O documento discute vários métodos de discretização que podem ser aplicados a funções de transferência analógicas. São apresentados métodos como a transformada Z, função de transferência pulsada com seguidores, método das diferenças, transformação bilinear e transformação bilinear com pré-distorção de frequência. O documento explica as propriedades e aplicações de cada método de discretização.

1. F6D370 - CONTROLE E SERVOMECAMISMOS II
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2. ME TODOS DE DISCRETIZAÃAO
Existem muitos me todos de discretizaãao que podem ser aplicados a
funão es de transferˆncia analágicas. Um dos me todos de discretizaãao e a jü
conhecida aplicaãao da transformada Z a funãao analágica discretizada. Porem
este me todo de discretizaãao nem sempre leva em conta particularidades do
processo de discretizaãao. Por outro lado, alguns me todos apresentam um custo
computacional menor, permitido algoritmos menores, mais simples e rü pidos.
Sao apresentados os seguintes me todos de discretizaãao:
• Transfomada Z do sinal discretizado.
• Funãao de Transferˆ ncia pulsada e seguidores
• Me todo das diferenãas
• Transformaãao bilinear
• Transformaãao bilinear e com pre -distorãao de frequ ˆ ncia
A seleãao adequada apropriada do me todo de discretizaãao deve levar em
conta o que se espera do algoritmo de controle discretizado em comparaãao
com o desempenho do sistema analágico. Algumas propriedades mais utilizadas
sao:
• NÉmero de pálos e zeros.
• A largura de banda e a frequ ˆ ncia de corte.
• O ganho DC.
• A margem de fase e margem de ganho.
• A resposta temporal.
E possıvel que alguma destas propriedades nao sejam preservadas
durante o processo de discretizaãao. A escolha de um me todo de discretizaãao
tambe m estü relacionada com a facilidade de implementaãao computacional.

2. 1
F7D440 - CONTROLE E SERVOMECAMISMOS II
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2.1 Transformada z do sinal discretizado
Dado um sistema contınuo, define-se a transformada z do sinal
discretizado como:
Propriedades:
• H(z) tem a mesma resposta ao impulso que H(s)
• Se H(z) e estü vel, H(z) tambe m o serü .
• H(z) nao preserva a resposta em frequ ˆncia (alising). E vü lido se nao for
observado o teorema da amostragem de Niquist. Ou seja pode ser
resolvido se a frequ ˆ ncia de amostragem for aumentada.
• Se H(s) e uma funãao complicada e nao tabulada, serü necessü rio utilizar
expansao em fraão es parciais para encontrar a funãao discretizada final.
• Nao considera os elementos introduzidos no sistema durante o processo
de discretizaãao.
2.2 Transformada z da funã a o de transferencia pulsada com
seguradores
Uns dos elementos introduzidos em um sistema discreto ao discretizar um
sistema analágico sao os seguradores. E interessante definir um segurador de
ordem zero. Pode-se considerar um sistema de controle digital, parciamente
representado na figura 2.1. E inevitü vel a existˆncia de um bloco que converta
F(z) = Z[{fk k
k
k
f z}]= −
=
∞
∑
∆
0

3. 2
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sinais discretos em sinais contınuos (conversor D/A). Entre um conversao e
outra, o sinal de entrada e segurado na saıda do bloco. Esta operaãao de
memorizaãao da ultima amostra ate uma nova entrada introduz um novo termo
na funãao discreta resultante do sistema.
t
PLANTA
Contınua
G(s)
ConversorA/D
ConversorD/A
Sequ enciaImpulso
k
1
uk
Funcao Resultante
T
1
ut
FIGURA 2.1 - Representaãao parcial de um sistema de controle discreto onde e
enfatizado a operaãao de um segurador.
Em funãao da figura pode-se escrever:
U s
s
e
s
sT
( ) = −
−
1
, ou seja, Y s
e
s
G s
sT
( ) ( )=
− −
1
,
onde a funãao
1− −
e
s
sT
e conhecida como segurador de ordem zero.

4. 3
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Para um segurador de ordem zero (ZOH)
D z Z
e
s
D s
sT
( ) ( )=
−





−∆ 1
ou ainda,
Propriedades:
• Se D(s) e estü vel, D(z) tambe m o serü .
• Se D(s) e nao tabulada, serü necessü rio utilizar expansao em fraão es
parciais.
• D(z) nao preserva a resposta ao impulso e a resposta em frequ ˆ ncia.
2.3 TRANSFORMAÃ A O BILINEAR , DE TUSTIN OU TRAPEZOIDAL
Considerando-se o sistema
U s
E s
H s
a
s a
( )
( )
( )= =
+
e sua equaãao diferencial
associada:
du(t
d t
au(t ae(t
)
( )
) )+ = , pode-se resolver a equaãao diferencial pela
integral:
[ ]u t au ae d
t
( ) ( ) ( )= − +∫ τ τ τ
0
, relaãao esta que pode ser discretizada:
D z z Z
D s
s
( ) ( )
( )
= −




−
∆
1 1

5. 4
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[ ] [ ]u kT) au ae d au ae d
kT T
kT T
kT
( ( ) ( ) ( ) ( )= − + + − + ∴
−
−∫ ∫τ τ τ τ τ τ
0
[ ]u kT) u kT T) au ae d
kT T
kT
( ( ( ) ( )= − + − +
−∫ τ τ τ .
Segundo a prápria definiãao de integral a integral [ ]− +
−∫ au ae d
kT T
kT
( ) ( )τ τ τ
e dada pela ü rea de − +au ae( ) ( )τ τ para (kT T) kT− < <τ .
Se esta ü rea e aproximada por um ret–ngulo tem-se uma aproximaãao
pelo me todo das diferenãas Backward ou Forward, discutidas posteriormente. A
figura 2.2 representa esta aproximaãao.
kTkT-T
Backward
kTkT-T
A rea:
T[-au[kT-T]+ae[kT-T]]
A rea:
T[-au[kT]+ae[kT]]
Forward
FIGURA 2.2 - Representaãao da aproximaãao da ü rea sob a curva entre duas
amostras consecutivas, segundo o me todo das diferenãas.
Se a aproximaãao for segundo um trape zio, tem-se a aproximaãao
trapezoidal, representada graficamente na figura 2.3.

6. 5
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Trapezoidal
kTkT-T
A rea:
T[-au[kT-T]+ae[kT-T] -au[kT]+ae[kT]]/2
FIGURA 2.3 - Representaãao da aproximaãao da ü rea sob a curva entre duas
amostras consecutivas, segundo o me todo bilinear, de Tustin ou trapezoidal.
Da figura 2.3 pode-se representar ainda:
[ ]u kT
aT
aT
u kT T
aT
aT
e kT T e kT[ ]
( /
( /
[ ]
( /
( /
[ ] [ ]=
−
+
− +
+
− +
1 2)
1 2)
2)
1 2) ,
de onde, pode-se obter a seguinte relaãao: H z
a
T
z
z
a
( ) =
−
+





 +
2 1
1
, ou seja:
Propriedades:
• E fü cil aplicar, uma vez que trata-se de simples substituiãao de variü veis.
• Se D(s) e estü vel, D(z) tambe m o e .




+
−
=
=
∆
1
12
)()(
z
z
T
s
sDzD

7. 6
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• Nao preserva a resposta ao impulso e a resposta em frequ ˆncia de D(s).
A figura 2.4 apresenta o mapeamento realizado por este me todo de
discretizaãao sobre o plano z.
σ2
jw
3
1 1
2
3
Im
Re
Plano s Plano z
TS
Ts
z
−
+
=
2
2
)1(
)1(2
+
−
=
zT
z
s
FIGURA 2.4 - Mapeamento do me todo de discretizaãao bilinear sobre o plano Z.
2.4 M´todo das diferenã as - backward diference
Dado D s
U s
E s
( )
( )
( )
= , os termos em s (ou derivativos
d
dt





 ) serao
considerados como:
dy t
dt
y k y k
t
y kT y kT T
T
( ) [ ] [ ] [ ] [ ]
=
− −
=
− −1
∆
Aplicando-se a transformada Z:
Y z z Y z
T
z
T
Y z
( ) ( )
( )
−
=
−





− −1 1
1

8. 7
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Logo, tem-se a relaãao:
Propriedades:
• E fü cil aplicar, uma vez que trata-se de simples substituiãao de variü veis.
• Se D(s) e estü vel, D(z) tambe m o e .
• Nao preserva a resposta ao impulso e a resposta em frequ ˆncia de D(s).
•
dy t
dt
y k y k
T
( ) [ ] [ ]
=
− −1
dy t
dt
y k y k y k
T
2
2 2
2 1 2]( ) [ ] [ ] [
=
− − + −
dy t
dt
y k y k y k y k
T
3
3 3
3 1 3 2] 3( ) [ ] [ ] [ [ ]
=
− − + − − −
A figura 2.5 apresenta o mapeamento realizado por este me todo de
discretizaãao sobre o plano z.
D z D s
s
z
T
( ) ( )=
=
−





−
∆
1 1

9. 8
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σ2
jw
3
1
1
2
3
Im
Re
s
z
T
=
− −
1 1
z
sT
=
−
1
1
Plano s Plano z
FIGURA 2.5 - Mapeamento do me todo de discretizaãao das diferenãas
backward.
2.5 M´todo das diferenã as - forwards diference
Dado D s
U s
E s
( )
( )
( )
= , os termos em s (ou derivativos
d
dt





 ) serao considerados
como:
dy t
dt
y k y k
t
y kT T] y kT]
T
( ) [ ] [ ] [ [
=
+ −
=
+ −1
∆
Aplicando a transformada Z:
Y z z Y z
T
z
T
Y z
( ) ( )
( )
−
=
−



1
Logo, tem-se a relaãao:
D z D s
s
z
T
( ) ( )=
=
−



∆
1

10. 9
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Propriedades:
• E fü cil aplicar, uma vez que trata-se de simples substituiãao de variü veis.
• Se D(s) e estü vel, D(z) nao o e necessariamente. Este me todo tende a gerar
instabilidade.
• Nao preserva a resposta ao impulso e a resposta em frequ ˆncia de D(s).
A figura 2.6 apresenta o mapeamento realizado por este me todo de
discretizaãao sobre o plano z.
σ2
jw
3
1
1
2
3
Im
Re
s
z
T
=
−1
z Ts= +1
FIGURA 2.6 - Mapeamento do me todo de discretizaãao das diferenãas forward.

11. 10
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2.6 DISTORÃ A O EM FREQUE NCIA NA TRANSFORMAÃ A O BILINEAR
O me todo de Tustin introduz uma distorãao em frequ ˆncia. Pode-se
apresentar esta distorãao pelo exemplo de discretizaãao do filtro H s
a
s a
( ) =
+ .
Para obter a resposta em frequ ˆncia faz-se s=jw.
H jw
a
a jw
a ajw
a w
( ) =
+
=
−
+
2
2 2 , cujo mádulo e dado por:
H jw
a
a w
a
a w
( ) =
+
=
+
2
2 2 2 2 , para um valor particular de frequ ˆncia w
=a, tem-se:
H jw( ) ==
1
2
Discretizando o filtro pela transformaãao bilinear:
H z
a
T
z
z
a
( )
( )
( )
=
−
+
+
2 1
1
, fazendo-se z = ejwT
:
H e
a
T
e
e
a
a
T
e
e
a
jwT
jwT
jwT
jwT
jwT
( )
( )
( )
( )
( )
=
−
+
+
=
−
+
+
2 1
1
2 1
1
H e
T
jtg
wT
a
jwT
( ) =
+
2
2
2
, que em mádulo e :

12. 11
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H e
a
T
tg
wT
a
jwT
( ) =
+
4
22
2 2
, que para o mesmo valor de mádulo obtido no
filtro contınuo:
H e
a
T
tg
wT
a
w
T
arctg
aTjwT
( ) =
+
= ⇒ =
4
2
1
2
2
2
2
2 2
, que e um valor
diferente da frequ ˆncia para obtenãao do mesmo valor de mádulo. Pode-se
ainda relacionar:
s
T
z
z
=
−
+
−
−
2 1
1
1
1
( )
( )
, fazendo-se s= jw'
e z = ejwT
:
jw
T
e
e
jwT
jwT′ =
−
+
−
−
2 1
1
( )
( ) , de onde obtem-se que : ′ =w
T
tg
wT2
2
.
A relaãao entre w' e w pode ser visualizada na figura 2.7. Pode-se concluir
que a resposta em frequ ˆncia e distorcida, sendo que esta distorãao e menor
para baixos valores de w. Na prü tica para wT/2<17° ⇒ w' ≈ w.
A transformaãao bilinear comprime a frequ ˆ ncia contınua 0< w' <∞ em
uma faixa digital limitada a 0<wT<π.
FIGURA 2.7 à Representaãao da distorãao em frequ ˆ ncia observada na
discretizaãao pela trasformaãao bilinear.

13. 12
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A figura 2.8 apresenta a comparaãao da resposta frequencial de sistemas
discretizados segundo vü rio me todos de discretizaãao e um sistema contınuo.
FIGURA 2.7 à Resposta frequencial de sistemas discretizados em comparaãao
com um sistema contınuo.

14. 13
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Yr(s) U(s) Y(s)E(s)
D(s) Gp(s)
2.7 Exercıcio Resolvido - Discretizaãao de Sistemas Contınuos (fonte:
Universidade Federal de Santa Catarina Programa de Pás-Graduaãao em
Engenharia Ele trica, DAS 6653 à Controle Digital de Sistemas Din–micos)
Utilizando a aproximaãao forward para a discretizaãao do sistema, avaliar
o seu comportamento temporal para diversos perıodos de amostragem (Ts =
0.1; 0.2; 0.4; 0.6 e 0.8 segundos). Comparar os resultados e observar os pálos
de malha fechada. Para a aproximaãao bilinear, observar a din–mica do sistema
para os mesmos valores do perıodo de amostragem. Comparar os resultados.
Figura 1: Malha de Controle à Caso Contınuo.
)3s2.3s(
3
)s(G).s(D1
)s(G).s(D
)s(Y
)s(Y
)s(G 2
P
P
r
CL
++
=
+
==
)2(
1
)(
+
=
ss
sGP ⇒
)2.3s(
)2s(3
)s(D
+
+
=
Discretizaãao da planta:
1. Aproximaãao forward
sT
1z
s
−
= ⇒
)1T2.3z(
)1T2z(
)z(D
s
s
f
−+
−+
=
2. Aproximaãao bilinear 





+
−
=
1z
1z
T
2
s
s
⇒
)2T2.3(z)2T2.3(
)1T(6z)1T(6
)z(D
ss
ss
b
−++
−++
=
Resultados de Simulaãao:
Foram realizadas simulaão es para o sistema discretizado para diversos
perıodos de amostragem possibilitando a comparaãao entre os me todos de

15. 14
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discretizaãao quanto aos pálos de malha fechada (Fig. 2) e quanto ` resposta
temporal do sistema (Fig. 3).
Discretizaãao do Controlador:
O modelo discreto do controlador + hold foi obtido empregando-se a
funãao c2dm da linguagem MATLAB. Quanto aos pálos de malha fechada
observa-se que quanto maior o perıodo de amostragem maior e a diferenãa
entre aqueles obtidos pela aproximaãao forward e pela aproximaãao bilinear.
Para o caso do perıodo Ts = 0.8 seg (Fig. 2-e) um pálo encontra-se fora do
cırculo unitü rio (z = -1.56) caracterizando a instabilidade do sistema.
-1 -0.5 0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Root Locus
Real Axis
ImaginaryAxis
forward -
bilinear -

16. 15
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(a) Ts = 0.1 seg. (b) Ts = 0.2 seg.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
+ forward
x bilinear
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x bilinear
+ forward
(c) Ts = 0.4 seg. (d) Ts = 0.6 seg.
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
x bilinear
+ forward
(e) Ts = 0.8 seg.
Figura 2: Representaãao do Lugar das Raızes para diversos perıodos de amostragem.
A resposta temporal completa a anü lise em relaãao ` diferenãa entre
os dois tipos de aproximaãao, observando-se tambe m a caracterıstica de
instabilidade para a aproximaãao forward com Ts = 0.8 seg (Fig. 3-e).
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
+ forward
x bilinear
-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
+ forward
x bilinear

17. 16
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0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
bilinear
forward
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
bilinear
forward
(a) Ts = 0.1 seg. (b) Ts = 0.2 seg.
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
bilinear
forward
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
bilinear
forward
(c) Ts = 0.4 seg. (d) Ts = 0.6 seg.
0 2 4 6 8 10 12
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
bilinear
forward
(e) Ts = 0.8 seg.
Figura 3: Resposta ao degrau unitü rio para diversos perıodos de amostragem.

18. 17
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Conclusao
O estudo comparativo realizado entre a discretizaãao utilizando
aproximaãao forward e bilinear permitiu a observaãao das principais
caracterısticas destes me todos.
A aproximaãao forward, embora apresente uma implementaãao mais
simples, permitiu a degradaãao na qualidade do modelo discreto na sua
capacidade de representaãao da din–mica do processo contınuo. Observou-se
que, com o aumento do perıodo de amostragem, pode ocorrer a instabilizaãao
do sistema.
A aproximaãao bilinear, de implementaãao um mais complexa, apresentou
uma adequada representaãao da din–mica do planta e, mesmo quando do
aumento do perıodo de amostragem e consequ ente perda de informaão es a
respeito do processo, conseguiu manter a estabilidade apresentando uma
pequena reduãao no desempenho.
Pela comparaãao entre as aproximaão es estudadas para a discretizaãao de
um processo contınuo a te cnica que utiliza aproximaãao bilinear foi a que se
mostrou mais adequada para aplicaãao no processo avaliado.