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Molas e Coxins de
Borracha
Dimensionamento dinâmico
Valdemir José Garbim
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1) Generalidades
O que foi apresentado até agora, nos mostra algumas formas e
sistemas básicos elementares de dimensionamento estático de molas e
coxins de borracha, em projetos de engenharia.
A borracha também é muito utilizada em peças sob solicitações
dinâmicas em máquinas, dispositivos, ferramentas, etc..., como molas ou
coxins para amortecimento de choques, impacto e vibrações.
Em molas e coxins de borracha para aplicações sob
solicitações de choques, seja com a função de amortecimento de pancadas,
o fenômeno da “HISTERESE”, desempenha um importante papel, pois
permite que ocorra um retardo na conversão da energia cinética para
energia potencial e, energia cinética novamente, absorvendo parte do
esforço solicitante.
Em solicitações cíclicas, como o caso de vibrações de baixa ou
alta freqüência, novamente a “HISTERÈSE” da borracha desempenha
importante função, pois permite que ocorra redução de amplitude evitando a
ressonância, bem como, modifica o ângulo de fase da oscilação vibratória, e,
muitas fezes até altera a freqüência da vibração que é transferida para a
estrutura do equipamento.
Adiante serão estudadas algumas questões básicas para
análise e dimensionamento de casos de molas ou coxins de borracha, sob
solicitações dinâmicas.
www.cenne.com.br Página 3
2) Choque Elástico
Choque elástico é um fenômeno de caráter oscilatório, durante
o qual a energia cinética Tco abaixo:
Tco = m . 2
2
se transforma em energia potencial Tpo , ( instante do choque) abaixo:
Tpo = P . f
(Tpo = energia absorvida pela mola)
a qual, novamente converte-se em energia cinética ao inverter o sentido do
movimento da massa “m”, solidária à mola (ex. bola que salta).
Se houver, devido a atritos ou deformações plásticas,
(deformações permanentes) absorção adicionais de energia,
(amortecimento, Histerese) a energia cinética restituída “Tr”, será menor
que a inicialmente aplicada.
A figura 18 a seguir, mostra a variação da deformação da mola
durante a solicitação de choque elástico.
www.cenne.com.br Página 4
Figura 18 – Variação da Deformação “f” de uma mola durante o choque
elástico
Observando a fig. 18 temos que, o tempo “ta“ é o tempo de
absorção do choque pela mola, este é compreendido entre o instante de
tempo “to“, da aplicação do choque e o instante que ocorre a inversão do
sentido do movimento da massa, (ponto 2) solidária à mola.
Podemos, todavia, expressar o período “ta”, em função do
período de uma oscilação completa “T”; desta forma temos:
= SEG. EQ. 39
O tempo de duração do choque elástico compreendido entre o
instante do tempo “ta“ da aplicação do choque, e o instante de tempo em
ta = T .
4
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que a massa “m” se separa da mola (amplitude 0, ponto 3 da figura 18) é
expresso por:
= SEG. EQ. 40
Para um dado valor da energia de deformação “Tpo”, a força
“P”, aplicada no choque, será tanto maior quanto maior for o Coeficiente de
Rigidez “K” da mola, ou seja, quanto mais dura for a borracha cuja mola foi
confeccionada.
Para os cálculos de molas de borracha sob solicitação de
choque elástico, cuja característica de esforços é uma linha reta, como
mostrado na figura 19 abaixo, utiliza-se as equações a seguir:
Fig. 18 – Variação da Força “P” durante o choque elástico
Variação Linear com percursos de deformação “f” diferentes, porém,
com mesma energia solicitante.
tC = T .
2
www.cenne.com.br Página 6
As equações mostradas abaixo, definem dados e valores
necessários para os cálculos de dimensionamento de molas de borracha
solicitadas ao choque elástico.
2.1 - Energia de deformação Oriunda do Choque = “Tpo”
= Kgf.cm EQ. 41
= Kgf.cm EQ. 42
= Kgf.cm EQ. 43
2.2 – Máxima Força aplicada pelo choque = “PMAX.”
= Kgf EQ. 44
= Kgf EQ. 45
Tpo = M . V 2
2
Tpo = P . f
2
Tpo = K . f 2
2
PMAX = F . K
PMAX = M . V2
f
www.cenne.com.br Página 7
2.3 - Velocidade da Massa Solicitante no Ato do Choque = “V”
= cm/seg EQ 46
2.4 Coeficiente de Rigidez “K”
= Kgf/cm EQ. 47
2.5 Deformação Devido a Solicitação = “f”
= cm EQ. 48
2.6. Tempo para Absorção do Choque = “ta”
= SEG. EQ. 49
V = m.k.
K = PMAX.
f
f = m . V2
PMAX.
ta = T .
4
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2.7 Período de Oscilação do Choque = “T”
= SEG. EQ. 50
2.8 Máximo Valor Absoluto da Desaceleração do Movimento da
Mola no Ato do Choque = “bv”
= cm/seg2
EQ. 51
= cm/seg2
EQ. 52
Nota 1: - Quando se calcular o valor da massa “m” usada nas equações
acima, utilizar a constante da aceleração da gravidade g = 981
cm/seg2
, pois, todas as unidades de medida de comprimento,
distância, espaço, deslocamento, etc., estão em “cm”.
Nota 2: - Encontrados então, os valores básicos, pelas equações acima,
podemos partir para o dimensionamento estrutural das molas de
borracha, segundo as equações matemáticas mostradas no
capítulo anterior, “parte III”, “Dimensionamento Estático”,
observando sempre que a carga solicitante no choque é
carregamento de tração, compressão, cisalhamento (ou
cisalhamento devido torção).
T = 2.  .
k
m
bv = P .
m
bv = V2
. f
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TERMINOLOGIA
Tco = Energia cinética da massa em movimento = Kgf/cm
m = Massa do corpo = Kg
V = Velocidade do Movimento da Massa = cm/seg.
Tpo = Energia de Deformação oriunda do choque = Kgf/cm
P = Peso do corpo gerador de Tpo = Kgf
f = Alongamento (ou Encurtamento devido a carga = cm
t a = Tempo de absorção do choque pela mola = seg.
T = Período de tempo de uma oscilação completa = seg.
T c = Tempo de meio (1/2) ciclo de oscilação = seg.
PMAX= Máxima força aplicada no choque = Kgf
bv = Máximo valor absoluto de desaceleração do
mov. da mola = cm/seg2
g = Constante da aceleração da gravidade = 981 cm/seg2
3) Ressonância em Molas de Borracha
Antes de entrarmos especificamente nas informações básicas
dos sistemas de dimensionamento à ressonância de molas de borracha,
achamos interessante recordar rapidamente alguns conceitos básicos da
teoria da vibração.
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3.1 – Teoria da Vibração
Analisemos a figura 19 abaixo:
 = Velocidade Angular ......................................... RAD/Seg.
T = Período .......................................................... Seg.
r = Amplitude....................................................... cm
y 1 = Elongação...................................................... cm
t = Intervalo de Tempo ........................................ Seg.
Consideremos uma partícula metálica Mo , descrevendo um
movimento contínuo em função do tempo.
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Tal partícula “Mo” está em movimento uniforme e viaja numa
trajetória circular conforme mostrado na figura 19, com uma velocidade
angular =  (rad.seg.)
3.1.1 - Velocidade Angular “”
= RAD./SEG. EQ. 53
Onde: -  = Velocidade angular da partícula = rad/seg.
n = Número de rotação por minuto da partícula = rpm
Se a partícula “Mo” iniciar seu movimento partindo do ponto “a”,
conforme mostrado na figura 19, e exatamente no instante da partida
iniciarmos a contagem do tempo “t”, teremos então o espaço angular
percorrido pela partícula; podemos então escrever que:
3.1.2 - Espaço angular = “Sa”
= RAD. EQ. 54
 =  . n .
30
Sa =  . t
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onde:- Sa = Espaço angular percorrido pela partícula = rad
 = Velocidade angular da partícula = rad/seg.
t = Tempo
Mas, quando a partícula “Mo” partiu do ponto “a”, este ponto “a”,
estava afastado do eixo das abcissas “xx”, de um ângulo “” (ver fig. 19).
Assim, se tomarmos como referência o eixo das abcissas “xx”, o espaço
angular percorrido pela partícula “Mo”, será:
3.1.3 – Espaço Total Percorrido “Sta”
= RAD EQ. 55
onde:  = ângulo de afastamento do ponto “a”, relativo ao eixo das
abcissas “x x” = rad
Nota 1: - = O ângulo  é comumente chamado de ângulo de fase.
Nota 2: - = Ao espaço angular “Sta” (Eq. 55), chamamos de fase do
movimento harmônico.
Sta x x =  . t + 
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Observando a figura 19a , vemos que a partícula “Mo”, no ponto
em que se encontra, sobre sua trajetória, está distante de “y 1” do eixo “
x;x”, assim podemos dizer que tal distância “y 1”, mede:
3.1.4 Elongação - “y 1”
= cm. EQ. 56
Onde:
r = é o raio (ou amplitude) da trajetória circular = cm
y 1 = Distância (também chamada de elongação) = cm
Sabemos que a partícula “Mo” está em movimento uniforme,
sobre sua trajetória circular, logo, uma volta completa de “Mo” , corresponde
a um espaço angular de 2 .
Considerando o movimento circular da partícula “Mo” como na
função de elongação “y1” e do tempo “t”, sobre um par de eixos
coordenados, “x x” ; “y y”, obtemos o gráfico mostrado na figura 19 c,
assim, quando a partícula “Mo” percorrer uma volta completa, seja, um
y 1 = r . SEN. ( . t + )
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espaço angular de 2 , com velocidade angular “” , diz-se que ocorreu
um ciclo completo de vibração, em um período de tempo T, portanto,
podemos escrever que:
3.1.5 - Período de Um ciclo Completo de Vibração = “T”
= SEG. EQ. 57
Onde:
T = Período de um ciclo completo de vibração = seg.
2  = Espaço angular de um ciclo = rad
 = Velocidade angular = rad/seg
A quantidade de ciclos de vibração num intervalo de tempo de
um segundo (1 seg.), é chamado de “Freqüência de Vibração” ( também
pode ser chamado de Freqüência de Vibração Excitadora ), e é simbolizada
por “fe”, assim:
3.1.6 - Freqüência de Vibração Excitadora = “fe”
= HERTZ EQ. 58
= HERTZ EQ. 59
T = 2 .  .

fe = 1 .
T
fe = 
2 
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= HERTZ EQ. 60
onde:
fe = Freqüência de Vibração Excitadora = hertz
T = Período de um ciclo completo de vibração = seg.
 = Velocidade angular = rad/seg
n = Número de rotações por minuto = rpm
Portanto, pela equação eq. 56, podemos determinar a distância
entre a partícula “Mo” e o exio das abcissas x, x, (ver figura 19).
Como a partícula “Mo” está em movimento, a distância “y1”
(eq. 56) também se movimenta, e isto ocorre com uma velocidade que é
igual a derivada da distância “y1” (eq. 56), com relação ao tempo “t”, seja:
3.1.7 – Velocidade de Movimento de “y1” = “V”
= = cm seg.
EQ. 61
fe = n .
60
V = dy1
dt
V = r .  . cos . (. T + )
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A velocidade máxima da partícula “Mo”, é atingida quando essa
passa cortando a abcissa nos pontos 0 ou  (ver fig. 19), pois, é nestes
pontos que:
cos . ( . t + ) = 1 ou -1
Porque:
 . t +  = 0 ou 
Assim, com essas informações, podemos escrever a equação
que mostra a velocidade máxima “VMAX” atingida pela partícula “Mo”, seja:
3.1.8 - Velocidade Máxima da Partícula = “VMAX”
= cm / seg. EQ. 62
= cm / seg. EQ. 63
Nota 3 :- Convém também lembrar que a velocidade “V” da equação
EQ. 61, é a velocidade com que a partícula “Mo”, se afasta ou se
VMAX = r .  . 1
VMAX = r .  . (-1)
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aproxima do ponto de referência, seja do eixo das abcissas “x, x”
(ver fig. 19c).
Simplificando, podemos dizer que “V” é a velocidade com que y1
aumenta ou diminui.
Como a partícula “Mo” desenvolve uma velocidade variável,
(conforme informa a nota 3 acima) se observarmos a fig. 19c, veremos que
essa variação ocorre acelerando-se quando a partícula se aproxima dos
pontos 0 e , e desacelerando-se quando a partícula se afasta de 0 e ,
aproximando-se dos pontos  /2 e 3  /2.
Assim, se derivarmos a equação eq. 61, em função do tempo “t”,
conseguimos obter a aceleração ou desaceleração da partícula “Mo”, seja:
3.1.9 – Aceleração do Movimento = “ ac”
ac = dV = d2
y1 .
dt dt2
= cm / seg2
EQ. 64
ac = - r .  . sen. ( . t +  )
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Onde:
ac = Aceleração da partícula ou da variação da elongação
y1 = cm/seg2
r = Amplitude máxima da vibração = cm
 = Velocidade angular = rad/seg
Mas se observarmos a equação eq. 56, podemos ver que:
y1 = r . sen ( . t + )
Assim, substituindo na eq. 64, temos:
3.1.10 – Aceleração do Movimento “ac”
= cm/seg2
EQ. 65
Portanto, pela equação eq. 65, podemos afirmar que a aceleração
“ac” com que a partícula “Mo”, se aproxima ou se afasta do eixo de
referência (abcissas de x x ), é proporcional à distância “y” , que essa
partícula “Mo” se encontra do mesmo eixo (x x).
ac = 2
. y 1
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Desta forma, podemos afirmar que a aceleração “ac” será máxima,
quando a distância “y1” for igual a amplitude máxima “r”, seja:
3.1.11 – Aceleração Máxima do Movimento - “ac max”
= cm/ seg EQ. 66
Nota 4: - Devemos considerar que todo estudo desenvolvido acima, partiu
do princípio que inicialmente a partícula “Mo”, estava em
repouso, e somente depois de ter aplicado uma força excitadora
é que iniciou o movimento, dando origem a todo desenvolvimento
estudado.
3.2 - Freqüência Natural
Todo estudo desenvolvido acima (parte 3-1) está baseado em
movimentos cíclicos a partir de forças excitadoras.
Nas informações que estudaremos a seguir, nos basearemos
nas características dinâmicas intrínsecas dos corpos nas posições em que
estes se encontram e massa pertencentes a estes.
ac = 2
. r
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Suponhamos agora, que uma partícula de massa “m”,
infinitamente pequena, pertence a uma barra metálica que tem Constante de
Rigidez é “k”.
Tal partícula de massa “m” que estava em repouso, sofreu uma
excitação por meio de uma “F”, obrigando-a a um deslocamento de
amplitude “y2”.
Então, pela teoria clássica dos materiais (lei de Hook), podemos
escrever que:
3.2.1 - Força Excitadora = “F”
= Kgf EQ. 67
Onde: - F = Força excitadora = Kgf
K = Coeficiente de rigidez = Kgf/cm
y2 = Amplitude do deslocamento = cm
F = K . y2 =
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A ilustração da figura 20, abaixo, facilita a entender o exposto,
(teoria massa/mola) .
F = Força Excitadora
K = Coeficiente de Rigidez
Figura 20 – Posições relativas da massa em função do tempo a partir
da excitação
A partícula referida de massa “m”, uma vez em movimento,
obedece a Lei de Newton, que diz:
3.2.2 – Força Devido ao Movimento “F”
= Kgf EQ. 68
Onde: - F = Força devido ao movimento = Kgf
F = m . ac
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m = Pp/g = massa da partícula = utm
ac = Aceleração do movimento = cm/seg2
Pp = Peso da partícula = Kg
g = Aceleração da gravidade = 981 cm/seg2
Assim, igualando as equações eq. 67 e eq. 68 temos:
F = K . y2 = F = m . ac
Logo: -
K . y2 = m . ac
Então: -
= cm / seg2
EQ. 69
Mas sabemos pela equação eq. 65, que:
ac = - 2
. y1
Como y1 e y2 significam a mesma coisa, a elongação
(deslocamento) podemos escrever que:
ac = K . y2
m
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y1 = y2 = y
Então, igualando as equações Eq. 65 e Eq. 69 temos:
ac = - 2
. y = ac = K . y
m
Assim:-
- 2
. y = K . y
m
Portanto: -
K = - 2
. m
Mas, como todo número negativo elevado ao quadrado se
transforma em número positivo, podemos escrever que:
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3.2.3 – Velocidade ou Freqüência Angular Natural “n”
= RAD./SEG EQ 70
= RAD/SEG EQ. 71
Nota 11: - Chamamos de velocidade ou freqüência natural, porque como
podemos observar pela equação, esta freqüência independe
de esforços externos seja, é intrínseca a massa do corpo e as
características mecânicas do mesmo (coef. de rigidez).
Onde: -
n = Freqüência angular natural = rad/seg
K = Coeficiente de rigidez = Kgf/cm
m = Massa da partícula (ou corpo) = utm
Pp = Peso da partícula (ou corpo) = Kg
g = Aceleração da gravidade = 981 cm/seg
n =
m
K
n =
P.o
K.g
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Sabemos que, para que ocorra um ciclo completo de vibração,
é necessário um período de tempo T (ver fig. 20) e, pela equação 57, temos
que:
T = 2. 

Assim, unindo as equações eq. 57 e a eq. 70, temos que:
T = 2  = 2  . 1 = 2  . k
m
m
k
m
k
Então, como estamos usando a freqüência angular natural,
escrevemos que:
3.2.4 - Período de um Ciclo de Freqüência Natural “Tn”
= SEG EQ. 72Tn = 2  .
k
m
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Também já é de nosso conhecimento que, a freqüência
oscilatória, é a quantidade de ciclos de vibração ocorridos em um segundo
(1 seg.) , e a equação eq. 58, nos dá que:
fe = 1 .
T
Como nesse caso o período “T” é oriundo da freqüência
angular natural, podemos escrever que:
3.2.5. Freqüência Oscilatória Natural = “fn”
fn = 1 . = 1 . = 1 . ...
m
K
2  K
m
Assim: -
= HERTZ EQ. 73
fn = 1 . .
m
K
Tn
2 
2
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Onde: -
fn = Freqüência oscilatória natural = hertz
K = Coeficiente de rigidez = Kgf/cm
m = Massa = Pp / g = utm
g = Aceleração da gravidade = 981 cm/seg 2
Tn = Período de um ciclo compl. da fre.nat. = seg.
Então, com as equações vistas acima, temos condições
básicas de calcular e determinar alguns dados para dimensionamento
simples a vibração de molas de borracha, pois, as freqüências naturais
podem ser facilmente calculadas quando é sabido os valores de “K” relativo
à borracha da mola e massa solicitante.
É bom lembrar que, sistemas de amortecimento o fator de
forma é de grande importância que seja considerado nos dimensionamentos.
3.3 - Simplificação das Equações eq. 70 e 73
Para facilitar a utilização das equações vistas acima, faremos
algumas simplificações básicas das equações eq. 70 e eq. 73; seja:
Sabendo que:
F = K . y
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Portanto:
K = F .
y
Chamemos y de f, que é a deformação (já visto)
Logo:
K = F .
Fff
Mas, temos também que:
n =
m
K
Logo, podemos escrever que:
n =
m
f
F
mas,
m = F . = P .
g g
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Consideremos F = P, porque P é o peso ou força sobre a mola,
assim, podemos escrever que:
n =
P/g
P/f
 n =
P.f
P.g
assim:-
n =
f
g
=
f
g
=
f
981
então:-
= RAD/SEG ou CPS EQ. 74
Sabemos também que: -
 =  . n  n =  . 30
30 
Podemos então escrever que:
nn = n . 30 = 31,32092 . 30
 f 
n =
f
3l,32092
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Então: -
= RPM EQ 75
Também temos que:
fn = 1 .
m
K
= 1 . n
Logo, podemos escrever que: -
fn = 1___ . .. 31,32092
2  f
Logo Temos: -
= HERTZ EQ. 76
nn =
f
299,093
fn =
f
4,985
2  2 
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3.4 - Resumo das Equações Básicas
Freqüência Angular de Excitação = “e”
= RAD/SEG EQ 53
Rotação de Excitação = “ne”
= RPM EQ. 77
Período da Oscilação Excitadora “Te”
= SEG. EQ. 57
Freqüência de Oscilação Excitadora “fe”
= HERTZ EQ. 58
e =  . ne
.
30
ne = e . 30 .

Te = 2  .
e
fe = 1 .
Te
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= HERTZ EQ. 59
= HERTZ EQ. 60
Força de Excitação “Fe”
= Kgf EQ. 78
Freqüência Angular Natural = “n”
= RAD/SEG EQ. 70
= = RAD/SEG. EQ.71
fe = e .
2 
fe = ne .
60
Fe = K . f
n =
M
K
n =
P
K.g
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= RAD/SEG. EQ. 74
Período de Tempo para um Ciclo Completo de Vibração na
Freqüência Natural “Tn”
= SEG EQ. 72
= SEG EQ. 79
Freqüência Oscilatória Natural “fn”
= HERTZ EQ. 73
= HERTZ EQ. 76
n =
f
31,32092
Tn = 2  .
k
m
Tn = 1 .
fn
fn = 1 . .
m
K
2 
fn =
f
4,985
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Freqüência Rotacional Natural “nn”
= RPM EQ. 75
TERMINOLOGIA
e = Freqüência angular de excitação = rad/seg
ne = Rotação de Excitação = rpm
Te = Período de Oscilação excitadora = seg
fe = Freqüência de oscilação excitadora = hertz
Fe = Força excitadora = Kgf
K = Coeficiente de rigidez = Kgf/cm
f = Deformação devido a carga solicitante = cm
n = Freqüência angular natural = rad/seg
m = Massa do corpo solicitante (partícula) = utm
g = Aceleração da gravidade =981/cm/seg2
Pp = Peso do corpo solicitante = Kgf
Tn = Período de tempo para um ciclo completo de
Vibração na freqüência natural = seg
nn =
f
299,093
www.cenne.com.br Página 35
3.4 - Análise de Dimensionamento à Vibração
Como podemos ver acima, todo sistema constituído de massa e
mola, (ex. máquina apoiada sobre coxins de borracha) é oscilante e, possui
sua própria freqüência natural, isto é, o número de oscilações que quando
excitado por uma solicitação externa, esse sistema efetua na unidade de
tempo.
Se tal excitação for aplicada com uma freqüência idêntica à
freqüência natural do sistema, ocorrerá um fenômeno chamado
“Ressonância”, que no caso da inexistência de amortecedores, o sistema
acaba por provocar oscilações de grandes amplitudes, sendo levado ao
colapso.
A “Ressonância” ocorre quando:
3.4.1 – Ressonância
EQ. 80
EQ. 81
e = 1
n
fe . = 1
fn
www.cenne.com.br Página 36
EQ. 82
Ao risco da “Ressonância”, estão sujeitas principalmente as
máquinas ou elementos de máquinas que desenvolvem movimentos cíclicos
de elevadas freqüências, ou que giram com elevadas rotações, assim, a
freqüência natural de cada elemento de máquina, deve portanto, ser
verificada.
Caso as ciclagens ou rotações das máquinas, não possam ser
mudadas, e exista o risco da “Ressonância“, a freqüência natural dos
elementos de máquinas de risco, deve portanto ser modificada, com
alteração da massa, forma geométrica, sistema de fixação, etc....
Anteriormente mencionamos que a “Histerese” da borracha,
evita a elevação da amplitude de vibração, atribuindo assim, segurança ao
sistema, porém, uma verificação no dimensionamento dinâmico das peças
componentes do sistema, é imprescindivelmente necessária.
Para que possamos atribuir valores básicos para o
dimensionamento do nível de segurança desejado, é mostrado abaixo a
“Tabela 2”, que é embasada na porcentagem de vibração transmitida “Vt”,
em função da razão definida pelas equações eq. 83, 84 e 85 abaixo:
(comprovada experimentalmente em laboratório).
ne . = 1
nn
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3.4.2 – Razão da Vibração Transmitida “x”
EQ. 83
EQ. 84
EQ. 85
TABELA 2
Porcentagem de Vt em função de “x”
X Vt
Amortecimento
%
1,000 Ressonância Colapso
1,414 100 % 0
1,500 80 % 20
2,000 33,4 % 66,6
3,000 12,5 87,5
4,000 7,0% 93
x = e
n
x = fe
fn
x = ne
nn
www.cenne.com.br Página 38
Assim, impondo-se uma vibração forçada excitadora ao sistema
de freqüência (e, fe, ne) conhecida, podemos através da “Tabela 2”,
verificar qual a porcentagem desta vibração excitadora, será transferida
para o sistema, e qual o amortecimento.
Ao contrário, se quisermos dimensionar uma mola ou coxim de
borracha, partindo da vibração excitadora, sob a garantia de uma
porcentagem de vibração transmitida “vt”, segura, podemos definir pela
“Tabela 2”, qual o valor da razão “X” e encontrar o valor da freqüência
natural que satisfaça a condição, usando-se as equações abaixo.
3.4.3 – Valor da Freqüência Natural
= RAD SEG EQ. 86
= HERTZ EQ. 87
= RPM EQ. 88
n = e
x
fn = fe .
x
nn = ne .
x
www.cenne.com.br Página 39
Então, uma vez encontrado o valor da freqüência natural
desejada, através das equações eq. 70, 71, 74 ou 73, 76 ou ainda eq. 75,
poderá ser definido qual a deformação “f”, que atenda tal condição, e em
seguida dimensionar a mola ou coxim por meio das equações de
dimensionamento estático da parte III desta literatura.

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Molas coxins - Dimensionamento dinâmico

  • 1. Molas e Coxins de Borracha Dimensionamento dinâmico Valdemir José Garbim
  • 2. www.cenne.com.br Página 2 1) Generalidades O que foi apresentado até agora, nos mostra algumas formas e sistemas básicos elementares de dimensionamento estático de molas e coxins de borracha, em projetos de engenharia. A borracha também é muito utilizada em peças sob solicitações dinâmicas em máquinas, dispositivos, ferramentas, etc..., como molas ou coxins para amortecimento de choques, impacto e vibrações. Em molas e coxins de borracha para aplicações sob solicitações de choques, seja com a função de amortecimento de pancadas, o fenômeno da “HISTERESE”, desempenha um importante papel, pois permite que ocorra um retardo na conversão da energia cinética para energia potencial e, energia cinética novamente, absorvendo parte do esforço solicitante. Em solicitações cíclicas, como o caso de vibrações de baixa ou alta freqüência, novamente a “HISTERÈSE” da borracha desempenha importante função, pois permite que ocorra redução de amplitude evitando a ressonância, bem como, modifica o ângulo de fase da oscilação vibratória, e, muitas fezes até altera a freqüência da vibração que é transferida para a estrutura do equipamento. Adiante serão estudadas algumas questões básicas para análise e dimensionamento de casos de molas ou coxins de borracha, sob solicitações dinâmicas.
  • 3. www.cenne.com.br Página 3 2) Choque Elástico Choque elástico é um fenômeno de caráter oscilatório, durante o qual a energia cinética Tco abaixo: Tco = m . 2 2 se transforma em energia potencial Tpo , ( instante do choque) abaixo: Tpo = P . f (Tpo = energia absorvida pela mola) a qual, novamente converte-se em energia cinética ao inverter o sentido do movimento da massa “m”, solidária à mola (ex. bola que salta). Se houver, devido a atritos ou deformações plásticas, (deformações permanentes) absorção adicionais de energia, (amortecimento, Histerese) a energia cinética restituída “Tr”, será menor que a inicialmente aplicada. A figura 18 a seguir, mostra a variação da deformação da mola durante a solicitação de choque elástico.
  • 4. www.cenne.com.br Página 4 Figura 18 – Variação da Deformação “f” de uma mola durante o choque elástico Observando a fig. 18 temos que, o tempo “ta“ é o tempo de absorção do choque pela mola, este é compreendido entre o instante de tempo “to“, da aplicação do choque e o instante que ocorre a inversão do sentido do movimento da massa, (ponto 2) solidária à mola. Podemos, todavia, expressar o período “ta”, em função do período de uma oscilação completa “T”; desta forma temos: = SEG. EQ. 39 O tempo de duração do choque elástico compreendido entre o instante do tempo “ta“ da aplicação do choque, e o instante de tempo em ta = T . 4
  • 5. www.cenne.com.br Página 5 que a massa “m” se separa da mola (amplitude 0, ponto 3 da figura 18) é expresso por: = SEG. EQ. 40 Para um dado valor da energia de deformação “Tpo”, a força “P”, aplicada no choque, será tanto maior quanto maior for o Coeficiente de Rigidez “K” da mola, ou seja, quanto mais dura for a borracha cuja mola foi confeccionada. Para os cálculos de molas de borracha sob solicitação de choque elástico, cuja característica de esforços é uma linha reta, como mostrado na figura 19 abaixo, utiliza-se as equações a seguir: Fig. 18 – Variação da Força “P” durante o choque elástico Variação Linear com percursos de deformação “f” diferentes, porém, com mesma energia solicitante. tC = T . 2
  • 6. www.cenne.com.br Página 6 As equações mostradas abaixo, definem dados e valores necessários para os cálculos de dimensionamento de molas de borracha solicitadas ao choque elástico. 2.1 - Energia de deformação Oriunda do Choque = “Tpo” = Kgf.cm EQ. 41 = Kgf.cm EQ. 42 = Kgf.cm EQ. 43 2.2 – Máxima Força aplicada pelo choque = “PMAX.” = Kgf EQ. 44 = Kgf EQ. 45 Tpo = M . V 2 2 Tpo = P . f 2 Tpo = K . f 2 2 PMAX = F . K PMAX = M . V2 f
  • 7. www.cenne.com.br Página 7 2.3 - Velocidade da Massa Solicitante no Ato do Choque = “V” = cm/seg EQ 46 2.4 Coeficiente de Rigidez “K” = Kgf/cm EQ. 47 2.5 Deformação Devido a Solicitação = “f” = cm EQ. 48 2.6. Tempo para Absorção do Choque = “ta” = SEG. EQ. 49 V = m.k. K = PMAX. f f = m . V2 PMAX. ta = T . 4
  • 8. www.cenne.com.br Página 8 2.7 Período de Oscilação do Choque = “T” = SEG. EQ. 50 2.8 Máximo Valor Absoluto da Desaceleração do Movimento da Mola no Ato do Choque = “bv” = cm/seg2 EQ. 51 = cm/seg2 EQ. 52 Nota 1: - Quando se calcular o valor da massa “m” usada nas equações acima, utilizar a constante da aceleração da gravidade g = 981 cm/seg2 , pois, todas as unidades de medida de comprimento, distância, espaço, deslocamento, etc., estão em “cm”. Nota 2: - Encontrados então, os valores básicos, pelas equações acima, podemos partir para o dimensionamento estrutural das molas de borracha, segundo as equações matemáticas mostradas no capítulo anterior, “parte III”, “Dimensionamento Estático”, observando sempre que a carga solicitante no choque é carregamento de tração, compressão, cisalhamento (ou cisalhamento devido torção). T = 2.  . k m bv = P . m bv = V2 . f
  • 9. www.cenne.com.br Página 9 TERMINOLOGIA Tco = Energia cinética da massa em movimento = Kgf/cm m = Massa do corpo = Kg V = Velocidade do Movimento da Massa = cm/seg. Tpo = Energia de Deformação oriunda do choque = Kgf/cm P = Peso do corpo gerador de Tpo = Kgf f = Alongamento (ou Encurtamento devido a carga = cm t a = Tempo de absorção do choque pela mola = seg. T = Período de tempo de uma oscilação completa = seg. T c = Tempo de meio (1/2) ciclo de oscilação = seg. PMAX= Máxima força aplicada no choque = Kgf bv = Máximo valor absoluto de desaceleração do mov. da mola = cm/seg2 g = Constante da aceleração da gravidade = 981 cm/seg2 3) Ressonância em Molas de Borracha Antes de entrarmos especificamente nas informações básicas dos sistemas de dimensionamento à ressonância de molas de borracha, achamos interessante recordar rapidamente alguns conceitos básicos da teoria da vibração.
  • 10. www.cenne.com.br Página 10 3.1 – Teoria da Vibração Analisemos a figura 19 abaixo:  = Velocidade Angular ......................................... RAD/Seg. T = Período .......................................................... Seg. r = Amplitude....................................................... cm y 1 = Elongação...................................................... cm t = Intervalo de Tempo ........................................ Seg. Consideremos uma partícula metálica Mo , descrevendo um movimento contínuo em função do tempo.
  • 11. www.cenne.com.br Página 11 Tal partícula “Mo” está em movimento uniforme e viaja numa trajetória circular conforme mostrado na figura 19, com uma velocidade angular =  (rad.seg.) 3.1.1 - Velocidade Angular “” = RAD./SEG. EQ. 53 Onde: -  = Velocidade angular da partícula = rad/seg. n = Número de rotação por minuto da partícula = rpm Se a partícula “Mo” iniciar seu movimento partindo do ponto “a”, conforme mostrado na figura 19, e exatamente no instante da partida iniciarmos a contagem do tempo “t”, teremos então o espaço angular percorrido pela partícula; podemos então escrever que: 3.1.2 - Espaço angular = “Sa” = RAD. EQ. 54  =  . n . 30 Sa =  . t
  • 12. www.cenne.com.br Página 12 onde:- Sa = Espaço angular percorrido pela partícula = rad  = Velocidade angular da partícula = rad/seg. t = Tempo Mas, quando a partícula “Mo” partiu do ponto “a”, este ponto “a”, estava afastado do eixo das abcissas “xx”, de um ângulo “” (ver fig. 19). Assim, se tomarmos como referência o eixo das abcissas “xx”, o espaço angular percorrido pela partícula “Mo”, será: 3.1.3 – Espaço Total Percorrido “Sta” = RAD EQ. 55 onde:  = ângulo de afastamento do ponto “a”, relativo ao eixo das abcissas “x x” = rad Nota 1: - = O ângulo  é comumente chamado de ângulo de fase. Nota 2: - = Ao espaço angular “Sta” (Eq. 55), chamamos de fase do movimento harmônico. Sta x x =  . t + 
  • 13. www.cenne.com.br Página 13 Observando a figura 19a , vemos que a partícula “Mo”, no ponto em que se encontra, sobre sua trajetória, está distante de “y 1” do eixo “ x;x”, assim podemos dizer que tal distância “y 1”, mede: 3.1.4 Elongação - “y 1” = cm. EQ. 56 Onde: r = é o raio (ou amplitude) da trajetória circular = cm y 1 = Distância (também chamada de elongação) = cm Sabemos que a partícula “Mo” está em movimento uniforme, sobre sua trajetória circular, logo, uma volta completa de “Mo” , corresponde a um espaço angular de 2 . Considerando o movimento circular da partícula “Mo” como na função de elongação “y1” e do tempo “t”, sobre um par de eixos coordenados, “x x” ; “y y”, obtemos o gráfico mostrado na figura 19 c, assim, quando a partícula “Mo” percorrer uma volta completa, seja, um y 1 = r . SEN. ( . t + )
  • 14. www.cenne.com.br Página 14 espaço angular de 2 , com velocidade angular “” , diz-se que ocorreu um ciclo completo de vibração, em um período de tempo T, portanto, podemos escrever que: 3.1.5 - Período de Um ciclo Completo de Vibração = “T” = SEG. EQ. 57 Onde: T = Período de um ciclo completo de vibração = seg. 2  = Espaço angular de um ciclo = rad  = Velocidade angular = rad/seg A quantidade de ciclos de vibração num intervalo de tempo de um segundo (1 seg.), é chamado de “Freqüência de Vibração” ( também pode ser chamado de Freqüência de Vibração Excitadora ), e é simbolizada por “fe”, assim: 3.1.6 - Freqüência de Vibração Excitadora = “fe” = HERTZ EQ. 58 = HERTZ EQ. 59 T = 2 .  .  fe = 1 . T fe =  2 
  • 15. www.cenne.com.br Página 15 = HERTZ EQ. 60 onde: fe = Freqüência de Vibração Excitadora = hertz T = Período de um ciclo completo de vibração = seg.  = Velocidade angular = rad/seg n = Número de rotações por minuto = rpm Portanto, pela equação eq. 56, podemos determinar a distância entre a partícula “Mo” e o exio das abcissas x, x, (ver figura 19). Como a partícula “Mo” está em movimento, a distância “y1” (eq. 56) também se movimenta, e isto ocorre com uma velocidade que é igual a derivada da distância “y1” (eq. 56), com relação ao tempo “t”, seja: 3.1.7 – Velocidade de Movimento de “y1” = “V” = = cm seg. EQ. 61 fe = n . 60 V = dy1 dt V = r .  . cos . (. T + )
  • 16. www.cenne.com.br Página 16 A velocidade máxima da partícula “Mo”, é atingida quando essa passa cortando a abcissa nos pontos 0 ou  (ver fig. 19), pois, é nestes pontos que: cos . ( . t + ) = 1 ou -1 Porque:  . t +  = 0 ou  Assim, com essas informações, podemos escrever a equação que mostra a velocidade máxima “VMAX” atingida pela partícula “Mo”, seja: 3.1.8 - Velocidade Máxima da Partícula = “VMAX” = cm / seg. EQ. 62 = cm / seg. EQ. 63 Nota 3 :- Convém também lembrar que a velocidade “V” da equação EQ. 61, é a velocidade com que a partícula “Mo”, se afasta ou se VMAX = r .  . 1 VMAX = r .  . (-1)
  • 17. www.cenne.com.br Página 17 aproxima do ponto de referência, seja do eixo das abcissas “x, x” (ver fig. 19c). Simplificando, podemos dizer que “V” é a velocidade com que y1 aumenta ou diminui. Como a partícula “Mo” desenvolve uma velocidade variável, (conforme informa a nota 3 acima) se observarmos a fig. 19c, veremos que essa variação ocorre acelerando-se quando a partícula se aproxima dos pontos 0 e , e desacelerando-se quando a partícula se afasta de 0 e , aproximando-se dos pontos  /2 e 3  /2. Assim, se derivarmos a equação eq. 61, em função do tempo “t”, conseguimos obter a aceleração ou desaceleração da partícula “Mo”, seja: 3.1.9 – Aceleração do Movimento = “ ac” ac = dV = d2 y1 . dt dt2 = cm / seg2 EQ. 64 ac = - r .  . sen. ( . t +  )
  • 18. www.cenne.com.br Página 18 Onde: ac = Aceleração da partícula ou da variação da elongação y1 = cm/seg2 r = Amplitude máxima da vibração = cm  = Velocidade angular = rad/seg Mas se observarmos a equação eq. 56, podemos ver que: y1 = r . sen ( . t + ) Assim, substituindo na eq. 64, temos: 3.1.10 – Aceleração do Movimento “ac” = cm/seg2 EQ. 65 Portanto, pela equação eq. 65, podemos afirmar que a aceleração “ac” com que a partícula “Mo”, se aproxima ou se afasta do eixo de referência (abcissas de x x ), é proporcional à distância “y” , que essa partícula “Mo” se encontra do mesmo eixo (x x). ac = 2 . y 1
  • 19. www.cenne.com.br Página 19 Desta forma, podemos afirmar que a aceleração “ac” será máxima, quando a distância “y1” for igual a amplitude máxima “r”, seja: 3.1.11 – Aceleração Máxima do Movimento - “ac max” = cm/ seg EQ. 66 Nota 4: - Devemos considerar que todo estudo desenvolvido acima, partiu do princípio que inicialmente a partícula “Mo”, estava em repouso, e somente depois de ter aplicado uma força excitadora é que iniciou o movimento, dando origem a todo desenvolvimento estudado. 3.2 - Freqüência Natural Todo estudo desenvolvido acima (parte 3-1) está baseado em movimentos cíclicos a partir de forças excitadoras. Nas informações que estudaremos a seguir, nos basearemos nas características dinâmicas intrínsecas dos corpos nas posições em que estes se encontram e massa pertencentes a estes. ac = 2 . r
  • 20. www.cenne.com.br Página 20 Suponhamos agora, que uma partícula de massa “m”, infinitamente pequena, pertence a uma barra metálica que tem Constante de Rigidez é “k”. Tal partícula de massa “m” que estava em repouso, sofreu uma excitação por meio de uma “F”, obrigando-a a um deslocamento de amplitude “y2”. Então, pela teoria clássica dos materiais (lei de Hook), podemos escrever que: 3.2.1 - Força Excitadora = “F” = Kgf EQ. 67 Onde: - F = Força excitadora = Kgf K = Coeficiente de rigidez = Kgf/cm y2 = Amplitude do deslocamento = cm F = K . y2 =
  • 21. www.cenne.com.br Página 21 A ilustração da figura 20, abaixo, facilita a entender o exposto, (teoria massa/mola) . F = Força Excitadora K = Coeficiente de Rigidez Figura 20 – Posições relativas da massa em função do tempo a partir da excitação A partícula referida de massa “m”, uma vez em movimento, obedece a Lei de Newton, que diz: 3.2.2 – Força Devido ao Movimento “F” = Kgf EQ. 68 Onde: - F = Força devido ao movimento = Kgf F = m . ac
  • 22. www.cenne.com.br Página 22 m = Pp/g = massa da partícula = utm ac = Aceleração do movimento = cm/seg2 Pp = Peso da partícula = Kg g = Aceleração da gravidade = 981 cm/seg2 Assim, igualando as equações eq. 67 e eq. 68 temos: F = K . y2 = F = m . ac Logo: - K . y2 = m . ac Então: - = cm / seg2 EQ. 69 Mas sabemos pela equação eq. 65, que: ac = - 2 . y1 Como y1 e y2 significam a mesma coisa, a elongação (deslocamento) podemos escrever que: ac = K . y2 m
  • 23. www.cenne.com.br Página 23 y1 = y2 = y Então, igualando as equações Eq. 65 e Eq. 69 temos: ac = - 2 . y = ac = K . y m Assim:- - 2 . y = K . y m Portanto: - K = - 2 . m Mas, como todo número negativo elevado ao quadrado se transforma em número positivo, podemos escrever que:
  • 24. www.cenne.com.br Página 24 3.2.3 – Velocidade ou Freqüência Angular Natural “n” = RAD./SEG EQ 70 = RAD/SEG EQ. 71 Nota 11: - Chamamos de velocidade ou freqüência natural, porque como podemos observar pela equação, esta freqüência independe de esforços externos seja, é intrínseca a massa do corpo e as características mecânicas do mesmo (coef. de rigidez). Onde: - n = Freqüência angular natural = rad/seg K = Coeficiente de rigidez = Kgf/cm m = Massa da partícula (ou corpo) = utm Pp = Peso da partícula (ou corpo) = Kg g = Aceleração da gravidade = 981 cm/seg n = m K n = P.o K.g
  • 25. www.cenne.com.br Página 25 Sabemos que, para que ocorra um ciclo completo de vibração, é necessário um período de tempo T (ver fig. 20) e, pela equação 57, temos que: T = 2.   Assim, unindo as equações eq. 57 e a eq. 70, temos que: T = 2  = 2  . 1 = 2  . k m m k m k Então, como estamos usando a freqüência angular natural, escrevemos que: 3.2.4 - Período de um Ciclo de Freqüência Natural “Tn” = SEG EQ. 72Tn = 2  . k m
  • 26. www.cenne.com.br Página 26 Também já é de nosso conhecimento que, a freqüência oscilatória, é a quantidade de ciclos de vibração ocorridos em um segundo (1 seg.) , e a equação eq. 58, nos dá que: fe = 1 . T Como nesse caso o período “T” é oriundo da freqüência angular natural, podemos escrever que: 3.2.5. Freqüência Oscilatória Natural = “fn” fn = 1 . = 1 . = 1 . ... m K 2  K m Assim: - = HERTZ EQ. 73 fn = 1 . . m K Tn 2  2
  • 27. www.cenne.com.br Página 27 Onde: - fn = Freqüência oscilatória natural = hertz K = Coeficiente de rigidez = Kgf/cm m = Massa = Pp / g = utm g = Aceleração da gravidade = 981 cm/seg 2 Tn = Período de um ciclo compl. da fre.nat. = seg. Então, com as equações vistas acima, temos condições básicas de calcular e determinar alguns dados para dimensionamento simples a vibração de molas de borracha, pois, as freqüências naturais podem ser facilmente calculadas quando é sabido os valores de “K” relativo à borracha da mola e massa solicitante. É bom lembrar que, sistemas de amortecimento o fator de forma é de grande importância que seja considerado nos dimensionamentos. 3.3 - Simplificação das Equações eq. 70 e 73 Para facilitar a utilização das equações vistas acima, faremos algumas simplificações básicas das equações eq. 70 e eq. 73; seja: Sabendo que: F = K . y
  • 28. www.cenne.com.br Página 28 Portanto: K = F . y Chamemos y de f, que é a deformação (já visto) Logo: K = F . Fff Mas, temos também que: n = m K Logo, podemos escrever que: n = m f F mas, m = F . = P . g g
  • 29. www.cenne.com.br Página 29 Consideremos F = P, porque P é o peso ou força sobre a mola, assim, podemos escrever que: n = P/g P/f  n = P.f P.g assim:- n = f g = f g = f 981 então:- = RAD/SEG ou CPS EQ. 74 Sabemos também que: -  =  . n  n =  . 30 30  Podemos então escrever que: nn = n . 30 = 31,32092 . 30  f  n = f 3l,32092
  • 30. www.cenne.com.br Página 30 Então: - = RPM EQ 75 Também temos que: fn = 1 . m K = 1 . n Logo, podemos escrever que: - fn = 1___ . .. 31,32092 2  f Logo Temos: - = HERTZ EQ. 76 nn = f 299,093 fn = f 4,985 2  2 
  • 31. www.cenne.com.br Página 31 3.4 - Resumo das Equações Básicas Freqüência Angular de Excitação = “e” = RAD/SEG EQ 53 Rotação de Excitação = “ne” = RPM EQ. 77 Período da Oscilação Excitadora “Te” = SEG. EQ. 57 Freqüência de Oscilação Excitadora “fe” = HERTZ EQ. 58 e =  . ne . 30 ne = e . 30 .  Te = 2  . e fe = 1 . Te
  • 32. www.cenne.com.br Página 32 = HERTZ EQ. 59 = HERTZ EQ. 60 Força de Excitação “Fe” = Kgf EQ. 78 Freqüência Angular Natural = “n” = RAD/SEG EQ. 70 = = RAD/SEG. EQ.71 fe = e . 2  fe = ne . 60 Fe = K . f n = M K n = P K.g
  • 33. www.cenne.com.br Página 33 = RAD/SEG. EQ. 74 Período de Tempo para um Ciclo Completo de Vibração na Freqüência Natural “Tn” = SEG EQ. 72 = SEG EQ. 79 Freqüência Oscilatória Natural “fn” = HERTZ EQ. 73 = HERTZ EQ. 76 n = f 31,32092 Tn = 2  . k m Tn = 1 . fn fn = 1 . . m K 2  fn = f 4,985
  • 34. www.cenne.com.br Página 34 Freqüência Rotacional Natural “nn” = RPM EQ. 75 TERMINOLOGIA e = Freqüência angular de excitação = rad/seg ne = Rotação de Excitação = rpm Te = Período de Oscilação excitadora = seg fe = Freqüência de oscilação excitadora = hertz Fe = Força excitadora = Kgf K = Coeficiente de rigidez = Kgf/cm f = Deformação devido a carga solicitante = cm n = Freqüência angular natural = rad/seg m = Massa do corpo solicitante (partícula) = utm g = Aceleração da gravidade =981/cm/seg2 Pp = Peso do corpo solicitante = Kgf Tn = Período de tempo para um ciclo completo de Vibração na freqüência natural = seg nn = f 299,093
  • 35. www.cenne.com.br Página 35 3.4 - Análise de Dimensionamento à Vibração Como podemos ver acima, todo sistema constituído de massa e mola, (ex. máquina apoiada sobre coxins de borracha) é oscilante e, possui sua própria freqüência natural, isto é, o número de oscilações que quando excitado por uma solicitação externa, esse sistema efetua na unidade de tempo. Se tal excitação for aplicada com uma freqüência idêntica à freqüência natural do sistema, ocorrerá um fenômeno chamado “Ressonância”, que no caso da inexistência de amortecedores, o sistema acaba por provocar oscilações de grandes amplitudes, sendo levado ao colapso. A “Ressonância” ocorre quando: 3.4.1 – Ressonância EQ. 80 EQ. 81 e = 1 n fe . = 1 fn
  • 36. www.cenne.com.br Página 36 EQ. 82 Ao risco da “Ressonância”, estão sujeitas principalmente as máquinas ou elementos de máquinas que desenvolvem movimentos cíclicos de elevadas freqüências, ou que giram com elevadas rotações, assim, a freqüência natural de cada elemento de máquina, deve portanto, ser verificada. Caso as ciclagens ou rotações das máquinas, não possam ser mudadas, e exista o risco da “Ressonância“, a freqüência natural dos elementos de máquinas de risco, deve portanto ser modificada, com alteração da massa, forma geométrica, sistema de fixação, etc.... Anteriormente mencionamos que a “Histerese” da borracha, evita a elevação da amplitude de vibração, atribuindo assim, segurança ao sistema, porém, uma verificação no dimensionamento dinâmico das peças componentes do sistema, é imprescindivelmente necessária. Para que possamos atribuir valores básicos para o dimensionamento do nível de segurança desejado, é mostrado abaixo a “Tabela 2”, que é embasada na porcentagem de vibração transmitida “Vt”, em função da razão definida pelas equações eq. 83, 84 e 85 abaixo: (comprovada experimentalmente em laboratório). ne . = 1 nn
  • 37. www.cenne.com.br Página 37 3.4.2 – Razão da Vibração Transmitida “x” EQ. 83 EQ. 84 EQ. 85 TABELA 2 Porcentagem de Vt em função de “x” X Vt Amortecimento % 1,000 Ressonância Colapso 1,414 100 % 0 1,500 80 % 20 2,000 33,4 % 66,6 3,000 12,5 87,5 4,000 7,0% 93 x = e n x = fe fn x = ne nn
  • 38. www.cenne.com.br Página 38 Assim, impondo-se uma vibração forçada excitadora ao sistema de freqüência (e, fe, ne) conhecida, podemos através da “Tabela 2”, verificar qual a porcentagem desta vibração excitadora, será transferida para o sistema, e qual o amortecimento. Ao contrário, se quisermos dimensionar uma mola ou coxim de borracha, partindo da vibração excitadora, sob a garantia de uma porcentagem de vibração transmitida “vt”, segura, podemos definir pela “Tabela 2”, qual o valor da razão “X” e encontrar o valor da freqüência natural que satisfaça a condição, usando-se as equações abaixo. 3.4.3 – Valor da Freqüência Natural = RAD SEG EQ. 86 = HERTZ EQ. 87 = RPM EQ. 88 n = e x fn = fe . x nn = ne . x
  • 39. www.cenne.com.br Página 39 Então, uma vez encontrado o valor da freqüência natural desejada, através das equações eq. 70, 71, 74 ou 73, 76 ou ainda eq. 75, poderá ser definido qual a deformação “f”, que atenda tal condição, e em seguida dimensionar a mola ou coxim por meio das equações de dimensionamento estático da parte III desta literatura.