Lista Mecânica

1. 1
y,
FÍSICA
Prof. Fracalossi
1. (Ita 2013) Num plano horizontal x um projétil de massa m é lançado com velocidade v, na direção
θ
com o eixo x, contra o centro de massa de uma barra rígida, homogênea, de comprimento L e massa
M, que se encontra inicialmente em repouso a uma distância D de uma parede, conforme a figura. Após
uma primeira colisão elástica com a barra, o projétil retrocede e colide elasticamente com a parede.
Desprezando qualquer atrito, determine o intervalo de valores de
θ
para que ocorra uma segunda
colisão com a barra, e também o tempo decorrido entre esta e a anterior na parede.
2. (Ime 2013) Existe um intervalo mínimo de tempo entre dois sons, conhecido como limiar de fusão, para
que estes sejam percebidos pelo ouvido humano como sons separados. Um bloco desliza para baixo, a
partir do repouso, em um plano inclinado com ressaltos igualmente espaçados que produzem ruídos.
Desprezando o atrito do bloco com o plano inclinado e a força exercida pelos ressaltos sobre o bloco,
determine o limiar de fusão τ de uma pessoa que escuta um ruído contínuo após o bloco passar pelo
enésimo ressalto.
Observação: Despreze o tempo de propagação do som.
Dados: ângulo do plano inclinado com a horizontal:
ressaltos: d.
θ; aceleração da gravidade: g; distância entre os
3. (Uerj 2010) A figura a seguir representa uma piscina completamente cheia de água, cuja forma é um
prisma hexagonal regular.
Admita que:
– A, B, C e D representam vértices desse prisma;
– o volume da piscina é igual a 450 m
3
e
AB
=
3
;
CD 10
– um atleta nada, em linha reta, do ponto A até o ponto médio da aresta CD , utilizando apenas glicose
como fonte de energia para seus músculos.
A velocidade média do atleta no percurso definido foi igual a 1,0 m/s.
O intervalo de tempo, em segundos, gasto nesse percurso equivale a cerca de:
a) 12,2
b) 14,4
c) 16,2
d) 18,1

2. 4. (Ufg 2010) O GPS (sigla em inglês para sistema global de posicionamento) é composto por uma malha
de 24 satélites que orbitam a Terra a uma altitude fixa e com velocidade constante. Nesses satélites
estão instalados relógios atômicos que podem aferir o tempo com precisão de nanossegundos. Os
satélites emitem ondas eletromagnéticas que se propagam com a velocidade da luz c. Essas ondas são
codificadas de modo a fornecer as coordenadas do satélite e o instante em que o sinal foi emitido. Num
certo instante t, o receptor capta os sinais de vários satélites e, a partir dos sinais obtidos de quatro
satélites distintos, calcula as coordenadas (x, y, z) do receptor e o instante de tempo da recepção.
A figura a seguir representa uma versão unidimensional de um GPS, na qual os satélites foram
substituídos por duas antenas fixas que emitem sinais informando suas posições e os instantes da
emissão (X1, t1) e (X2, t2). Um veículo equipado com um GPS, que se move em uma dimensão, pode ter
sua localização X e o instante t conhecidos, obtendo simultaneamente os sinais das duas antenas.
Considerando o exposto, determine:
a ) as equações que fornecem a posição
e o instante de tempo do veículo (X e
t) em função das coordenadas das
antenas, dos instantes de emissão e
da velocidade da luz c ;
b) a posição do veículo e sua distância
da antena mais próxima, quando t1 = 2T e t2 = T, em função de X 1 , L e
T.
5. (Pucrj 2007) Dois objetos saem no mesmo instante de dois pontos A e B situados a 100 m de distância
um do outro. Os objetos vão se encontrar em algum ponto entre A e B. O primeiro objeto sai de A em
direção a B, a partir do repouso, com uma aceleração constante igual a 2,0 m/s
2
. O segundo objeto sai
de B em direção a A com uma velocidade constante de v = 15 m/s.
Determine:
a) o tempo que levam os objetos para se encontrar;
b) a posição onde ocorre o encontro dos dois objetos, medido a partir do ponto A.
c) Esboce o gráfico da posição versus tempo para cada um dos objetos.
GABARITO:
Resposta da questão 1:
Primeiramente, vamos entender o enunciado com as figuras apresentadas abaixo:

3. u m V 'x m.Vx M u m V 'x m V cos
θ
( V 'x ) u V 'xu
1 u V 'x V cos
θ
0
(M m)
u M V ' M V cos
θ
V ' (M m) V cos
θ
(M m) V '
V cos
θ
x x x
m)
(M m) V cos θ (M m)V cos
θ
V cos θ u V cos θm) (M m)
V cos θ
2m
m)
x
x V 'x t
u t
tx V 'x
t
(M m)V cosθ
m)
V cosθ
2m
m)
x V'x 2D x (M m)
x(M m) 2m(2D x)
4Dm
3m
O enunciado nos conta que a esfera de massa m atinge a barra rígida e retorna em direção à parede. A
Fig.A representa este momento onde vamos considerar:
1: ponto em que a esfera atinge a barra em uma colisão elástica;
V: velocidade da esfera antes de atingir a barra;
V’: velocidade da esfera após atingir a barra;
u: velocidade da barra após o impacto da esfera.
Após o impacto com a barra, a esfera se desloca em direção à parede. A Fig.B representa este
momento onde vamos considerar:
2: ponto em que a esfera atinge a parede em uma colisão elástica;
V’: velocidade de aproximação e de afastamento da esfera em relação à parede. Como a parede não irá
sofrer deslocamento e a colisão é elástica, a intensidade da velocidade da esfera não se altera após a
colisão.
Após o impacto com a parede, a esfera se desloca novamente em direção à barra, onde deverá atingi-la
em seu extremo inferior. A Fig.C representa este momento onde vamos considerar:
3: ponto em que a esfera atinge novamente a barra;
x: deslocamento sofrido pela barra devido à sua velocidade u, adquirida no primeiro choque com a esfera;
V’: velocidade da esfera antes de atingir novamente a barra.
Fig.D: representa todo o esquema, onde a trajetória da esfera é representada pelo tracejado.
ANÁLISE DA PRIMEIRA PERGUNTA.
> Conservação da quantidade de movimento na direção x:
M (eq.1)
Colisão no ponto 1 elástica:
e
Vx V cos
θ
(eq.2)
Multiplicando a eq.2 por M e subtraindo o resultado da eq.1, teremos:
M
(M
Substituindo V 'x na eq.2, teremos:
u
(M
u
(M
> Considerando como “t” o tempo total percorrido pela esfera, esta irá percorrer uma distância horizontal
total, após a primeira colisão, de 2D com uma velocidade horizontal igual a
2D
Analisando o movimento da barra: x
Dividindo as duas equações:
2D
x u
V 'x .
Como V 'x e u , teremos:
(M (M
2D
x u x 2m
x
M

4. u t u t
3m
Substituindo x em x :
4Dm
M

5. V cosθ
2m
m)
2m
u t
4Dm
V cos θ t
(M m)3m M 3m
m)2D(
3m)
VY t
Vsenθ
m)2D(
3m)
L
m) L 2D(M m) L
t
L
Vsenθ
2D(M
tgθ3m) 2 (M 3m) 2
3m)L(M
m)
L(M 3m)
θ arctg
m)4D(M
V 'x t '
(M m)V cosθ
m)
(M m) D (M m)
V ' t ' D
V cos
θ
t ' t 'x
m) V cos θ (M m)
t t '
m)2D(
3m)
(M m)D
(M m)
m) D (M m)
t t ' Δt
2D(M
(M 3m) V cos θ (M m)
m) D 2
1
M 3m M m
(M
Como u :
(M
4Dm
M
t
M
V cos θ(M
> Analisando o movimento na direção do eixo Y:
Δ
SY
M
Como VY , t
V
cosθ(M
e
Δ
SY , teremos:
2
VY
2 V cos θ(M
tgθ
4D(M
> RESPOSTA DA PRIMEIRA PERGUNTA “o intervalo de valores de θ para que ocorra uma segunda
colisão com a barra”:
0
ANÁLISE DA SEGUNDA PERGUNTA.
Considerando t’ o tempo gasto pela esfera entre as colisões no ponto 1 e no ponto 2: D
Como V 'x : D
(M (M
Considerando Δt o tempo gasto pela esfera entre as colisões no ponto 2 e no ponto 3: Δt
Como t
M
V
cosθ(M
e t'
V cosθ
: Δt
V cosθ
> RESPOSTA DA SEGUNTA PERGUNTA “o tempo decorrido entre esta (colisão no ponto 3) e a anterior na
parede (colisão no ponto2)”:
Δt
V cosθ
Resposta da questão 2:
Ao sair do 1º ressalto, ponto adotado como origem dos espaços, nenhum som é emitido. A figura mostra
as posições dos sucessivos ressaltos, separados pela distância d.
Entre os pontos A e B, ressaltos (n – 1)º e nº, respectivamente, o som ainda não é contínuo. Portanto, o

6. τ.
intervalo de tempo entre esses pontos é maior que o limiar de fusão τ :
Δ
tAB

7. τ.
τ Δ
tAB.
g sen θ
a
t
2
t
2 S
.
2 2 d
tA
Δ
tAB tB t A n 1 n 2 . eq
1 d2
tB
2 1 d
tB
Δ
tBC tC tB n n 1 . eq.
2
tC
2 n d 2 n d
n n 1 τ n 1 n 2 .
g sen θ g sen θ
Entre os pontos B e C, ressaltos nº e (n + 1)º, respectivamente, o som já é contínuo. Portanto, o intervalo
de tempo entre esses pontos é menor ou igual que o limiar de fusão τ :Δ
tBC
Assim:
Δ
tBC eq. I
Como o bloco desce o plano inclinado de θ livre de atritos, o movimento é uniformemente variado (MUV) e
a aceleração escalar é:
a . eq. II
Da função horária do espaço para o MUV:
S eq. III
2 a
Aplicando a equação (III) aos pontos A, B e C:
n
a 2 n d
n a
a
. IV
n
a 2 n d
V
n d a
a
Substituindo as equações (II), (IV) e (V) em (I):
Resposta da questão 3: [D]
Para simplificar a parte algébrica, façamos CD = L e AB = h
Assim:
h 3
h
3
L
A área (S) do hexágono é dada por: S =
L 10 10
3 3
L
2
. O volume da piscina é o produto da área do hexágono (S)
2
pela profundidade (h): V =
3 3
(L)
2
(h) V =
3 3
(L)
2
(
3
L) 450 =
9
L
3
L
3
= 1000 L = 10 m.
2 2 10 20

8. A figura abaixo mostra a trajetória AM seguida pelo atleta.
Como se trata de um hexágono, AD = 2(L) = 20 m e MD =
L
= 5 m.
2
A distância percorrida pelo atleta (d) pode ser calculada no triângulo destacado, usando a lei dos cossenos:
d
2
= 5
2
+ 20
2
– 2(5)(20)cos 60° d
2
= 25 + 400 – 100 = 325 d = 325 18,1 m.
Sendo, v = 1 m/s, temos: d = v t 18,1 = 1t t = 18,1 s.
Resposta da questão 4:
Do movimento uniforme: S = v t, sendo v é a velocidade da luz: v = c. Assim: X c t
Para a antena 1:
X – X1 = c(t – t1) X = X1 + c(t – t1) (equação I)
Para a antena 2:
X – X2 = -c(t = t2) X = X2 – c(t – t2) (equação II)
Somando essas duas equações (I + II), vem:
X X c(t t )
X + X = [X1 + c(t – t1)] + [ X2 – c(t – t2)] 2X = X1 + X2 + c(t – t1 – t + t2) X = 1 2 2 1
2
X =
X1
X2 c
t t .
2 2
2 1
Subtraindo essas equações (I – II), vem
X – X = [X1 + c(t – t1)] – [X2 – c(t – t2)]
0 = X1 – X2 + c(t – t1 + t – t2)
0 = X1 – X2 + 2ct + c(-t1 – t2).
Da figura dada: X1 = X2 – L. Então:
0 = X2 – L – X2 + 2ct – c(t1 + t2)
L + c(t1 + t2) = 2ct
t =
L t1
t2
2c 2
b) Para t1 = T e t2 = 2T, basta substituir esses valores nas equações encontradas para X e t. Então:
X =
X1
X2 c
t t . Sendo X = X + L, vem:
2 2
2 1 2 1
X =
X1 X1
L c
T 2T X =
2X1 L cT
2 2
X = X1 +
2 2
L cT
2
t =
L t1
t2
t =
L 2T T
2c 2
t
2c 2
L 3T
.
2c 2
Resposta da questão 5:
a) o tempo que os objetos levam para se encontrar é dado pela equação 2 T
2
/2 + 15 T = 100 cuja solução é
T = 5,0 s.

9. b) a posição em que ocorre o encontro é dada por: 2 5
2
/2 = 5
2
= 25 m.
c) o gráfico da posição versus tempo do movimento dos dois objetos é dado por:

10. b) a posição em que ocorre o encontro é dada por: 2 5
2
/2 = 5
2
= 25 m.
c) o gráfico da posição versus tempo do movimento dos dois objetos é dado por: