O documento apresenta os conceitos fundamentais sobre operações com números complexos, incluindo:
1) Igualdade de complexos que ocorre quando suas partes reais e imaginárias são iguais;
2) O oposto de um número complexo é obtido multiplicando-o por -1;
3) O conjugado troca o sinal da parte imaginária.
1) O documento descreve propriedades geométricas notáveis de um triângulo, incluindo medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas.
2) Os pontos notáveis de um triângulo são o baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro, que são definidos como interseções de medianas, bissetrizes, mediatrizes e alturas.
3) Propriedades especiais desses pontos são descritas para triângulos isósceles, equiláteros e retângulos.
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano ilton brunoIlton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre monômios e polinômios para alunos do 8o ano. A lista contém 11 exercícios pedindo para completar tabelas, escrever polinômios na forma reduzida, calcular operações com monômios e polinômios, e representar áreas de figuras. Há também um desafio sobre divisão de polinômios.
O documento discute os elementos e classificação de triângulos. Ele define triângulos como polígonos formados por três segmentos de reta e lista seus elementos como vértices, lados e ângulos internos e externos. O documento também discute propriedades como a OMI e diferentes tipos de cevianas como medianas, alturas e bissetrizes, além de mediatrizes. Por fim, recomenda atividades sobre o tema em um livro didático.
O documento discute conceitos de área e perímetro de figuras geométricas planas. Explica que área é a medida de uma superfície enquanto perímetro é a soma dos comprimentos dos lados de uma figura. Fornece exemplos como o cálculo da área e perímetro de um campo de futebol e realiza perguntas para avaliar a compreensão do leitor sobre esses conceitos.
Este documento contém 13 exercícios resolvidos sobre áreas e perímetros de figuras geométricas. Os exercícios envolvem cálculos de áreas de retângulos, quadrados, triângulos e círculos, assim como determinação de perímetros de figuras. Muitos exercícios pedem que os alunos observem figuras e determinem informações como áreas e perímetros com base nas escalas fornecidas.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios de trigonometria para o 1o ano do ensino médio.
2. Os exercícios envolvem aplicações da lei dos seno, lei dos cossenos e fórmula trigonométrica da área em problemas geométricos.
3. Os problemas incluem cálculos de comprimentos, ângulos e áreas de triângulos dados os lados ou ângulos.
1) O documento descreve propriedades geométricas notáveis de um triângulo, incluindo medianas, mediatrizes, bissetrizes e alturas.
2) Os pontos notáveis de um triângulo são o baricentro, incentro, circuncentro e ortocentro, que são definidos como interseções de medianas, bissetrizes, mediatrizes e alturas.
3) Propriedades especiais desses pontos são descritas para triângulos isósceles, equiláteros e retângulos.
2ª lista de exerc(monomios e polinômios) 8º ano ilton brunoIlton Bruno
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre monômios e polinômios para alunos do 8o ano. A lista contém 11 exercícios pedindo para completar tabelas, escrever polinômios na forma reduzida, calcular operações com monômios e polinômios, e representar áreas de figuras. Há também um desafio sobre divisão de polinômios.
O documento discute os elementos e classificação de triângulos. Ele define triângulos como polígonos formados por três segmentos de reta e lista seus elementos como vértices, lados e ângulos internos e externos. O documento também discute propriedades como a OMI e diferentes tipos de cevianas como medianas, alturas e bissetrizes, além de mediatrizes. Por fim, recomenda atividades sobre o tema em um livro didático.
O documento discute conceitos de área e perímetro de figuras geométricas planas. Explica que área é a medida de uma superfície enquanto perímetro é a soma dos comprimentos dos lados de uma figura. Fornece exemplos como o cálculo da área e perímetro de um campo de futebol e realiza perguntas para avaliar a compreensão do leitor sobre esses conceitos.
Este documento contém 13 exercícios resolvidos sobre áreas e perímetros de figuras geométricas. Os exercícios envolvem cálculos de áreas de retângulos, quadrados, triângulos e círculos, assim como determinação de perímetros de figuras. Muitos exercícios pedem que os alunos observem figuras e determinem informações como áreas e perímetros com base nas escalas fornecidas.
1. O documento apresenta uma lista de exercícios de trigonometria para o 1o ano do ensino médio.
2. Os exercícios envolvem aplicações da lei dos seno, lei dos cossenos e fórmula trigonométrica da área em problemas geométricos.
3. Os problemas incluem cálculos de comprimentos, ângulos e áreas de triângulos dados os lados ou ângulos.
Este documento contém um conjunto de exercícios de matemática sobre números inteiros para alunos do 7o ano. Os exercícios incluem questões sobre números inteiros relativos, operações com números inteiros como adição e subtração, interpretação de gráficos e tabelas com dados numéricos, e identificação de andares em prédios usando números inteiros.
O documento apresenta exercícios sobre potenciação de números naturais, incluindo transformar produtos em potências e vice-versa, ler potências, calcular potências, e responder perguntas sobre regras básicas de potenciação. Os exercícios envolvem cálculos como 42, 53, 64, entre outros, e perguntas sobre resultados de potenciações como 41, 00, 11 etc.
1) O documento contém 45 exercícios de razão e proporção e teorema de Tales. Os exercícios envolvem cálculos de razões, determinação de medidas desconhecidas em figuras geométricas e resolução de problemas usando proporcionalidade. 2) Os exercícios abordam tópicos como razão entre grandezas, determinação de medidas faltantes em figuras, semelhança de triângulos e projeção de sombras. 3) As figuras geométricas apresentadas incluem triângulos, retas paral
1) O documento apresenta 9 questões de matemática sobre conversão entre medidas de arcos em graus e radianos. 2) As questões envolvem cálculos como conversão de arcos de medidas em radianos para graus e vice-versa. 3) Os tópicos abordados são relacionados a trigonometria plana.
O documento apresenta 16 questões sobre o sistema cartesiano de coordenadas planas. As questões abordam tópicos como determinar coordenadas de pontos, igualdade de pares ordenados, localização de pontos nos quadrantes e interpretação de gráficos no plano cartesiano.
1) O documento apresenta 17 exercícios sobre pirâmides geométricas. Os exercícios envolvem cálculos de volumes, áreas, lados e alturas de pirâmides regulares e irregulares.
2) As pirâmides podem ter bases triangulares, quadrangulares, pentagonais ou hexagonais.
3) Os exercícios requerem o uso de fórmulas geométricas para cálculo de volumes, áreas e relações entre medidas de pirâmides.
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre operações com ângulos preparada pelo professor Heráclito e disponível no site www.tioheraclito.com.
Cubo da soma e diferença de dois termosAnielle Vaz
Este documento apresenta as fórmulas para o cubo da soma e da diferença de dois termos. Ele deriva as expressões (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 através de multiplicações e demonstrações geométricas com materiais concretos. O documento também fornece exemplos para aplicar estas fórmulas.
1) O documento é uma avaliação parcial de números inteiros que contém 10 questões e um desafio sobre jogos esportivos.
2) As questões cobrem tópicos como antecessor e sucessor, módulo, números inteiros positivos e negativos, comparação de temperaturas, soma de números inteiros, opostos, ordenação numérica e operações bancárias.
3) O desafio pede para identificar o jogador melhor classificado de acordo com os pontos obtidos ou perdidos por cada um.
1) O documento apresenta uma avaliação de matemática para alunos do 9o ano, com 12 questões objetivas de múltipla escolha.
2) As questões vão desde operações com números até expressões algébricas e propriedades de potências e raízes.
3) O aluno deve assinalar a alternativa correta para cada questão no gabarito no final.
3 exercícios - potenciação de números naturais[1]Rejane Zancanaro
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação de números naturais. Os exercícios incluem transformar produtos em potências e vice-versa, escrever potências por extenso, calcular potências, e resolver problemas envolvendo a base, expoente e potência de vários números.
1. O documento é uma cruzadinha de matemática do 6o ano com 18 perguntas sobre conceitos matemáticos como número, operações, frações e figuras geométricas.
2. As perguntas abordam temas como produto, soma, diferença, divisão, quadrílato, tabela, unidade, cubo, partilha, subtração, setenta, expoente e círculo.
3. A última pergunta completa a frase: "Sabemos que o resultado da adição se chama soma, da subtração diferença, da
Este documento apresenta o plano de aula digital sobre o volume de prismas retangulares para o 7o ano. A aula contém atividades interativas como jogos e questões para avaliar os conhecimentos prévios dos alunos sobre o tema. O objetivo é calcular volumes utilizando as dimensões dos prismas retangulares.
A professora Adriana trabalhou com alunos do ensino médio construindo uma maquete sobre os ecossistemas brasileiros, representando exemplos da fauna e flora encontrados nesses ecossistemas.
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grauAndré Luís Nogueira
O documento apresenta 10 exemplos resolvidos de problemas de equações do 2o grau. Os problemas envolvem situações do mundo real que podem ser representadas matematicamente por equações de 2o grau, como número de filhos, dimensões de uma tela e preço de lanches. As equações são resolvidas algebraicamente para encontrar suas raízes reais, que fornecem as soluções para os problemas propostos.
Este documento apresenta exemplos e exercícios sobre operações com números racionais, incluindo obter o inverso de uma fração, dividir frações e resolver problemas envolvendo frações. É ensinado como dividir frações é equivalente a multiplicar pela fração inversa e como usar frações para representar partes de um todo e resolver problemas sobre distâncias, quantidades e porcentagens.
Grandezas inversamente e diretamente proporcionaisLeandro Marin
O documento contém uma série de exercícios de matemática sobre grandezas direta e inversamente proporcionais, razões, escalas e operações com frações. Os exercícios incluem cálculos envolvendo velocidade, tempo, volumes, distâncias, porcentagens e conversões de unidades.
O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo de áreas de polígonos planos e regiões sombreadas. A lista está dividida em duas partes, a primeira sobre conceitos iniciais de área e a segunda sobre cálculo de área de regiões sombreadas. Cinco exercícios são apresentados em cada parte para cálculo e determinação de áreas.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
I. O documento apresenta notações matemáticas comuns como conjuntos numéricos (N, Z, Q, R, C), operações com números complexos e notações para intervalos e somas.
II. Também fornece uma observação sobre os sistemas de coordenadas considerados serem cartesianos retangulares.
Este documento contém um conjunto de exercícios de matemática sobre números inteiros para alunos do 7o ano. Os exercícios incluem questões sobre números inteiros relativos, operações com números inteiros como adição e subtração, interpretação de gráficos e tabelas com dados numéricos, e identificação de andares em prédios usando números inteiros.
O documento apresenta exercícios sobre potenciação de números naturais, incluindo transformar produtos em potências e vice-versa, ler potências, calcular potências, e responder perguntas sobre regras básicas de potenciação. Os exercícios envolvem cálculos como 42, 53, 64, entre outros, e perguntas sobre resultados de potenciações como 41, 00, 11 etc.
1) O documento contém 45 exercícios de razão e proporção e teorema de Tales. Os exercícios envolvem cálculos de razões, determinação de medidas desconhecidas em figuras geométricas e resolução de problemas usando proporcionalidade. 2) Os exercícios abordam tópicos como razão entre grandezas, determinação de medidas faltantes em figuras, semelhança de triângulos e projeção de sombras. 3) As figuras geométricas apresentadas incluem triângulos, retas paral
1) O documento apresenta 9 questões de matemática sobre conversão entre medidas de arcos em graus e radianos. 2) As questões envolvem cálculos como conversão de arcos de medidas em radianos para graus e vice-versa. 3) Os tópicos abordados são relacionados a trigonometria plana.
O documento apresenta 16 questões sobre o sistema cartesiano de coordenadas planas. As questões abordam tópicos como determinar coordenadas de pontos, igualdade de pares ordenados, localização de pontos nos quadrantes e interpretação de gráficos no plano cartesiano.
1) O documento apresenta 17 exercícios sobre pirâmides geométricas. Os exercícios envolvem cálculos de volumes, áreas, lados e alturas de pirâmides regulares e irregulares.
2) As pirâmides podem ter bases triangulares, quadrangulares, pentagonais ou hexagonais.
3) Os exercícios requerem o uso de fórmulas geométricas para cálculo de volumes, áreas e relações entre medidas de pirâmides.
O documento é uma lista de exercícios de matemática sobre operações com ângulos preparada pelo professor Heráclito e disponível no site www.tioheraclito.com.
Cubo da soma e diferença de dois termosAnielle Vaz
Este documento apresenta as fórmulas para o cubo da soma e da diferença de dois termos. Ele deriva as expressões (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 e (a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 através de multiplicações e demonstrações geométricas com materiais concretos. O documento também fornece exemplos para aplicar estas fórmulas.
1) O documento é uma avaliação parcial de números inteiros que contém 10 questões e um desafio sobre jogos esportivos.
2) As questões cobrem tópicos como antecessor e sucessor, módulo, números inteiros positivos e negativos, comparação de temperaturas, soma de números inteiros, opostos, ordenação numérica e operações bancárias.
3) O desafio pede para identificar o jogador melhor classificado de acordo com os pontos obtidos ou perdidos por cada um.
1) O documento apresenta uma avaliação de matemática para alunos do 9o ano, com 12 questões objetivas de múltipla escolha.
2) As questões vão desde operações com números até expressões algébricas e propriedades de potências e raízes.
3) O aluno deve assinalar a alternativa correta para cada questão no gabarito no final.
3 exercícios - potenciação de números naturais[1]Rejane Zancanaro
Este documento apresenta uma série de exercícios sobre potenciação de números naturais. Os exercícios incluem transformar produtos em potências e vice-versa, escrever potências por extenso, calcular potências, e resolver problemas envolvendo a base, expoente e potência de vários números.
1. O documento é uma cruzadinha de matemática do 6o ano com 18 perguntas sobre conceitos matemáticos como número, operações, frações e figuras geométricas.
2. As perguntas abordam temas como produto, soma, diferença, divisão, quadrílato, tabela, unidade, cubo, partilha, subtração, setenta, expoente e círculo.
3. A última pergunta completa a frase: "Sabemos que o resultado da adição se chama soma, da subtração diferença, da
Este documento apresenta o plano de aula digital sobre o volume de prismas retangulares para o 7o ano. A aula contém atividades interativas como jogos e questões para avaliar os conhecimentos prévios dos alunos sobre o tema. O objetivo é calcular volumes utilizando as dimensões dos prismas retangulares.
A professora Adriana trabalhou com alunos do ensino médio construindo uma maquete sobre os ecossistemas brasileiros, representando exemplos da fauna e flora encontrados nesses ecossistemas.
Exercícios resolvidos de problemas de equações do 2º grauAndré Luís Nogueira
O documento apresenta 10 exemplos resolvidos de problemas de equações do 2o grau. Os problemas envolvem situações do mundo real que podem ser representadas matematicamente por equações de 2o grau, como número de filhos, dimensões de uma tela e preço de lanches. As equações são resolvidas algebraicamente para encontrar suas raízes reais, que fornecem as soluções para os problemas propostos.
Este documento apresenta exemplos e exercícios sobre operações com números racionais, incluindo obter o inverso de uma fração, dividir frações e resolver problemas envolvendo frações. É ensinado como dividir frações é equivalente a multiplicar pela fração inversa e como usar frações para representar partes de um todo e resolver problemas sobre distâncias, quantidades e porcentagens.
Grandezas inversamente e diretamente proporcionaisLeandro Marin
O documento contém uma série de exercícios de matemática sobre grandezas direta e inversamente proporcionais, razões, escalas e operações com frações. Os exercícios incluem cálculos envolvendo velocidade, tempo, volumes, distâncias, porcentagens e conversões de unidades.
O documento apresenta uma lista de exercícios de cálculo de áreas de polígonos planos e regiões sombreadas. A lista está dividida em duas partes, a primeira sobre conceitos iniciais de área e a segunda sobre cálculo de área de regiões sombreadas. Cinco exercícios são apresentados em cada parte para cálculo e determinação de áreas.
1ª lista de exercícios 9º ano(equações do 2º grau - incompletas)Ilton Bruno
1) Uma lista de exercícios de equações do 2o grau incompletas com 5 questões. 2) Pede para classificar equações como completas ou incompletas, identificar coeficientes e resolver equações. 3) Inclui problemas como determinar quantos filhos Moisés tem baseado na equação do triplo do quadrado do número de filhos.
1) O documento apresenta um curso sobre números complexos para estudantes do ITA e IME, introduzindo o tema e seu histórico, além de listar problemas relacionados.
2) É apresentada a definição formal de números complexos como pares ordenados de números reais e operações básicas como soma, multiplicação e módulo.
3) Propriedades importantes dos números complexos são demonstradas, como a igualdade, conjugação e propriedades algébricas das operações.
I. O documento apresenta notações matemáticas comuns como conjuntos numéricos (N, Z, Q, R, C), operações com números complexos e notações para intervalos e somas.
II. Também fornece uma observação sobre os sistemas de coordenadas considerados serem cartesianos retangulares.
(Curso extensivo) números complexos 01.08 e 02.08GuiVogt
O documento descreve a história do desenvolvimento dos números complexos, começando com Nicollo Tartaglia, que formulou uma fórmula geral para resolver equações do segundo grau. Gerônimo Cardano quebrou um juramento feito a Tartaglia e publicou a fórmula de Tartaglia. Raphael Bombelli considerou a raiz quadrada de números negativos como números imaginários. Leonhard Euler usou a letra i para representar a raiz quadrada de -1. Carl Friderich Gauss ampliou o uso do símbolo i e criou a expressão "número complex
O documento resume os principais conceitos sobre números complexos, incluindo:
1) Sua representação algébrica como a + bi, onde a é a parte real e bi é a parte imaginária;
2) O número imaginário i, cujo quadrado é igual a -1;
3) As operações básicas de soma, subtração, multiplicação e divisão entre números complexos nas formas algébrica e trigonométrica.
1. O documento apresenta os conceitos básicos de números complexos, incluindo sua representação algébrica como z = a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária, operações como adição, multiplicação, conjugado e divisão, representação geométrica no plano cartesiano e representação trigonométrica ou polar.
2. São apresentadas propriedades de potenciação e radiciação de números complexos e suas representações geométricas no plano de Gauss.
3. Exemplos numéricos de problemas envolvendo números complexos são
O documento resume os principais conceitos sobre números complexos, incluindo:
1) Sua representação algébrica como a + bi, onde a é a parte real e bi é a parte imaginária;
2) O número imaginário i, com a propriedade i2 = -1;
3) As operações básicas de soma, subtração, multiplicação e divisão de números complexos nas formas algébrica e trigonométrica.
O documento resume os principais conceitos sobre números complexos, incluindo:
1) Sua representação algébrica como a + bi, onde a é a parte real e bi é a parte imaginária;
2) O número imaginário i, com a propriedade i2 = -1;
3) As operações básicas de soma, subtração, multiplicação e divisão de números complexos nas formas algébrica e trigonométrica.
1) O documento apresenta 14 exercícios resolvidos de números complexos, incluindo operações como soma, multiplicação, divisão e raiz quadrada. 2) As soluções envolvem representar os números complexos na forma algébrica a + bi e aplicar propriedades como conjugado e módulo. 3) Os exercícios foram extraídos de provas de diversas universidades brasileiras e abordam conceitos como parte real, imaginária e módulo de um número complexo.
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações com esses números. Aborda a definição de números complexos como solução de equações, sua representação na forma a + bi, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, módulo e argumento de um número complexo e conversão entre formas algébrica e trigonométrica.
O documento apresenta os conceitos básicos dos números complexos, incluindo sua forma algébrica e trigonométrica e operações com esses números. Aborda a definição de números complexos para resolver equações do tipo x2 = -1, sua representação na forma a + bi, operações como adição, subtração, multiplicação e divisão, além de apresentar a representação geométrica desses números no plano complexo.
Este documento fornece uma introdução aos números complexos, definindo-os como números da forma a + bi, onde a é a parte real e b é a parte imaginária. Também explica como representar números complexos graficamente e como realizar operações básicas com eles, tanto na forma algébrica quanto na forma trigonométrica.
O documento apresenta notações matemáticas básicas como conjuntos numéricos, operações com conjuntos e funções. Define símbolos para determinante, transposta e complementar de conjuntos. Apresenta notações para intervalos, séries e funções trigonométricas e exponenciais complexas.
I) O documento apresenta notações matemáticas sobre conjuntos numéricos e operações.
II) Define símbolos como i (unidade imaginária), módulo e conjugado de números complexos, intervalos reais e matrizes.
III) Fornece exemplos de sistemas de coordenadas cartesianas retangulares.
1. Se um número complexo z é uma raiz de uma equação quadrática, então seu módulo é igual a 1/5.
2. Se a parte imaginária de um número complexo é igual a zero, então seu número real é igual a 2.
3. O lugar geométrico dos pontos com coordenadas reais (x, y) tal que (2x + yi)(y - 2xi) = i é uma parábola.
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A música 'Espalhe Amor', interpretada pela cantora Anavitória é uma celebração do amor e de sua capacidade de transformar e conectar as pessoas. A letra sugere uma reflexão sobre como o amor, quando verdadeiramente compartilhado, pode ultrapassar barreiras alcançando outros corações e provocando mudanças positivas.
1. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Para iniciarmos os nossos estudos a respeito de
Operações envolvendo números complexos, vamos
começar com uma breve revisão sobre:
Igualdade de complexos;
Oposto de um número complexo;
Conjugado de um número complexo.
http://2.bp.blogspot.com/-
Yr2wUq1eG0E/T9lFT4WDsPI/AAAAA
AAAkeY/QpOcWTVbcO8/s1600/profe
ssora+3d.gif
2. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
IGUALDADE DE COMPLEXOS
Dois números complexos são iguais se, e somente se,
apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte
imaginária.
Assim, se z1= a + bi e z2 = c + di, temos que:
z1 = z2 ⇔ a = c e b = c
3. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO 1
Se x e y são números reais, sob que condições os complexos (x –
1) + (y + 2)i e 3 – 5i são iguais?
Igualando os complexos, temos:
(x – 1) + (y + 2)i = 3 – 5i
⇒ x – 1 = 3 ⇒ x = 4
⇒ y + 2 = –5 ⇒ y = –7
Resolução:
4. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO 2
Determine os valores reais de m e n para que os complexos (m –
5) + ni e (n + 3) + (2m + 1)i sejam iguais?
Igualando os complexos, temos:
(m – 5) + ni = (n + 3) + (2m + 1)i
m – 5 = n + 3
n = 2m + 1
⇒ m – 5 = 2m + 1 + 3 ⇒ – m = 9
⇒ m = – 9
⇒ n = 2(–9) + 1 ⇒ n = – 17
Resolução:
5. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
OPOSTO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Chama-se oposto ou simétrico de um complexo z o complexo
indicado por –z, assim definido.
z = a + bi ⇒ –z = – (a + bi) = – a – bi
6. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Escreva os simétricos dos seguintes números complexos: (o
número é multiplicado por -1)
a) 3 + 4i =
b) –3 + i =
c) 1 – i =
d) –2 + 5i =
EXEMPLO
– 3 – 4i
3 – i
– 1 + i
2 – 5i
7. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO
Dado um número complexo z = (a, b), consideremos o par
ordenado simétrico a z em relação ao eixo x.
Tal par é chamado conjugado de z, e é indicado por z.
z = a + bi ⇒ z = a + bi = a – bi
8. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Escreva os conjugados dos seguintes números complexos:
(troca-se o sinal da parte imaginária)
a) 3 + 4i =
b) 1 – i =
c) –2 – 5i =
d) 2i =
e) – 8 =
EXEMPLO
3 – 4i
1 + i
– 2+5i
– 2i
– 8
9. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO ENTRE COMPLEXOS
Para adicionar ou subtrair dois números complexos devemos
adicionar ou subtrair as suas partes reais e imaginárias,
separadamente.
Se z1 = a +bi e z2 = c +di são dois números complexos, então a sua
soma é um outro número complexo dado por z1 + z2 = (a + c) + (b +
d)i e sua diferença é um outro número complexo dado por z1 - z2 =
(a - c) + (b - d)i.
10. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO
Calcule: (somam-se/subtraem-se as partes reais e as partes
imaginárias separadamente)
a) (2 + 5i) + (3 + 4i) = (2 + 3) + (5i + 4i) = 5 + 9i
b) i + (2 – 5i) = i + 2 – 5i = 2 – 4i
c) (2 + 5i) – (3 + 4i) = 2 + 5i – 3 – 4i = – 1 + i
d) (1 + i) – (1 – i) = 1 + i – 1 + i = 2i
11. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Para as potências do tipo in da unidade imaginária i, n natural,
valem as definições. Para n > 2, valem as propriedades usuais da
potenciação em ℝ.
POTÊNCIAS DE I
i0 = 1
i1 = i
i2 = –1
i3 = i2. i = (–1). i= – i
i4 = i2. i2= (–1).(–1)= 1
i5 = i4. i = (1). i = i
i6 = i4. i2= 1.(–1)= –1
i7 = i4. i3= 1.(–i)= – i
.......
12. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Qualquer potência de in, n natural, pode ser calculada a partir das
quatro primeiras.
i0 = 1 i1 = i i2 = –1 i3 = –i
POTÊNCIAS DE I
O valor de in é o mesmo de ir, sendo r o resto da divisão de n por
4.
14. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Dados dois números complexos, z1 e z2, para obter z3= z1. z2 ,
aplicamos a propriedade distributiva, as potências de i e depois
reduzirmos os “termos semelhantes”.
MULTIPLICAÇÃO ENTRE COMPLEXOS
15. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Calcule os seguintes produtos: (aplica-se a distributividade e a
soma ou subtração)
a) (2 + 3i) (3 – 2i)
= (2)(3) – (2)(2i) + (3i)(3) – (3i)(2i)
= 6 – 4i + 9i – 6i2 = 6 + 5i + 6 = 12 + 5i
b) (1 + 3i) (1 + i)
= (1)(1) + (1)(i) + (3i)(1) + (3i)(i)
= 1 + i +3i + 3i2 = 1 + 4i – 3 = – 2 + 4i
EXEMPLO 1
16. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO 2
Determinar o complexo z que satisfaz a igualdade seguinte 2z +
5z = 7 + 6i.
Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos
2z + 5z = 7 + 6i ⇒ 2(a + bi) + 5(a – bi) = 7 + 6i
⇒ 2a + 2bi + 5a – 5bi = 7 + 6i
⇒ 7a – 3bi = 7 + 6i
7a = 7
–3b = 6
⇒ ⇒ a = 1 e b = –2 z = 1 – 2i
⇒
Resolução:
17. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO 3
Obter o complexo z que, multiplicado por 2 – i, resulta 8 + i.
z.(2 – i) = 8 + i
Fazendo z = a + bi, com a e b reais, temos
(a + bi).(2 – i) = 8 + i 2a – ai + 2bi – bi2
⇒ = 8 + i
2a – ai + 2bi + b
⇒ = 8 + i
2a + b + (2b – a)i
⇒ = 8 + i
2a + b = 8
2b – a = 1
⇒
Resolução:
18. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Resolvendo o sistema, chegamos a:
2a + b = 8
2b – a = 1 x (2)
⇒
2a + b = 8
4b – 2a = 2
+
5b = 10 ⇒ b = 2
⇒ 2a + 2 = 8
⇒ a = 3
⇒ z = a + bi
⇒ z = 3 + 2i
19. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Sejam dois números complexos, z1 e z2, com z2 ≠ 0, definimos a
divisão multiplicando ambos os números pelo conjugado do
complexo do denominador.
DIVISÃO ENTRE COMPLEXOS
z1
z2
. z2
. z2
z1
z2
=
21. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
Se z é um complexo não-nulo, chamamos de inverso de z o
complexo representado por z–1 e assim definido.
1
z
z–1 =
INVERSO DE UM COMPLEXO
22. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO
Determine o inverso do número complexo z = i.
z–1 =
1
i
(1) . (–i)
(i) . (–i)
–i
–i2
–i
1
– i
z–1 =
z–1 =
z–1 =
z–1 =
23. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE NATURAL)
Se n é um número natural e z é um complexo qualquer, a potência
zn é, por definição, o produto de n fatores iguais a z.
z0 = 1 (z ≠ 0)
z1 = z
zn = z. z.z ... .z
n fatores
25. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO 2
Calcular o valor da constante real k, para que o complexo z = (k +
2i)2 seja imaginário puro.
z = (k + 2i)2 = k2 + 4ki + 4i2
= k2 – 4 + 4ki
z imaginário puro, devemos ter:
Re(z) = 0
Im(z) ≠ 0
⇒
k2 – 4 = 0
4k ≠ 0
⇒ k = ± 2
26. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
POTENCIAÇÃO DE COMPLEXOS (EXPOENTE INTEIRO
NEGATIVO)
A partir do conceito de inverso de um número complexo, podemos
calcular uma potência com expoente inteiro negativo. Sendo z um
complexo, z ≠ 0 e n um número natural, define-se:
1
z
z–n =
n
27. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXEMPLO
Sendo z = 1 – i, calcular z–2.
z–1 =
1
z
=
1
1 – i
=
Primeiro vamos calcular z–1; depois z–2.
1 + i
12 – i2
=
1 + i
2
z–2 = (z–1)2 =
1 + i
2
2
=
1 + 2i + i2
4
=
1 + 2i – 1
4
=
2i
4
=
i
2
1 + i
(1 – i).(1 + i)
=
28. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXERCÍCIOS
http://www.e
urooscar.com/
gifs1/escola1.
htm
1º) (UCSal) - Para que o produto (a + i).(3 - 2i) seja real qual deve ser o
valor de “a”?
2º) (UFBA) - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , calcule o valor de
a.c + b.
3º) (Mackenzie-SP) – Calcule o valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... +
i1001.
4º) Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180.
5º) (UEFS-93.2) - Se m - 1 + ni = (3 + i).(1 + 3i), calcule os valores de m
e n.
i
i
2
15
10
i
i
1
3
1
6º) Efetue as seguintes divisões de números complexos:
a) b)
29. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
EXTRAS
GEOGEBRA
Utilizar o software geogebra para trabalhar as operações entre números
complexos.
Este programa é de uso livre e pode ser obtido no endereço:
http://www.baixaki.com.br/download/geogebra.htm.
SHOW DO MILHÃO
Um jogo com perguntas somente de números complexos e pode ser
obtido no endereço:
https://sites.google.com/site/matematicacomplexa/iniciodoprojeto/show
-do-milhao/Show%20do%20Milh%C3%A3o.rar?attredirects=0&d=1
30. Matemática, 3º ano, Operações envolvendo
números complexos
REFERÊNCIAS
Sites:
http://www.alunosonline.com.br/matematica/operacoes-com-numeros-
complexos-na-forma-algebrica.html
http://www.matematicadidatica.com.br/OperacoesNumerosComplexos.aspx
http://www.brasilescola.com/matematica/operacoes-numeros-complexos-na-
forma-trigonometrica.htm
Livros:
I. Silva, Cláudio Xavier da. II. Filho, Benigno Barreto. Matemática aula por aula, 3 :
ensino médio – São Paulo : FTD, 2009.
Dante, Luiz Roberto. Matemática : volume único - Ática. São Paulo : Ática, 2005.
I. Iezzi,Gelson. II. Dolce, Osvaldo. III. Degenszajn, David. IV. Périgo, Roberto.
Matemática : volume único – São Paulo : Atual, 2002.