O documento discute o raciocínio multiplicativo e situações que envolvem este tipo de raciocínio, como distribuição, proporção e configurações retangulares. Também aborda a importância de expor as crianças a diferentes situações matemáticas para desenvolverem compreensão sobre adição e multiplicação.

1. Resolução e Formulação de
Problemas Campo Multiplicativo

2. Vídeo: A caixa de tampinhas
• Priscila Monteiro ( Avisa Lá) Nova Escola

3. RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVORACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO
Segundo Nunes e Bryant (1997), Nunes et al.
(2005) e Correa e Spinillo (2004): P.31.
O aluno que sabe fazer corretamente um algoritmo
de multiplicar ou de dividir ele aprendeu a
multiplicação ou a divisão?

4. RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVORACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO
Segundo Nunes e Bryant (1997), Nunes et al.
(2005) e Correa e Spinillo (2004): P.31.
RACIOCíNIO MULTIPLICATIVO: Envolve relações fixas
entre variáveis, por exemplo, entre quantidades ou
grandezas. Correspondência de um para muitos,
distribuição e divisão. A relação entre as variáveis são
constante.

5. SITUAÇÕES DE COMPARAÇÃO ENTRE RAZÕESSITUAÇÕES DE COMPARAÇÃO ENTRE RAZÕES
•Em uma caixa de lápis de cor há 12 lápis. Quantos lápis há em 3 caixas
iguais a esta?
A correspondência “um para muitos”, cada caixa correspondem 12
lápis. A quantidade de caixa e lápis estão relacionadas por um número
fixo de lápis por caixa, ou seja, 12 lápis por caixa.

6. Pensando com o campo conceitual da adição

7. Com o campo conceitual multiplicativo

8. Razão e proporção
• 1 polvo = 8 tentáculos
• 2 polvos = 16 tentáculos
• 3 polvos = 24 tentáculos
•
•1 receita = 3 ovos
•2 receitas = 6 ovos
•3 receitas = 9 ovos
Polvo Receita do bolo
A quantidade de tentáculos é fixa, mas
pensando na proporção 1 vale 8
3 valem 24, essas são as variáveis,
porém número de tentáculos é sempre o
mesmo, sendo a razão inicial
A quantidade de ovos é fixa, mas pensando
na proporção 1 vale 3, uma receita equivale
a três ovos, 2 receitas a 6 DOBRO. O
número referente a quantidade de receita
pode mudar, assim a quantidade de ovos
também, mas todos com a razão 3.

9. Razão e proporção
• 1 bicicleta = 2 rodas
• 2 bicicletas = 4 rodas
• 3 bicicletas = 6 rodas
Com R$27,00 compro:
Bicicleta Problematizando
QUANTO CUSTA UM CADERNO?

10. Razão e proporção
Com R$27,00 compro 9 cadernos. Quantos cadernos compro com R$ 72,00?
Problematizando
NESSAS SITUAÇÕES TEMOS DUAS VARIÁVEIS E UMA RELAÇÃONESSAS SITUAÇÕES TEMOS DUAS VARIÁVEIS E UMA RELAÇÃO
PROPORCIONAL QUE É IGUAL AO RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO.PROPORCIONAL QUE É IGUAL AO RACIOCÍNIO MULTIPLICATIVO.
A RAZÃO É UMA CONSTANTE.A RAZÃO É UMA CONSTANTE.

11. SITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃOSITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃO
Júlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua sala de
aula. Quantos chocolates cada um vai receber?
É possível distinguir o raciocínio aditivo do multiplicativo analisando o problema
anterior: a quantidade de chocolates e de pessoas foi transformada em
chocolates por pessoa, isto é, não se trata de uma relação com elementos de
uma mesma natureza, chocolate com chocolate ou pessoas com pessoas,
conforme acontece com as estruturas aditivas.

12. SITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃOSITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃO
Júlia ganhou 12 chocolates e quer dividir entre 4 amigos de sua sala de
aula. Quantos chocolates cada um vai receber?
NÃO REALIZOU
UMA DIVISÃO
EQUITATIVA
GABRIEL QUANDO
DEU UM
CHOCOLATE
PARA CADA
AMIGO,UTILIZOU
UMA ESTRATÉGIA
ADITIVA

13. SITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃOSITUAÇÕES DE DIVISÃO POR DISTRIBUIÇÃO
• Mas, é importante estar alerta para o
fato de que a divisão envolve situações
mais complexas do que a distribuição.
• A criança ao realizar a distribuição, pode fazê-lo
simplesmente recorrendo a um raciocínio aditivo
em que vai acrescentando mais um elemento a
cada rodada até que não haja mais elementos
para uma nova distribuição. No entanto, dividir,
como uma operação multiplicativa, implica que a
criança possa também prestar atenção às
relações entre as quantidades em jogo. Implica,
em outras palavras, poder estabelecer relações
de covariação entre os termos envolvidos na
operação. (CORREA; SPINILLO, 2004, p. 109-
110)

14. SITUAÇÕES DE DIVISÃO ENVOLVENDO FORMAÇÃO DESITUAÇÕES DE DIVISÃO ENVOLVENDO FORMAÇÃO DE
GRUPOSGRUPOS
• Dona Centopeia levou 20 caixas de sapatos em
sacolas. Em cada sacola foram colocadas 4 caixas
de sapatos. Quantas sacolas foram utilizadas?
• Quantidade a ser dividida: 20 caixas de sapatos
• Tamanho do grupo: 4 caixas de sapatos em cada sacola
• Número de grupos: ?

16. SITUAÇÕES DE CONFIGURAÇÃOSITUAÇÕES DE CONFIGURAÇÃO
RETANGULARRETANGULAR
• Dona Centopeia organizou seus sapatos em 7 fileiras com 5
caixas • empilhadas. Quantas caixas de sapatos dona
Centopeia organizou?
• Medida conhecida: 7 fileiras
• Outra medida conhecida: 5 caixas por fileira
• Produto: ?

18. SITUAÇÕES ENVOLVENDO RACIOCÍNIOSITUAÇÕES ENVOLVENDO RACIOCÍNIO
COMBINATÓRIOCOMBINATÓRIO
• Dona Centopeia tem dois chapéus, um branco (B) e outro preto
(P) e • três bolsas, uma rosa (R), uma azul (A) e uma cinza (C).
De quantas maneiras diferentes Dona Centopeia pode escolher
seus acessórios para ir passear?
• Conjunto conhecido: 2 chapéus
• Conjunto conhecido: 3 bolas
• Número de possibilidades: ?

19. LUCAS CAROLINA

20. PODEMOS CONCLUIR QUE:PODEMOS CONCLUIR QUE:
Para que as crianças possam desenvolver o
raciocínio aditivo e multiplicativo é necessário que
envolva as crianças em diferentes situações que
compõem estes campos conceituais. Com isso
estaremos oferecendo situações desafiadoras às
crianças e evitando que resolvam problemas a
partir da repetição de estratégias já conhecidas.

21. CADERNO 4CADERNO 4
OPERAÇÕES NA RESOLUÇÃOOPERAÇÕES NA RESOLUÇÃO
DE PROBLEMASDE PROBLEMAS
CAMILA RIBEIRO

22. ESTIMULAR ESTRATÉGIAS INDIVIDUAIS
SOCIALIZAR AS ESTRATÉGIAS UTILIZADAS
DECIDIR SOBRE AS ESTRATÉGIAS
VIVENCIAR AS SITUAÇÕES MATEMÁTICAS
RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA SALA DE AULARESOLUÇÃO DE PROBLEMAS NA SALA DE AULA

23. INTERPRETAR A SITUAÇÃO –PROBLEMA VIVENCIADA.
COMPREENDER O ENUNCIADO DO PROBLEMA
ESTABELECER RELAÇÕES ENTRE O ENUNCIADO E OS
CONHECIMENTOS MATEMÁTICOS
NA RESOLUÇÃO DE UMA SITUAÇÃO-PROBLEMANA RESOLUÇÃO DE UMA SITUAÇÃO-PROBLEMA
O ALUNO PRECISA:O ALUNO PRECISA:

24. Devemos ficar atentos quando as crianças se valem de indícios
linguísticos presentes nos problemas para realizar cálculos que
conduzam à solução (palavras –chave).
IMPORTANTE

25. SITUAÇÕESSITUAÇÕES ADITIVASADITIVAS
EE MULTIPLICATIVASMULTIPLICATIVAS
NO CICLO DENO CICLO DE
ALFABETIZAÇÃOALFABETIZAÇÃO

26. TIRINHASTIRINHAS
As tirinhas também apresentam ideias matemáticas que se transformam em
interessantes problemas.
Por exemplo, neste caso, qual foi a brilhante ideia de Magali?

30. ERA UMA VEZ ...ERA UMA VEZ ...
MUITOS PROBLEMAS DE UMA VEZMUITOS PROBLEMAS DE UMA VEZ

32. QUEM SÃO?
1
ONDE FORAM?
2
O QUE
COMPRARAM?
3
QUANTO
CUSTOU?
4 5
COMO
ACABOU?
6
COMO
RESOLVER?

33. Problemas “sem contas”:
Joana ganhou um gatinho recém-nascido que, em pouco tempo, cresceu e
se transformou num belo gato. Agora, Joana está querendo saber quantos
quilos pesa seu bichinho, o problema é que ela não consegue convencer o
bicho a ficar quieto sobre a balança da farmácia, foi então que Joana pensou
muito e "bolou" um sistema infalível para resolver o problema. E você, como
faria para resolvê-lo?

34.  Problemas com excesso de dados
Hemengardos é um “girafo”. Ele adora gravatas-
borboleta. Diz que elas valorizam seu pescoço.
Hemengardos tem vinte e uma gravatas lisas,
quinze de bolinhas, trinta e quatro listradas, oito
de estampados diversos, dezesseis floridas e
trinta cachecóis. Quantas gravatas Hemengardos
têm?
Caderno 1 (p.29)

35.  Problemas “sem perguntas”
CAMILA TEM 19 FIGURINHAS, BRUNO TEM 22.
Explorar as possibilidades de criação de situações...
Quem tem mais figurinhas?
Quantas figurinhas Bruno tem a mais do que Camila?
Quem tem menos figurinhas?
Quantas figurinhas Camila tem a menos do que Bruno?
Quantas figurinhas eles têm juntos?

36.  Só com as “perguntas”
QUANTOS DOCES SOBRARAM?
QUANTOS QUILÔMETROS FALTAM PARA
COMPLETAR A VIAGEM?

37. Construir o enunciado a partir da “resposta”.
TENHO 55 FIGURINHAS.
RECEBI DE TROCO 2 REAIS.
GANHEI 15 PONTOS NO FINAL DO
JOGO.
SOBROU METADE DO BOLO.

38.  Completar enunciados.
UMA DOCEIRA FEZ PARA UMA
ENCOMENDA _______ BRIGADEIROS. SE
ELA COBRA ______ REAIS POR UMA
DEZENA DE DOCES. QUANTO ELA
RECEBEU PELO TRABALHO?

39. E não conseguia vendê-las
À tarde
Vendeu ___ toalhas. Ai, o dono abaixou o preço
Uma loja de tecidos tinha Ele vendeu ____
Quantas toalhas Na manhã deste dia,
382Sobraram no estoque?
A notícia se espalhou e
Um estoque de ____toalhas
790 1 700
Problemas em tiras...

40. Uma loja de tecidos tinha um estoque de ____toalhas1 700
e não conseguia vendê-las. Ai, o dono abaixou o preço.
Na manhã deste dia, vendeu _____ toalhas.382
A notícia se espalhou e à tarde ele vendeu ______.
Quantas toalhas sobraram no estoque?
790

41. A Resolução de Problemas e a superação daA Resolução de Problemas e a superação da
perspectiva da simples “reprodução deperspectiva da simples “reprodução de
procedimentos”.procedimentos”.

42. JAMAIS ESQUECER!JAMAIS ESQUECER!
 Explorar todas as ideias das operações por
meio da Resolução de Problemas...
 Mais problemas e menos operações isoladas e
sem significado...
Valorizar as estratégias das crianças...
 Nem tudo o que é para o professor deve ser
apresentado ao aluno...

43. Ettiene Cordeiro Guerios
Neila Tonin Agranionih
Tania Teresinha Bruns Zimer

44. [...]enfatizar o raciocínio não significa deixar de lado o
cálculo na resolução de problemas: significa calcular
compreendendo as propriedades das estruturas aditivas e
das operações de adição e subtração.”
(NUNES, CAMPOS, MAGINA E
BRYANT, p. 56, 2005)
É importante lembrar que a compreensão dos conceitos próprios das
operações requer coordenação com os diferentes sistemas de
representação.

45. Cálculos numéricos estejam conectados ao
processo de compreensão progressiva do
Sistema de Numeração Decimal.
 Valorização da criação de estratégias pessoais
na resolução de problemas.
 Promoção de sua socialização.
O que se propõe?O que se propõe?

46. - O cálculo necessário para fornecer o
troco de uma compra no valor de R$
48,00, paga com uma cédula de
R$100,00?
Como você resolve?Como você resolve?
- O preço a pagar por 8 metros
e meio de fita sendo que o metro
custa R$ 1,50.

47. Por que utilizar estratégias?Por que utilizar estratégias?

48. Nessa perspectiva, cada cálculo é um
problema novo e o caminho a ser
seguido é próprio de cada aluno, o que
faz com que para uns possa ser mais
simples e, para outros, mais complexo.

49. ESTRATÉGIAS DE CÁLCULOESTRATÉGIAS DE CÁLCULO
NÃO SURGEM DO NADA.NÃO SURGEM DO NADA.
PRECISAM SER TRABALHADASPRECISAM SER TRABALHADAS
E ESTIMULADAS EM SALA DEE ESTIMULADAS EM SALA DE
AULA.AULA.

50. ESTIMULANDO AS ESTRATÉGIAS DEESTIMULANDO AS ESTRATÉGIAS DE
CÁLCULOCÁLCULO
- CONTAGEM-
Procedimento natural e bastante útil na resolução de
cálculos pelas crianças.
Algumas contagens importantes:
• contar para a frente;
• contar para trás;
•contar de 2 em 2, de 3 em 3, de 5 em 5, de 10 em 10;
•contar a partir de um determinado número

51. JOGO: COELHINHO PROCURANDO A TOCAJOGO: COELHINHO PROCURANDO A TOCA

53. MEMORIZAÇÃO DE FATOS NUMÉRICOSMEMORIZAÇÃO DE FATOS NUMÉRICOS
A tabuada pode agilizar processos de cálculos a
partir da memorização de resultados entre os
fatores, desde que:
A memorização deve ser consequência da adoção de
estratégias metodológicas que permitam a
construção/estruturação de regularidades entre os fatos
numéricos e a memorização dos mesmos por caminhos
diferentes da “decoreba” destituída de significado

54. Investigação Matemática naInvestigação Matemática na
TabuadaTabuada
João Pedro da Ponte sugere o desenvolvimento de
atividades investigativas, nas quais os alunos são
convidados a analisar padrões e regularidades
existentes nas operações. Observe: (pág. 51)
Construa a tabuada do 3. O que encontra de curioso
nesta tabuada? Prolongue-as calculando 11 × 3, 12
× 3, 13 × 3.... E formule algumas conjecturas.

55. Pode-se pedir que os alunos façam registros escritos em forma de textos
das suas descobertas para que expressem as relacionem com as
propriedades do SND.
construção de
recursos cognitivos
que auxiliam a
memorização
estabelecer relações
entre os fatos e
perceber
regularidades por
processos
investigativos

56. CONSTRUINDO A TÁBUA DE PITÁGORASCONSTRUINDO A TÁBUA DE PITÁGORAS
xx 11 22 33 44 55 66 77 88 99 1010
11
22
33
44
55
66
77
88
99
1010

57. JOGO: GATOS MALHADOSJOGO: GATOS MALHADOS

58. REAGRUPAR EM DEZENAS OU CENTENASREAGRUPAR EM DEZENAS OU CENTENAS
Construir sequências de
atividades investigativas...

59. FORMAÇÃO DA CENTENAFORMAÇÃO DA CENTENA

60. Ettiene Cordeiro Guerios
Neila Tonin Agranionih
Tania Teresinha Bruns Zimer

61. • O algoritmo tradicional das operações permite realizar
cálculos de uma maneira ágil e sintética.
• Modos de representar os processos operativos da
adição e da subtração pautados nas propriedades do SND.
ALGORITMOS TRADICIONAISALGORITMOS TRADICIONAIS
É importante que a criança tenha se apropriado das
características do SND para que compreenda os processos
sequenciais dos algoritmos.

62. O material dourado, o ábaco e o Quadro Valor Lugar (QVL), são
recursos que devem ser utilizados, para favorecer a compreensão dos
algoritmos tradicionais.

63. • Historicamente: como o precursor da calculadora
.
• Há diferentes modelos de ábaco, todos eles com
o mesmo princípio constitutivo do SND que
permite o trabalho centrado no valor posicional
do número.
• Sugere-se atividades com o ábaco aberto e
apenas até a ordem das unidades de milhar.
ÁBACOÁBACO

64. Material DouradoMaterial Dourado
A possibilidade de explorar propriedades do SND,
tais como:
a base 10
a composição aditiva e multiplicativa
explorar trocas e composição/decomposição
É importante salientar que o valor posicional do
algarismo não é tratado de forma explicita neste
recurso como o é no QVL e no ábaco.

65. Para pensar e discutir...Para pensar e discutir...
• Agrupamento e desagrupamento.
• Uso de material dourado e ábaco para resolver
algoritmos com “números grandes”.
• O cuidado com uso de recursos como o ábaco e
o material dourado.

66. Emerson Rolkouski

67. ALGUMAS POSSIBILIDADES ...ALGUMAS POSSIBILIDADES ...
Em situações reais, em que os números são muito grandes ou muito
pequenos, a utilização da calculadora é recomendada. Isso porquê, o
que está em jogo é a resolução da situação-problema real e não o
uso de algoritmos.

68. SITUAÇÕES REAIS DE SALA DE AULASITUAÇÕES REAIS DE SALA DE AULA
Por exemplo, a tabela a
seguir foi construída
tendo como ponto de
partida dados coletados
por crianças que diziam
respeito à quantidade de
sorvetes que
conseguiram vender em
uma gincana.

69. Calculadora para construir e/ou sistematizar fatosCalculadora para construir e/ou sistematizar fatos
importantes das operações, ou mesmo paraimportantes das operações, ou mesmo para
disparar problemas.disparar problemas.
- Encontrar o resultado de 4 x 5 sem utilizar a tecla x.
- Fazer 20 ÷ 4, sem utilizar a tecla ÷
-Apertei a tecla 8, depois a tecla +, teclei ainda um outro
número, o sinal de = e obtive 14. Que número apertei?
Quais as possibilidades para obter: a soma 10, ou 100 ou
1000.

70. VÁRIAS CRIANÇAS RECOLHERAM BOLAS DE TÊNIS EM TRÊS
CAIXAS. SOMANDO A QUANTIDADE DE BOLAS DE DUAS DESSAS
CAIXAS, O TOTAL FOI 78. DESCUBRA ESSAS DUAS CAIXAS E
PINTE-AS:
Resolver o problema utilizando o algoritmo tradicional com o ábaco.
CAIXAS COM BOLINHAS DE TÊNIS

71. Resolver o problema utilizando o algoritmo
tradicional com o material dourado.
MARIA COMPROU UMA BONECA POR R$ 24,00 E FICOU COM
R$ 17,00 REAIS NA CARTEIRA. QUANTO ELA POSSUIA ANTES
DE FAZER A COMPRA?
Adaptado Repensando Adição e Subtração: contribuições da teoria dos campos conceituais.
Sandra Magina, Tânia Maria Mendonça Campos, Verônica Gatirana, Teresinha Nunes .

72. ELE JÁ COLOU 29 FIGURINHAS.
QUANTAS FIGURINHAS ELE AINDA PRECISA COMPRAR PARA
COMPLETAR SEU ÁLBUM?
JOÃO COLECIONA FIGURINHAS DE FUTEBOL.
O ÁLBUM PARA ESTAR COMPLETO DEVE TER 56 FIGURINHAS.
ELE RESOLVEU COMPRAR TODAS AS FIGURINHAS QUE FALTAM
EM SUA COLEÇÃO.
Resolver o problema utilizando o algoritmo
tradicional com o ábaco.
PROBLEMA EM TIRAS
Adaptado de Kátia Stoco Smole e Maria Ignez Diniz. Ler, escrever e resolver problemas.

73. Resolver o problema utilizando o algoritmo
tradicional com o material dourado.
Completando o enunciado

74. TV ESCOLA MATEMÁTICA
RESOLUÇAO DE
PROBLEMAS
Finalizando...

75. EM DUPLAS VAMOS ANALISAR AS SITUAÇÕES E
DELIMITAR SEUS CAMPOS CONCEITUAIS.

76. Análise de situações problemas (tabela)
Situação-Problema
Campo Conceitual
aditivo/
multiplicativo
Caracterização da
situação analisando:
estado inicial, transf,
estado final
• Em um vaso há 5 rosas amarelas e 3 rosas vermelhas. Quantas
rosas há ao todo no vaso?
A COMPOSIÇÃO
• Aninha tem 3 pacotes de figurinhas. Ganhou 4 pacotes da sua
avó. Quantos pacotes tem agora?
A TRANSF. SIMPLES
• Aninha tinha 5 bombons. Ganhou mais alguns bombons de
Júlia. Agora Aninha tem 8 bombons. Quantos bombons Aninha
ganhou?
A TRANSF. COM
TRANSF. DESC.
• Em um vaso há 8 rosas, 3 são vermelhas e as outras são
amarelas. Quantas rosas amarelas há no vaso?
A COMPARAÇÃO
PARTE DESC.
• Maria tinha algumas figurinhas. Ganhou 4 figurinhas de Isa.
Agora Maria tem 7 figurinhas. Quantas figurinhas Maria tinha?
A TRANSF. INICIAL
DESC.
• Zeca tinha 7 bolinhas de gude. Deu 3 para Luís. Quantas ele
tem agora?
A TRANSF. SIMPLES
• Zeca tinha 8 bombons. Deu alguns bombons para Luís e ficou
com 3. Quantos bombons Zeca deu para Luís?
A TRANSF. COM
TRANSF. DESC.
• João tem 7 carrinhos e José tem 4 carrinhos. Quantos
carrinhos João tem a mais do que José?
A COMPARAÇÃO

77. Paulo tinha alguns carrinhos. Deu 4 carrinhos para
Pedro e ficou com 7. Quantos carrinhos Paulo
tinha?
A TRANSF. COM
INÍCIO DESC.
João tem 7 carrinhos e José tem 4 carrinhos.
Quem tem mais carrinhos?
A COMPARAÇÃO
Em uma caixa de lápis de cor há 12 lápis. Quantos
lápis há em 3 caixas iguais a esta?
M COMPARAÇÃO
ENTRE RAZÕES
Dona Centopeia organizou seus sapatos em 7
fileiras com 5 caixas empilhadas. Quantas caixas
de sapatos dona Centopeia organizou?
M CONFIGURAÇÃO
RETANGULAR
Dona Centopeia tem dois chapéus, um branco (B)
e outro preto (P) e três bolsas, uma rosa (R), uma
azul (A) e uma cinza (C). De quantas maneiras
diferentes Dona Centopeia pode escolher seus
acessórios para ir passear?
M COMBINATÓRIA
Dona Centopeia levou 20 caixas de sapatos em
sacolas. Em cada sacola foram colocadas 4 caixas
de sapatos. Quantas sacolas foram utilizadas?
M DIVISÃO POR
DISTRIBUIÇÃO