O documento demonstra que uma função f definida no intervalo 0 < x < s é uma função bijetora nesse intervalo para os reais. A função é injetiva porque valores distintos de x resultam em valores distintos de f(x). É sobrejetora porque para qualquer valor real y, existe um valor de x tal que f(x) = y, encontrado através de uma equação quadrática.

1. QUESTÕES PUC-RIO - DEMONSTRAÇÃO DE
FUNÇÃO BIJETORA
Claudio Buffara – Rio de Janeiro

2. Hoje iremos demonstrar um exemplo de função bijetora, dúvida enviada por
um estudante do ensino médio no forum PUC-RIO.
Demonstre que f, definida no intervalo 0 < x < s (s > 0) do seguinte modo:
F(x) = (2x - s)/[x(s - x)] é uma função bijetora desse intervalo nos reais.
Notemos que f(x) = [x + (x - s)]/[x(x - s)] = 1/(x - s) + 1/x.1.
Para todo y E R, se y = (2x - s)/[x(s - x)],

3. Resulta:
y(xs - x^2) = 2x - s -> yx^2 + (2 - ys) x - s = 0.
Fazendo g(x) = yx^2 + (2 - ys)x - s, vem:
a · g(0) = y(-s)
a · g(s) = y(s)
-> ag(0) e ag(s) têm sinais opostos -> existe um x tal que y = (2x´ - s)/[x´(s -
x´)] então f é sobrejetora.

4. DÚVIDA:
Por que g(0) e g(s) são multiplicados por a, por que ela é sobrejetora?
SOLUÇÃO:
Segue uma demonstração de que f é uma bijeção usando apenas álgebra
elementar:
f(x) = (2x - s)/[x(s - x)] ==> f(x) = 1/(s-x) - 1/x
A injetividade de f é consequência de (i) abaixo e a sobrejetividade é
consequência de (ii) e (iii):
i) Se 0 < a < b < s então f(a) < f(b).

5. Dem:
0 < a < b < s ==> 0 < s - b < s - a < s e 0 < 1/s < 1/b < 1/a ==> 1/(s-a) < 1/(s-b) e
-1/a < -1/b ==> 1/(s-a) - 1/a < 1/(s-b) - 1/b ==> f(a) < f(b)
ii) Se x = s/2 então f(x) = 0.
Dem: óbvia
iii) Dado y real não-nulo, definimos x como sendo:
x = s/2 - 1/y + raiz(s^2/4 + 1/y^2) se y > 0
e
x = s/2 - 1/y - raiz(s^2/4 + 1/y^2) se y < 0.
Então: 0 < x < s e f(x) = y.

6. Dem:
s > 0 e y <> 0 ==> s/2 + 1/|y| > raiz(s^2/4 + 1/y^2) > max( s/2 , 1/|y| )
Assim:
y > 0 ==> |y| = y ==> x = raiz(s^2/4 + 1/y^2) + s/2 - 1/|y| > 0
s - x = s/2 + 1/|y| - raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0 ==> x < s
y < 0 ==> |y| = -y ==> x = s/2 + 1/|y| - raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0
s - x = s/2 - 1/|y| + raiz(s^2/4 + 1/y^2) > 0 ==> x < s
Além disso, temos:
x - (s/2 - 1/y) = +/- raiz(s^2/4 + 1/y^2) ==> (x - (s/2 - 1/y))^2 = s^2/4 + 1/y^2
==> x^2 - 2x(s/2 - 1/y) + s^2/4 - s/y + 1/y^2 = s^2/4 + 1/y^2 ==> x^2 - xs +
2x/y - s/y = 0 ==> (2x - s)/y = xs - x^2 ⇒ y = (2x - s)/(xs - x^2)
==> y = (2x - s)/[x(s - x)] ==> y = f(x)
Confira a discussão completa em:
http://www.mat.puc-rio.br/~nicolau/olimp/obm-l.200303/msg00507.html