Mecânica dos Sólidos - Unidade 01

Mecânica dos Sólidos I – MAC-005
Unidade 01
Luis Paulo S. Barra
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora
v. 14.09
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.09 1 / 46

Livro Texto
Livro texto:
I Introduction to Continuum Mechanics
I W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl

Programa
1 Notaç ão Indicial
2 Revisaõ de Ca´lculo e A´ lgebra Linear para Mecaˆnica dos So´lidos

Programa
1 Notac¸ ˜ao Indicial

Notaç ão indicial
Eixos Coordenados
Os eixos coordenados x; y e z, sao representados respectivamente por x1 ,x2 e x3 e tem
como unitários e1,e2 e e3

Eixos Coordenados
Regra da Soma, ´Indices Mudos
A soma
s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =
Xn
i=1
aixi

Eixos Coordenados
A soma
s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =
Xn
i=1
aixi
´e representada por
s = aixi = amxm
onde i ´e conhecido como ´ındice mudo.

Eixos Coordenados
A soma
s = a1x1 + a2x2 + a3x3 + +anxn =
Xn
i=1
aixi
é representada por
s = aixi = amxm
onde i é conhecido como ´ındice mudo.
Em problemas tridimensionais é assumido n = 3.
Um vetor n pode ser representado como:
n = niei

´Indices Mudos (cont.)
Somat´orios duplos:
aijxixj =
X3
i=1
X3
j=1
aijxixj
= a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3
a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3
a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3

Índices Mudos (cont.)
Somatórios duplos:
aijxixj =
X3
i=1
X3
j=1
aijxixj
= a11x1x1 + a12x1x2 + a13x1x3
a21x2x1 + a22x2x2 + a23x2x3
a31x3x1 + a32x3x2 + a33x3x3
O somatório:
X3
i=1
aibixi
deve manter o s´ımbolo de somatório, uma vez que:
o produto aibixi não é definido nesta notaç ão.

Índices Livres
Considere o sistema de equaç ões:
b1 = a11x1 + a12x2 + a13x3
b2 = a21x1 + a22x2 + a23x3
b3 = a31x1 + a32x2 + a33x3
Usando a regra da soma, podem ser escritas como:
b1 = a1mxm
b2 = a2mxm
b3 = a3mxm

Índices Livres
Podem ser ainda mais compactadas:
bi = aimxm; i = 1; 2; 3
Na notaç ão indicial são escritas simplesmente como:
bi = aimxm
Um ´ındice livre aparece uma vez em cada termo de uma expressão.
As expressões abaixo não são definidas:
ai = bj
Tij = Tik

Delta de Kronecker
O delta de Kronecker, denotado por ij, ´e definido por
ij =
(
1 se i = j
0 se i , j
ou seja
11 = 22 = 33 = 1
12 = 13 = 21 = 23 = 31 = 31 = 0
Ainda observamos que:
ii = 1 + 1 + 1 = 3
1mam = 11a1 + 12a2 + 13a3
imTmj = Tij

S´ımbolo de Permutaç ão
O s´ımbolo de permutaç ão, denotado por ijk, é definido por ijk =
8:
+1
1
0
9=;
se i; j; k
8:
formam um permutaç ão par
formam um permutaç ão ´ımpar
não formam permutaç ão
9=;
de 1, 2, 3, ou seja
123 = 231 = 312 = 1
132 = 321 = 213 = 1
111 = 112 = = 333 = 0
Observe que
ei ej = ijkek

123 = 231 = 312 = 1
132 = 321 = 213 = 1
111 = 112 = = 333 = 0
ei ej = ijkek

Programa
Tensor: uma Transformaç ão Linear
Transposta de um Tensor
Produto Diádico e Traço de um Tensor
Tensor Identidade e Tensor Inverso
Tensor Ortogonal
Tensores Simétricos e Antissimétricos
Vetor Dual de um Tensor Antissimétrico
Autovalores e Autovetores
Valores Principais, Direç ões Principais e Invariantes Escalares
Derivada da Funç ão Tensorial de um Escalar
Gradiente de Campo Escalar
Gradiente de Campo Vetorial
Divergência de um Campo Vetorial
Divergência de um Campo Tensorial

Transformaç ão Linear
Seja T uma transformaç ão que transfoma um vetor em outro vetor. Se T transforma
a em b e c em d
Ta = b
Tc = d
Se T tem as seguintes propriedades de linearidade
T(a+b) = Ta + Tb
T(a) = (Ta)
onde a e b são vetores arbitrários e é um escalar, então T é chamado de
transformaç ão linear ou tensor de segunda ordem ou simplesmente tensora b.
Em particular:
T(a +

Tb
aUm tensor de ordem n em um espaço com três dimensões possui 3n componentes. Um
tensor de ordem 2 possui nove componentes. Um vetor e um escalar são casos particulares de
tensores, respectivamente de ordem um e zero.
bMais sobre tensores: http://goo.gl/EW0KwM e também http://goo.gl/XQ3lwa

As componente sde um vetor dependem da base usada para descrever seus
componentes. o mesmo vale para tensores.
Te1 = T11e1 + T21e2 + T31e3
Te2 = T12e1 + T22e2 + T32e3
Te3 = T13e1 + T23e2 + T33e3
ou
Tei = Tjiej
As componentes podem ser arranjadas em uma matriz da forma
[T] =
2666666664
T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33
3777777775

Tamb´em, considerando que e1 e2 = e1 e3 = e2 e3 = 0, pode ser verificado que
T11 = e1 Te1 T21 = e2 Te1 T31 = e3 Te1
T21 = e2 Te1 T22 = e2 Te2 T23 = e2 Te3
T31 = e3 Te1 T32 = e3 Te2 T33 = e3 Te3
ou
Tij = ei Tej
Basta verificar que
e1 Te1 = e1 (T11e1 + T21e2 + T31e3)
e1 Te2 = e1 (T12e1 + T22e2 + T32e3)
:::
:::
:::
e3 Te3 = e3 (T13e1 + T23e2 + T33e3)

Se houver uma mudança para a base fe0i
g
T0
ij = e0i
Te0j
Dependência entre componentes e a base
Os tensores e vetores são independentes do sistema de coordenadas, mas suas
componentes são dependentes do sistema usado.

Em termos matriciais, consideranndo
a = aiei
a transformac¸ ˜ao Ta = b fica
2666666664
b1
b2
b3
3777777775
=
2666666664
T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33
3777777775
2666666664
a1
a2
a3
3777777775
ou
[b] = [T][a ]
o que indicialmente fica
bm = aiTmi = Tmiai

Programa
Tensor Ortogonal

A transposta de um tensor T, denotada por TT , é definido como o tensor que satisfaz a
seguinte identidade para quaisquer a e b
a Tb = b TTa
Da definiç ão anterior, com a = ei e b = ej, e também Tij = ei Tej
ei Tej = ej TTei
lembrando que
[T] =
2666666664
T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33
3777777775
e TT =
2666666664
T11 T21 T31
T12 T22 T32
T13 T23 T33
3777777775
temos portanto
Tji = TT
ij ou [T]T = [TT ]

Programa
Tensor Ortogonal

Produto Diádico de dois Vetores
Produto Diádico de dois Vetores
O produto diádico ab de dois vetores a e b, denotado por ab, é definido pela
tranformaç ão que tranforma c segundo a regra
(ab)c = a(b c)
O produto diádico ab é uma transformaç ão linear.
SejaW = ab, então em termos de componentes
Wij = ei Wej = ei (ab)ej = ei a(b ej) = aibj
ou seja
Wij = aibj
ou
[W] =
2666666664
a1b1 a1b2 a1b3
a2b1 a2b2 a2b3
a3b1 a3b2 a3b3
3777777775
=
2666666664
a1
a2
a3
3777777775
h
b1 b2 b3
i

Traço de um Tensor
Definiç ão:
trab = a b
E satisfaz a condiç ão de linearidade:
tr(ab +

trcd
Al´em disso:
trT = tr(Tijeiej) = Tijtr(eiej) = Tijei ej = Tijij = Tii
Isto ´e:
trT = T11 + T22 + T33 (soma dos termos da diagonal)
Logo:
trT = trTT

Programa
Tensor Ortogonal

Tensor Identidade
Definiç ão:
Ia = a
Em particular:
Ie1 = e1
Ie2 = e2
Ie3 = e3
Componentes:
Iij = ei Iej = ei ej = ij
Isto é:
[I] =
2666666664
1 0 0
0 1 0
0 0 1
3777777775

Tensor Inverso
Se existe S tal que
ST = I
então S é o inverso de T, representado por S = T1.
Potência de ordem zero é o tensor identidade:
T1T = T1+1 = T0 = I
Componentes da inversa determinados pela inversão da matriz [T] de T.
Logo:
T1T = TT1 = I
Com isso,
9 T1 , det [T] , 0
e pode-se provar que:
TT
1
=

T1
T
(ST)1 =

T1S1


Tensor Inverso
Se n˜ao existe T1 :
Exemplo: T = ab

Programa
Tensor Ortogonal

Tensor Ortogonal
Tensor Ortogonal
Um tensor ortogonal, Q é uma transformaç ão que preserva os comprimentos e os
ângulos dos vetores, isto é, preserva o produto escalar:
Qa Qb = a b
Logo, da definiç ão de transposta, onde a Tb = b TTa, temos:
Qa Qb = b QT (Qa) = b

QTQ

a
Da definiç ão:
b

QTQ

a = a b = b a = b Ia
Portanto QTQ = I, o que significa que:
QT = Q1 =) QTQ = QQT = I
Em notaç ão indicial:
QimQjm = QmiQmj = ij

Programa
Tensor Ortogonal

Um tensor é dito simétrico se T = TT . Logo
Tij = Tji ) T12 = T21; T23 = T32; T13 = T31
Um tensor é dito antissimétrico se T = TT . Então
Tij = Tji
Com isso, temos
T11 = T22 = T33 = 0; T12 = T21; T23 = T32; T13 = T31
Qualquer tensor T pode ser decomposto unicamente na soma de um tensor simétrico
TS e um tensor antissimétrico TA
T = TS + TA
onde
TS =
T + TT
2
; TA =
T TT
2

Programa
Tensor Ortogonal

Os elementos de um tensor antissimétrico Wsão sempre nulos, e dos seis elementos
fora da diagonal somente três são independentes, pois
W12 = W21; W23 = W32; W13 = W31
Logo,Wpode ser representado por somente três componentes. Além disso, ele se
comporta como um vetor.
Especificamente,
Vetor dual
Para cada tensor antissimétricoWexiste um vetor correspodente tA, tal que para cada
vetor a, a aplicaç ão de Wem a, Wa, pode ser obtid a pelo produto vetorial
Wa = tA a

Podemos verificar que
W12 = e1 We2 = e1 tA e2 = tA e2 e1 = tA e3 = tA
3
2
1
o que resulta em
W21 = tA
3 ; W23 = tA
1 ; W13 = tA
2 ; W11 = W22 = W33 = 0
Usando a representac¸ ˜ao matricial do tensor
[W] =
2666666664
0 W12 W13
W21 0 W23
W31 W32 0
3777777775
=
2666666664
0 W21 W31
W21 0 W32
W31 W32 0
3777777775
=
2666666664
0 tA
3 tA
2
tA
3 0 tA
1
tA
2 tA
1 0
3777777775
7!
2666666664
tA
1
tA
2
tA
3
3777777775

Assim
[W] =
2666666664
0 W12 W13
W21 0 W23
W31 W32 0
3777777775
=
2666666664
0 W21 W31
W21 0 W32
W31 W32 0
3777777775
=
2666666664
3 tA
2
0 tA
tA
3 0 tA
1
tA
2 tA
1 0
3777777775
7!
2666666664
tA
1
tA
2
tA
3
3777777775
que pode ser escrito como
tA = (W23e1 + W31e2 + W12e3) = W32e1 + W13e2 + W21e3
ou em notaç ão indicial
2tA = ijkWjkei
O vetor dual possui vários usos:
Permite determinar facilmente o eixo de rotaç ão de um tensor de rotaç ão finita.
Em realidade, o eixo de rotaç ão é paralelo ao vetor dual da parte antissimétrica
do tensor de rotaç ão.
Permite determinar os ângulos infinitesimais de rotaç ão de elementos materiais
que sogrem uma deformaç ão infinitesimal.
Permite obter a velocidade angular de elementos materiais em um movimento.

Programa
Tensor Ortogonal

Considere um tensor T. Se a é um vetor que é transformado por T em um vetor
paralelo a ele mesmo, ou seja
Ta = a
então é autovalor e a é autovetor de T.
Indeterminaç ão do módulo:
T(a) = Ta
= a
= (a)
Seja n é um autovetor unitário:
Tn = n = In
Logo:
(T I) n = 0

Soluç ão não trivial:
jT Ij = 0
Explicitando a expressão anterior:

T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33

= 0

Autovalores de Tensores Simétricos
Seja o autovalor complexo de um tensor real simétrico T . Logo: [T] fng = fng
E tomando os complexos cojugados de ambos os membros:
[T] f ¯ng = ¯
f ¯ng
Pode-se então escrever:
f ¯
n¯gT [T] fng = f n¯gT fng
fngT [T] f n¯g = fngT f n¯g
Uma vez que T é simétrico: fngT [T] f ¯ng = f ¯ngT [T] fng
Logo:
( ¯) f ¯ngT fng = 0
Uma vez que n é não nulo, = ¯
. Portanto:
Os autovalores de um tensor simétrico são reais.

Programa
Tensor Ortogonal

Valores e Direç ões Principais
Sejam n1 e n2 dois autovetores correspondendo a dois autovalores distintos 1 e 2 de
um tensor simétrico T:
Tn1 = 1n1
Tn2 = 2n2
Logo:
1n1 n2 = n2 Tn1
2n2 n1 = n1 Tn2
= n2 TTn1
= n2 Tn1 (pela simetria.)
Subtraindo membro a membro:
(1 2) (n1 n2) = 0

1 , 2 , 3
Se 1 , 2 ent˜ao: (n1 n2) = 0 ! n1?n2 .
1 = 2 = , 3
Se n1 , n2 com 1 = 2 = , ent˜ao:
T(n1 +

n2)

1 = 2 = , 3
Isto ´e n1 +

n2 (um vetor qualquer
do plano) também é autovetor de
T. Logo pode-se escolher n1?n2.
1 = 2 = 3 =
Se 1 = 2 = 3 = qualquer vetor vetor é autovetor.

n2 (um vetor qualquer
do plano) também é autovetor de
T. Logo pode-se escolher n1?n2.
1 = 2 = 3 =
Se 1 = 2 = 3 = qualquer vetor vetor é autovetor.
Conclusão
Para um tensor real e simétrico é sempre poss´ıvel determinar três direç ões principais
mutuamente ortogonais.

[T] em relaç ão às Direç ões Principais
Usando os autovetores n1, n2 e n3 como base do sistema de coordenadas:
T11 = n1 Tn1 = n1 (1n1) = 1
T22 = n2 Tn2 = n2 (2n2) = 2
T33 = n3 Tn3 = n3 (3n3) = 3

Usando os autovetores n1, n2 e n3 como base do sistema de coordenadas:
T11 = n1 Tn1 = n1 (1n1) = 1
T22 = n2 Tn2 = n2 (2n2) = 2
T33 = n3 Tn3 = n3 (3n3) = 3
T12 = n1 Tn2 = n1 (2n2) = 0
T13 = n1 Tn3 = n1 (3n3) = 0
T23 = n2 Tn3 = n2 (3n3) = 0
Logo:
[T]n1;n2;n3 =
2666666664
1 0 0
0 2 0
0 0 3
3777777775

Valores Extremos dos Coeficientes da Diagonal
Seja um vetor unit´ario e0
1 = n1 +

n2 +
n3
Logo:
T0
11 = e0
1 Te0
1 =

;

;

2666666664
1 0 0
0 2 0
0 0 3
3777777775
2666666664

2 + 3
2
Logo: T0
Seja 1 2 3, notando que 2 +

2 + 3
2
Logo: 1 T0
11

Invariantes Escalares
Equac¸ ˜ao caracter´ıstica:
3 I12 + I2 I3 = 0
onde:
I1 = T11 + T22 + T33
I2 =

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