O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre números complexos, incluindo sua definição, representações, operações e propriedades. É definido que um número complexo é representado por z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária. As principais operações como adição, subtração, multiplicação e divisão são descritas utilizando esta representação algébrica.

1. Números Complexos
 Definição: i 
1
 Representações: Algébrica:
Par ordenado:
Trigonométrica:
y
z  a  b.i
z  ( a, b )
z  z .(cos  i.sen )
z : módulo  z 
a2  b2
 : arg z argumento de z
•P(a,b)
cos 

x
a
z
sen  
b
z
 z  a  b.i  P(a, b)


 z  z .(cos  i.sen )  P( z , )

2
2
z  a b

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2. Números Complexos
z  a  b.i
 Conjugado: z  a  b.i
Exemplo: i = (0,1)
i2 = -1
(0,b) = b.i
(a,0) = a
z = 2 – 5.i
z = 2 + 5.i
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3. Números Complexos
 Operações:
• Adição:
(a  b.i)  (c  d .i)  (a  c)  (b  d ).i
(1  2.i)  (3  4.i)  4  6.i
• Subtração:
(a  b.i)  (c  d .i)  (a  c)  (b  d ).i
(5  3.i)  (3  4.i)  2  1.i
• Multiplicação:
(a  b.i).(c  d .i)  (ac  bd )  (bc  ad ).i
(1  i).(  2i)  3  i
1
• Divisão:
(a  b.i )
 (c  d .i )  0
(c  d .i )
(a  b.i ) (c  d .i ) (ac  bd )  (bc  ad ).i
.

(c  d .i ) (c  d .i )
c2  d 2

1  i 1  i 2.i
.

i
1 i 1 i
2
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4. Números Complexos
• Exponenciação:
in  ir
Para n  4, r é o resto da divisão de n por 4 !
• Potência de z : zn = (a+b.i)n  Desenvolver Binômio de Newton
 Operações – Forma trigonométrica:
• Multiplicação: z .z
1
• Divisão:
2
z  a  b.i  z  z .(cos  i.sen )
 z1 . z2 .cos( 1  2 )  i.sen( 12 )

z
z1
 1 .cos( 1   2 )  i.sen( 1 2 )

z2
z2
• Potenciação:
z n  z .cos(n. )  i.sen(n. ), n  Z
n
• O argumento das operações é
a 1ª determinação positiva ou
nula dos argumentos.
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5. Números Complexos
• Radiciação: zk é a raiz enésima de z
z  z  zk 
n
k
n
zz
1
n
z  z .(cos  i.sen )
zk  z
1
n
 2
 2


.cos( 
.k )  i.sen ( 
.k ), k  {0,1,2,..., n  1}
n
n
n
n


• Os argumentos estão em P.A. : a1 = /n e r = 2/n
Exemplo:
z  8.(cos60o  i.sen 60o )
Obter a raiz cúbica de z


60
360o
60o
360o
z  z k  8.cos(

.k )  i.sen (

.k ) 
3
3
3
3


o
o
o
o
z k  2. cos(20  120 .k )  i.sen ( 20  120 .k )
o
3
3


 P0
k  1  z  2.cos140  i.sen140  P1
k  2  z  2.cos 260  i.sen 260  P2
k  0  z0  2. cos 20  i.sen 20
o
o

o
o
1
o
o
2
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