1) O documento apresenta tabelas de análise de estruturas com fórmulas para analisar vigas sob diferentes tipos de cargas e condições de apoio. 2) Inclui equações para calcular deformações, esforços, momentos fletores e cortantes em vigas sob cargas pontuais ou distribuídas, assim como sob efeitos de variações de temperatura. 3) Fornece casos particulares para configurações comuns como viga simplesmente apoiada com carga no meio do vão.

1. IST - DECivil
Departamento de
Engenharia Civil
ANÁLISE DE ESTRUTURAS I
Tabelas de Análise de Estruturas
Grupo de Análise de Estruturas
IST, 2011

2. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 1
Formulário de Lajes
Rotações: x
w
x
∂
θ
∂
= − y
w
y
∂
θ
∂
= −
n x x y yn nθ θ θ= +
Relação curvatura-deslocamento:
2
2xx
w
x
∂
χ
∂
= −
2
2yy
w
y
∂
χ
∂
= −
2
xy
w
x y
∂
χ
∂ ∂
= −
Integrabilidade de curvaturas:
xyxx
yy xy
y x
x y
χχ
χ χ
∂∂
=
∂ ∂
∂ ∂
=
∂ ∂
Relações constitutivas:
1 0
1 0
0 0 1
xx xx
yy f yy
xy xy
m
m D
m
ν χ
ν χ
ν χ
⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥−⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
2
1 0
1
1 0
(1 )
0 0 1
xx xx
yy yy
f
xy xy
m
m
D
m
χ ν
χ ν
ν
χ ν
⎧ ⎫ ⎧ ⎫−⎡ ⎤
⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥= −⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥+⎣ ⎦⎩ ⎭ ⎩ ⎭
Rigidez de flexão da laje:
3
2
12(1 )
f
Eh
D
ν
=
−
Momentos em faceta de orientação arbitrária: 2 2
2nn xx x xy x y yy ym m n m n n m n= + +
( ) ( )2 2
nt yy xx x y xy x ym m m n n m n n= − + −
Força de canto: nt nt ntR m m m+ −
= = −
Esforço transverso:
xyxx
x
mm
v
x y
∂∂
∂ ∂
= + yy xy
y
m m
v
y x
∂ ∂
∂ ∂
= +
n x x y yv v n v n= +
Esforço transverso efectivo:
xy
x x
m
r v
y
∂
∂
= + xy
y y
m
r v
x
∂
∂
= +
nt
n n
m
r v
t
∂
= +
∂
Equação de equilíbrio:
2 22
2 2
2yy xyxx
m mm
q
x y x y
∂ ∂∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ + = −
Eq. de Lagrange:
4 4 4
4 2 2 4
2
f
w w w q
x x y y D
∂ ∂ ∂
∂ ∂ ∂ ∂
+ + =
Derivadas direccionais x y
f f f
n n
n x y
∂ ∂ ∂
= +
∂ ∂ ∂
( )y x
f f f
n n
t x y
∂ ∂ ∂
= − +
∂ ∂ ∂

3. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 2
Formulário
Elemento de barra (viga)
Esforços e deformações independentes
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
j
j
i
N
M
M
X ,
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
θ
θ
=
j
j
i
e
u
Matriz de flexibilidade elementar
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
A
IEI
L
6
21
12
6
F
Relações deformações-esforços
uXFu +=
Viga simplesmente apoiada
Deslocamentos transversais )(xy e momentos flectores )(xM
T1.1
x
y
L
δi
δj
M x( ) = 0
y x
L
xi
j i
( ) = +
−
δ
δ δ
T1.2
x
y
L
MjMi
M x M
M M
L
xi
j i
( ) = +
−
( )y x
L
EI
M M x
M
L
x
M M
L
xi j
i i j
( ) = + − +
−⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
6
2
3 2
2
3

4. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 3
T1.3
x
y
L
a b
P Caso particular: a=b=L/2
4
)
2
(
PLL
xM ==
EI
PLL
xy
48
)
2
(
3
==
M x
P
b
L
x x a
P a
a
L
x a x L
( ) =
≤ ≤
−
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥ ≤ ≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
0
( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]
y x
P
LEI
ab b a x bx x a
P
LEI
a b a a b ab a x a b a x ax a x L
( ) =
+ − ≤ ≤
− + + + + − + + ≤ ≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
6
2 0
6
2 4 3 3
3
3 2 2 2 3
T1.4
x
y
L
a b
M
Caso particular: momento a meio-vão
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
≤≤⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−+−
≤≤⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−
=
Lx
L
xLxx
LL
LEI
M
L
xxx
L
LEI
M
xy
2
3
4
11
4
3
6
2
0
46
)(
32
23
3
2
M x
M
L
x x a
M
M
L
x a x L
( ) =
− ≤ ≤
− ≤ ≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
0
( )[ ]
( ) ( ) ( )[ ]⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤++−++++−
≤≤+−−
=
Lxaxxbaxbababaa
LEI
M
axxxabab
LEI
M
xy
32222
322
34253
6
022
6)(

5. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 4
T1.5
x
y
L
pi pj
Caso particular: p uniforme
( )2
2
)( xLx
p
xM −=
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+−= 43
3
x
24
1
x
12
L
x
24
L
EI
p
)x(y
EI
pLL
xy
384
5
)
2
(
4
==
( )M x p
L
p
L
x p x p p
L
xi j i i j( ) = +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − + −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥3 6
1
2
1
6
2 3
( )y x
EI
p
L
p
L
x p
L
p
L
x p x p p
L
xi j i j i i j( ) = +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ − +
⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ + − −
⎡
⎣
⎢
⎤
⎦
⎥
1 8
360
7
360 18 36
1
24
1
120
3 3
3 4 5
Utilização das tabelas
Sendo válida a sobreposição é conveniente decompôr as acções (ou os seus
efeitos) em parcelas mais simples. Seja, por exemplo, a acção representada na
tabela anterior, Tabela 1.5.
Esta carga trapezoidal pode ser representada pela recta bmxp += com
L
pp
m
ij −
=
e ipb = . É fácil observar que a mesma recta pode ser obtida pela sobreposição de
duas rectas particulares (que tomem o valor unitário numa das extremidades e o
valor nulo na outra) devidamente escaladas:
i
ij
px
L
pp
p +
−
= =
= ip
L
x
)1( − + jp
L
x
Nas tabelas seguintes recorrer-se-á a esta decomposição ou à decomposição
alternativa em que se separa o termo constante (o b no caso anterior) do termo
linear ( o mx no caso anterior).
Viga simplesmente apoiada sujeita a variações de temperatura

6. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 5
T1.6
Variações de Temperatura
Deve identificar-se claramente a:
• variação no vão;
• variação na (altura da) secção.
Os 3 casos de variação no vão que constam das tabelas são:
1. variação uniforme no vão o que significa que todas as secções da viga têm
a mesma variação de temperatura;
2. variação crescente no vão a qual varia linearmente desde um valor zero até
ao valor máximo na extremidade oposta;
3. variação decrescente no vão a qual varia linearmente desde um valor
máximo até ao valor zero na extremidade oposta.
Graficamente representam-se estes casos de variação no vão na forma seguinte:
(constante) (crescente) (decrescente)
A variação na secção deverá, quando necessário e para utilização da tabela, ser
decomposta em:
1. variação uniforme em altura, a qual se denota por UTΔ e é dada pela
variação de temperatura no centro de rigidez da secção.
2. variação linear na altura da secção, com valores de sinal contrário para a
variação de temperatura nas fibras inferiores e superiores, relativamente ao
centro de rigidez. Denota-se a diferença entre as variações de temperatura
das fibras extremas por LTΔ , a qual se considera positiva quando a diferença
das variações de temperatura entre as fibras extremas inferior e superior for
positiva.
Graficamente representam-se estes casos de variação na secção na forma
seguinte:
(uniforme) (linear)
Exemplo (de variação na secção):
Considere-se uma secção transversal de altura h cujo centro de rigidez se
encontra à distância de 3h da fibra superior. Se a variação de temperatura na
fibra inferior for de 5ºC e a variação de temperatura na fibra superior de 20ºC
(ambas positivas), então 15ºLT CΔ = − e 15ºUT CΔ = .

7. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 6
Distribuição de temperatura linear na secção, LTΔ :
M x( ) = 0
Caso de variação constante no vão:
2
( )
2
LT
y x Lx x
h
α Δ
⎡ ⎤= −⎣ ⎦
Caso de variação crescente no vão:
31 1
( )
2 3 3
LT
y x x x
h L
α Δ ⎡ ⎤
= −⎢ ⎥
⎣ ⎦
Caso de variação decrescente no vão:
2 32 1
( )
2 3 3
LT L
y x x x x
h L
α Δ ⎡ ⎤
= − +⎢ ⎥
⎣ ⎦
em que α é o coeficiente de dilatação térmica do material e h é a altura da secção
Distribuição de temperatura uniforme na secção, UTΔ :
0)( =xN
Caso de variação constante no vão:
( ) Uu L T Lα= Δ
Caso de variação crescente no vão:
( )
2
U
L
u L Tα= Δ
Caso de variação decrescente no vão:
( )
2
U
L
u L Tα= Δ

8. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 7
Viga simplesmente apoiada sujeita a cargas axiais
T1.7
x
y
L
a b
Q
N x
Q x a
a x L
( ) =
≤ ≤
≤ ≤
⎧
⎨
⎩
0
0
∫=
0
0
0 )(
1
)(
x
dxx
EA
xu ε
T1.8
x
y
L
qi qj
( ) ( )N x q q
L
q x q q
L
xi j i i j( ) = + − + −
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥2
1
2
2

9. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 8
T2 Deformações independentes em barras com cargas de vão - Termos correctores
Carga de vão iθ jθ je
x
y
L
a b
P LEI
bLPab
6
)( +
LEI
aLPab
6
)( +
0
Caso particular a=L/2
EI
PL
16
2
Caso particular a=L/2
EI
PL
16
2
x
y
L
a b
Q
0 0
EA
Qa
x
y
L
a b
M
LEI
LbM
6
)3( 22
−
LEI
aLM
6
)3( 22
−
0
Caso particular a=L/2
EI
ML
24
−
Caso particular a=L/2
EI
ML
24
x
y
L
pi pj
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
360
7
360
81 33
L
p
L
p
EI
ji ⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
+
360
8
360
71 33
L
p
L
p
EI
ji
0
Caso particular ji pp =
EI
Lpi
24
3
Caso particular ji pp =
EI
Lpi
24
3
x
y
L
qi qj 0 0
EA
Lq
EA
Lq ji
6
2
6
22
+
Variação de
temperatura uniforme
no vão
2
LT L
h
α Δ
2
LT L
h
α Δ
UT Lα Δ
Variação de
temperatura crescente
no vão
6
LT L
h
α Δ
3
LT L
h
α Δ 1
2
UT Lα Δ
Variação de
temperatura
decrescente no vão
3
LT L
h
α Δ
6
LT L
h
α Δ 1
2
UT Lα Δ

10. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 9
T.3 Deformadas para deslocamentos impostos
Tipo de barra Imposição de rotação à
esquerda
Imposição de deslocamento
transversal
bi-encastrada
encastrada-rotulada
encastrada-enc desliz.
Deformada da barra sujeita apenas a esforço
normal
NOTA:
A deformada final da barra é sempre obtida
considerando a sobreposição dos diversos efeitos
nomeadamente:
• a(s) rotação(ões) independentes;
• o deslocamento transversal relativo entre
extremidades;
• o deslocamento axial relativo entre extremidades;
• o efeito das solicitações de vão.

11. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 10
Forças de fixação devidas a cargas de vão
na barra bi-encastrada
AM BM AV BV AN BN
8
PL
8
PL
−
2
P
2
P
2
Q
−
2
Q
−
2
2
L
Pab
2
2
L
Pba
− 3
2
)3(
L
baPb +
3
2
)3(
L
baPa +
L
Qb
−
L
Qa
−
4
M
4
M
L
M
2
3
L
M
2
3
− 0 0
2
)2(
L
baMb −
2
)2(
L
abMa −
3
6
L
Mab
3
6
L
Mab
− 0 0
12
2
pL
12
2
pL
−
2
pL
2
pL
2
qL
−
2
qL
−
30
2
pL
20
2
pL
−
20
3pL
20
7pL
6
qL
−
3
qL
−
20
2
pL
30
2
pL
−
20
7pL
20
3pL
3
qL
−
6
qL
−
0 0 m m− 0 0
12
mL
12
mL
−
2
m
2
m
− 0 0
12
mL
−
12
mL
2
m
−
2
m 0 0
TΔ LT EI
h
α Δ LT EI
h
α Δ
− 0 0 UT EAα Δ UT EAα− Δ
TΔ 0 LT EI
h
α Δ
− LT EI
Lh
α Δ
− LT EI
Lh
α Δ
2
UT EAα Δ
2
UT EAα Δ
−
TΔ LT EI
h
α Δ 0 LT EI
Lh
α Δ LT EI
Lh
α Δ
−
2
UT EAα Δ
2
UT EAα Δ
−

12. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 11
Forças de fixação devidas a cargas de vão
na barra encastrada-rotulada
AM Bθ AV BV AN BN
16
3PL
EI
PL
32
2
16
11P
16
5P
2
Q
−
2
Q
−
2
2
)(
L
bLPab +
EIL
Pba
4
2
3
22
2
)3(
L
bLPb −
3
2
2
)3(
L
aLPa −
L
Qb
−
L
Qa
−
8
M
EI
ML
16
−
L
M
8
9
L
M
8
9
− 0 0
2
22
2
)3(
L
bLM −
EIL
abMa
4
)2( −
− 3
2
)(3
L
bLMa +
3
2
)(3
L
bLMa +
− 0 0
8
2
pL
EI
pL
48
3
8
5pL
8
3pL
2
qL
−
2
qL
−
120
7 2
pL
EI
pL
80
3
120
27pL
120
33pL
6
qL
−
3
qL
−
120
8 2
pL
EI
pL
120
3
120
48pL
120
12pL
3
qL
−
6
qL
−
0 0 m m− 0 0
8
mL
EI
mL
48
2
8
5m
8
5m
− 0 0
8
mL
−
EI
mL
48
2
−
8
3m
8
3m
− 0 0
TΔ 3
2
LT EI
h
α Δ
4
LT L
h
α Δ 3
2
LT EI
Lh
α Δ 3
2
LT EI
Lh
α Δ
− UT EAα Δ UT EAα− Δ
TΔ
2
LT EI
h
α Δ
4
LT L
h
α Δ
2
LT EI
Lh
α Δ
2
LT EI
Lh
α Δ
−
2
UT EAα Δ
2
UT EAα Δ
−
TΔ LT EI
h
α Δ 0 LT EI
Lh
α Δ LT EI
Lh
α Δ
−
2
UT EAα Δ
2
UT EAα Δ
−

13. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 12
Forças de fixação devidas a cargas de vão
na barra encastrada-encastrada deslizante
AM BM AV Bδ AN BN
8
3PL
8
PL P
EI
PL
24
3
2
Q
−
2
Q
−
L
LbPa
2
)( +
L
Pa
2
2
P
EI
baPa
12
)3(2
+
L
Qb
−
L
Qa
−
2
M
−
2
M
− 0
EI
ML
8
2
− 0 0
L
Mb
−
L
Ma
− 0
EI
Mab
2
− 0 0
3
2
pL
6
2
pL pL
EI
pL
24
4
2
qL
−
2
qL
−
24
5 2
pL
24
3 2
pL
2
pL
EI
pL
240
7 4
6
qL
−
3
qL
−
24
3 2
pL
24
2
pL
2
pL
EI
pL
240
3 4
3
qL
−
6
qL
−
2
mL
−
2
mL
− 0
EI
mL
12
3
− 0 0
6
mL
−
3
mL
− 0
EI
mL
24
3
− 0 0
3
mL
−
6
mL
− 0
EI
mL
24
3
− 0 0
TΔ LT EI
h
α Δ LT EI
h
α Δ
− 0 0 UT EAα Δ UT EAα− Δ
TΔ
2
LT EI
h
α Δ
2
LT EI
h
α Δ
− 0
2
12
LT L
h
α Δ
2
UT EAα Δ
2
UT EAα Δ
−
TΔ
2
LT EI
h
α Δ
2
LT EI
h
α Δ
− 0
2
12
LT L
h
α Δ
−
2
UT EAα Δ
2
UT EAα Δ
−

14. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 13
Elemento de barra - deslocamentos prescritos
Deslocamentos independentes a considerar em cada nó
• rotação;
• deslocamento transversal.
A deformada obtém-se por sobreposição das 4 deformadas, correspondentes a cada um dos 4
deslocamentos considerados:
∑=
=
4
1
)()(
i
ii xxy ϕδ
Efeito de δ1=1, δi=0 ∀ i ≠ 1
x
y
L
1
T4.1
( )322
21 2
1
)( xLxxL
L
x +−−=ϕ
Efeito de δ2=1, δi=0 ∀ i ≠ 2
x
y
L
1
T4.2
( )32
22
1
)( xLx
L
x +−−=ϕ
Efeito de δ3=1, δi=0 ∀ i ≠ 3
x
y
L
1
T4.3
( )323
33 23
1
)( xLxL
L
x +−−=ϕ
Efeito de δ4=1, δi=0 ∀ i ≠ 4
x
y
L
1
T4.4
( )32
34 23
1
)( xLx
L
x −−=ϕ
Existindo deformação axial também se devem considerar os modos de deformação associados aos
deslocamentos independentes axiais. Contudo, estes modos não alteram a função )(xy , a
distância da corda à posição deformada em cada ponto, que é o que se designa por deformada.

15. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 14
Deformadas e forças de fixação na barra bi-encastrada
T5.1
x
y
L
a b
1VA VB
MA MB
( )M
EI
L
a bA = − −
2
22
( )M
EI
L
b aB = −
2
22
( )V
EI
L
b aA = −
6
3
( )V
EI
L
a bB = −
6
3
y x
L a
L
x
a L
L
x x a
a x
L a
L
x
a L
L
x a x L
( ) =
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≤ ≤
− +
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≤ ≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
2 3 2
0
2 3 2
2
2
3
3
2
2
3
3
T5.2
x
y
L
a b
1
VA VB
MA MB
M
EI
LA = −
6
2 M
EI
LB = −
6
2
V
EI
LA = −
12
3 V
EI
LB =
12
3
y x L
x
L
x x a
L
x
L
x a x L
( ) =
− + ≤ ≤
− + ≤ ≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
3 2
0
1
3 2
2
2
3
3
2
2
3
3
Forças de fixação para força e momento unitários
T5.3
x
y
L
a b
1
VA VB
MA MB
M
L a La a
LA = −
− + −2 2 3
2
2
M
La a
LB =
− +2 3
2
V
L La a
LA =
− +3 2 3
3
3 2
V
La a
LB =
−3 22 3
3
T5.4
x
y
L
a b
1
VA VB
MA MB
M
L La a
LA = −
− + −2 2
2
4 3
M
La a
LB =
− +2 3 2
2
V
La a
LA =
− +6 6 2
3 V
La a
LB =
−6 6 2
3

16. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 15
Deformadas e forças de fixação na barra encastrada-apoiada
T6.1
x
y
L
a b
1VA VB
MA
Libertação em B:
b
L
EI
M A 2
3
= b
L
EI
VA 3
3
= b
L
EI
VB 3
3
−=
Libertação em A:
a
L
EI
M B 2
3
= a
L
EI
VA 3
3
−= a
L
EI
VB 3
3
=
Libertação em B:
y x
L a
L
x
a L
L
x x a
a x
L a
L
x
a L
L
x a x L
( ) =
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≤ ≤
− +
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ +
−⎛
⎝
⎜
⎞
⎠
⎟ ≤ ≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
3 3
2 2
0
3 3
2 2
2
2
3
3
2
2
3
3
Libertação em A:
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤≤⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
≤≤−+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
+⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ −
−
=
axx
L
bL
x
L
Lb
LxabLx
L
bL
x
L
bL
xy
0
22
3
22
33
)(
3
3
3
3
Notar que a (b) é a distância desde a extremidade inicial
(final) à secção da descontinuidade.
T6.2
x
y
L
a b
1
VA VB
MA
Libertação em B:
M
EI
LA = −
3
2 V
EI
LA = −
3
3 V
EI
LB =
3
3
Libertação em A:
2
3
L
EI
MB −= V
EI
LA = −
3
3 V
EI
LB =
3
3
Libertação em B:
y x L
x
L
x x a
L
x
L
x a x L
( ) =
− + ≤ ≤
− + ≤ ≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
3
2
1
2
0
1
3
2
1
2
2
2
3
3
2
2
3
3
Libertação em A:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤+−
≤≤+−
=
axx
L
x
L
Lxax
L
x
Lxy
0
2
1
2
3
2
1
2
3
1
)(
3
3
3
3
Forças de fixação para força e momento unitários
T6.3
x
y
L
a b
1
VA VB
MA
M
L a La a
LA = −
− + −2 3
2
2 2 3
2
V
L La a
LA =
− +2 3
2
3 2 3
3 V
La a
LB =
−3
2
2 3
3
T6.4
x
y
L
a b
1
VA VB
MA
2
22
2
362
L
aLaL
M A
−+−
−=
V
La a
LA =
− +6 3
2
2
3 V
La a
LB =
−6 3
2
2
3

17. IST - DECivil
Grupo de Análise de Estruturas 16
Deformadas e forças de fixação na barra encastrada-encastrada deslizante
T7.1
x
y
L
a b
1VA
MA MB
M
EI
LA = M
EI
LB = − VA = 0
Libertação em B:
y x L
x x a
a x
L
x a x L
( ) =
≤ ≤
− + ≤ ≤
⎧
⎨
⎪
⎩
⎪
1
2
0
1
2
2
2
Libertação em A:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≤≤++−
≤≤+−
=
axx
L
b
L
Lxax
L
x
L
xy
0
2
1
2
2
1
2)(
2
2
T7.2
x
y
L
a b
1
VA
MA MB
MA = 0 MB = 0 VA = 0
Libertação em B:
y x
x a
a x L
( ) =
≤ ≤
≤ ≤
⎧
⎨
⎩
0 0
1
Libertação em A:
⎩
⎨
⎧
≤≤
≤≤−
=
Lxa
ax
xy
0
01
)(
Forças de fixação para força e momento unitários
T7.3
x
y
L
a b
1
VA
MA MB
M
La a
LA = −
− +2
2
2
M
a
LB =
2
2
VA = 1
T7.4
x
y
L
a b
1
VA
MA MB
L
aL
M A
−
=
L
a
MB =
VA = 0