem
buscados.
ALÉM DISSO, Constatamos a peculiaridade / a ação reflexiva / a mobilização de conhecimentos para
construir uma boa situação problema, seja na oralidade, seja na escrita. Para isso podemos usar diferentes
estratégias na construção das situações-problemas.
IMPORTANTE DESTACAR QUE
 Tomar um texto de um problema em que faltem partes para que as crianças as completem, colocar nos
textos dados que excedam ou estejam ausentes, mobilizar conceitos matemáticos conhecidos ou em
processo de construção para decidirem “como resolver”, são estratégias que contribuem para romper com
situações evidenciadas muitas vezes no contrato didático encontrado nos livros e/ou na prática de
alguns professores que conduzem às crianças a apenas procurarem/identificar o tipo de operação do
problema matemático.
 NÃO PODEMOS ESQUECER que somente quando as crianças compreendem os problemas é que
elas terão condição de desenvolver estratégias de resolução.
► MUITA ATENÇÃO:
 Observar nesses momentos de resolução de problemas se as crianças estão construindo novas
estratégias de resolução ou estão fazendo um exercício de repetição ou execução algorítmica.
 A RESOLUÇÃO DE PROBLEMA TEM QUE POSSIBILITAR UMA APRENDIZAGEM
MATEMÁTICA CONCEITUAL.
O TRABALHO COM O ENSINO DA MATEMÁTICA
Relato da experiência de Alessandra Nacur Gauliki, professora da rede municipal de Curitiba:
Quando trabalho com uma situação-problema, proporciono às crianças, interpretação do que está sendo
solicitado; quais hipóteses posso abstrair para resolver o problema; de que forma vou resolvê-lo e por fim o
uso do algoritmo e os cálculos necessários
1º passo) Fizemos a leitura e interpretação do problema;
2º passo) Pintamos os algarismos de uma cor e a pergunta do problema de outra;
3º passo) Desenvolvemos a estratégia que elaboramos, primeiro com o material dourado e após o
registro com desenho;
4º passo) Pintamos na malha quadriculada as quantidades obtidas com a manipulação do material
dourado;
5º passo) Realizamos os cálculos envolvendo a ideia aditiva e multiplicativa;
6º passo) Voltamos à parte grifada em vermelho, perguntamos aos estudantes o que estava sendo
questionado e desenvolvemos a resposta.
É importante destacar os aspectos importantes no trabalho com Resolução de Problemas.
No relato de experiência da professora Alessandra Nacur Gauliki – O trabalho com o Ensino da Matemática
– páginas. 13,14 e 15, é possível compreender que:
a) Nós, professores, devemos conhecer a gênese do objeto de conhecimento que vamos ensinar;
b) Devemos nos perguntar: O que vou ensinar? Para que vou ensinar? Como vou ensinar e por que vou
ensinar?
c) Precisamos saber a que objetivos pretendo atingir nesse ato de ensinar;
O relato da Professora
Alessandra, evidencia que a
prática por ela adotada
privilegia a construção das
estratégias de resolução e a
análise do resultado obtido.
d) Termos o cuidado de verificar/observar se a situação problema já foi interpretada corretamente;
e) Organizarmos os materiais necessários requeridos para resolução daquela situação;
f) Organizarmos uma sequência/passos guiadores/indicativos para auxiliar as crianças na resolução do
problema. Ver 3º parágrafo da pg. 14;
g) Não esquecermos das crianças com dificuldades de aprendizagem – construir um trabalho
diferenciado (mediação) recursos didáticos buscando a superação.
► Analisando as estratégias que levam a erros. Primeiramente as autoras organizam as estratégias que
conduzem ao erro em duas categorias, a saber:
1ª) Dificuldades de natureza linguística – Podemos caracterizá-las dessa forma:
● dificuldade em compreender os textos/enunciado oral ou escrito);
2ª) Dificuldades de natureza matemática. Podemos caracterizá-las dessa forma:
● limitações na compreensão de conceitos envolvidos impedindo o estabelecimento das relações
necessárias para a solução do problema
► Corroborando o exposto acima Ettine Guerios e Ligeski no trabalho “A resolução de problema em
matemática: problema em matemática ou em linguagem, apresentado no VI Congresso Iberoamericano de
Educação Matemática em Montevideo – 2013 acrescentam fatores que induzem os erros das crianças na
resolução de problemas:
1) Ausência de compreensão ou compreensão inadequada na leitura (Isso é um fator impeditivo para a criança
desenvolver alguma estratégia de resolução);
2) Ausência ou equívoco de compreensão matemática, ou seja, a criança compreende o que leu , mas não
consegue identificar e mobilizar o conhecimento matemático para resolver o problema.
3) Não diz respeito à ausência, MAS ao processo de construção conceitual que conduz a criança a realizar
várias tentativas de resolução (erra para acertar).
► As autoras acima chamam a atenção para estarmos atentos na descoberta do erro (qual a lógica). Elas
afirmam algumas razões contribuintes para que o erro aconteça:
PARA CADA CONSTRUÇÃO DO NÃO ACERTO HÁ ESTRATÉGIAS DIFERENCIADAS DE
INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA
No 4º Texto: Situações aditivas e multiplicativas no ciclo de alfabetização – Da página 17 a 42, os autores
esclarecem que é bastante comum que as crianças e também adultos relacionem aprender Matemática com
aprender a fazer contas uma vez que por muito tempo o ensino de cálculos foi enfatizado no ciclo inicial do
Ensino Fundamental. Por conta disso, muitas crianças desenvolveram e desenvolvem habilidades algorítmicas,
nessa fase da escolarização, muito mais do que habilidades de resolução de problemas.
► Uma constatação grave:
● relacionarmos o aprender matemática com o APRENDER A FAZER CONTAS;
● desenvolvermos as habilidades algorítmicas deixando à margem as habilidades de resolução de
problemas.
ESSE EQUÍVOCO É CONSTATADO
▼
Com a pergunta, talvez, a mais ouvida pelos professores e faladas pelas crianças
▼
Que conta tem que fazer? É de mais ou de menos?
▼
Estas perguntas revelam possivelmente que as crianças não estão compreendendo as operações
envolvidas no problema, por isso não atribuem significado aos algoritmos que sabem fazer.
 JAMAIS podemos esquecer que Aprender matemática vai além do FAZER CONTAS.
É NECESSÁRIO:
1 – Saber o que os cálculos significam:
2 – Construir e compreender os conceitos envolvidos nas operações que representa.
► As autoras, antes de iniciarem a discussão das situações ADITIVAS e MULTIPLICATIVAS, recorrem a
Vergnaud – A criança, a matemática e a realidade – 2009 fazendo as seguintes considerações:
1ª) A formação de conceitos não pode ser compreendida de modo isolado, MAS a partir de campos
conceituais;
2ª) O conceito de adição e subtração envolvem e são envolvidos por situações, estruturas, operações
de pensamento e representação que se relacionam entre si.
3ª) Adição e subtração fazem parte do mesmo campo conceitual (CAMPO ADITIVO).
► Ressaltam que a proposta de trabalho com cálculos e operações contemplem:
a) A construção de conceitos a partir de campos conceituais;
b) Partir de situações promotoras do pensamento operatório e suas diferentes formas de representação;
c) Conhecer as classificações das situações problemas, pois elas nos possibilita selecionar e propor
situações diversas permitindo que as crianças tenham uma maior compreensão das situações problemas as
quais são trabalhadas.
► Conversando sobre as situações aditivas. Não é possível esquecer:
● Que as crianças, ao entrarem na escola, já conseguem resolver problemas envolvendo situações aditivas
simples (coordenar ações de juntar, ganhar e perder – com ou sem auxílio de objetos ou registros escritos).
► A atividade de CONTAGEM permite que as crianças construam estratégias para resolver problemas de
complexidade crescente.
► As autoras buscam em Josetxu Orrantia – Las dificuldades em el aprendizaje del cálculo desde el punto de
vista cognitivo – elementos justificadores da atividade de contagem necessitar do desenvolvimento de algumas
habilidades:
1ª) Iniciar a contagem a partir de qualquer ponto arbitrário da série numérica (conte a partir do 7);
2ª) Identificar o último objeto contado como o cardinal que expressa a quantidade total sem necessidade de
contar os objetos novamente.
▼
Temos uma quantidade de bolas representadas abaixo:
ØØØØОООООООООООООООО ► 20
3ª) Estender a contagem iniciada no primeiro conjunto ao segundo conjunto de tal forma que o primeiro objeto
deste, seja considerado o número seguinte na sequência de contagem, por exemplo: na adição de um conjunto
de 3 lápis com um outro de 4 lápis, a contagem se daria da seguinte maneira: 1, 2, 3 seguida por 4, 5, 6, 7.
► As estratégias de contagem vão ficando mais complexas abstratas e eficientes. Estas são necessárias para
resolver os problemas aditivos. Para Michel Fayol – A criança e o número: da contagem à resolução de
problemas e Orrantia as estratégias são identificadas como:
1º) contar todos;
2º) contar a partir do maior (reter o 5 na memória em 5 + 6, contando os restantes: 6, 7, 8, 9, 10, 11);
3º) contar a partir do maior (reter o 6 em 5 +6, contando os restantes: 7, 8, 9, 10, 11);
4º) usar fatores derivados(em 5 + 6, efetuar o cálculo 5 + 5 + 1 = 10 + 1 = 11);
5º) recuperar fatos básicos, da memória (lembrar fatos memorizados, como a tabuada).
COMPREENDENDO E PRATICANDO
Problemas de composição podem ser trabalhados a partir de jogos didáticos que possibilitem às crianças
coordenar ações próprias às situações aditivas e subtrativas. Um exemplo é o jogo COMPRANDO FICHAS,
que encontra-se detalhado no caderno 4, página 20:
SITUAÇÕES DE TRANSFORMAÇÃO COM ESTADO INICIAL DESCONHECIDO
O estado inicial também pode ser desconhecido nas situações de transformação. Esses problemas
costumam ser mais difíceis para as crianças, pois envolvem operações de pensamento mais complexas.
Exemplo: Maria tinha algumas figurinhas. Ganhou 4 figurinhas de Isa. Agora Maria tem 7 figurinhas. Quantas
figurinhas Maria tinha?
– Estado inicial: desconhecido
– Transformação: ganhou 4 figurinhas
– Estado final: tem 7 figurinhas
SITUAÇÕES DE COMPARAÇÃO
Nas situações de comparação não há transformação, uma vez que nada é tirado ou acrescentado ao
todo ou às partes, mas uma relação de comparação entre as quantidades envolvidas.
Exemplos:
- João tem 7 carrinhos e José tem 4 carrinhos. Quem tem mais carrinhos?
- João tem 7 carrinhos e José tem 4 carrinhos. Quantos carrinhos João tem a mais do que José?
Quais estratégias podem ser
utilizadas para resolver esse
problema?
a) Contagem (contar todos
ou contar em sequência);
b) compreender e aplicar a
subtração como operação
inversa da adição.
Isso quer dizer que ...
acrescentamos a quantidade
inicial conhecida (5) uma
quantidade desconhecida (?)
para obter o resultado
conhecido (8) : 5 + ? = 8
SITUAÇÕES MULTIPLICATIVAS
O raciocínio multiplicativo é diferente do raciocínio aditivo, e é importante conhecermos e
diferenciarmos as características de cada um. Para isso, nos fundamentaremos nos estudos de Nunes e
Bryant (1997), Nunes et al.( 2005) e Correa e Spinillo (2004).
SITUAÇÕES DE COMPARAÇÃO ENTRE RAZÕES
Para compreendermos essas situações multiplicativas vamos analisar os exemplos que seguem:
Exemplo: Em uma caixa de lápis de cor há 12 lápis. Quantos lápis há em 3 caixas iguais a esta?
É possível pensar que a resolução mais fácil ao problema seria adicionar: 12 + 12 + 12 = 36. Na escola
é comum o ensino da multiplicação como adição de parcelas iguais. Há, de fato, a possibilidade de resolver
alguns problemas multiplicativos mais simples por estratégias próprias ao raciocínio aditivo. No entanto, o
raciocínio multiplicativo é diferente e bem mais abrangente e complexo que o raciocínio aditivo.
O problema pode ser resolvido desta forma:
SITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃO
Exemplo:
Júlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua sala de aula. Quantos chocolates cada um vai
receber?
Quantidade a ser dividida: 12 chocolates
Número de amigos: 4
Chocolates por amigo: desconhecido
Várias possibilidades de resolução do problema poderiam ser adotadas pelos alunos. Um exemplo é quando
a criança “divide” ao seu modo os 12 chocolates entre seus 4 amigos, conforme a ilustração.
Raciocínio aditivo: envolve relações entre as partes e o todo, ou seja, ao somar as partes
encontramos o todo, ao subtrair uma parte do todo encontramos a outra parte. Envolve
ações de juntar, separar e corresponder um a um.
Raciocínio multiplicativo: envolve relações fixas entre variáveis, por exemplo, entre
quantidades ou grandezas. Busca um valor numa variável que corresponda a um valor
em outra variável. Envolve ações de correspondência um para muitos, distribuição e divisão.
Já Gabriel realizou a divisão dos chocolates entre os amigos de modo que todos recebessem a mesma
quantidade, Observe:
A criança ao realizar a distribuição, pode fazê-lo simplesmente recorrendo a um
raciocínio aditivo em que vai acrescentando mais um elemento a cada rodada até que
não haja mais elementos para uma nova distribuição. No entanto, dividir, como uma
operação multiplicativa, implica que a criança possa também prestar atenção às relações
entre as quantidades em jogo. Implica, em outras palavras, poder estabelecer relações
de covariação entre os termos envolvidos na operação. (CORREA; SPINILLO, 2004,
p. 109-110)
SITUAÇÕES DE DIVISÃO ENVOLVENDO FORMAÇÃO DE GRUPOS
Problemas de divisão podem envolver a formação de grupos, quando o tamanho do grupo é conhecido
e o número de grupos possíveis deve ser determinado. Em uma turma do 3° ano foram trabalhados problemas
do campo multiplicativo a partir do contexto de uma história infantil, “As Centopeias e seus Sapatinhos”, de
Milton Camargo, Ed. Ática.
Exemplo:
Dona Centopeia levou 20 caixas de sapatos em sacolas. Em cada sacola foram colocadas 4 caixas de sapatos.
Quantas sacolas foram utilizadas?
Quantidade a ser dividida: 20 caixas de sapatos
Tamanho do grupo: 4 caixas de sapatos em cada sacola
Número de grupos: desconhecidos
SITUAÇÕES DE CONFIGURAÇÃO RETANGULAR
Os problemas deste tipo exploram a leitura de linha por coluna ou vice-versa.
Exemplo:
Dona Centopeia organizou seus sapatos em 7 fileiras com 5 caixas empilhadas. Quantas caixas de sapatos
dona Centopeia organizou?
Nesse caso, a criança determinou uma
quantidade diferente de chocolate a cada
amigo, dividindo os chocolates a partir de
critérios próprios. Ações como essas são
comuns entre as crianças, bem como, o uso
da distribuição para resolver problemas
semelhantes.
Medida conhecida: 7 fileiras
Outra medida conhecida: 5 caixas por fileira
Produto: desconhecido
SITUAÇÕES ENVOLVENDO RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO
Algumas situações envolvem a necessidade de verificar as possibilidades de combinar elementos de
diferentes conjuntos.
Exemplo:
Dona Centopeia tem dois chapéus, um branco (B) e outro preto (P) e três bolsas, uma rosa (R), uma azul (A)
e uma cinza (C). De quantas maneiras diferentes Dona Centopeia pode escolher seus acessórios para ir
passear?
Conjunto conhecido: 2 chapéus
Conjunto conhecido: 3 bolsas
Número de possibilidades: desconhecido
Para o desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo é importante propor aos alunos
problemas variados, envolvendo as diferentes situações que compõem os campos conceituais.
Assim as crianças enfrentam situações desafiadoras e não apenas resolvem problemas a partir
da repetição de estratégias já conhecidas.
SOBRE CÁLCULOS E ALGORITMOS
Até agora enfatizamos que aprender sobre adição e subtração, multiplicação e divisão, envolve
construir estratégias variadas e resolver diferentes problemas. No entanto, é importante lembrar que a
compreensão dos conceitos próprios a essas operações requer coordenação com os diferentes sistemas de
representação, o que torna clara a importância da interação da criança com diferentes formas de registros,
dentre eles, os numéricos. Portanto, afirmar a necessidade de comprometer o processo de alfabetização
matemática com o desenvolvimento das operações de pensamento necessárias para que as crianças se tornem
capazes de resolver diferentes situações, não significa dizer que cálculos numéricos não devam ser trabalhados.
Pelo contrário, desempenham um papel fundamental no processo.
A proposta didática de Parra (1996) é que os alunos possam articular o que sabem com o que têm que
aprender diante de situações partindo da análise dos dados, buscando os procedimentos que lhes pareçam mais
úteis, discutindo suas escolhas e analisando sua pertinência e sua validade. Nessa perspectiva, cada cálculo é
um problema novo e o caminho a ser seguido é próprio de cada aluno, o que faz com que para uns possa ser
mais simples e, para outros, mais complexo.
O fato é que, estratégias de cálculo construídas a partir dos conhecimentos que já fazem parte da
bagagem dos alunos e a partir das relações sobre os números e operações que os envolvem, costumam ser
mais rápidas e eficientes para quem as utiliza.
Estratégias como essas não surgem do nada. Precisam ser trabalhadas em sala de aula.
Dentre os procedimentos possíveis de serem estimulados e propostos pelos professores sugerimos alguns que
descreveremos a seguir.
Contagem
A contagem é um procedimento natural e bastante útil na resolução de cálculos pelas crianças. Alguns
procedimentos que auxiliam no desenvolvimento de estratégias de cálculo são: contar para frente; contar para
trás; contar de 2 em 2, 3 em 3, 5 em 5, 10 em 10; contar a partir de um determinado número.
Recurso à propriedade comutativa
A propriedade comutativa da adição e da multiplicação é um recurso importante para o cálculo,
uma vez que facilita a memorização e também a realização dos cálculos.
Dobros e metades
Dobros e metades são fáceis de memorizar e podem ser um recurso bastante interessante para o
cálculo mental. O reagrupamento em torno de um dobro pela decomposição de uma das parcelas e o apoio da
propriedade associativa da adição permitem relacionar os números de modo a facilitar o cálculo.
Reagrupar em dezenas ou centenas
É importante explorar as estratégias dos alunos. Como já salientamos, é fundamental que o professor
proporcione às crianças oportunidades de desenvolver estratégias de cálculo a partir da coordenação dos
conhecimentos que já possuem sobre as operações e sobre o sistema de numeração decimal.
ALGORITMOS TRADICIONAIS
O algoritmo tradicional das operações permite realizar cálculos de uma maneira ágil e sintética
principalmente quando envolve números altos. Possibilita, também, ampliar a compreensão sobre o Sistema
de Numeração Decimal (SND).
O material dourado, o ábaco e o Quadro Valor Lugar
(QVL), são recursos que podem ser utilizados, para favorecer a
compreensão dos algoritmos tradicionais.
Adição sem agrupamento ou reserva
A adição sem agrupamento é aquela que não exige o “vai um”. Exemplo: 24 + 15
Adição com agrupamento ou reserva
Nesse caso temos um cálculo de adição com reserva, como a seguir:
2 5
+ 1 6
Inicialmente, com o material dourado, separamos as peças equivalentes à primeira parcela, ou seja, 2 barras
e 5 cubinhos, isto é, 2 dezenas e 5 unidades.
Subtração com desagrupamento
Trata-se de contas de subtração em que necessitamos fazer trocas entre dezenas por unidades ou centenas
por dezenas, milhares por centenas e assim sucessivamente para realizarmos a conta. Exemplo de troca de
dezena por unidades:
2 6
– 1 8
AS OPERAÇÕES, AS PRÁTICAS SOCIAIS E A CALCULADORA
O objetivo principal desse caderno foi o de abordar com um nível adequado de profundidade questões
relacionadas aos campos aditivo e multiplicativo e isso foi feito tendo como foco a prática social do professor,
que em seu cotidiano terá que lidar com as dificuldades de aprendizagem, além de se preocupar em inserir
estas práticas no universo mais amplo das práticas sociais dos seus alunos.
Para que aprendizagem se torne ainda mais interessante, o mundo da criança precisa ser respeitado, de
forma que a seleção das fontes deve ser cuidadosa.
Quanto ao uso da calculadora, dependendo do objetivo da atividade proposta, o uso da calculadora
poderá ser solicitado. É importante enfatizar que o que está em jogo não é o uso ou o não uso dessa tecnologia,
mas sim, quando utilizá-la. Em situações reais, em que os números são muito grandes ou muito pequenos, a
utilização da calculadora é recomendada. Isso porquê, o que está em jogo é a resolução da situação-problema
real e não o uso de algoritmos. Por exemplo, caso precisemos saber com exatidão, quantos litros de gasolina
conseguiremos comprar com R$ 50,00, certamente utilizaremos uma calculadora, pois a operação a ser
realizada seria muito trabalhosa para ser efetivada a mão.
No ciclo de alfabetização, uma série de atividades com a calculadora podem ser realizadas para
construir e/ou sistematizar fatos importantes das operações, ou mesmo para disparar problemas.
REFERÊNCIAS
AGRANIONIH, N. T.; SMANIOTTO, M. Jogos e aprendizagem matemática: uma interação possível.
Erechim: EdiFAPES, 2002.
CARRAHER, T.N.; CARRAHER, D.W.; SCHLIEMANN, A.D. (Org.). Na vida dez, na escola zero. São
Paulo: Cortez, 1988.
CORREA, J. ; SPINILLO, A. G. O desenvolvimento do raciocínio multiplicativo em crianças. In:
PAVANELLO, R. M. (Org.). Matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: a pesquisa e a sala de
aula. São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2004. p. 103-127.
FAYOL, M. A criança e o número: da contagem à resolução de problemas. Porto Alegre: Artmed, 1996.
GUÉRIOS, E.; LIGESKI, A. Resolução de problema em matemática: problema em matemática ou em
linguagem? In: CONGRESSO IBEROAMERICANO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 6., 2013,
Montevideo. Anais eletrônicos... Montevideo, 2013. Disponível em: <www.cibem.
org/paginas/img/resumenes.pdf>. Acesso em: 23 de outubro de 2013.
KAMII, C.; LIVINGSTON, S. J. Desvendando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. São Paulo:
Papirus, 1995.
MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da teoria dos campos conceituais. São
Paulo: PROEM, 2001.
NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artmed, 1997.
NUNES, T. et al. Educação matemática 1: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2005.
Quanto mais rica a experiência
humana, tanto maior será o material
disponível para a imaginação e a
criatividade".
(Lev S. Vygostsky)
ORRANTIA, J. Las dificultades en el aprendizaje del cálculo desde el punto de vista cognitivo. Premios
nacionales de investigación educativa. Madrid: MECD-CIDE, 2000. Disponível em:
<http://redined.mecd.gob.es/xmlui/bitstream/handle/11162/83681/008200200009. pdf?sequence=1>. Acesso
em: 14 de fevereiro de 2014.
PARRA, C. Cálculo mental na escola primária. In: PARRA, C.; SAIZ, C. (Org.). Didática da matemática:
reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996. p. 186-235.
PIRES, C.M. Números naturais e operações. São Paulo: Melhoramentos, 2013

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  • 1. Síntese Operações na resolução de problemas INICIANDO A CONVERSA O caderno 4 dá continuidade ao trabalho desenvolvido nos dois cadernos anteriores, agora focando os procedimentos operatórios. Observa-se que tais procedimentos são desenvolvidos em duas frentes: a conceitual e a procedimental. Os procedimentos dizem respeito a técnicas e estratégias de cálculo, mental ou escrito, assim como a usos de instrumentos como o ábaco e materiais manipuláveis, como o material dourado. A frente conceitual é relativa aos contextos, às ideias. Em destaque: ► o princípio da continuidade do trabalho (os cadernos); ► tem como FOCO MAIOR: os procedimentos operatórios; ▼ Como tais procedimentos são desenvolvidos? ▼ ATRAVÉS DE DUAS DIMENSÕES ▼ ▼ Conceitual Procedimental ▼ ▼ É IMPORTANTE DESTACAR OPERAÇÕES NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Síntese do Caderno 04 Ministério da Educação ► o trabalho com as operações em diferentes contextos e práticas sociais; ► o recurso aos jogos é primordial; ► promover mais atividades com os jogos tendo o cuidado de sistematizar os conhecimentos; ► aborda as situações aditivas e multiplicativas; ► apresenta maneiras de trabalhar o cálculo escrito. Os objetivos do caderno: 1 – elaborar, interpretar e resolver situações-problemas do campo aditivo (adição e subtração) e multiplicativo (multiplicação e divisão), utilizando e comunicando suas estratégias pessoais, envolvendo os seus diferentes significados. 2 – calcular adição e subtração com e sem agrupamento e desagrupamento. 3 – construir estratégias de cálculo mental e estimativo, envolvendo dois ou mais termos. 4 – elaborar, interpretar e resolver situações-problema convencionais e não convencionais, utilizando e comunicando suas estratégias pessoais.
  • 2. COMPREENDENDO ALGUNS CONCEITOS 2º Texto: CÁLCULOS E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA SALA DE AULA. Da página 9 a 16. ► As autoras iniciam o texto ressaltando: ● na atividade com resolução de problemas envolvendo os algoritmos o professor NÃO PODE ESQUECER DE Observar e considerar os modos próprios de resolução e de aprendizagem de cada criança. Veja no exemplo a seguir que os três alunos desenvolveram estratégias diferentes e todas conduziram à resolução correta do problema. Evidenciam movimentos cognitivos diferentes em função de conhecimentos matemáticos mobilizados por cada uma delas. Exemplo: Um aquário tem 15 peixes de cor amarela e verde. 6 peixes são da cor amarela. Quantos são os peixes da cor verde? APROFUNDANDO O TEMA 1º Texto: AO CHEGAR NA ESCOLA . . .da página 6 a 8. No texto os autores destacam: ► considerar os conhecimentos trazidos pelas crianças: ● HIPÓTESES PRÓPRIAS SOBRE quantidade / espaço / tempo / escritas numéricas / contagem / agrupar / desagrupar / repartir . . . ► No recreio as crianças brincam e nesse brincar elas estabelecem relações diversas: ● contagem e quantificação; ● relações espaciais e temporais; ● realizam cálculos e resolvem problemas. NÃO PODEMOS ESQUECER QUE NAS ATIVIDADES DO RECREIO E FORA DELE AS CRIANÇAS representam com diferentes formas de registro simbólico números de canais de TV e telefone / preços / placas que fazem parte do seu cotidiano. TUDO ISSO FAVORECE a familiarização gradativa com as escritas numéricas e com S N D. Se as crianças chegam à escola com um grande repertório de conhecimento das suas vivências, elas trazem também: O desejo e a urgência de aprender mais matemática (números grandes e fazer contas). Contudo, ao trabalhar com os cálculos numéricos é importante realizar este trabalho de forma integrada aos processos de construção de conceitos que envolvam as operações e suas representações. ► ALGORITMOS Algoritmos são procedimentos de cálculo que envolvem técnicas com passos ou sequências determinadas que conduzem a um resultado numérico. ► O que deve ser considerado no trabalho com os algoritmos: 1 – Não é suficiente que o aluno saiba fazer contas mecanicamente, mas é preciso garantir as crianças na realização desta atividade o direito de compreender as ideias matemáticas que são pertinentes; 2 – A resolução de problemas matemáticos com o uso do algoritmo deve estar fundamentada na compreensão do SND – agrupamentos e reagrupamentos na base dez. PROBLEMA MATEMÁTICO Um problema matemático é uma situação que requer descoberta de informações desconhecidas para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la.
  • 3. Observe as estratégias que as crianças elaboraram para essa resolução. AÇÃO PEDAGÓGICA IMPORTANTE A socialização dessas estratégias desenvolvidas pelos alunos é um recurso a mais para que os mesmos percebam as diferentes possibilidades de resolução de um problema. É interessante que os caminhos pensados e construídos para chegar às respostas sejam discutidos pelo grupo de alunos. O QUE APERENDEMOS COM ESTAS REPRESENTAÇÕES? ▼ Aprendemos que cada criança construiu um caminho de resolução diferente, no entanto todas chegaram ao mesmo resultado ▼ Aprendemos, ainda, que as estratégias utilizadas têm uma construção conceitual (das operações matemáticas – campo conceitual aditivo – adição e subtração) ▼ Aprendemos que é necessário socializar as estratégias de cada criança valorizando-as. Fica evidente na discussão das autoras uma necessidade primeira para se resolver uma situação problema: ● interpretar o enunciado / compreendê-lo para assim mobilizar os conhecimentos matemáticos a serem buscados. ALÉM DISSO, Constatamos a peculiaridade / a ação reflexiva / a mobilização de conhecimentos para construir uma boa situação problema, seja na oralidade, seja na escrita. Para isso podemos usar diferentes estratégias na construção das situações-problemas. IMPORTANTE DESTACAR QUE  Tomar um texto de um problema em que faltem partes para que as crianças as completem, colocar nos textos dados que excedam ou estejam ausentes, mobilizar conceitos matemáticos conhecidos ou em processo de construção para decidirem “como resolver”, são estratégias que contribuem para romper com situações evidenciadas muitas vezes no contrato didático encontrado nos livros e/ou na prática de alguns professores que conduzem às crianças a apenas procurarem/identificar o tipo de operação do problema matemático.
  • 4.  NÃO PODEMOS ESQUECER que somente quando as crianças compreendem os problemas é que elas terão condição de desenvolver estratégias de resolução. ► MUITA ATENÇÃO:  Observar nesses momentos de resolução de problemas se as crianças estão construindo novas estratégias de resolução ou estão fazendo um exercício de repetição ou execução algorítmica.  A RESOLUÇÃO DE PROBLEMA TEM QUE POSSIBILITAR UMA APRENDIZAGEM MATEMÁTICA CONCEITUAL. O TRABALHO COM O ENSINO DA MATEMÁTICA Relato da experiência de Alessandra Nacur Gauliki, professora da rede municipal de Curitiba: Quando trabalho com uma situação-problema, proporciono às crianças, interpretação do que está sendo solicitado; quais hipóteses posso abstrair para resolver o problema; de que forma vou resolvê-lo e por fim o uso do algoritmo e os cálculos necessários 1º passo) Fizemos a leitura e interpretação do problema; 2º passo) Pintamos os algarismos de uma cor e a pergunta do problema de outra; 3º passo) Desenvolvemos a estratégia que elaboramos, primeiro com o material dourado e após o registro com desenho; 4º passo) Pintamos na malha quadriculada as quantidades obtidas com a manipulação do material dourado; 5º passo) Realizamos os cálculos envolvendo a ideia aditiva e multiplicativa; 6º passo) Voltamos à parte grifada em vermelho, perguntamos aos estudantes o que estava sendo questionado e desenvolvemos a resposta. É importante destacar os aspectos importantes no trabalho com Resolução de Problemas. No relato de experiência da professora Alessandra Nacur Gauliki – O trabalho com o Ensino da Matemática – páginas. 13,14 e 15, é possível compreender que: a) Nós, professores, devemos conhecer a gênese do objeto de conhecimento que vamos ensinar; b) Devemos nos perguntar: O que vou ensinar? Para que vou ensinar? Como vou ensinar e por que vou ensinar? c) Precisamos saber a que objetivos pretendo atingir nesse ato de ensinar; O relato da Professora Alessandra, evidencia que a prática por ela adotada privilegia a construção das estratégias de resolução e a análise do resultado obtido.
  • 5. d) Termos o cuidado de verificar/observar se a situação problema já foi interpretada corretamente; e) Organizarmos os materiais necessários requeridos para resolução daquela situação; f) Organizarmos uma sequência/passos guiadores/indicativos para auxiliar as crianças na resolução do problema. Ver 3º parágrafo da pg. 14; g) Não esquecermos das crianças com dificuldades de aprendizagem – construir um trabalho diferenciado (mediação) recursos didáticos buscando a superação. ► Analisando as estratégias que levam a erros. Primeiramente as autoras organizam as estratégias que conduzem ao erro em duas categorias, a saber: 1ª) Dificuldades de natureza linguística – Podemos caracterizá-las dessa forma: ● dificuldade em compreender os textos/enunciado oral ou escrito); 2ª) Dificuldades de natureza matemática. Podemos caracterizá-las dessa forma: ● limitações na compreensão de conceitos envolvidos impedindo o estabelecimento das relações necessárias para a solução do problema ► Corroborando o exposto acima Ettine Guerios e Ligeski no trabalho “A resolução de problema em matemática: problema em matemática ou em linguagem, apresentado no VI Congresso Iberoamericano de Educação Matemática em Montevideo – 2013 acrescentam fatores que induzem os erros das crianças na resolução de problemas: 1) Ausência de compreensão ou compreensão inadequada na leitura (Isso é um fator impeditivo para a criança desenvolver alguma estratégia de resolução); 2) Ausência ou equívoco de compreensão matemática, ou seja, a criança compreende o que leu , mas não consegue identificar e mobilizar o conhecimento matemático para resolver o problema. 3) Não diz respeito à ausência, MAS ao processo de construção conceitual que conduz a criança a realizar várias tentativas de resolução (erra para acertar). ► As autoras acima chamam a atenção para estarmos atentos na descoberta do erro (qual a lógica). Elas afirmam algumas razões contribuintes para que o erro aconteça: PARA CADA CONSTRUÇÃO DO NÃO ACERTO HÁ ESTRATÉGIAS DIFERENCIADAS DE INTERVENÇÃO PEDAGÓGICA No 4º Texto: Situações aditivas e multiplicativas no ciclo de alfabetização – Da página 17 a 42, os autores esclarecem que é bastante comum que as crianças e também adultos relacionem aprender Matemática com aprender a fazer contas uma vez que por muito tempo o ensino de cálculos foi enfatizado no ciclo inicial do Ensino Fundamental. Por conta disso, muitas crianças desenvolveram e desenvolvem habilidades algorítmicas, nessa fase da escolarização, muito mais do que habilidades de resolução de problemas. ► Uma constatação grave: ● relacionarmos o aprender matemática com o APRENDER A FAZER CONTAS; ● desenvolvermos as habilidades algorítmicas deixando à margem as habilidades de resolução de problemas. ESSE EQUÍVOCO É CONSTATADO ▼ Com a pergunta, talvez, a mais ouvida pelos professores e faladas pelas crianças ▼ Que conta tem que fazer? É de mais ou de menos? ▼ Estas perguntas revelam possivelmente que as crianças não estão compreendendo as operações envolvidas no problema, por isso não atribuem significado aos algoritmos que sabem fazer.  JAMAIS podemos esquecer que Aprender matemática vai além do FAZER CONTAS.
  • 6. É NECESSÁRIO: 1 – Saber o que os cálculos significam: 2 – Construir e compreender os conceitos envolvidos nas operações que representa. ► As autoras, antes de iniciarem a discussão das situações ADITIVAS e MULTIPLICATIVAS, recorrem a Vergnaud – A criança, a matemática e a realidade – 2009 fazendo as seguintes considerações: 1ª) A formação de conceitos não pode ser compreendida de modo isolado, MAS a partir de campos conceituais; 2ª) O conceito de adição e subtração envolvem e são envolvidos por situações, estruturas, operações de pensamento e representação que se relacionam entre si. 3ª) Adição e subtração fazem parte do mesmo campo conceitual (CAMPO ADITIVO). ► Ressaltam que a proposta de trabalho com cálculos e operações contemplem: a) A construção de conceitos a partir de campos conceituais; b) Partir de situações promotoras do pensamento operatório e suas diferentes formas de representação; c) Conhecer as classificações das situações problemas, pois elas nos possibilita selecionar e propor situações diversas permitindo que as crianças tenham uma maior compreensão das situações problemas as quais são trabalhadas. ► Conversando sobre as situações aditivas. Não é possível esquecer: ● Que as crianças, ao entrarem na escola, já conseguem resolver problemas envolvendo situações aditivas simples (coordenar ações de juntar, ganhar e perder – com ou sem auxílio de objetos ou registros escritos). ► A atividade de CONTAGEM permite que as crianças construam estratégias para resolver problemas de complexidade crescente. ► As autoras buscam em Josetxu Orrantia – Las dificuldades em el aprendizaje del cálculo desde el punto de vista cognitivo – elementos justificadores da atividade de contagem necessitar do desenvolvimento de algumas habilidades: 1ª) Iniciar a contagem a partir de qualquer ponto arbitrário da série numérica (conte a partir do 7); 2ª) Identificar o último objeto contado como o cardinal que expressa a quantidade total sem necessidade de contar os objetos novamente. ▼ Temos uma quantidade de bolas representadas abaixo: ØØØØОООООООООООООООО ► 20 3ª) Estender a contagem iniciada no primeiro conjunto ao segundo conjunto de tal forma que o primeiro objeto deste, seja considerado o número seguinte na sequência de contagem, por exemplo: na adição de um conjunto de 3 lápis com um outro de 4 lápis, a contagem se daria da seguinte maneira: 1, 2, 3 seguida por 4, 5, 6, 7. ► As estratégias de contagem vão ficando mais complexas abstratas e eficientes. Estas são necessárias para resolver os problemas aditivos. Para Michel Fayol – A criança e o número: da contagem à resolução de problemas e Orrantia as estratégias são identificadas como: 1º) contar todos; 2º) contar a partir do maior (reter o 5 na memória em 5 + 6, contando os restantes: 6, 7, 8, 9, 10, 11); 3º) contar a partir do maior (reter o 6 em 5 +6, contando os restantes: 7, 8, 9, 10, 11); 4º) usar fatores derivados(em 5 + 6, efetuar o cálculo 5 + 5 + 1 = 10 + 1 = 11); 5º) recuperar fatos básicos, da memória (lembrar fatos memorizados, como a tabuada).
  • 7. COMPREENDENDO E PRATICANDO Problemas de composição podem ser trabalhados a partir de jogos didáticos que possibilitem às crianças coordenar ações próprias às situações aditivas e subtrativas. Um exemplo é o jogo COMPRANDO FICHAS, que encontra-se detalhado no caderno 4, página 20:
  • 8. SITUAÇÕES DE TRANSFORMAÇÃO COM ESTADO INICIAL DESCONHECIDO O estado inicial também pode ser desconhecido nas situações de transformação. Esses problemas costumam ser mais difíceis para as crianças, pois envolvem operações de pensamento mais complexas. Exemplo: Maria tinha algumas figurinhas. Ganhou 4 figurinhas de Isa. Agora Maria tem 7 figurinhas. Quantas figurinhas Maria tinha? – Estado inicial: desconhecido – Transformação: ganhou 4 figurinhas – Estado final: tem 7 figurinhas SITUAÇÕES DE COMPARAÇÃO Nas situações de comparação não há transformação, uma vez que nada é tirado ou acrescentado ao todo ou às partes, mas uma relação de comparação entre as quantidades envolvidas. Exemplos: - João tem 7 carrinhos e José tem 4 carrinhos. Quem tem mais carrinhos? - João tem 7 carrinhos e José tem 4 carrinhos. Quantos carrinhos João tem a mais do que José? Quais estratégias podem ser utilizadas para resolver esse problema? a) Contagem (contar todos ou contar em sequência); b) compreender e aplicar a subtração como operação inversa da adição. Isso quer dizer que ... acrescentamos a quantidade inicial conhecida (5) uma quantidade desconhecida (?) para obter o resultado conhecido (8) : 5 + ? = 8
  • 9. SITUAÇÕES MULTIPLICATIVAS O raciocínio multiplicativo é diferente do raciocínio aditivo, e é importante conhecermos e diferenciarmos as características de cada um. Para isso, nos fundamentaremos nos estudos de Nunes e Bryant (1997), Nunes et al.( 2005) e Correa e Spinillo (2004). SITUAÇÕES DE COMPARAÇÃO ENTRE RAZÕES Para compreendermos essas situações multiplicativas vamos analisar os exemplos que seguem: Exemplo: Em uma caixa de lápis de cor há 12 lápis. Quantos lápis há em 3 caixas iguais a esta? É possível pensar que a resolução mais fácil ao problema seria adicionar: 12 + 12 + 12 = 36. Na escola é comum o ensino da multiplicação como adição de parcelas iguais. Há, de fato, a possibilidade de resolver alguns problemas multiplicativos mais simples por estratégias próprias ao raciocínio aditivo. No entanto, o raciocínio multiplicativo é diferente e bem mais abrangente e complexo que o raciocínio aditivo. O problema pode ser resolvido desta forma: SITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃO Exemplo: Júlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua sala de aula. Quantos chocolates cada um vai receber? Quantidade a ser dividida: 12 chocolates Número de amigos: 4 Chocolates por amigo: desconhecido Várias possibilidades de resolução do problema poderiam ser adotadas pelos alunos. Um exemplo é quando a criança “divide” ao seu modo os 12 chocolates entre seus 4 amigos, conforme a ilustração. Raciocínio aditivo: envolve relações entre as partes e o todo, ou seja, ao somar as partes encontramos o todo, ao subtrair uma parte do todo encontramos a outra parte. Envolve ações de juntar, separar e corresponder um a um. Raciocínio multiplicativo: envolve relações fixas entre variáveis, por exemplo, entre quantidades ou grandezas. Busca um valor numa variável que corresponda a um valor em outra variável. Envolve ações de correspondência um para muitos, distribuição e divisão.
  • 10. Já Gabriel realizou a divisão dos chocolates entre os amigos de modo que todos recebessem a mesma quantidade, Observe: A criança ao realizar a distribuição, pode fazê-lo simplesmente recorrendo a um raciocínio aditivo em que vai acrescentando mais um elemento a cada rodada até que não haja mais elementos para uma nova distribuição. No entanto, dividir, como uma operação multiplicativa, implica que a criança possa também prestar atenção às relações entre as quantidades em jogo. Implica, em outras palavras, poder estabelecer relações de covariação entre os termos envolvidos na operação. (CORREA; SPINILLO, 2004, p. 109-110) SITUAÇÕES DE DIVISÃO ENVOLVENDO FORMAÇÃO DE GRUPOS Problemas de divisão podem envolver a formação de grupos, quando o tamanho do grupo é conhecido e o número de grupos possíveis deve ser determinado. Em uma turma do 3° ano foram trabalhados problemas do campo multiplicativo a partir do contexto de uma história infantil, “As Centopeias e seus Sapatinhos”, de Milton Camargo, Ed. Ática. Exemplo: Dona Centopeia levou 20 caixas de sapatos em sacolas. Em cada sacola foram colocadas 4 caixas de sapatos. Quantas sacolas foram utilizadas? Quantidade a ser dividida: 20 caixas de sapatos Tamanho do grupo: 4 caixas de sapatos em cada sacola Número de grupos: desconhecidos SITUAÇÕES DE CONFIGURAÇÃO RETANGULAR Os problemas deste tipo exploram a leitura de linha por coluna ou vice-versa. Exemplo: Dona Centopeia organizou seus sapatos em 7 fileiras com 5 caixas empilhadas. Quantas caixas de sapatos dona Centopeia organizou? Nesse caso, a criança determinou uma quantidade diferente de chocolate a cada amigo, dividindo os chocolates a partir de critérios próprios. Ações como essas são comuns entre as crianças, bem como, o uso da distribuição para resolver problemas semelhantes.
  • 11. Medida conhecida: 7 fileiras Outra medida conhecida: 5 caixas por fileira Produto: desconhecido SITUAÇÕES ENVOLVENDO RACIOCÍNIO COMBINATÓRIO Algumas situações envolvem a necessidade de verificar as possibilidades de combinar elementos de diferentes conjuntos. Exemplo: Dona Centopeia tem dois chapéus, um branco (B) e outro preto (P) e três bolsas, uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C). De quantas maneiras diferentes Dona Centopeia pode escolher seus acessórios para ir passear? Conjunto conhecido: 2 chapéus Conjunto conhecido: 3 bolsas Número de possibilidades: desconhecido Para o desenvolvimento do raciocínio aditivo e multiplicativo é importante propor aos alunos problemas variados, envolvendo as diferentes situações que compõem os campos conceituais. Assim as crianças enfrentam situações desafiadoras e não apenas resolvem problemas a partir da repetição de estratégias já conhecidas. SOBRE CÁLCULOS E ALGORITMOS Até agora enfatizamos que aprender sobre adição e subtração, multiplicação e divisão, envolve construir estratégias variadas e resolver diferentes problemas. No entanto, é importante lembrar que a compreensão dos conceitos próprios a essas operações requer coordenação com os diferentes sistemas de representação, o que torna clara a importância da interação da criança com diferentes formas de registros, dentre eles, os numéricos. Portanto, afirmar a necessidade de comprometer o processo de alfabetização matemática com o desenvolvimento das operações de pensamento necessárias para que as crianças se tornem capazes de resolver diferentes situações, não significa dizer que cálculos numéricos não devam ser trabalhados. Pelo contrário, desempenham um papel fundamental no processo. A proposta didática de Parra (1996) é que os alunos possam articular o que sabem com o que têm que aprender diante de situações partindo da análise dos dados, buscando os procedimentos que lhes pareçam mais úteis, discutindo suas escolhas e analisando sua pertinência e sua validade. Nessa perspectiva, cada cálculo é um problema novo e o caminho a ser seguido é próprio de cada aluno, o que faz com que para uns possa ser mais simples e, para outros, mais complexo. O fato é que, estratégias de cálculo construídas a partir dos conhecimentos que já fazem parte da bagagem dos alunos e a partir das relações sobre os números e operações que os envolvem, costumam ser mais rápidas e eficientes para quem as utiliza. Estratégias como essas não surgem do nada. Precisam ser trabalhadas em sala de aula. Dentre os procedimentos possíveis de serem estimulados e propostos pelos professores sugerimos alguns que descreveremos a seguir. Contagem A contagem é um procedimento natural e bastante útil na resolução de cálculos pelas crianças. Alguns procedimentos que auxiliam no desenvolvimento de estratégias de cálculo são: contar para frente; contar para trás; contar de 2 em 2, 3 em 3, 5 em 5, 10 em 10; contar a partir de um determinado número.
  • 12. Recurso à propriedade comutativa A propriedade comutativa da adição e da multiplicação é um recurso importante para o cálculo, uma vez que facilita a memorização e também a realização dos cálculos. Dobros e metades Dobros e metades são fáceis de memorizar e podem ser um recurso bastante interessante para o cálculo mental. O reagrupamento em torno de um dobro pela decomposição de uma das parcelas e o apoio da propriedade associativa da adição permitem relacionar os números de modo a facilitar o cálculo. Reagrupar em dezenas ou centenas É importante explorar as estratégias dos alunos. Como já salientamos, é fundamental que o professor proporcione às crianças oportunidades de desenvolver estratégias de cálculo a partir da coordenação dos conhecimentos que já possuem sobre as operações e sobre o sistema de numeração decimal. ALGORITMOS TRADICIONAIS O algoritmo tradicional das operações permite realizar cálculos de uma maneira ágil e sintética principalmente quando envolve números altos. Possibilita, também, ampliar a compreensão sobre o Sistema de Numeração Decimal (SND). O material dourado, o ábaco e o Quadro Valor Lugar (QVL), são recursos que podem ser utilizados, para favorecer a compreensão dos algoritmos tradicionais. Adição sem agrupamento ou reserva A adição sem agrupamento é aquela que não exige o “vai um”. Exemplo: 24 + 15 Adição com agrupamento ou reserva Nesse caso temos um cálculo de adição com reserva, como a seguir: 2 5 + 1 6 Inicialmente, com o material dourado, separamos as peças equivalentes à primeira parcela, ou seja, 2 barras e 5 cubinhos, isto é, 2 dezenas e 5 unidades. Subtração com desagrupamento Trata-se de contas de subtração em que necessitamos fazer trocas entre dezenas por unidades ou centenas por dezenas, milhares por centenas e assim sucessivamente para realizarmos a conta. Exemplo de troca de dezena por unidades: 2 6 – 1 8
  • 13. AS OPERAÇÕES, AS PRÁTICAS SOCIAIS E A CALCULADORA O objetivo principal desse caderno foi o de abordar com um nível adequado de profundidade questões relacionadas aos campos aditivo e multiplicativo e isso foi feito tendo como foco a prática social do professor, que em seu cotidiano terá que lidar com as dificuldades de aprendizagem, além de se preocupar em inserir estas práticas no universo mais amplo das práticas sociais dos seus alunos. Para que aprendizagem se torne ainda mais interessante, o mundo da criança precisa ser respeitado, de forma que a seleção das fontes deve ser cuidadosa. Quanto ao uso da calculadora, dependendo do objetivo da atividade proposta, o uso da calculadora poderá ser solicitado. É importante enfatizar que o que está em jogo não é o uso ou o não uso dessa tecnologia, mas sim, quando utilizá-la. Em situações reais, em que os números são muito grandes ou muito pequenos, a utilização da calculadora é recomendada. Isso porquê, o que está em jogo é a resolução da situação-problema real e não o uso de algoritmos. Por exemplo, caso precisemos saber com exatidão, quantos litros de gasolina conseguiremos comprar com R$ 50,00, certamente utilizaremos uma calculadora, pois a operação a ser realizada seria muito trabalhosa para ser efetivada a mão. No ciclo de alfabetização, uma série de atividades com a calculadora podem ser realizadas para construir e/ou sistematizar fatos importantes das operações, ou mesmo para disparar problemas. REFERÊNCIAS AGRANIONIH, N. T.; SMANIOTTO, M. Jogos e aprendizagem matemática: uma interação possível. Erechim: EdiFAPES, 2002. CARRAHER, T.N.; CARRAHER, D.W.; SCHLIEMANN, A.D. (Org.). Na vida dez, na escola zero. São Paulo: Cortez, 1988. CORREA, J. ; SPINILLO, A. G. O desenvolvimento do raciocínio multiplicativo em crianças. In: PAVANELLO, R. M. (Org.). Matemática nas séries iniciais do ensino fundamental: a pesquisa e a sala de aula. São Paulo: Sociedade Brasileira de Educação Matemática, 2004. p. 103-127. FAYOL, M. A criança e o número: da contagem à resolução de problemas. Porto Alegre: Artmed, 1996. GUÉRIOS, E.; LIGESKI, A. Resolução de problema em matemática: problema em matemática ou em linguagem? In: CONGRESSO IBEROAMERICANO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 6., 2013, Montevideo. Anais eletrônicos... Montevideo, 2013. Disponível em: <www.cibem. org/paginas/img/resumenes.pdf>. Acesso em: 23 de outubro de 2013. KAMII, C.; LIVINGSTON, S. J. Desvendando a aritmética: implicações da teoria de Piaget. São Paulo: Papirus, 1995. MAGINA, S. et al. Repensando adição e subtração: contribuições da teoria dos campos conceituais. São Paulo: PROEM, 2001. NUNES, T.; BRYANT, P. Crianças fazendo matemática. Porto Alegre: Artmed, 1997. NUNES, T. et al. Educação matemática 1: números e operações numéricas. São Paulo: Cortez, 2005. Quanto mais rica a experiência humana, tanto maior será o material disponível para a imaginação e a criatividade". (Lev S. Vygostsky)
  • 14. ORRANTIA, J. Las dificultades en el aprendizaje del cálculo desde el punto de vista cognitivo. Premios nacionales de investigación educativa. Madrid: MECD-CIDE, 2000. Disponível em: <http://redined.mecd.gob.es/xmlui/bitstream/handle/11162/83681/008200200009. pdf?sequence=1>. Acesso em: 14 de fevereiro de 2014. PARRA, C. Cálculo mental na escola primária. In: PARRA, C.; SAIZ, C. (Org.). Didática da matemática: reflexões psicopedagógicas. Porto Alegre: Artmed, 1996. p. 186-235. PIRES, C.M. Números naturais e operações. São Paulo: Melhoramentos, 2013