1) O documento discute osciladores amortecidos e forçados, analisando suas energias cinética e potencial médias. 2) Mostra que a dissipação média de potência é igual ao trabalho médio da força amortecedora por unidade de tempo e que, para pequenos amortecimentos, este valor é igual a 2E/τQ, onde E é a energia total, τ o período e Q o fator de qualidade. 3) Define o fator Q como a razão entre a reatância e a resistência do oscilador e mostra que, para

1. Questão 12.54) Suponha que, para um oscilador amortecido, γ seja muito pequeno
comparado com , de modo que a amplitude permanece praticamente constante
durante uma oscilação. (a) Verifique que a energia do oscilador amortecido pode ser
escrita na forma (b) A dissipação média de potência é definida por
P=- . Prove que P=2 = E/τ (c) Prove que esta dissipação de potência é igual ao
trabalho médio efetuado pela força amortecedora, na unidade de tempo.
Resolução:
(a) Temos, para o sistema:
(1) x(t) = A , onde A é a amplitude em função do tempo, w =
, w
x´(t) = A – w A , como e w ,
obtemos:
(2) x´(t) = – w A
A energia do sistema é dada por E(t) = Ec + Ep. Logo:
E(t) =
(b) P=- = - = , onde é o
tempo de relaxação do sistema.
(c) A força de amortecimento é dada por:
F = -2m x´ = - 2 m (– w A = 2 m w A
O trabalho é dado por: W = - ·, considerando A aproximadamente constante
ao longo da integral, temos:
X = A => dx = – w A dt
W = -
W = 2 m , onde T é o período do movimento.
Dividindo W por T, obtemos o valor médio de W. Note que sen² e cos² possuem o
mesmo valor médio, e como cos² + sen² = 1 => valor médio do sen² e do cos² é igual a
0,5. Assim:

2. Pot = 2 m => Pot = m , a qual é a potência
dissipada
Questão 12.55) Prove que, para um oscilador forçado, = , quando a
reatância é igual é igual à resistência X = ±R ou . A diferença
entre dois valores de , para esta situação, é chamada largura da banda do
oscilador e a razão Q = é chamada fator Q do oscilador. Prove que, para
pequeno amortecimento, e, assim, Q = .
Resolução:
i) No primeiro caso (X = ±R), temos:
X = ±R => Z = = , mas R = Z cos(α) => cos(α) = .
Sabendo que = , temos:
= = 2 cos(α) = 2
ii) No segundo caso ( , temos:
tg(α) = = => cos(α) =
R = => X = , pois X² + R² = Z², ou seja, temos que X = , e entramos no
caso anterior.
iii) Quando ( )
, como
Quando ( )
De forma análoga, obtemos
Para pequenos amortecimentos, w . Logo:
Q = =

3. Questão 12.56) (a) Calcule os valores médios das energias cinéticas e potencial das
oscilações forçadas de um oscilador amortecido. (b) Obtenha o quociente entre a soma
dessas energias e o trabalho realizado pela força aplicada num período. Esse fator é útil
para indicar o desempenho do oscilador. Prove que, para pequenos amortecimentos,
esse fator é igual a Q/2τ.
Resolução:
(a) Considerando t>>0, ou seja, Xg = Xp, pois a solução homogênea tende a zero. Logo:
x(t) = , onde C = m e tg( = .
Derivando x em relação ao tempo:
x´(t) = v(t) =
Daí,
Epotencial = e
Ecinética =
Assim como foi utilizado na questão 1:
Logo,
e , onde C = m
(b) O trabalho realizado pela força é:
W = =
W = -
W = - ]
O primeiro termo é zero e o segundo é T/2, logo:
W = sen , sen =

4. Assim, Q = =
Para pequenos amortecimentos: ( ), obtemos: Q =