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1  
  
  
COMPLEMENTO  DE  
RESISTÊNCIA  DOS  MATERIAIS    
  
CARLOS  WALTER  VICENTINI  
  
LISTA  DE  EXERCÍCIOS  1     Tensões    
NOTAS  DE  AULAS  MINISTRADAS  PARA  A  TURMA  DE  ENGENHARIA    
CIVIL  (5º/6º  CICLO)  DA  UNIP      
  
Santos,  agosto  de  2013  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
     
  
  
  
  
2  
  
  
1. Determinar  o  alongamento  e  a  tensão  normal  atuante  em  uma  barra  
prismática  (figura  abaixo)  com  850  mm  de  comprimento,  seção  transversal  
retangular  de  10  mm  x  20  mm  e  com  módulo  de  elasticidade  E  =  200  GPa.  F  
=  20  kN  
  
Solução  
(0,010  x  0,020)  =  100000000  N/m²  =  100  Mpa  
Supondo  que  está  na  região  elástica  e,  portanto,  obedecendo  a  lei  de  Hooke,  
3
     
-­4
  mm/mm  
0   0  =  5*10-­4
  *  850  
     Resposta    
2. A  barra  de  aço  da  figura  abaixo  tem  seção  transversal  A  =  10  cm²  e  está  
solicitada  pelas  forças  axiais  representadas.  Determinar  o  alongamento  da  
barra  e  as  tensões  que  atuam  nos  diversos  trechos,  sabendo-­se  que  E  =  
2100  tf/cm².  
  
Solução  
Trecho  AB:    
  10000  =  0  portanto  N  =  10000  kgf  
  
AB  =  N/A  =  10000  kgf  /  10  =  1000  kgf/cm²    
e  =  2500  kgf/cm²  e  podemos  dizer  que  a  tensão  que  atua  
no  trecho  AB  é  inferior  a  esse  valor,  logo  está  na  região  elástica  e  segue  a  lei  de  
  
  =  1000  kgf/cm²  /  2100000  kgf/cm²  =  4,76*10-­4
  cm/cm  
3  
  
0   0  =  4,76*10-­4
  *  2000  mm  
AB  =  0,95  mm     Resposta  
Trecho  BC:    
  10000  +  3000  =  0  portanto  N  =  7000  kgf  
  
BC  =  N/A  =  7000  kgf  /  10  =  700  kgf/cm²  
  =  700  kgf/cm²  /  2100000  kgf/cm²  =  
3,33*10-­4
  cm/cm  
0   0  =  3,33*10-­4
  *  3000  mm  
BC  =  1  mm    Resposta  
Trecho  CD:  
-­  N  =  0  portanto  N  =  9000  kgf  
  
CD  =  N/A  =  9000  kgf  /  10  =  900  kgf/cm²  
  =  900  kgf/cm²  /  2100000  kgf/cm²  =  
4,29*10-­4
  cm/cm  
0   0  =  4,29*10-­4
  *  4000  mm  
CD  =  1,72  mm     Resposta  
  
3. A  treliça  Howe  da  figura  suporta  a  força  de  54  t.  Determinar  as  áreas  das  
seções  transversais  das  barras  DE  e  AC,  sabendo-­se  que  a  tensão  admissível  
do  material,  a  tração,  é  de  1400  kgf/cm².  Sendo  de  2  m  o  comprimento  da  
barra  DE,  pergunta-­se  qual  o  seu  alongamento,  admitindo  para  o  módulo  de  
elasticidade  do  material  o  valor  de  E  =  2,1  x  106
  kgf/cm².  
Após  a  determinação  das  áreas,  escolha  o  perfil  mais  adequado  da  tabela  dada  
no  final  da  lista  de  exercícios.  
  
4  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
4. Duas  barras  iguais,  de  aço,  são  articuladas  nas  extremidades  e  suportam  
uma  carga  de  45  tf,  tal  como  indicado  na  figura.  Adotando-­se  a  tensão  
admissível  de  2100  kgf/cm²,  pede-­se  determinar  a  área  da  seção  transversal  
dessas  barras  e  o  deslocamento  vertical  do  nó  B.  São  dados:  E  =  2,1  x  106
  
kgf/cm²  e  o  comprimento  da  barra  l  =  3  m.  
  
  
Solução:  
  
  
  
  
5  
  
   TAB  cos45°  +  TBC  cos45°  -­  45  tf  =  0  
TAB  cos45°  +  TBC  cos45°  =  45  tf        0,707(TAB  +  TBC)  =  45  
TAB  +  TBC  =  63,64  tf  
Fx  =  0:   TBC  cos45°  -­  TAB  cos45°  =  0;;     portanto  TBC  =  TAB    
Logo,     TBC  =  TAB  =  63,64/2  =  31,82  tf  
adm  =  2100  kgf/cm²  =  N/A;;     portanto  A  =  N/21000  =  31820/2100  
A  =  15,15  cm²   Resposta  
  
,  portanto:  
AB BC   
AB BC/0,707  
AB/l0   AB   AB/E  =  N/AE                 AB  =  31820  kgf/(15,15cm²  *  2,1E6  kgf/cm²)  
AB  =  0,001      AB   AB  *  l0  =  0,001*3000  mm  
AB  =  3  mm  
         Resposta        
  
  
  
5. Considere  o  pino  de  12  mm  de  diâmetro  da  ligação  da  figura.  Sendo  a  força  
P  =  9000  N,  determine  o  valor  da  tensão  média  de  cisalhamento  que  atua  na  
seção  transversal  a-­a  do  pino  considerando  que  sua  distribuição  seja  
uniforme.  Determine  também  as  tensões  de  esmagamento  que  ocorrem  nas  
c d   
  
  
Solução:  
Cisalhamento  duplo:  
  
Fx  =  0:   V  +  V     P  =  0      2V  =  P      V  =  P/2  
      ²/4)  
   Resposta  
  
Esmagamento  na  chapa  central  -­  d  =  20  mm:  
es  =  P/Aproj  =  9000  N  /  (0,012*0,020)      es  =  37,5  Mpa   Resposta  
6  
  
Esmagamento  nas  chapas  superior  e  inferior  -­  c  =  15  mm:  
es  =  P/2Aproj  =  9000  N  /2  (0,012*0,015)      es  =  25,0  Mpa   Resposta
     
  
  
6. De  acordo  com  a  figura,  a  força  P  tende  a  fazer  com  que  a  peça  superior  
deslize  em  relação  à  inferior  segundo  o  plano  a-­a.  Sendo  P  =  4000  kgf,  qual  
a  tensão  de  cisalhamento  nesse  plano?  
  
  
Solução:  
A  força  de  cisalhamento  que  atua  no  plano  a-­a  é  provocada  pela  componente  
horizontal  de  P.  Logo  temos:  
Px  =  P  cos45°  =  4000*0,707      Px  =  2828  kgf  
A  área  em  que  atua  a  força  Px  vale:   A  =  20*30  =  600  cm²  
Logo  a  tensão  de  cisalhamento  será:  
  =  Px/A  =  2828/600      Resposta  
  
  
  
7. Considere  o  corpo  de  prova  da  figura,  de  seção  transversal  retangular  de  2,5  
cm  por  5,0  cm,  utilizado  para  determinar  a  resistência  à  tração  da  madeira.  
Sendo  para  a  peroba  a  tensão  de  ruptura  ao  cisalhamento  de  130  kgf/cm²,  
pede-­ a
a  ruptura  se  dê  por  tração  e  não  por  cisalhamento.  A  carga  de  ruptura  à  
tração  é  P  =  1040  kgf.    
  
  
Solução:  
Se  a  carga  de  ruptura  a  tração  é  P  =  1040  kgf,  isso  significa  que  com  essa  
carga  eu  não  posso  ter  ruptura  por  cisalhamento.  Então,  como  eu  terei  
  
P/2A   rup   então,         
      a     0,8  cm      Resposta  
  
7  
  
  
8. Uma  viga  de  madeira,  com  seção  retangular  com  b=10cm  e  h=18cm  tem  6m  
de  vão  e  a  tensão  admissível  é  9Mpa.    Calcular  a  máxima  carga  P  que  pode  
ser  aplicada  no  meio  do  vão.  
  
  
Solução:  
W  =  bh²/6  =  0,10*0,18²/6  =  0,00054  m³  
O  momento  máximo  ocorre  no  ponto  de  aplicação  da  carga  (centro  do  vão)  e  
vale:     Mmax  =  PL/4  =  P*6/4  =  1,5P  
      9E6  N/m²  =  1,5P  Nm  /  0,00054  m³  
P  =  9E6*0,00054/1,5      P  =  3240  N   Resposta  
  
9. Calcular  o  valor  da  tensão  máxima  devido  à  flexão  na  viga  prismática  de  
concreto  armado  da  figura.  Represente  a  distribuição  das  tensões  na  seção  
transversal  da  viga.  
São  dados:   c=2,5tf/m³;;   alv=2,0tf/m³;;  e=0,8m.  
  
  
Solução:  
Cálculo  da  carga  distribuída  devido  ao  peso  próprio  do  concreto:  
qcon   c  *  1  *  1  =  2,5  tf/m  
Cálculo  da  carga  distribuída  devido  ao  peso  próprio  da  parede  de  alvenaria:  
qalv   alv  *  8  *  0,8  =  12,8  tf/m  
q  =  qcon  +  qalv  =  15,3  tf/m  
O  momento  máximo  vale:      Mmax  =  ql²/8  =  15,3*12²/8  =  275,4  tfm  
O  módulo  de  resistência  à  flexão,  W,  será:  
W  =  bh²/6  =  1*1²/6  =  0,17  m³  
A  tensão  normal  máxima  devido  à  flexão  será:  
8  
  
max  =  Mmax/W  =  275,4/0,17          
max  =  1620  tf/m²   ou   max  =  162  kgf/cm²      Resposta  
  
  
  
  
10. A  viga  de  concreto  armado  da  figura  suporta  duas  colunas  iguais  de  
concreto,  com  30cm  de  diâmetro  e  tensão  de  compressão  de  120kgf/cm²  na  
base,  sendo  a  sua  seção  transversal  retangular  com  60cm  de  base  e  90cm  
de  altura,  com  peso  específico   c=2,5tf/m³.  Determine  o  valor  da  tensão  
máxima  de  compressão  na  viga  e  represente  a  distribuição  das  tensões  na  
seção.  
  
  
Solução:  
Cálculo  da  carga  distribuída  devido  ao  peso  próprio  do  concreto:  
qcon   c  *  0,6  *  0,9  =  1,35  tf/m    
Cálculo  da  carga  concentrada  P  devido  à  coluna  de  concreto:  
Acol  =   d²/4  =   *0,3²/4  =  0,071  m²  
P  =   *A  =  120*0,071*100²  =  85200  kgf  =  85,2  tf  
Mmax  =  ql²/8  +  VA*2  =  1,35*10²/8  +  85,2*2  =  187,275  tfm  
O  módulo  de  resistência  à  flexão,  W,  será:  
W  =  bh²/6  =  0,6*0,9²/6  =  0,081  m³  
A  tensão  normal  máxima  devido  à  flexão  será:  
max  =  Mmax/W  =  187,3/0,081           
max  =  2312  tf/m²   ou   max  =  231,2  kgf/cm²      Resposta  
  
  
  
  
9  
  
  
11.Determine  para  a  viga  representada  na  figura  abaixo,  os  diagramas  de  força  
cortante,  momento  fletor.  
Após  a  obtenção  dos  diagramas,  faça  com  que  w0  =  2  kN/m,  L  =  3m,  calcule  a  
tensão  de  flexão  máxima  absoluta  e  represente  a  distribuição  de  tensão  na  
seção  transversal  da  viga.  
Considere  uma  viga  em  perfil  I  203,2  x  27,3  dada  na  tabela  de  perfis  que  se  
encontra  no  final  da  lista  de  exercícios.  
  
                     
Solução:  
Reações  de  apoio.  A  carga  distribuída  é  substituída  por  sua  resultante  e  as  reações  
são  determinadas  com  as  equações  de  equilíbrio  como  segue  
                         
y  =  0;;        RA     w0  L/2  =  0    ou    RA  =  w0  L/2    
     A  =  0;;    MA     (w0  L/2)  (2L/3)  =  0    ou    MA  =  w0  L²/3    
  
Funções  de  cisalhamento  e  momento  fletor.  Um  diagrama  de  corpo  livre  de  um  
segmento  com  comprimento  x  é  desenhado  na  figura  (c).  A  intensidade  da  carga  é  
determinada  por  semelhança  de  triângulos,  ou  seja,  w/x  =  w0/L  e,  portanto,  w  =  
w0x/L.  
10  
  
                         
y  =  0;;        w0  L/2     (½)(w0  x/L)x     V  =  0    ou    V  =  w0/2L  (L²  -­  x²)          (1)  
     x  =  0;;    (w0  L²/3)  -­  w0  L/2  (x)  +  (½)(w0  x/L)x  (x  -­  2x/3)  +  M  =  0    ou      M  =  
w0/6L  (-­2L³  +  3L²x     x³)         (2)  
  
11  
  
             
        
Diagramas  de  força  cortante  e  momento  fletor.  Os  gráficos  das  equações  (1)  e  
(2)  estão  mostrados  na  figura  (d).  
  
Fazendo-­se  w0  =  2  kN/m  e  L  =  3m,  obtemos  os  valores  de  V  e  M  que  são  
V  =  w0  L/2  =  (2  kN/m)  (3  m)/2  =  3  kN    
M  =  -­  (w0  L²)/3  =  (2  kN/m)  (3  m)²  /  3  =  -­6  kNm  
Nota:  O  valor  negativo  do  momento  significa  que  as  fibras  inferiores  são  comprimidas  
e  as  superiores  tracionadas.  
Consultando  a  tabela  da  página  5,  I  203,2  x  27,3,  obtemos  os  valores  de  Ix  =  2400  
cm4
;;  h  =  20,32  cm;;  Wx  =  236  cm³.  
portanto,  Ix  =  2400  (1/1004
)  m4
;;  h  =  20,32  (1/100)  m  ;;  Wx  =  236  (1/100³)  m³.  
Logo,  Ix  =  2,4  10-­5
  m4
;;  h  =  2,032  10-­1
  m;;  Wx  =  2,36  10-­4
  m³.  
12  
  
c  =  h/2  =  (2,032  10-­1
)/2  =  1,016  10-­1
  m  
como   máx  =  M  c/I,  temos  que   máx  =  (-­6  kNm)  (1,016  10-­1
  m)/  2,4  10-­5
  m4
,  então  
máx  =  -­2,54  104
  N/m²  =  -­2,54  104
  Pa  =  -­25,4  kPa             Resposta  
  
Nota:  
Podemos  usar  também  a  seguinte  equação:     máx  =  M  /  W  e  então  teremos:   máx  =  
(-­6  kNm)/(2,36  10-­4
  m³)  =  25423,7  N/m²  ou  aproximadamente  25,4  kPa.  
      
  
  
12. Determine  para  a  viga  com  um  balanço  representada  na  figura  abaixo,  os  
diagramas  de  força  cortante,  momento  fletor.  
Após  a  obtenção  dos  diagramas,  faça  com  que  p  =  15  kN/m,  L  =  4  m,  a  =  3  m  
e  b  =  1  m.  Calcule  a  tensão  de  flexão  máxima  absoluta  e  represente  a  
distribuição  de  tensão  na  seção  transversal  da  viga.  
Escolha  o  perfil  mais  econômico,  portanto  mais  adequado,  consultando  a  tabela  
a  seguir  e  considerando  que  o  material  da  viga  apresenta  uma  tensão  
admissível     Adm  =  150  MPa  .  
  
  
           
13  
  
Solução  
Reações  de  apoio.  A  carga  distribuída  é  substituída  por  sua  resultante  e  as  reações  
são  determinadas  com  as  equações  de  equilíbrio  como  segue  
                         
y  =  0;;        RA  +  RB     p  L  =  0    ou    RA  =  p  L  -­  RB    
     A  =  0;;    RB  a  -­  p  L  L/2  =  0    ou    RB  =  p  L²/2  a    
então  RA  =  p  L     p  L²/2  a  =  p  L  (1     L/2a)  
Funções  de  cisalhamento  e  momento  fletor.  Um  diagrama  de  corpo  livre  de  um  
segmento  no  trecho  AB  com  comprimento  x  é  desenhado  na  figura  (c).  
                                 
y  =  0;;        RA     p  x  -­  V=  0    ou    V  =  p  L  (1     L/2a)     p  x    
  
para  x  =  0  temos  V  =  p  L  (1     L/2a)  
para  x  =  a  temos  V  =  p  L  (1     L/2a)     p  a        
14  
  
Onde  V(x)  =  0  o  momento  será  máximo,  logo  para  sabermos  onde    V(x)  corta  o  eixo  
dos  x,  igualamos  V(x)  a  zero.  
V  =  p  L  (1     L/2a)     p  x  =  0  então  x  =  [p  L  (1     L/2a)]/p  
x  =  L  (1     L/2a)  
  
x  =  0;;      M     RA  x  +  p  x  (x/2)  =  0      ou                                                                                                                                            
   M  =  p  L  (1     L/2a)  x  -­  p  x²/2  
  
para  x  =  0  temos  M  =  0  
para  x  =  a  temos  M  =  p  L  (a     L/2)  -­  p  a²/2  
  
Um  diagrama  de  corpo  livre  de  um  segmento  no  trecho  BC  com  comprimento  x  é  
desenhado  na  figura  (d)  e  aplicadas  as  equações  de  equilíbrio  para  determinação  das  
equações  dos  esforços  internos  M  e  V.  
  
                                           
y  =  0;;            RA     p  x  +  RB     V  =  0    ou      
V  =  p  L     p  L²/2a     p  x  +  p  L²/2  a        ou    V  =  pL     p  x  =  p(L     x)  
  então  
para  x  =  a  temos  V  =  p(L     a)  
para  x  =  L  temos  V  =  0  
    
15  
  
x  =  0;;      M     RA  x  +  p  x  (x/2)     RB  (x     a)  =  0      ou                                                                                                        
   M  =  (p  L     p  L²/2a)  x  -­  p  x²/2  +  p  L²/2  a  (x     a)  
   M  =  pLx     pL²x/2a  -­  px²/2  +  pL²x/2a  -­  pL²/2  
   M  =  -­px²/2  +  pLx  -­  pL²/2  
   M  =  -­px²/2  +  pLx  -­  pL²/2  
  
  então  
para  x  =  a  temos  M  =  -­pa²/2  +  pLa  -­  pL²/2  
para  x  =  L  temos  M  =  0  
    
  
                         
  
Diagramas  de  força  cortante  e  momento  fletor.  Os  gráficos  das  equações  (1)  e  
(2)  estão  mostrados  na  figura  (e).  
  
16  
  
Fazendo-­se  p  =  15  kN/m,  L  =  4  m,  a  =  3  m  e  b  =  1  m,  como  pedido  no  enunciado  do  
exercício,  temos,  no  trecho  AB,  pois  é  lá  que  encontramos  Mmáx  substituindo  x  por  L(1  
  L/2a)  =  4  m  [1     (4  m)/(2  3  m)  =  1,33  m.  
  
A  equação  do  momento  para  o  trecho  AB  é  dada  pela  expressão:  
M  =  p  L  (1     L/2a)  x  -­  p  x²/2.  Substituindo  os  valores  teremos:      
  
M  =  (15  kN/m)(4  m)[1     (4  m)/(2  3  m)]  (1,33  m)     (15  kN/m)  (1,33  m)²  /2  =  13,3  
kNm.  
  
  
Adm  podemos  dizer  que  
Adm     
Então,  se  igualarmos  as  expressões  acima  obtemos:  
  
Adm   Adm  
  
Logo,  W  =  (13,3  kNm)/(150  MPa)  =  8,9  10-­5
  m3
  =  89  cm³  
  
Para  a  escolha  do  perfil  mais  econômico,  portanto  mais  adequado,  consultando  
a  tabela  da  página  5,  encontramos  uma  viga  I  127  x  18,2  cujo  valor  de  Wx  =  
89,8  cm3
   Resposta  
  
Então  a  tensão  máxima  de  flexão  vale:    
máx  =  M/W  =  (13,3  kNm)/(89,8  cm³)        
máx  =  (13,3  kNm)/(8,98  10-­5
    m³)    
máx  =  148,1  MPa      Resposta  
  
13.  A  peça  de  mármore,  que  podemos  considerar  como  um  material  linear  elástico  
frágil,  tem  peso  específico  de  24  kN/m³  e  espessura  de  20  mm.  Calcule  a  tensão  
de  flexão  máxima  da  peça  se  ela  estiver  apoiada  (a)  em  seu  lado  e  (b)  em  suas  
Rup  =  1,5  MPa,  explique  as  consequências  de  
apoiar  a  peça  em  cada  uma  das  posições.  
  
  
Solução:                  Esquema  estático  adotado:  
17  
  
  
                           
Como  já  vimos  anteriormente,  o  valor  de  momento  máximo  para  esse  esquema  
estático  é:  
  
M  =  w  L²/8  
Portanto  temos  que  determinar  o  valor  de  w  que  é:  
mármore  Vpeça  /  L=  (24  kN/m³)  (1,5  m  x  0,5  m  x  0,02  m)/1,5  m    
w  =  240  N/m    e    L  =  1,5  m  
então,  
M  =  240  N/m  (1,5  m)²/8  =  67,5  Nm  
Cálculo  do  momento  de  inércia  da  peça:  
1. Para  a  posição  (a)  temos:  
  
    Ix  =  b  h³/12  =  0,02  m  (0,5  m)³/12  =        2,08  10-­4
  m4  
  
                 
  
Wx  =  Ix/c  =  Ix  2/h  =  8,33  10-­4
  m³  
então   máx  =  M/W  =  67,5  Nm  /  8,33  10-­4
  m³  =  0,081  MPa   Rup  
  
  
  
2. Para  a  posição  (b)  temos:  
Ix  =  b  h³/12  =  0,5  m  (0,02  m)³/12  =    3,33  10-­7
  m4
  
18  
  
  
  
Wx  =  Ix/c  =  Ix  2/h  =  3,33  10-­5
  m³  
então   máx  =  M/W  =  67,5  Nm  /  3,33  10-­5
  m³  =  2,025  MPa   Rup  
  
Portanto  na  posição  (a)  a  peça  resiste  mas  na  posição  (b)  a  peça  se  
rompe.                                              Resposta  
  
14.  Uma  viga  composta  é  feita  de  madeira  e  reforçada  com  uma  tira  de  aço  
localizada  em  sua  parte  inferior.  Ela  tem  a  área  de  seção  transversal  
mostrada  na  figura.  Se  for  submetida  a  um  momento  fletor  M  =  2  kNm,  
determine  a  tensão  normal  nos  pontos  B  e  C.  Considere  Eaço  =  200  GPa.  Emad  
=  12  GPa.  
  
Solução  
Solução  
Propriedades  da  seção.  Embora  a  escolha  seja  arbitrária,  aqui,  transformaremos  a  
seção  em  outra  feita  inteiramente  de  aço.  Visto  que  o  aço  tem  rigidez  maior  que  a  da  
madeira   (Eaço   >   Emad),   a   largura   da   madeira   deve   ser   reduzida   a   uma   largura  
equivalente  para  o  aço.  Por  conseqüência  n  deve  ser  menor  do  que  um.  Para  tanto,  n  
=  Emad/  Eaço,  então  
baço  =  nbmad  =  [(12  GPa)/(200GPa)](150  mm)  =  9  mm  
A  seção  transformada  é  mostrada  na  figura  86b.  
19  
  
  
A  localização  do  centróide  (eixo  neutro),  calculada  em  relação  a  um  eixo  de  referência  
localizado  na  parte  inferior  da  seção,  é  
y  =  [(0,01  m)(0,02  m)(0,15  m)  +  (0,095  m)(0,009  m)(0,15  m)]/  
/[0,02  m(0,15  m)  +  0,009  m  (0,15  m)]  =  0,03638  m  
Portanto,  o  momento  de  inércia  em  relação  ao  eixo  neutro  é  
INA=[(1/12)(0,15  m)(0,02  m)³  +  (0,15  m)(0,02  m)(0,03638  m     0,01  m)²]  
+[(1/12)(0,009  m)(0,15  m)³  +  (0,009  m)(0,15  m)(0,095  m     0,03638  m)²]  
INA  =  9,358(10-­6
)  m4
  
Tensão  normal   
  =  Mc/I  =  2  kNm  (0,170  m     0,03638  m)/9,358(10-­6
)  m4
  =  28,6  MPa  
C  =  2  kNm  (0,03638  m)/9,358(10-­6
)  m4
  =  7,78  MPa      Resposta  
A  distribuição  da  tensão  normal  na  seção  transformada  (toda  de  aço)  é  mostrada  na  
figura  86c.  
A   tensão   normal   na   madeira,   localizada   em   B   na   figura   86a,   é   determinada   pela  
equação:    
B     =  (12  GPa/200  GPa)(28,56  MPa)  =  1,71  MPa        Resposta  
20  
  
Usando  esses  conceitos,  mostre  que  a  tensão  no  aço  e  na  madeira  no  ponto  onde  elas  
aço   mad  =  0,21  MPa,  respectivamente.  
A  distribuição  de  tensão  normal  na  viga  verdadeira  é  mostrada  na  fig.  86d.  
  
15.  A  viga  de  concreto  armado  é  feita  com  duas  hastes  de  reforço  de  aço.  Se  a  
aço)adm  =  280  MPa  e  a  tensão  de  
compressão  admissível  para  o  concreto   conc)adm  =  21  MPa,  determine  o  
momento   máximo   M   que   pode   ser   aplicado   à   seção.   Considere   que   o  
concreto   não   pode   suportar   uma   tensão   de   tração.   Eaço   =200   GPa,   Econc   =  
26,5  GPa.  
  
Solução  
  
Dados:  bf  =  550  mm;;  df  =  100  mm;;  bw  =  150  mm;;  dw  =  450  mm  
      dr  =  25  mm   hr  =  50  mm   Econc  =  26,5  GPa  
            Eaço  =  200  GPa;;         aço)adm   conc)adm  =  21  MPa  
  
Propriedades  da  seção  
  
21  
  
n  =  Eaço/Econc  =  200  GPa/26,5  GPa  =  7,54717  
  
aço   r   
  
  
-­ aço(dw  -­  hr      f  df(0,5  df   w     
-­7409,42(450     50        
  2850,24  =  0  
de  onde      ou     h´=  -­835,54  
Portanto  o  valor  mais  aceitável  é:     
  
Determinação  do  momento  de  inércia  da  seção:  
I  =  Iaço  +  If  +  Iw  
Iaço   aço(dw  -­  hr      -­  50     3,41)²  =  1165380460  mm4
  
If  =  1/12(bfdf
3
)  +  bfdf(0,5df     
If  =  202727878,8  mm4
    
Iw  =  1/12(bw w   
Iw  =  1982,6  mm4
  
I  =  1165380460  mm4
  +  202727878,8  mm4
  +  1982,6  mm4
  
I  =  1368110321  mm4
    
  
A  tensão  máxima  no  concreto  será  dada  por:   máx  =   conc)adm  =  Mconc  cconc  /I  
onde  cconc  =  df     
Então  o  momento  máximo  permitido  no  concreto  será:  
Mconc  =  ( conc)admI/cconc  =  21  MPa  (1368110321  mm4
)/103,41  mm  =  277,83  kNm  
A  tensão  máxima  no  aço  será  dada  por:     máx  =   aço)adm  =n  Maço  caço  /I  
onde  caço  =  dw  -­  hr        50  -­  3,41  =  396,59  mm  
O  momento  máximo  permitido  no  aço  será:  
22  
  
Maço  =   aço)admI/n  caço  =  280  MPa  (1368110321  mm4
)/(7,54717)396,59  mm  =    
127,98  kNm  
Portanto  o  momento  máximo  permitido  será:    
Mmáx  =  127,98  kNm      Resposta  
  
16. Visto   que   o   concreto   só   pode   suportar   pouca   ou   nenhuma   tração,   esse  
problema  pode  ser  evitado  se  o  concreto  for  protendido  com  cabos  ou  hastes.  
Considere   a   viga   simplesmente   apoiada   mostrada   na   figura,   que   tem   seção  
transversal   retangular   de   450   mm   por   300   mm.   Se   o   peso   específico   do  
concreto  for  24  kN/m³,  determine  a  tração  exigida  na  haste  AB,  que  se  estende  
por  toda  a  viga,  de  modo  que  nenhuma  tensão  de  tração  seja  desenvolvida  na  
seção  central  a-­a  da  viga.  Despreze  o  tamanho  da  haste  e  qualquer  deflexão  da  
viga.  
  
Solução  
Dados:   b  =  300  mm;;   d  =  450  mm;;     
      L  =  2,4  m;;       =  24  kN/m³  
  
a  =  d        
  
  
  
  
Cálculo  das  reações:   por  simetria,  RA  =  RB  =  R  
y  =  0;;     2R     wL  =  0;;   R  =  wL/2  =  3,888  kN  
23  
  
Esforços  internos  (normal  e  momento  fletor):  
  
  
x  =  0;;     T     N  =  0;;      N  =  T  
  
O  =  0;;     M  +  T(0,5d     a)     R(0,5L)  +  (0,5wL)(0,25L)  =  0  
         M  =  R(0,25L)     T(0,5d     a)  
  
Propriedades  da  seção:  
A  =  bd  =  135000  mm²  
I  =  1/12(b  d³)  =  2278125000  mm4
  
  
Tensão  normal:   a  =  N/A  +  Mc/I  
Por  imposição  do  problema:      a  =  0;;   0  =  -­T/A  +  Mca/I  
onde  ca  =  0,5d  
         0  =  -­T/A  +  [R(0,25L)     T(0,5d     a)]ca/I  
  
         T  =  R(0,25L)/  [(0,5d     a)  +  I/(A  ca)]  
  
         T  =  9331  kN      Resposta  
  
17.  Para  reforçar  uma  viga  de  aço,  uma  tábua  de  carvalho  foi  colocada  entre  
seus  flanges,  como  mostra  a  figura.  Se  a  tensão  normal  admissível  para  o  aço  
adm)aço   adm)mad   =   21   MPa,   determine   o  
momento   fletor   máximo   que   a   viga   pode   suportar   com   e   sem   o   reforço   da  
madeira.  Eaço  =  200  GPa,  Emad  =  12  GPa.  O  momento  de  inércia  da  viga  de  aço  
é  Iz  =  7,93  106
  mm4
,  e  sua  área  de  seção  transversal  é  A  =  5493,75  mm².  
  
Solução  
24  
  
Sem  a  tábua.  Neste  caso,  o  eixo  neutro  coincide  com  o  eixo  z.  A  aplicação  direta  da  
fórmula  da  flexão  para  a  viga  de  aço  dá  como  resultado  
adm)aço  =  Mc/Iz    
168  N/mm²  =  M  (105  mm)/7,93  106
  mm4
  
                                              M  =  12,688  kNm                      Resposta  
Com   a   tábua.  Visto  que  agora  temos  uma  viga  composta,  devemos  transformar  a  
seção   em   um   único   material.   Será   mais   fácil   transformar   a   madeira   em   uma  
quantidade   equivalente   de   aço.   Para   tal,   n   =   Emad/Eaço.   Assim,   a   largura   de   uma  
quantidade  equivalente  de  aço  é  
baço  =  nbmad  =  (12  GPa/200GPa)300  mm  =  18  mm  
A  seção  transformada  é  mostrada  na  figura.    
  
O  eixo  neutro  encontra-­se  em  
y  =   yA/ A  =  (0)(5493,75  mm²)  +  (55  mm)(100  mm)(18  mm)/  
/[5493,75  mm²  +  100(18)  mm²]  =  13,57  mm  
E  o  momento  de  inércia  em  relação  ao  eixo  neutro  é  
I  =  [7,93  106
  mm4
  +  (5493,75  mm²)(13,57  mm)²]  +    
+  [(1/12)(18  mm)(100  mm)³  +  (18  mm)(100  mm)(55  mm     13,57  mm)²]    
I  =  13,53(106
)  mm4
  
A   tensão   normal   máxima   ocorrerá   na  parte  inferior   da   viga   (figura   87b).   Aqui,   c  =  
105   mm   +   13,57   mm   =   118,57   mm.   O   momento   máximo   baseado   na   tensão  
admissível  para  o  aço  é  
adm)aço  =  Mc/I  
168  (106
)  N/m²  =  168  N/mm²  =  M(118,57  mm)/13,53(106
)  mm4
  
M  =  19,17  kNm  
A  tensão  normal  máxima  na  madeira  ocorre  na  parte  superior  da  viga  (figura  87b).  
   13,5 mad   aço,   o  momento  
máximo  baseado  na  tensão  admissível  para  a  madeira  é  
25  
  
adm)mad     
6
)mm4
  
  
Por   comparação,   o   momento   máximo   é   limitado   pela   tensão   admissível   no   aço.  
Portanto,  
                                    M  =  19,17  kNm              Resposta  
Observação:  Usando  a  tábua  como  reforço,  conseguimos  51%  de  capacidade  
adicional  para  o  momento  da  viga.  
26  
  
  

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Resolução da lista de exercícios 1 complementos de rm-7

  • 1. 1       COMPLEMENTO  DE   RESISTÊNCIA  DOS  MATERIAIS       CARLOS  WALTER  VICENTINI     LISTA  DE  EXERCÍCIOS  1    Tensões     NOTAS  DE  AULAS  MINISTRADAS  PARA  A  TURMA  DE  ENGENHARIA     CIVIL  (5º/6º  CICLO)  DA  UNIP         Santos,  agosto  de  2013                                  
  • 2. 2       1. Determinar  o  alongamento  e  a  tensão  normal  atuante  em  uma  barra   prismática  (figura  abaixo)  com  850  mm  de  comprimento,  seção  transversal   retangular  de  10  mm  x  20  mm  e  com  módulo  de  elasticidade  E  =  200  GPa.  F   =  20  kN     Solução   (0,010  x  0,020)  =  100000000  N/m²  =  100  Mpa   Supondo  que  está  na  região  elástica  e,  portanto,  obedecendo  a  lei  de  Hooke,   3     -­4  mm/mm   0   0  =  5*10-­4  *  850       Resposta     2. A  barra  de  aço  da  figura  abaixo  tem  seção  transversal  A  =  10  cm²  e  está   solicitada  pelas  forças  axiais  representadas.  Determinar  o  alongamento  da   barra  e  as  tensões  que  atuam  nos  diversos  trechos,  sabendo-­se  que  E  =   2100  tf/cm².     Solução   Trecho  AB:      10000  =  0  portanto  N  =  10000  kgf     AB  =  N/A  =  10000  kgf  /  10  =  1000  kgf/cm²     e  =  2500  kgf/cm²  e  podemos  dizer  que  a  tensão  que  atua   no  trecho  AB  é  inferior  a  esse  valor,  logo  está  na  região  elástica  e  segue  a  lei  de      =  1000  kgf/cm²  /  2100000  kgf/cm²  =  4,76*10-­4  cm/cm  
  • 3. 3     0   0  =  4,76*10-­4  *  2000  mm   AB  =  0,95  mm     Resposta   Trecho  BC:      10000  +  3000  =  0  portanto  N  =  7000  kgf     BC  =  N/A  =  7000  kgf  /  10  =  700  kgf/cm²    =  700  kgf/cm²  /  2100000  kgf/cm²  =   3,33*10-­4  cm/cm   0   0  =  3,33*10-­4  *  3000  mm   BC  =  1  mm    Resposta   Trecho  CD:   -­  N  =  0  portanto  N  =  9000  kgf     CD  =  N/A  =  9000  kgf  /  10  =  900  kgf/cm²    =  900  kgf/cm²  /  2100000  kgf/cm²  =   4,29*10-­4  cm/cm   0   0  =  4,29*10-­4  *  4000  mm   CD  =  1,72  mm     Resposta     3. A  treliça  Howe  da  figura  suporta  a  força  de  54  t.  Determinar  as  áreas  das   seções  transversais  das  barras  DE  e  AC,  sabendo-­se  que  a  tensão  admissível   do  material,  a  tração,  é  de  1400  kgf/cm².  Sendo  de  2  m  o  comprimento  da   barra  DE,  pergunta-­se  qual  o  seu  alongamento,  admitindo  para  o  módulo  de   elasticidade  do  material  o  valor  de  E  =  2,1  x  106  kgf/cm².   Após  a  determinação  das  áreas,  escolha  o  perfil  mais  adequado  da  tabela  dada   no  final  da  lista  de  exercícios.    
  • 4. 4                       4. Duas  barras  iguais,  de  aço,  são  articuladas  nas  extremidades  e  suportam   uma  carga  de  45  tf,  tal  como  indicado  na  figura.  Adotando-­se  a  tensão   admissível  de  2100  kgf/cm²,  pede-­se  determinar  a  área  da  seção  transversal   dessas  barras  e  o  deslocamento  vertical  do  nó  B.  São  dados:  E  =  2,1  x  106   kgf/cm²  e  o  comprimento  da  barra  l  =  3  m.       Solução:          
  • 5. 5       TAB  cos45°  +  TBC  cos45°  -­  45  tf  =  0   TAB  cos45°  +  TBC  cos45°  =  45  tf       0,707(TAB  +  TBC)  =  45   TAB  +  TBC  =  63,64  tf   Fx  =  0:   TBC  cos45°  -­  TAB  cos45°  =  0;;     portanto  TBC  =  TAB     Logo,     TBC  =  TAB  =  63,64/2  =  31,82  tf   adm  =  2100  kgf/cm²  =  N/A;;     portanto  A  =  N/21000  =  31820/2100   A  =  15,15  cm²   Resposta     ,  portanto:   AB BC   AB BC/0,707   AB/l0   AB   AB/E  =  N/AE                 AB  =  31820  kgf/(15,15cm²  *  2,1E6  kgf/cm²)   AB  =  0,001     AB   AB  *  l0  =  0,001*3000  mm   AB  =  3  mm         Resposta             5. Considere  o  pino  de  12  mm  de  diâmetro  da  ligação  da  figura.  Sendo  a  força   P  =  9000  N,  determine  o  valor  da  tensão  média  de  cisalhamento  que  atua  na   seção  transversal  a-­a  do  pino  considerando  que  sua  distribuição  seja   uniforme.  Determine  também  as  tensões  de  esmagamento  que  ocorrem  nas   c d       Solução:   Cisalhamento  duplo:     Fx  =  0:   V  +  V    P  =  0     2V  =  P     V  =  P/2       ²/4)     Resposta     Esmagamento  na  chapa  central  -­  d  =  20  mm:   es  =  P/Aproj  =  9000  N  /  (0,012*0,020)     es  =  37,5  Mpa   Resposta  
  • 6. 6     Esmagamento  nas  chapas  superior  e  inferior  -­  c  =  15  mm:   es  =  P/2Aproj  =  9000  N  /2  (0,012*0,015)     es  =  25,0  Mpa   Resposta         6. De  acordo  com  a  figura,  a  força  P  tende  a  fazer  com  que  a  peça  superior   deslize  em  relação  à  inferior  segundo  o  plano  a-­a.  Sendo  P  =  4000  kgf,  qual   a  tensão  de  cisalhamento  nesse  plano?       Solução:   A  força  de  cisalhamento  que  atua  no  plano  a-­a  é  provocada  pela  componente   horizontal  de  P.  Logo  temos:   Px  =  P  cos45°  =  4000*0,707     Px  =  2828  kgf   A  área  em  que  atua  a  força  Px  vale:   A  =  20*30  =  600  cm²   Logo  a  tensão  de  cisalhamento  será:    =  Px/A  =  2828/600     Resposta         7. Considere  o  corpo  de  prova  da  figura,  de  seção  transversal  retangular  de  2,5   cm  por  5,0  cm,  utilizado  para  determinar  a  resistência  à  tração  da  madeira.   Sendo  para  a  peroba  a  tensão  de  ruptura  ao  cisalhamento  de  130  kgf/cm²,   pede-­ a a  ruptura  se  dê  por  tração  e  não  por  cisalhamento.  A  carga  de  ruptura  à   tração  é  P  =  1040  kgf.         Solução:   Se  a  carga  de  ruptura  a  tração  é  P  =  1040  kgf,  isso  significa  que  com  essa   carga  eu  não  posso  ter  ruptura  por  cisalhamento.  Então,  como  eu  terei     P/2A   rup   então,             a    0,8  cm     Resposta    
  • 7. 7       8. Uma  viga  de  madeira,  com  seção  retangular  com  b=10cm  e  h=18cm  tem  6m   de  vão  e  a  tensão  admissível  é  9Mpa.    Calcular  a  máxima  carga  P  que  pode   ser  aplicada  no  meio  do  vão.       Solução:   W  =  bh²/6  =  0,10*0,18²/6  =  0,00054  m³   O  momento  máximo  ocorre  no  ponto  de  aplicação  da  carga  (centro  do  vão)  e   vale:     Mmax  =  PL/4  =  P*6/4  =  1,5P       9E6  N/m²  =  1,5P  Nm  /  0,00054  m³   P  =  9E6*0,00054/1,5     P  =  3240  N   Resposta     9. Calcular  o  valor  da  tensão  máxima  devido  à  flexão  na  viga  prismática  de   concreto  armado  da  figura.  Represente  a  distribuição  das  tensões  na  seção   transversal  da  viga.   São  dados:   c=2,5tf/m³;;   alv=2,0tf/m³;;  e=0,8m.       Solução:   Cálculo  da  carga  distribuída  devido  ao  peso  próprio  do  concreto:   qcon   c  *  1  *  1  =  2,5  tf/m   Cálculo  da  carga  distribuída  devido  ao  peso  próprio  da  parede  de  alvenaria:   qalv   alv  *  8  *  0,8  =  12,8  tf/m   q  =  qcon  +  qalv  =  15,3  tf/m   O  momento  máximo  vale:     Mmax  =  ql²/8  =  15,3*12²/8  =  275,4  tfm   O  módulo  de  resistência  à  flexão,  W,  será:   W  =  bh²/6  =  1*1²/6  =  0,17  m³   A  tensão  normal  máxima  devido  à  flexão  será:  
  • 8. 8     max  =  Mmax/W  =  275,4/0,17         max  =  1620  tf/m²   ou   max  =  162  kgf/cm²     Resposta           10. A  viga  de  concreto  armado  da  figura  suporta  duas  colunas  iguais  de   concreto,  com  30cm  de  diâmetro  e  tensão  de  compressão  de  120kgf/cm²  na   base,  sendo  a  sua  seção  transversal  retangular  com  60cm  de  base  e  90cm   de  altura,  com  peso  específico   c=2,5tf/m³.  Determine  o  valor  da  tensão   máxima  de  compressão  na  viga  e  represente  a  distribuição  das  tensões  na   seção.       Solução:   Cálculo  da  carga  distribuída  devido  ao  peso  próprio  do  concreto:   qcon   c  *  0,6  *  0,9  =  1,35  tf/m     Cálculo  da  carga  concentrada  P  devido  à  coluna  de  concreto:   Acol  =   d²/4  =   *0,3²/4  =  0,071  m²   P  =   *A  =  120*0,071*100²  =  85200  kgf  =  85,2  tf   Mmax  =  ql²/8  +  VA*2  =  1,35*10²/8  +  85,2*2  =  187,275  tfm   O  módulo  de  resistência  à  flexão,  W,  será:   W  =  bh²/6  =  0,6*0,9²/6  =  0,081  m³   A  tensão  normal  máxima  devido  à  flexão  será:   max  =  Mmax/W  =  187,3/0,081         max  =  2312  tf/m²   ou   max  =  231,2  kgf/cm²     Resposta          
  • 9. 9       11.Determine  para  a  viga  representada  na  figura  abaixo,  os  diagramas  de  força   cortante,  momento  fletor.   Após  a  obtenção  dos  diagramas,  faça  com  que  w0  =  2  kN/m,  L  =  3m,  calcule  a   tensão  de  flexão  máxima  absoluta  e  represente  a  distribuição  de  tensão  na   seção  transversal  da  viga.   Considere  uma  viga  em  perfil  I  203,2  x  27,3  dada  na  tabela  de  perfis  que  se   encontra  no  final  da  lista  de  exercícios.                         Solução:   Reações  de  apoio.  A  carga  distribuída  é  substituída  por  sua  resultante  e  as  reações   são  determinadas  com  as  equações  de  equilíbrio  como  segue                           y  =  0;;        RA    w0  L/2  =  0    ou    RA  =  w0  L/2         A  =  0;;    MA    (w0  L/2)  (2L/3)  =  0    ou    MA  =  w0  L²/3       Funções  de  cisalhamento  e  momento  fletor.  Um  diagrama  de  corpo  livre  de  um   segmento  com  comprimento  x  é  desenhado  na  figura  (c).  A  intensidade  da  carga  é   determinada  por  semelhança  de  triângulos,  ou  seja,  w/x  =  w0/L  e,  portanto,  w  =   w0x/L.  
  • 10. 10                             y  =  0;;        w0  L/2    (½)(w0  x/L)x    V  =  0    ou    V  =  w0/2L  (L²  -­  x²)         (1)       x  =  0;;    (w0  L²/3)  -­  w0  L/2  (x)  +  (½)(w0  x/L)x  (x  -­  2x/3)  +  M  =  0    ou      M  =   w0/6L  (-­2L³  +  3L²x    x³)       (2)    
  • 11. 11                       Diagramas  de  força  cortante  e  momento  fletor.  Os  gráficos  das  equações  (1)  e   (2)  estão  mostrados  na  figura  (d).     Fazendo-­se  w0  =  2  kN/m  e  L  =  3m,  obtemos  os  valores  de  V  e  M  que  são   V  =  w0  L/2  =  (2  kN/m)  (3  m)/2  =  3  kN     M  =  -­  (w0  L²)/3  =  (2  kN/m)  (3  m)²  /  3  =  -­6  kNm   Nota:  O  valor  negativo  do  momento  significa  que  as  fibras  inferiores  são  comprimidas   e  as  superiores  tracionadas.   Consultando  a  tabela  da  página  5,  I  203,2  x  27,3,  obtemos  os  valores  de  Ix  =  2400   cm4 ;;  h  =  20,32  cm;;  Wx  =  236  cm³.   portanto,  Ix  =  2400  (1/1004 )  m4 ;;  h  =  20,32  (1/100)  m  ;;  Wx  =  236  (1/100³)  m³.   Logo,  Ix  =  2,4  10-­5  m4 ;;  h  =  2,032  10-­1  m;;  Wx  =  2,36  10-­4  m³.  
  • 12. 12     c  =  h/2  =  (2,032  10-­1 )/2  =  1,016  10-­1  m   como   máx  =  M  c/I,  temos  que   máx  =  (-­6  kNm)  (1,016  10-­1  m)/  2,4  10-­5  m4 ,  então   máx  =  -­2,54  104  N/m²  =  -­2,54  104  Pa  =  -­25,4  kPa           Resposta     Nota:   Podemos  usar  também  a  seguinte  equação:     máx  =  M  /  W  e  então  teremos:   máx  =   (-­6  kNm)/(2,36  10-­4  m³)  =  25423,7  N/m²  ou  aproximadamente  25,4  kPa.             12. Determine  para  a  viga  com  um  balanço  representada  na  figura  abaixo,  os   diagramas  de  força  cortante,  momento  fletor.   Após  a  obtenção  dos  diagramas,  faça  com  que  p  =  15  kN/m,  L  =  4  m,  a  =  3  m   e  b  =  1  m.  Calcule  a  tensão  de  flexão  máxima  absoluta  e  represente  a   distribuição  de  tensão  na  seção  transversal  da  viga.   Escolha  o  perfil  mais  econômico,  portanto  mais  adequado,  consultando  a  tabela   a  seguir  e  considerando  que  o  material  da  viga  apresenta  uma  tensão   admissível     Adm  =  150  MPa  .                
  • 13. 13     Solução   Reações  de  apoio.  A  carga  distribuída  é  substituída  por  sua  resultante  e  as  reações   são  determinadas  com  as  equações  de  equilíbrio  como  segue                           y  =  0;;        RA  +  RB    p  L  =  0    ou    RA  =  p  L  -­  RB         A  =  0;;    RB  a  -­  p  L  L/2  =  0    ou    RB  =  p  L²/2  a     então  RA  =  p  L    p  L²/2  a  =  p  L  (1    L/2a)   Funções  de  cisalhamento  e  momento  fletor.  Um  diagrama  de  corpo  livre  de  um   segmento  no  trecho  AB  com  comprimento  x  é  desenhado  na  figura  (c).                                   y  =  0;;        RA    p  x  -­  V=  0    ou    V  =  p  L  (1    L/2a)    p  x       para  x  =  0  temos  V  =  p  L  (1    L/2a)   para  x  =  a  temos  V  =  p  L  (1    L/2a)    p  a        
  • 14. 14     Onde  V(x)  =  0  o  momento  será  máximo,  logo  para  sabermos  onde    V(x)  corta  o  eixo   dos  x,  igualamos  V(x)  a  zero.   V  =  p  L  (1    L/2a)    p  x  =  0  então  x  =  [p  L  (1    L/2a)]/p   x  =  L  (1    L/2a)     x  =  0;;      M    RA  x  +  p  x  (x/2)  =  0      ou                                                                                                                                               M  =  p  L  (1    L/2a)  x  -­  p  x²/2     para  x  =  0  temos  M  =  0   para  x  =  a  temos  M  =  p  L  (a    L/2)  -­  p  a²/2     Um  diagrama  de  corpo  livre  de  um  segmento  no  trecho  BC  com  comprimento  x  é   desenhado  na  figura  (d)  e  aplicadas  as  equações  de  equilíbrio  para  determinação  das   equações  dos  esforços  internos  M  e  V.                                               y  =  0;;            RA    p  x  +  RB    V  =  0    ou       V  =  p  L    p  L²/2a    p  x  +  p  L²/2  a        ou    V  =  pL    p  x  =  p(L    x)    então   para  x  =  a  temos  V  =  p(L    a)   para  x  =  L  temos  V  =  0      
  • 15. 15     x  =  0;;      M    RA  x  +  p  x  (x/2)    RB  (x    a)  =  0      ou                                                                                                           M  =  (p  L    p  L²/2a)  x  -­  p  x²/2  +  p  L²/2  a  (x    a)     M  =  pLx    pL²x/2a  -­  px²/2  +  pL²x/2a  -­  pL²/2     M  =  -­px²/2  +  pLx  -­  pL²/2     M  =  -­px²/2  +  pLx  -­  pL²/2      então   para  x  =  a  temos  M  =  -­pa²/2  +  pLa  -­  pL²/2   para  x  =  L  temos  M  =  0                                   Diagramas  de  força  cortante  e  momento  fletor.  Os  gráficos  das  equações  (1)  e   (2)  estão  mostrados  na  figura  (e).    
  • 16. 16     Fazendo-­se  p  =  15  kN/m,  L  =  4  m,  a  =  3  m  e  b  =  1  m,  como  pedido  no  enunciado  do   exercício,  temos,  no  trecho  AB,  pois  é  lá  que  encontramos  Mmáx  substituindo  x  por  L(1    L/2a)  =  4  m  [1    (4  m)/(2  3  m)  =  1,33  m.     A  equação  do  momento  para  o  trecho  AB  é  dada  pela  expressão:   M  =  p  L  (1    L/2a)  x  -­  p  x²/2.  Substituindo  os  valores  teremos:         M  =  (15  kN/m)(4  m)[1    (4  m)/(2  3  m)]  (1,33  m)    (15  kN/m)  (1,33  m)²  /2  =  13,3   kNm.       Adm  podemos  dizer  que   Adm     Então,  se  igualarmos  as  expressões  acima  obtemos:     Adm   Adm     Logo,  W  =  (13,3  kNm)/(150  MPa)  =  8,9  10-­5  m3  =  89  cm³     Para  a  escolha  do  perfil  mais  econômico,  portanto  mais  adequado,  consultando   a  tabela  da  página  5,  encontramos  uma  viga  I  127  x  18,2  cujo  valor  de  Wx  =   89,8  cm3   Resposta     Então  a  tensão  máxima  de  flexão  vale:     máx  =  M/W  =  (13,3  kNm)/(89,8  cm³)       máx  =  (13,3  kNm)/(8,98  10-­5    m³)     máx  =  148,1  MPa     Resposta     13.  A  peça  de  mármore,  que  podemos  considerar  como  um  material  linear  elástico   frágil,  tem  peso  específico  de  24  kN/m³  e  espessura  de  20  mm.  Calcule  a  tensão   de  flexão  máxima  da  peça  se  ela  estiver  apoiada  (a)  em  seu  lado  e  (b)  em  suas   Rup  =  1,5  MPa,  explique  as  consequências  de   apoiar  a  peça  em  cada  uma  das  posições.       Solução:                  Esquema  estático  adotado:  
  • 17. 17                                 Como  já  vimos  anteriormente,  o  valor  de  momento  máximo  para  esse  esquema   estático  é:     M  =  w  L²/8   Portanto  temos  que  determinar  o  valor  de  w  que  é:   mármore  Vpeça  /  L=  (24  kN/m³)  (1,5  m  x  0,5  m  x  0,02  m)/1,5  m     w  =  240  N/m    e    L  =  1,5  m   então,   M  =  240  N/m  (1,5  m)²/8  =  67,5  Nm   Cálculo  do  momento  de  inércia  da  peça:   1. Para  a  posição  (a)  temos:        Ix  =  b  h³/12  =  0,02  m  (0,5  m)³/12  =        2,08  10-­4  m4                       Wx  =  Ix/c  =  Ix  2/h  =  8,33  10-­4  m³   então   máx  =  M/W  =  67,5  Nm  /  8,33  10-­4  m³  =  0,081  MPa   Rup         2. Para  a  posição  (b)  temos:   Ix  =  b  h³/12  =  0,5  m  (0,02  m)³/12  =    3,33  10-­7  m4  
  • 18. 18         Wx  =  Ix/c  =  Ix  2/h  =  3,33  10-­5  m³   então   máx  =  M/W  =  67,5  Nm  /  3,33  10-­5  m³  =  2,025  MPa   Rup     Portanto  na  posição  (a)  a  peça  resiste  mas  na  posição  (b)  a  peça  se   rompe.                                              Resposta     14.  Uma  viga  composta  é  feita  de  madeira  e  reforçada  com  uma  tira  de  aço   localizada  em  sua  parte  inferior.  Ela  tem  a  área  de  seção  transversal   mostrada  na  figura.  Se  for  submetida  a  um  momento  fletor  M  =  2  kNm,   determine  a  tensão  normal  nos  pontos  B  e  C.  Considere  Eaço  =  200  GPa.  Emad   =  12  GPa.     Solução   Solução   Propriedades  da  seção.  Embora  a  escolha  seja  arbitrária,  aqui,  transformaremos  a   seção  em  outra  feita  inteiramente  de  aço.  Visto  que  o  aço  tem  rigidez  maior  que  a  da   madeira   (Eaço   >   Emad),   a   largura   da   madeira   deve   ser   reduzida   a   uma   largura   equivalente  para  o  aço.  Por  conseqüência  n  deve  ser  menor  do  que  um.  Para  tanto,  n   =  Emad/  Eaço,  então   baço  =  nbmad  =  [(12  GPa)/(200GPa)](150  mm)  =  9  mm   A  seção  transformada  é  mostrada  na  figura  86b.  
  • 19. 19       A  localização  do  centróide  (eixo  neutro),  calculada  em  relação  a  um  eixo  de  referência   localizado  na  parte  inferior  da  seção,  é   y  =  [(0,01  m)(0,02  m)(0,15  m)  +  (0,095  m)(0,009  m)(0,15  m)]/   /[0,02  m(0,15  m)  +  0,009  m  (0,15  m)]  =  0,03638  m   Portanto,  o  momento  de  inércia  em  relação  ao  eixo  neutro  é   INA=[(1/12)(0,15  m)(0,02  m)³  +  (0,15  m)(0,02  m)(0,03638  m    0,01  m)²]   +[(1/12)(0,009  m)(0,15  m)³  +  (0,009  m)(0,15  m)(0,095  m    0,03638  m)²]   INA  =  9,358(10-­6 )  m4   Tensão  normal    =  Mc/I  =  2  kNm  (0,170  m    0,03638  m)/9,358(10-­6 )  m4  =  28,6  MPa   C  =  2  kNm  (0,03638  m)/9,358(10-­6 )  m4  =  7,78  MPa     Resposta   A  distribuição  da  tensão  normal  na  seção  transformada  (toda  de  aço)  é  mostrada  na   figura  86c.   A   tensão   normal   na   madeira,   localizada   em   B   na   figura   86a,   é   determinada   pela   equação:     B    =  (12  GPa/200  GPa)(28,56  MPa)  =  1,71  MPa       Resposta  
  • 20. 20     Usando  esses  conceitos,  mostre  que  a  tensão  no  aço  e  na  madeira  no  ponto  onde  elas   aço   mad  =  0,21  MPa,  respectivamente.   A  distribuição  de  tensão  normal  na  viga  verdadeira  é  mostrada  na  fig.  86d.     15.  A  viga  de  concreto  armado  é  feita  com  duas  hastes  de  reforço  de  aço.  Se  a   aço)adm  =  280  MPa  e  a  tensão  de   compressão  admissível  para  o  concreto   conc)adm  =  21  MPa,  determine  o   momento   máximo   M   que   pode   ser   aplicado   à   seção.   Considere   que   o   concreto   não   pode   suportar   uma   tensão   de   tração.   Eaço   =200   GPa,   Econc   =   26,5  GPa.     Solução     Dados:  bf  =  550  mm;;  df  =  100  mm;;  bw  =  150  mm;;  dw  =  450  mm       dr  =  25  mm   hr  =  50  mm   Econc  =  26,5  GPa            Eaço  =  200  GPa;;         aço)adm   conc)adm  =  21  MPa     Propriedades  da  seção    
  • 21. 21     n  =  Eaço/Econc  =  200  GPa/26,5  GPa  =  7,54717     aço   r       -­ aço(dw  -­  hr     f  df(0,5  df   w     -­7409,42(450    50        2850,24  =  0   de  onde     ou     h´=  -­835,54   Portanto  o  valor  mais  aceitável  é:       Determinação  do  momento  de  inércia  da  seção:   I  =  Iaço  +  If  +  Iw   Iaço   aço(dw  -­  hr     -­  50    3,41)²  =  1165380460  mm4   If  =  1/12(bfdf 3 )  +  bfdf(0,5df     If  =  202727878,8  mm4     Iw  =  1/12(bw w   Iw  =  1982,6  mm4   I  =  1165380460  mm4  +  202727878,8  mm4  +  1982,6  mm4   I  =  1368110321  mm4       A  tensão  máxima  no  concreto  será  dada  por:   máx  =   conc)adm  =  Mconc  cconc  /I   onde  cconc  =  df     Então  o  momento  máximo  permitido  no  concreto  será:   Mconc  =  ( conc)admI/cconc  =  21  MPa  (1368110321  mm4 )/103,41  mm  =  277,83  kNm   A  tensão  máxima  no  aço  será  dada  por:     máx  =   aço)adm  =n  Maço  caço  /I   onde  caço  =  dw  -­  hr      50  -­  3,41  =  396,59  mm   O  momento  máximo  permitido  no  aço  será:  
  • 22. 22     Maço  =   aço)admI/n  caço  =  280  MPa  (1368110321  mm4 )/(7,54717)396,59  mm  =     127,98  kNm   Portanto  o  momento  máximo  permitido  será:     Mmáx  =  127,98  kNm     Resposta     16. Visto   que   o   concreto   só   pode   suportar   pouca   ou   nenhuma   tração,   esse   problema  pode  ser  evitado  se  o  concreto  for  protendido  com  cabos  ou  hastes.   Considere   a   viga   simplesmente   apoiada   mostrada   na   figura,   que   tem   seção   transversal   retangular   de   450   mm   por   300   mm.   Se   o   peso   específico   do   concreto  for  24  kN/m³,  determine  a  tração  exigida  na  haste  AB,  que  se  estende   por  toda  a  viga,  de  modo  que  nenhuma  tensão  de  tração  seja  desenvolvida  na   seção  central  a-­a  da  viga.  Despreze  o  tamanho  da  haste  e  qualquer  deflexão  da   viga.     Solução   Dados:   b  =  300  mm;;   d  =  450  mm;;         L  =  2,4  m;;      =  24  kN/m³     a  =  d               Cálculo  das  reações:   por  simetria,  RA  =  RB  =  R   y  =  0;;     2R    wL  =  0;;   R  =  wL/2  =  3,888  kN  
  • 23. 23     Esforços  internos  (normal  e  momento  fletor):       x  =  0;;     T    N  =  0;;     N  =  T     O  =  0;;     M  +  T(0,5d    a)    R(0,5L)  +  (0,5wL)(0,25L)  =  0         M  =  R(0,25L)    T(0,5d    a)     Propriedades  da  seção:   A  =  bd  =  135000  mm²   I  =  1/12(b  d³)  =  2278125000  mm4     Tensão  normal:   a  =  N/A  +  Mc/I   Por  imposição  do  problema:     a  =  0;;   0  =  -­T/A  +  Mca/I   onde  ca  =  0,5d         0  =  -­T/A  +  [R(0,25L)    T(0,5d    a)]ca/I           T  =  R(0,25L)/  [(0,5d    a)  +  I/(A  ca)]           T  =  9331  kN     Resposta     17.  Para  reforçar  uma  viga  de  aço,  uma  tábua  de  carvalho  foi  colocada  entre   seus  flanges,  como  mostra  a  figura.  Se  a  tensão  normal  admissível  para  o  aço   adm)aço   adm)mad   =   21   MPa,   determine   o   momento   fletor   máximo   que   a   viga   pode   suportar   com   e   sem   o   reforço   da   madeira.  Eaço  =  200  GPa,  Emad  =  12  GPa.  O  momento  de  inércia  da  viga  de  aço   é  Iz  =  7,93  106  mm4 ,  e  sua  área  de  seção  transversal  é  A  =  5493,75  mm².     Solução  
  • 24. 24     Sem  a  tábua.  Neste  caso,  o  eixo  neutro  coincide  com  o  eixo  z.  A  aplicação  direta  da   fórmula  da  flexão  para  a  viga  de  aço  dá  como  resultado   adm)aço  =  Mc/Iz     168  N/mm²  =  M  (105  mm)/7,93  106  mm4                                                M  =  12,688  kNm                      Resposta   Com   a   tábua.  Visto  que  agora  temos  uma  viga  composta,  devemos  transformar  a   seção   em   um   único   material.   Será   mais   fácil   transformar   a   madeira   em   uma   quantidade   equivalente   de   aço.   Para   tal,   n   =   Emad/Eaço.   Assim,   a   largura   de   uma   quantidade  equivalente  de  aço  é   baço  =  nbmad  =  (12  GPa/200GPa)300  mm  =  18  mm   A  seção  transformada  é  mostrada  na  figura.       O  eixo  neutro  encontra-­se  em   y  =   yA/ A  =  (0)(5493,75  mm²)  +  (55  mm)(100  mm)(18  mm)/   /[5493,75  mm²  +  100(18)  mm²]  =  13,57  mm   E  o  momento  de  inércia  em  relação  ao  eixo  neutro  é   I  =  [7,93  106  mm4  +  (5493,75  mm²)(13,57  mm)²]  +     +  [(1/12)(18  mm)(100  mm)³  +  (18  mm)(100  mm)(55  mm    13,57  mm)²]     I  =  13,53(106 )  mm4   A   tensão   normal   máxima   ocorrerá   na  parte  inferior   da   viga   (figura   87b).   Aqui,   c  =   105   mm   +   13,57   mm   =   118,57   mm.   O   momento   máximo   baseado   na   tensão   admissível  para  o  aço  é   adm)aço  =  Mc/I   168  (106 )  N/m²  =  168  N/mm²  =  M(118,57  mm)/13,53(106 )  mm4   M  =  19,17  kNm   A  tensão  normal  máxima  na  madeira  ocorre  na  parte  superior  da  viga  (figura  87b).     13,5 mad   aço,   o  momento   máximo  baseado  na  tensão  admissível  para  a  madeira  é  
  • 25. 25     adm)mad     6 )mm4     Por   comparação,   o   momento   máximo   é   limitado   pela   tensão   admissível   no   aço.   Portanto,                                      M  =  19,17  kNm              Resposta   Observação:  Usando  a  tábua  como  reforço,  conseguimos  51%  de  capacidade   adicional  para  o  momento  da  viga.  
  • 26. 26