O documento discute conceitos estatísticos como: 1) Índices e notação por índices para representar valores de variáveis; 2) Notação de somatório para representar a soma de valores; 3) Médias como medidas de tendência central de distribuições de dados.

1. Pág. 19
a) Índices ou notação por índices
 O símbolo Xj (leia “X índice j”) representa um dos “N” valores:
X1, X2, X3, X4, X5, X6,..., Xn, assumidos pela variável X.
 A letra j, em Xj, pode representar qualquer número 1, 2, 3,..., N, é denominada
índice.
b) Notação de somatório
 O símbolo é usado para representar a soma ∑ Xi
N
j=1 de todos Xi, desde j =1 até
j = N.
 Por definição:
∑ Xj = X1 + X2 + X3 + X4 + X5 + X6 +…+ Xn
N
j=1
c) Médias e medidas de tendência central
 Numa distribuição, são os valores típicos ou representativos de um conjunto de
dados de uma distribuição;
 Determinados segundo uma regra estabelecida a priori (por hipótese ou por
dedução) para ser a imagem de todos os demais valores, permitem que se tenha uma
primeira ideia, ou um resumo, do modo como se distribuem os dados de um
experimento.
As médias mais comuns são:
1. Média Aritmética
É o valor que é equidistante de valores fronteiriços.

2. Pág. 20
1.1. Média Aritmética para dados não agrupados
A média aritmética é o quociente entre a soma de todos os valores observados e o
número total de observações.
Considerando um conjunto n de observações, x1, ..., xn, a média aritmética (𝑥) é
dada pela expressão:
x =
1
N
(x1+ x2 + x3+ x4+…+ xn),
que pode assumir a forma:
x =
∑ xi
N
i=1
N
Exemplo:
Considerando um conjunto sete de observações:
4 1 5 20 20 24 27 30
x =
4 + 1 + 5 + 20 + 20 + 24 + 27 + 30
7
= 20
Propriedades da média aritmética:
1ª - Propriedade: A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.
(20 -4) + (20-15) + (20 –24) + (20 –27) + (20 –30) = 0
2ª - Propriedade: Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os
valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada (ou
diminuída) dessa constante.
Seja:
12 16 15 17 18 20 14
x =
12 + 16 + 15 + 17 + 18 + 20 + 14
7
= 16 .

3. Pág. 21
Somando-se, p. ex., por 7 cada elemento, vem:
(12 + 7) (16 + 7) (15 + 7) (17 + 7) (18 + 7) (20 + 7) (14 + 7)
Assim,
19 + 23 + 22 + 24 + 25 + 27 + 21
7
=
161
7
=23
Y = x + 7 = 16 +7 =23
3ª - Propriedade: Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma
variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada (ou
dividida) por essa constante.
(12  7) (16  7) (15  7) (17  7) (18  7) (20  7) (14 7)
84 + 112 + 105 + 119 + 126 + 140 + 98
7
=
784
7
= 112
Y = x  7 = 16 7 = 112
4ª - Propriedade: Se f1 tem média m1, f2 tem média m2, ...,fk tem média mk, a
média de todos os números é
x =
f1  m1 + f2  m2+ f3  m3+…+f k  mk
f1 + f2+ f3+…+ fk
Exemplo: Considerando nove grupos de alunos com: 66, 73, 66, 65, 64 e 75
pessoas e respectivas médias de anos por grupo:
37, 26, 34, 24, 28, 21, 28, 22, 31 anos.
Determinar a média de anos.
Total
Ponto médio (X) 61 72 60 64 69 65 74 65 74
Frequência 26 34 35 34 22 21 33 20 30 255
xi × f i 1586 2448 2100 2176 1518 1365 2442 1300 2220 17155
x =
17155
255
= 67,3

4. Pág. 22
1.2. Média Aritmética para dados agrupados
No caso dos números X1, X2, . . . , XN forem apresentados f1, f2, f3,... , fk vezes (i.é,
ocorrem com frequências f1, f2, f3,... , fk), sua média é:
x =
f1  x1 + f2  x2+ f3  x3+…+f k  xk
f1 + f2+ f3+…+ fk
=
∑ x . f
∑ f
A tabela seguinte contem os resultados de uma pesquisa feita entre 200
trabalhadores, com o objetivo de verificar o número de visitas anuais ao médico.
Número de
visitas
5 6 7 8 9 10 Total
Número de
trabalhadores
12 50 30 65 35 8 200
Com base nos dados dessa tabela, responda os seguintes itens.
a) Qual é a média do número de visitas?
x =
5×12 + 6×50 + 7×30 + 8×65 + 9×35 + 10×8
200
x =7,425
b) Se acrescentarmos à pesquisa mais 9 pessoas que fizeram 5 visitas anuais ao
médico, qual será a média do número de visitas?
5×12 + 6×50 + 7×30 + 8×65 + 9×35 + 10×8 = 7,425 × 200 = 1485
Portanto,
x =
1485 + 9×5
200 + 9
=
1530
209
= 7,3205741626794

5. Pág. 23
Algumas vezes, aos números X1, X2, . . . , XN lhes são atribuídos determinados
fatores de ponderação (ou pesos) w1, w2, . . . , wK. Nesse caso, a media é dada pela
expressão:
x =
w1 X1+ w2 X2+ w3 X3+…+wk Xk
w1 + w2+ w3+…+ wk
Ou seja:
x =
∑ wX
∑ w
Ela é chamada de média aritmética ponderada. Note-se a semelhança com a
equação anterior, que pode ser considerada como uma média aritmética
ponderada com pesos f.
Outro exemplo:
Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela a seguir.
Estaturas (cm) Frequência (fi)
[ 50,54 [ 4
[ 54,58 [ 9
[ 58,62 [ 11
[ 62,66 [ 8
[ 66,70 [ 5
[ 70,74 [ 3
Total 50
Concluindo a tabela vem:
Estaturas (cm) Frequência (fi) Ponto médio (xi) Produto xi.fi
[ 50,54 [ 4 52 208
[ 54,58 [ 9 56 504
[ 58,62 [ 11 60 660
[ 62,66 [ 8 64 512
[ 66,70 [ 5 68 340
[ 70,74 [ 3 72 216
Total 50 2.440

6. Pág. 24
Portanto,
x =
∑ xi . fi
∑ f
x =
2440
50
= 48.8
5ª - Propriedade: Se você crê ou supõe que um número A (que pode ser qualquer
número) é a média aritmética “y” e se “dj = Xj – A” são desvios de Xj de A, então a
equação:
X = A +
∑ d
N
De fato, somando-se os desvios vem:
∑ d = ∑ x − N×A
Dividindo a expressão acima por N, vem:
∑ 𝑑
𝑁
=
∑ 𝑥
𝑁
− 𝐴
∑ 𝑑
𝑁
= 𝑋 – 𝐴
X = A +
∑ d
N
No caso dos números X1, X2, . . . , XN forem apresentados f1, f2, f3,... , fk vezes (i.é,
ocorrem com frequências f1, f2, f3,... , fk), sua média é:
X = A +
∑ f.d
f
Exemplo:
Calcular a média dos números 33, 20, 34, 50, 25, 31, 37, 21, 44, 25, 41, 32, 28,
39, 23, 33, 20, 47, 35, 31, 39, 21 e 29, escolhendo para “média arbitrada” A o
valor 35.

7. Pág. 25
Calculando os desvios, em relação a 35, dos números dados, vem:
i Xi di
1 33 -2
2 20 -15
3 34 -1
4 50 15
5 25 -10
6 31 -4
7 37 2
8 21 -14
9 44 9
10 25 -10
11 41 6
12 32 -3
13 28 -7
14 39 4
15 23 -12
16 33 -2
17 20 -15
18 47 12
19 35 0
20 31 -4
21 39 4
22 21 -14
23 29 -6
Soma 738 -67
Então:
X = 35 + (
-2 -15 -1+15 -10 -4+2 -14+9 -10+6 -3 -7+4 -12 -2 -15+12+0 -4+4 -14 -6
23
)
X = 35 –
67
23
= 32,087
Para o exemplo anterior tomando as seguintes frequências: 2, 8, 7, 3, 4, 7, 9, 5, 2,
1, 8, 2, 2, 7, 5, 2, 5, 3, 7, 4, 3, 2 e 1, respectivamente, o quadro fica:

8. Pág. 26
i Xi fi di Xifi fidi
1 33 2 -2 66 -4
2 20 8 -15 160 -120
3 34 7 -1 238 -7
4 50 3 15 150 45
5 25 4 -10 100 -40
6 31 7 -4 217 -28
7 37 9 2 333 18
8 21 5 -14 105 -70
9 44 2 9 88 18
10 25 1 -10 25 -10
11 41 8 6 328 48
12 32 2 -3 64 -6
13 28 2 -7 56 -14
14 39 7 4 273 28
15 23 5 -12 115 -60
16 33 2 -2 66 -4
17 20 5 -15 100 -75
18 47 3 12 141 36
19 35 7 0 245 0
20 31 4 -4 124 -16
21 39 3 4 117 12
22 21 2 -14 42 -28
23 29 1 -6 29 -6
Soma 738 99 -67 3182 -283
Então:
X =
3182
99
= 35 – (
283
99
) = 32,14141414
Exercício:
Determinar a média aritmética dos números 5, 8, 11, 9, 12, 6, 14 e 10, escolhendo para
“média arbitrária” A os valores (a) 9 e (b) 20.