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Deformação por torção de um eixo circular
• Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo
longitudinal.
• Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo
permanecerão inalterados.
Torção
1
Cisalhamento por torção
• BD=ρ dφ = dx γ
• γ = ρ dφ/dx (dφ/dx = para todos os elementos na
seção transversal na posição x) então a
deformação por cisalhamento é proporcional a ρ
• Como dφ/dx = γ / ρ = γmax / c então: γ = (ρ / c) γmax
Torção
2
ߛ =
ߨ
2
− lim
஻,஼→஺
ߠ´
γ = (ρ / c) γmax
A fórmula da torção
• Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica τ=Gγ.
• Uma variação linear na deformação por cisalhamento γ resulta em uma
variação linear na tensão de cisalhamento ττττ correspondente, ao longo
de qualquer linha radial na seção transversal. Portanto, igual que no caso
da deformação por cisalhamento, τ variará de zero a τmax
J
T
J
Tc ρ
ττ == oumáx
= tensão de cisalhamento máxima no eixo
= deformação por cisalhamento à distância ρ
= torque interno resultante (método das seções!)
= momento polar de inércia da área da seção transversal
= raio externo do eixo
= distância intermediária
máxτ
τ
T
J
c
ρ 3
τ = (ρ / c) τ max
Para qualquer elemento de área dA localizado em ρ teremos uma força F = τ
dA. O torque produzido por F será dT = ρ τdA e para toda a seção teremos:
ܶ = න ߩ߬݀‫ܣ‬ = න ߩ
ߩ
ܿ
߬௠௔௫݀‫ܣ‬ =
߬௠௔௫
ܿ஺஺
න ߩଶ
݀‫ܣ‬
஺
• Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça, utilizamos um anel
diferencial de área de espessura dρ portanto dA = 2πρdρ e a integral (0 a c) fica:
• Se o eixo tiver uma seção transversal tubular,
4
2
cJ
π
=
( )44
2
io ccJ −=
π
4
Como calcular o J (momento polar de inércia)?
O eixo maciço de raio c é submetido a um torque T. Determine a fração de T à qual
resiste o material contido no interior da região externa do eixo, que tem raio interno
c/2 e raio externo c.
Solução:
( ) ( ) ( )ρπρτρρτρ dcdAdT 2' máx==
( ) máxτρτ c=
Para toda a área sombreada mais clara, o torque é
(1)
32
152
' 3
máx
2/
3máx
cd
c
T
c
c
τ
π
ρρ
πτ
== ∫
A tensão no eixo varia linearmente, tal que .
O torque no anel (área) localizado no interior da região
sombreada mais clara é
Exemplo 1
5Qual o valor de τmax em função do torque interno resultante T?
Usando a fórmula de torção para determinar a tensão máxima no eixo, temos
(Resposta)
16
15
' TT =
( )
3máx
4máx
2
2
c
T
c
Tc
J
Tc
π
τ
π
τ
=
==
Substituindo essa expressão na Equação 1,
6
O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão
de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a–a do eixo.
Exemplo 2
7
Solução:
Pelo diagrama de corpo livre do segmento
esquerdo determinamos o torque interno
resultante na seção:
( ) mm1097,475
2
74
×==
π
J
mmkN250.10000.3250.4;0 ⋅=⇒=−−=∑ TTMx
O momento polar de inércia para o eixo é
Visto que A se encontra em ρ = c = 75 mm, utilizando a fórmula da torção...
( )( ) (Resposta)MPa89,1
1097,4
75250.1
7
=
×
==
J
Tc
Aτ
Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos
( )( ) (Resposta)MPa377,0
1097,4
15250.1
7
=
×
==
J
Tc
Bτ
8
Transmissão de potência
• Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo.
• Para um eixo rotativo com torque, a potência é:
• Visto que , a equação para a potência é
• Se conhecemos o torque T e τadm, para o projeto do eixo, o parâmetro de
projeto ou parâmetro geométrico sai de:
dtdTP /éeixodoangularevelocidadaonde θωω ==
fπωπ 2rad2ciclo1 =⇒=
fTP π2=
admτ
T
c
J
=
9
Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual
está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de
cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo
com precisão de mm.
Exemplo 3
10
Solução:
O torque no eixo é
Nm6,204
60
2175
750.3 =⇒




 ×
=
=
TT
TP
π
ω
Assim, o parâmetro geométrico é:
( )( )
( )
mm92,10
100
000.16,20422
2
3/13/1
adm
adm
4
=





=





=
==
ππτ
τ
π
T
c
T
c
c
c
J
Visto que 2c = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro 22 mm.
11
Exercícios
1. O tubo da figura é submetido a um torque de 750 Nm. Determine a parcela
desse torque à qual a seção sombreada cinza resiste. Resolva o problema de duas
maneiras: (a) usando a fórmula da torção e (b) determinando a resultante da
distribuição da tensão de cisalhamento (5.4)
12
2. O eixo maciço de 30mm de diâmetro é usado para transmitir os torques
aplicados às engrenagens. Determine a tensão de cisalhamento máxima (em
valores absolutos) no eixo. (5.5)
13
3. O eixo maciço tem conicidade linear rA em uma extremidade e rB na outra
extremidade. Deduza uma equação que dê a tensão de cisalhamento máxima no
eixo em uma localização x ao longo da linha central do eixo. (5.30)
14
4. O projeto de um automóvel prevê que o eixo de transmissão AB será um tubo
com parede fina. O motor transmite 125 kW quando o eixo está girando a 1500
rev/min. Determine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro externo
for 62,5 mm. A tensão de cisalhamento admissível do material é τadm = 50 Mpa.
(5.33)
15
Ângulo de torção - φφφφ
• Integrando em todo o comprimento L do eixo, temos
• Por exemplo, se o material é homogêneo, com seção, T e G constantes....
• A convenção de sinal é determinada pela regra
da mão direita.
( )
( )∫=
L
GxJ
dxxT
0
φ
Φ = ângulo de torção
T(x) = torque interno
J(x) = momento polar de inércia do eixo
G = módulo de elasticidade ao cisalhamento
JG
TL
=φ
16
Para o disco diferencial de espessura dx localizado em x o torque em geral será T(x).
Sendo dφ o deslocamento relativo de uma face em relação à outra já sabemos que a
uma distância ρ do eixo teremos γ = ρ dφ/dx. Como τ =Gγ e como τ = Tρ/J teremos:
γ = T(x) ρ/J(x)G substituindo teremos: ݀߶ =
ܶ(‫)ݔ‬
‫ܬ‬ ‫ݔ‬ ‫ܩ‬
݀‫ݔ‬
Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das engrenagens.
Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o
torque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos
mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de
20 mm.
Exemplo 4
17
Solução:
Do diagrama de corpo livre, nas
engrenagens teremos uma F e
um T:
( ) ( ) Nm5,22075,0300
N30015,0/45
==
==
xDT
F
1. O ângulo de torção da engrenagem C é
( )( )
( )( ) ( )[ ] rad0269,0
1080001,02
5,15,22
94
+=
+
==
π
φ
JG
LT DC
C
Visto que as engrenagens na
extremidade estão relacionadas
(r⋅θ = cte),
( ) ( )( ) rad0134,0075,00269,015,0 ⇒=Bφ
18
Agora determinaremos o ângulo
de torção da extremidade A em
relação à extremidade B.
O ângulo na extremidade A em relação ao extremo B do eixo AB causada pelo
torque de 45 Nm,
( )( )
( )( ) ( )[ ] rad0716,0
1080010,02
245
94/ +=
+
==
π
φ
JG
LT ABAB
BA
A rotação total da extremidade A é portanto
(Resposta)rad0850,00716,00134,0/ +=+=+= BABA φφφ
19
O eixo cônico mostrado abaixo é feito de um material com módulo de cisalhamento
G. Determine o ângulo de torção de sua extremidade B quando submetido ao
torque T.
Exemplo 5
20
Solução:
Do diagrama de corpo livre, o torque interno é T e
o raio c(x) é:





 −
−=⇒
−
=
−
L
cc
xcc
x
cc
L
cc 12
2
212
Assim, em x teremos um J(x):
( )
4
12
2
2 










 −
−=
L
cc
xcxJ
π
O ângulo de torção será:
(Resposta)
3
22
3
2
3
1
2
121
2
2
0
4
12
2





 ++
=











 −
−
= ∫ cc
cccc
G
TL
L
cc
xc
dx
G
T L
ππ
φ
21
( )
( )∫=
L
GxJ
dxxT
0
φ
5. Um eixo é submetido a um torque T. Compare a efetividade da utilização do tubo
mostrado na figura com a de uma seção maciça de raio c. Para isso calcule o
aumento percentual na tensão de torção e no ângulo de torção por unidade de
comprimento para o tubo em comparação com o da seção maciça (5.45)
22
Exercícios
6. O eixo de aço A-36 de 20 mm de diâmetro é submetido aos torques mostrados.
Determine o ângulo de torção da extremidade B (5.51)
23
Exercícios
7. O eixo maciço de 60 mm de diâmetro de aço A-36 é submetido aos
carregamentos de torção distribuídos e concentrados mostrados na figura.
Determine o ângulo de torção na extremidade livre A devido a esses
carregamentos (5.62)
24
Exercícios
Elementos estaticamente indeterminados carregados com
torque
෍ ‫ܯ‬௫ = 0 ܶ − ܶ‫ܣ‬ − ܶ‫ܤ‬ = 0
‫݅݀݊݋ܥ‬çã‫)ݏ݁ݐ݊ܽ	݁ݑݍ	݈ܽݑ݃݅(	݈ܾ݁݀ܽ݀݅݅݅ݐܽ݌݉݋ܿ	݁݀	݋‬
O ângulo de torção da extremidade A em
relação à outra (B) deve ser = 0
φ‫ܤܣ‬ = 0
Portanto:
்ಲ௅ಲ಴
௃ீ
−
்ಳ௅ಳ಴
௃ீ
= 0
Como L = LAB+LBC obtemos:
ܶ‫ܣ‬ = ܶ
‫ܮ‬஻஼
‫ܮ‬
ܶ‫ܤ‬ = ܶ
‫ܮ‬஺஼
‫ܮ‬
O eixo maciço de aço mostrado na figura abaixo tem
diâmetro de 20 mm. Se for submetido aos dois torques,
determine as reações nos apoios fixos A e B.
Solução: Examinando o diagrama de corpo livre,
(1)0500800;0 =−−+−=∑ Abx TTM
Visto que as extremidades do eixo são fixas, .0/ =BAφ
Para as três regiões (método das seções), usando a
convenção de sinal (para fora + ver figura ao lado):
( ) ( )( ) ( )
(2)7502,08,1
0
3,05,15002,0
−=−
=+
+
+
−
BA
AAB
TT
JG
T
JG
T
JG
T
Resolvendo as equações 1 e 2, obtemos TA = –345 Nm e TB = 645 Nm.
Exemplo 6
26
Utilizando a relação para as 3 regiões:
JG
TL
=φ
8. O eixo de aço é composto por dois segmentos: AC, com diâmetro de 12 mm e
CB, com diâmetro de 25 mm. Se estiver preso em suas extremidades A e B e for
submetido a um torque de 750 Nm, determine a tensão de cisalhamento máxima
no eixo. Gaço = 75 Gpa (5.76)
27
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Aula 12 torção

  • 1. Deformação por torção de um eixo circular • Torque é um momento que tende a torcer um elemento em torno de seu eixo longitudinal. • Se o ângulo de rotação for pequeno, o comprimento e o raio do eixo permanecerão inalterados. Torção 1
  • 2. Cisalhamento por torção • BD=ρ dφ = dx γ • γ = ρ dφ/dx (dφ/dx = para todos os elementos na seção transversal na posição x) então a deformação por cisalhamento é proporcional a ρ • Como dφ/dx = γ / ρ = γmax / c então: γ = (ρ / c) γmax Torção 2 ߛ = ߨ 2 − lim ஻,஼→஺ ߠ´ γ = (ρ / c) γmax
  • 3. A fórmula da torção • Se o material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica τ=Gγ. • Uma variação linear na deformação por cisalhamento γ resulta em uma variação linear na tensão de cisalhamento ττττ correspondente, ao longo de qualquer linha radial na seção transversal. Portanto, igual que no caso da deformação por cisalhamento, τ variará de zero a τmax J T J Tc ρ ττ == oumáx = tensão de cisalhamento máxima no eixo = deformação por cisalhamento à distância ρ = torque interno resultante (método das seções!) = momento polar de inércia da área da seção transversal = raio externo do eixo = distância intermediária máxτ τ T J c ρ 3 τ = (ρ / c) τ max Para qualquer elemento de área dA localizado em ρ teremos uma força F = τ dA. O torque produzido por F será dT = ρ τdA e para toda a seção teremos: ܶ = න ߩ߬݀‫ܣ‬ = න ߩ ߩ ܿ ߬௠௔௫݀‫ܣ‬ = ߬௠௔௫ ܿ஺஺ න ߩଶ ݀‫ܣ‬ ஺
  • 4. • Se o eixo tiver uma seção transversal circular maciça, utilizamos um anel diferencial de área de espessura dρ portanto dA = 2πρdρ e a integral (0 a c) fica: • Se o eixo tiver uma seção transversal tubular, 4 2 cJ π = ( )44 2 io ccJ −= π 4 Como calcular o J (momento polar de inércia)?
  • 5. O eixo maciço de raio c é submetido a um torque T. Determine a fração de T à qual resiste o material contido no interior da região externa do eixo, que tem raio interno c/2 e raio externo c. Solução: ( ) ( ) ( )ρπρτρρτρ dcdAdT 2' máx== ( ) máxτρτ c= Para toda a área sombreada mais clara, o torque é (1) 32 152 ' 3 máx 2/ 3máx cd c T c c τ π ρρ πτ == ∫ A tensão no eixo varia linearmente, tal que . O torque no anel (área) localizado no interior da região sombreada mais clara é Exemplo 1 5Qual o valor de τmax em função do torque interno resultante T?
  • 6. Usando a fórmula de torção para determinar a tensão máxima no eixo, temos (Resposta) 16 15 ' TT = ( ) 3máx 4máx 2 2 c T c Tc J Tc π τ π τ = == Substituindo essa expressão na Equação 1, 6
  • 7. O eixo está apoiado em dois mancais e sujeito a três torques. Determine a tensão de cisalhamento desenvolvida nos pontos A e B localizados na seção a–a do eixo. Exemplo 2 7
  • 8. Solução: Pelo diagrama de corpo livre do segmento esquerdo determinamos o torque interno resultante na seção: ( ) mm1097,475 2 74 ×== π J mmkN250.10000.3250.4;0 ⋅=⇒=−−=∑ TTMx O momento polar de inércia para o eixo é Visto que A se encontra em ρ = c = 75 mm, utilizando a fórmula da torção... ( )( ) (Resposta)MPa89,1 1097,4 75250.1 7 = × == J Tc Aτ Da mesma forma, para B, em ρ =15 mm, temos ( )( ) (Resposta)MPa377,0 1097,4 15250.1 7 = × == J Tc Bτ 8
  • 9. Transmissão de potência • Potência é definida como o trabalho realizado por unidade de tempo. • Para um eixo rotativo com torque, a potência é: • Visto que , a equação para a potência é • Se conhecemos o torque T e τadm, para o projeto do eixo, o parâmetro de projeto ou parâmetro geométrico sai de: dtdTP /éeixodoangularevelocidadaonde θωω == fπωπ 2rad2ciclo1 =⇒= fTP π2= admτ T c J = 9
  • 10. Um eixo maciço de aço AB será usado para transmitir 3.750 W do motor M ao qual está acoplado. Se o eixo girar a ω = 175 rpm e o aço tiver uma tensão de cisalhamento admissível τadm = 100 MPa, determine o diâmetro exigido para o eixo com precisão de mm. Exemplo 3 10
  • 11. Solução: O torque no eixo é Nm6,204 60 2175 750.3 =⇒      × = = TT TP π ω Assim, o parâmetro geométrico é: ( )( ) ( ) mm92,10 100 000.16,20422 2 3/13/1 adm adm 4 =      =      = == ππτ τ π T c T c c c J Visto que 2c = 21,84 mm, selecione um eixo com diâmetro 22 mm. 11
  • 12. Exercícios 1. O tubo da figura é submetido a um torque de 750 Nm. Determine a parcela desse torque à qual a seção sombreada cinza resiste. Resolva o problema de duas maneiras: (a) usando a fórmula da torção e (b) determinando a resultante da distribuição da tensão de cisalhamento (5.4) 12
  • 13. 2. O eixo maciço de 30mm de diâmetro é usado para transmitir os torques aplicados às engrenagens. Determine a tensão de cisalhamento máxima (em valores absolutos) no eixo. (5.5) 13
  • 14. 3. O eixo maciço tem conicidade linear rA em uma extremidade e rB na outra extremidade. Deduza uma equação que dê a tensão de cisalhamento máxima no eixo em uma localização x ao longo da linha central do eixo. (5.30) 14
  • 15. 4. O projeto de um automóvel prevê que o eixo de transmissão AB será um tubo com parede fina. O motor transmite 125 kW quando o eixo está girando a 1500 rev/min. Determine a espessura mínima da parede do eixo se o diâmetro externo for 62,5 mm. A tensão de cisalhamento admissível do material é τadm = 50 Mpa. (5.33) 15
  • 16. Ângulo de torção - φφφφ • Integrando em todo o comprimento L do eixo, temos • Por exemplo, se o material é homogêneo, com seção, T e G constantes.... • A convenção de sinal é determinada pela regra da mão direita. ( ) ( )∫= L GxJ dxxT 0 φ Φ = ângulo de torção T(x) = torque interno J(x) = momento polar de inércia do eixo G = módulo de elasticidade ao cisalhamento JG TL =φ 16 Para o disco diferencial de espessura dx localizado em x o torque em geral será T(x). Sendo dφ o deslocamento relativo de uma face em relação à outra já sabemos que a uma distância ρ do eixo teremos γ = ρ dφ/dx. Como τ =Gγ e como τ = Tρ/J teremos: γ = T(x) ρ/J(x)G substituindo teremos: ݀߶ = ܶ(‫)ݔ‬ ‫ܬ‬ ‫ݔ‬ ‫ܩ‬ ݀‫ݔ‬
  • 17. Os dois eixos maciços de aço estão interligados por meio das engrenagens. Determine o ângulo de torção da extremidade A do eixo AB quando é aplicado o torque 45 Nm. Considere G = 80 GPa. O eixo AB é livre para girar dentro dos mancais E e F, enquanto o eixo DC é fixo em D. Cada eixo tem diâmetro de 20 mm. Exemplo 4 17
  • 18. Solução: Do diagrama de corpo livre, nas engrenagens teremos uma F e um T: ( ) ( ) Nm5,22075,0300 N30015,0/45 == == xDT F 1. O ângulo de torção da engrenagem C é ( )( ) ( )( ) ( )[ ] rad0269,0 1080001,02 5,15,22 94 += + == π φ JG LT DC C Visto que as engrenagens na extremidade estão relacionadas (r⋅θ = cte), ( ) ( )( ) rad0134,0075,00269,015,0 ⇒=Bφ 18 Agora determinaremos o ângulo de torção da extremidade A em relação à extremidade B.
  • 19. O ângulo na extremidade A em relação ao extremo B do eixo AB causada pelo torque de 45 Nm, ( )( ) ( )( ) ( )[ ] rad0716,0 1080010,02 245 94/ += + == π φ JG LT ABAB BA A rotação total da extremidade A é portanto (Resposta)rad0850,00716,00134,0/ +=+=+= BABA φφφ 19
  • 20. O eixo cônico mostrado abaixo é feito de um material com módulo de cisalhamento G. Determine o ângulo de torção de sua extremidade B quando submetido ao torque T. Exemplo 5 20
  • 21. Solução: Do diagrama de corpo livre, o torque interno é T e o raio c(x) é:       − −=⇒ − = − L cc xcc x cc L cc 12 2 212 Assim, em x teremos um J(x): ( ) 4 12 2 2             − −= L cc xcxJ π O ângulo de torção será: (Resposta) 3 22 3 2 3 1 2 121 2 2 0 4 12 2       ++ =             − − = ∫ cc cccc G TL L cc xc dx G T L ππ φ 21 ( ) ( )∫= L GxJ dxxT 0 φ
  • 22. 5. Um eixo é submetido a um torque T. Compare a efetividade da utilização do tubo mostrado na figura com a de uma seção maciça de raio c. Para isso calcule o aumento percentual na tensão de torção e no ângulo de torção por unidade de comprimento para o tubo em comparação com o da seção maciça (5.45) 22 Exercícios
  • 23. 6. O eixo de aço A-36 de 20 mm de diâmetro é submetido aos torques mostrados. Determine o ângulo de torção da extremidade B (5.51) 23 Exercícios
  • 24. 7. O eixo maciço de 60 mm de diâmetro de aço A-36 é submetido aos carregamentos de torção distribuídos e concentrados mostrados na figura. Determine o ângulo de torção na extremidade livre A devido a esses carregamentos (5.62) 24 Exercícios
  • 25. Elementos estaticamente indeterminados carregados com torque ෍ ‫ܯ‬௫ = 0 ܶ − ܶ‫ܣ‬ − ܶ‫ܤ‬ = 0 ‫݅݀݊݋ܥ‬çã‫)ݏ݁ݐ݊ܽ ݁ݑݍ ݈ܽݑ݃݅( ݈ܾ݁݀ܽ݀݅݅݅ݐܽ݌݉݋ܿ ݁݀ ݋‬ O ângulo de torção da extremidade A em relação à outra (B) deve ser = 0 φ‫ܤܣ‬ = 0 Portanto: ்ಲ௅ಲ಴ ௃ீ − ்ಳ௅ಳ಴ ௃ீ = 0 Como L = LAB+LBC obtemos: ܶ‫ܣ‬ = ܶ ‫ܮ‬஻஼ ‫ܮ‬ ܶ‫ܤ‬ = ܶ ‫ܮ‬஺஼ ‫ܮ‬
  • 26. O eixo maciço de aço mostrado na figura abaixo tem diâmetro de 20 mm. Se for submetido aos dois torques, determine as reações nos apoios fixos A e B. Solução: Examinando o diagrama de corpo livre, (1)0500800;0 =−−+−=∑ Abx TTM Visto que as extremidades do eixo são fixas, .0/ =BAφ Para as três regiões (método das seções), usando a convenção de sinal (para fora + ver figura ao lado): ( ) ( )( ) ( ) (2)7502,08,1 0 3,05,15002,0 −=− =+ + + − BA AAB TT JG T JG T JG T Resolvendo as equações 1 e 2, obtemos TA = –345 Nm e TB = 645 Nm. Exemplo 6 26 Utilizando a relação para as 3 regiões: JG TL =φ
  • 27. 8. O eixo de aço é composto por dois segmentos: AC, com diâmetro de 12 mm e CB, com diâmetro de 25 mm. Se estiver preso em suas extremidades A e B e for submetido a um torque de 750 Nm, determine a tensão de cisalhamento máxima no eixo. Gaço = 75 Gpa (5.76) 27 Exercícios