Mecânica dos Sólidos - Unidade 02

Mecânica dos Sólidos I – MAC-005
Unidade 02
Luis Paulo S. Barra
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora
v. 14.10
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecânica dos Sólidos I v. 14.10 1 / 56

Livro Texto
Livro texto:
I Introduction to Continuum Mechanics
I W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl

Programa
1 Cinemática I
2 Cinemática II
3 Cinemática III

Programa
1 Cinemática I
Descriç ão do Movimento
Derivada Material
Aceleraç ão de uma Part´ıcula
Cinemática do Corpo R´ıgido
Gradiente de Deslocamentos
Deformaç ões Infinitesimais
Interpretaç ão Geométrica

Equaç ões Cinemáticas do Movimento
O vetor posiç ão de uma part´ıcula em um
tempo t pode ser escrito como:
x = x(X; t) com x(X; t0) = X
Fixando X tem-se a trajetória da part´ıcula.

Equaç ões Cinemáticas do Movimento
O vetor posiç ão de uma part´ıcula em um
tempo t pode ser escrito como:
x = x(X; t) com x(X; t0) = X
Fixando X tem-se a trajetória da part´ıcula.
Em componentes se escreve:
x1 = x1(X1; X2; X3; t)
x2 = x2(X1; X2; X3; t)
x3 = x3(X1; X2; X3; t)

Descriç ão Material e Descriç ão Espacial
Quando um cont´ınuo está em movimento, sua temperatura , sua velocidade v, e seu
tensor de tensões T (será definido nas próximas seç ões), podem mudar com o tempo.
Descriç ão Material (ou Lagrangeana)
Seguindo as part´ıculas:
= ˆ
(X1; X2; X3; t)
v = ˆv(X1; X2; X3; t)
T = ˆT(X1; X2; X3; t)

Descriç ão Material e Descriç ão Espacial
Quando um cont´ınuo está em movimento, sua temperatura , sua velocidade v, e seu
tensor de tensões T (será definido nas próximas seç ões), podem mudar com o tempo.
Descriç ão Material (ou Lagrangeana)
Seguindo as part´ıculas:
= ˆ
(X1; X2; X3; t)
v = ˆv(X1; X2; X3; t)
T = ˆT(X1; X2; X3; t)
Descriç ão Espacial (ou Euleriana)
Observando mudanças em locais (pontos no espaço) fixos:
= ˜
(x1; x2; x3; t)
v = ˜v(x1; x2; x3; t)
T = ˜T(x1; x2; x3; t)

Programa
1 Cinem´atica I
Derivada Material

Derivada Material
Definiç ão
Taxa de variaç ão no tempo de uma quantidade em uma part´ıcula fixa: D=Dt.

Derivada Material
Definiç ão
Taxa de variaç ão no tempo de uma quantidade em uma part´ıcula fixa: D=Dt.
Descriç ão Material
= ˆ
(X1; X2; X3; t)
Logo:
D
Dt =

@ˆ
@t
!
Xi fixos.

Derivada Material
Descric¸ ˜ao Espacial
= ˜
(x1; x2; x3; t)
Logo:
D
Dt =
@˜ @x1
@x1
@t +
@˜
@x2
@x2
@t +
@˜
@x3
@x3
@t +
@˜
@t

Derivada Material
= ˜
(x1; x2; x3; t)
Logo:
D
Dt =
@˜ @x1
@x1
@t +
@˜
@x2
@x2
@t +
@˜
@x3
@x3
@t +
@˜
@t
= v1
@˜
@x1
+ v2
@˜
@x2
+ v3
@˜
@x3
+
@˜
@t

Derivada Material
= ˜
(x1; x2; x3; t)
Logo:
D
Dt =
@˜ @x1
@x1
@t +
@˜
@x2
@x2
@t +
@˜
@x3
@x3
@t +
@˜
@t
= v1
@˜
@x1
+ v2
@˜
@x2
+ v3
@˜
@x3
+
@˜
@t
Em notac¸ ˜ao direta
D
Dt =
@
@t + v r
Ficando impl´ıcito que = ˜
(x1; x2; x3; t).

Programa
1 Cinem´atica I
Derivada Material

Definic¸ ˜ao
a =

@v
@t
!
Xi fixos

Dv
Dt

Definic¸ ˜ao
a =

@v
@t
!
Xi fixos

Dv
Dt
Portanto:
Dv
Dt =
D(viei)
Dt =
Dvi
Dt
ei

Definic¸ ˜ao
a =

@v
@t
!
Xi fixos

Dv
Dt
Portanto:
Dv
Dt =
D(viei)
Dt =
Dvi
Dt
ei
Logo:
ai =
Dvi
Dt =
@vi
@t + vj
@vi
@xj

Definic¸ ˜ao
a =

@v
@t
!
Xi fixos

Dv
Dt
Portanto:
Dv
Dt =
D(viei)
Dt =
Dvi
Dt
ei
Logo:
ai =
Dvi
Dt =
@vi
@t + vj
@vi
@xj
E finalmente:
a =
@v
@t + (rv)v

Campo de Deslocamentos
Definiç ão
u = x(X; t) X
Uma vez conhecida a trajetória de uma part´ıcula, x(X; t), o campo de deslocamentos
também fica determinado.

Programa
1 Cinem´atica I
Derivada Material

Translaç ão
x = X + c(t)
onde c(0) = 0
Logo u = x X = c(t) é independente de X.

Translaç ão
x = X + c(t)
onde c(0) = 0
Logo u = x X = c(t) é independente de X.
Rotaç ão
Em torno do ponto b:
x b = R(t)(X b)
onde R(t) representa um tensor rotaç ão, com R(0) = I.

Movimento Geral
Translaç ão e Rotaç ão (em torno de b)
x = R(t)(X b) + c(t) () (X b) = RT (x c)
onde R(0) = I e c(0) = b

Movimento Geral
Translaç ão e Rotaç ão (em torno de b)
x = R(t)(X b) + c(t) () (X b) = RT (x c)
onde R(0) = I e c(0) = b
Velocidade de um Ponto
Tomando a derivada material:
R
v =
(X b)+
c
(t)
e usando (X b) = RT (x c) vem
R
v =
RT (x c)+
c
(t)

Velocidade de um Ponto (cont.)
Assim:
R
v =
RT (x c)+
c
(t)

Assim:
R
v =
RT (x c)+
c
(t)
Uma vez que
R
RT ´e antisim´etrico (Ex. 2C1.2, pag.48):
v = ! (x c)+
c
(t)

Assim:
R
v =
RT (x c)+
c
(t)
Uma vez que
R
RT ´e antisim´etrico (Ex. 2C1.2, pag.48):
v = ! (x c)+
c
(t)
Ou ainda:
v = ! r+
c
(t)
onde r = (x c)

Programa
1 Cinem´atica I
Derivada Material

Em um ponto P:
x = X + u(X; t)
Em um ponto vizinho Q:
x + dx = X + dX + u(X + dX; t)

Em um ponto P:
x = X + u(X; t)
Em um ponto vizinho Q:
x + dx = X + dX + u(X + dX; t)
Subtraindo as equac¸ ˜oes anteriores:
dx = dX + u(X + dX; t) u(X; t)

E portanto:
dx = dX + ru dX

E portanto:
dx = dX + ru dX
onde:
[ru] =
266666666666666666666666666666664
@u1
@X1
@u1
@X2
@u1
@X3
@u2
@X1
@u2
@X2
@u2
@X3
@u3
@X1
@u3
@X2
@u3
@X3
377777777777777777777777777777775
:
Se ru = 0, então dx = dX e o movimento da vizinhança do ponto P é uma translaç ão
de corpo r´ıgido.

Programa
1 Cinem´atica I
Derivada Material

Tensor de Deformac¸ ˜oes Infinitesimais
Considerando:
dx(1) = dX(1) + ru dX(1)
dx(2) = dX(2) + ru dX(2):

Considerando:
dx(1) = dX(1) + ru dX(1)
dx(2) = dX(2) + ru dX(2):
Pode-se escrever:
dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + dX(1) ru dX(2) + dX(2) ru dX(1) +
+fru dX(1)g fru dX(2)g:

Considerando:
dx(1) = dX(1) + ru dX(1)
dx(2) = dX(2) + ru dX(2):
Pode-se escrever:
dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + dX(1) ru dX(2) + dX(2) ru dX(1) +
+fru dX(1)g fru dX(2)g:
E tamb´em:
dX(2) ru dX(1) = dX(1) ruT dX(2)
f(ru)dX(2)g f(ru)dX(1)g = dX(1) ruT ru dX(2):

Colocando-se em evidˆencia o termo dX(1):
dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + dX(1) fru + ruT + ruT ru gdX(2)

Colocando-se em evidência o termo dX(1):
dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + dX(1) fru + ruT + ruT ru gdX(2)
E, para pequenas deformaç ões:
dx(1) dx(2) = dX(1) dX(2) + 2dX(1) EdX(2)
Definido o tensor de deformaç ões infinitesimais como:
E =
1
2
n
ru + ruT
o
:
Em outras palavras E é a parte simétrica de ru.

Componentes
Eij =
1
2

@ui
@Xj
+
@uj
@Xi
!

Componentes
Eij =
1
2

@ui
@Xj
+
@uj
@Xi
!
ou ainda
[E] =
26666666666666666666666666666666664
@u1
@X1
1
2

@u1
@X2
+
@u2
@X1
!
1
2

@u1
@X3
+
@u3
@X1
!
1
2

@u1
@X2
+
@u2
@X1
!
@u2
@X2
1
2

@u2
@X3
+
@u3
@X2
!
1
2

@u1
@X3
+
@u3
@X1
!
1
2

@u2
@X3
+
@u3
@X2
!
@u3
@X3
37777777777777777777777777777777775
:

Programa
1 Cinem´atica I
Derivada Material

Elementos da Diagonal
Considerando dX = dSn, com n unit´ario e ds = jdxj:
ds2 dS2 = 2dS2n En:

ds2 dS2 = 2dS2n En:
Para pequenas deformac¸ ˜oes: (ds dS)2 = (ds2 2dsdS + dS2) 0, logo:

ds2 dS2 = 2dS2n En:
(ds2 2dsdS + dS2 + dS2 dS2) 0 ! ds2 dS2 2dS(ds dS)

ds2 dS2 = 2dS2n En:
(ds2 2dsdS + dS2 + dS2 dS2) 0 ! ds2 dS2 2dS(ds dS)
E finalmente:
ds dS
dS = n En = E(n)(n) (sem soma em n)
Logo E11 é o alongamento relativo (unitário) de um segmento inicialmente na direç ão
de x1.

Elementos Fora da Diagonal
Considere dX(1) = dS1m e dX(2) = dS2n, onde os vetores unit´arios m e n s˜ao
perpendiculares entre si.
Logo:
dx(1) dx(2) = ds1ds2 cos() = 2dS1dS2m En )
ds1
dS1
ds2
dS2
cos() = 2m En

Logo:
ds1
dS1
ds2
dS2
cos() = 2m En
Fazendo:
=

2

! cos

2

= sen


Logo:
ds1
dS1
ds2
dS2
cos() = 2m En
Fazendo:
=

2

! cos

2

= sen

Para pequenas deformaç ões sen

, ds1
dS1
1, ds2
dS2
1, então:

Logo:
ds1
dS1
ds2
dS2
cos() = 2m En
Fazendo:
=

2

! cos

2

= sen

Para pequenas deformaç ões sen

, ds1
dS1
1, ds2
dS2
1, então:

= 2m En
Logo E12 fornece o decréscimo no ângulo entre os dois elementos inicialmente nas
direç ões de x1 e x2.

Programa
2 Cinemática II
Deformaç ões Principais
Dilataç ão Espec´ıfica
Tensor de Rotaç ão Infinitesimal
Taxa de Deformaç ão
Tensor Spin
Conservaç ão da Massa
Condiç ões de Compatibilidade

Uma vez que E é simétrico:
[E]ni =
2666666664 E1 0 0
0 E2 0
0 0 E3
3777777775
Autovalores Deformaç ões principais, incluem os valores extremos dos
alongamentos.
Autovetores Direç ões principais, permanecem perpendiculares após a deformaç ão.

Programa
2 Cinem´atica II
Tensor Spin

(dV) = (dS1)(dS2)(dS3)(1 + E1)(1 + E2)(1 + E3) (dS1)(dS2)(dS3)
= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3 + E2E3 + E1E3 + E1E2 + E1E2E3)
= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3)
+ termos de ordem superior

(dV) = (dS1)(dS2)(dS3)(1 + E1)(1 + E2)(1 + E3) (dS1)(dS2)(dS3)
= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3 + E2E3 + E1E3 + E1E2 + E1E2E3)
= (dS1)(dS2)(dS3)(E1 + E2 + E3)
+ termos de ordem superior
Logo:
e
(dV)
dV = E1 + E2 + E3
= E11 + E22 + E33
E tamb´em:
e = Eii =
@ui
@Xi
= div u

Programa
2 Cinem´atica II
Tensor Spin

A equac¸ ˜ao:
dx = dX + ru dX

A equac¸ ˜ao:
dx = dX + ru dX
Pode ser reescrita como:
dx = dX + (E +
) dX

A equaç ão:
dx = dX + ru dX
dx = dX + (E +
) dX
Logo
é a parte anti-simétrica de ru o que leva a:

dX = tA dX
onde
tA =
32e1 +
13e2 +
21e3

A equaç ão:
dx = dX + ru dX
dx = dX + (E +
) dX
Logo

dX = tA dX
onde
tA =
32e1 +
13e2 +
21e3
Para dX em uma direç ão principal, a mudança de direç ão se deve exclusivamente a
.

A equaç ão:
dx = dX + ru dX
dx = dX + (E +
) dX
Logo

dX = tA dX
onde
tA =
32e1 +
13e2 +
21e3
Para dX em uma direç ão principal, a mudança de direç ão se deve exclusivamente a
.
Logo suas componentes podem ser interpretadas como rotaç ões infinitesimais destes
segmentos em torno dos eixos 1, 2 e 3.

Taxa de Variac¸ ˜ao Temporal de um Elemento Material
D
Dt
dx
Como:
dx = x(X + dX; t) x(X; t)
Pode-se escrever a derivada material como:
D
Dt

dx =
D
Dt

x(X + dX; t)
D
Dt

x(X; t)

Taxa de Variac¸ ˜ao Temporal de um Elemento Material
D
Dt
dx
Como:
Pode-se escrever a derivada material como:
D
Dt

dx =
D
Dt

x(X + dX; t)
D
Dt

x(X; t)
Entretanto, D
Dt

x = ˆv(X; t) = ˜v(x; t)
Logo:
D
Dt

dx = ˆv(X + dX; t) ˆv(X; t)
= ˜v(x + dx; t) ˜v(x; t)

D
Dt

dx
Da definiç ão de gradiente, tem-se:
D
Dt

dx = rXˆvdX e
D
Dt

dx = rx ˜vdx
Respectivamente na descriç ão material e na descriç ão espacial.

D
Dt

dx
D
Dt

dx = rXˆvdX e
D
Dt

dx = rx ˜vdx
Representando rx ˜v simplesmente como rv, pode-se escrever:
D
Dt

dx = rvdx

D
Dt

dx
D
Dt

dx = rXˆvdX e
D
Dt

dx = rx ˜vdx
Representando rx ˜v simplesmente como rv, pode-se escrever:
D
Dt

dx = rvdx e [rv] =
266666666666666666666666666666664
@v1
@x1
@v1
@x2
@v1
@x3
@v2
@x1
@v2
@x2
@v2
@x3
@v3
@x1
@v3
@x2
@v3
@x3
377777777777777777777777777777775

Programa
2 Cinem´atica II
Tensor Spin

O gradiente da velocidade rv pode ser decomposto em sua parte simétrica e
anti-simétrica:
D =
rv + rvT
2
e W =
rv rvT
2
respectivamente o tensor de taxa de deformaç ão e o tensor de spin.

anti-simétrica:
D =
rv + rvT
2
e W =
rv rvT
2
Fazendo dx = dsn com n unitário então:
dx dx = ds2

anti-sim´etrica:
D =
rv + rvT
2
e W =
rv rvT
2
dx dx = ds2
e tomando a derivada material:
2dx
D
Dt
(dx) = 2ds
D
Dt
ds

anti-sim´etrica:
D =
rv + rvT
2
e W =
rv rvT
2
dx dx = ds2
2dx
D
Dt
(dx) = 2ds
D
Dt
ds
Logo:
dx
D
Dt
(dx) = dx rvdx

anti-sim´etrica:
D =
rv + rvT
2
e W =
rv rvT
2
dx dx = ds2
2dx
D
Dt
(dx) = 2ds
D
Dt
ds
Logo:
dx
D
Dt
(dx) = dx rvdx
= dx Ddx + dx Wdx

Da definiç ão de transposto e usando que W é antisimétrico:
dx Wdx = dx WTdx = dx Wdx
Logo:
dx Wdx = 0

Logo:
dx Wdx = 0
E portanto, usando a relac¸ ˜ao anteriormente obtida:
dx
D
Dt
(dx) = dx Ddx

Logo:
dx Wdx = 0
dx
D
Dt
(dx) = dx Ddx = ds
D
Dt
ds

Logo:
dx Wdx = 0
dx
D
Dt
(dx) = dx Ddx = ds
D
Dt
ds
Com dx = dsn :
1
ds
D
Dt
ds = n Dn = Dnn sem soma em n

Logo pode-se dar interpretaç ão geométrica aos coeficientes de D análoga aos
coeficientes de E.
Analogamente, também:
D11 + D22 + D33 =
1
dV
D(dV)
Dt

Logo pode-se dar interpretaç ão geométrica aos coeficientes de D análoga aos
coeficientes de E.
Analogamente, também:
D11 + D22 + D33 =
1
dV
D(dV)
Dt
Em termos das componentes de velocidade:
1
dV
D(dV)
Dt =
@vi
@xi
= div v

Programa
2 Cinem´atica II
Tensor Spin

Tensor Spin e Vetor Velocidade Angular
Uma vez que W ´e anti-sim´etrico:
Wa = ! a
Logo:
D
Dt
(dx) = rvdx

Wa = ! a
Logo:
D
Dt
(dx) = rvdx = (D +W)dx

Wa = ! a
Logo:
D
Dt
= Ddx + ! dx

Wa = ! a
Logo:
D
Dt
= Ddx + ! dx
Wrotaciona dx de uma velocidade angular !.

Wa = ! a
Logo:
D
Dt
= Ddx + ! dx
Devido ao efeito de D, só os elementos materiais nas direç ões principais giram
com velocidade angular !.

Wa = ! a
Logo:
D
Dt
= Ddx + ! dx
Devido ao efeito de D, só os elementos materiais nas direç ões principais giram
com velocidade angular !.
Na mecânica dos fluidos 2W é conhecido como tensor de vorticidade.

Programa
2 Cinem´atica II
Tensor Spin

Sendo a massa de uma quantidade infinitesimal de material dada por dm = dV
tem-se:
D
Dt
(dV) = 0

tem-se:
D
Dt
(dV) = 0
Logo:

D
Dt
(dV) + dV
D
Dt
() = 0

tem-se:
D
Dt
(dV) = 0
Logo:

D
Dt
(dV) + dV
D
Dt
() = 0
Usando a relac¸ ˜ao obtida anteriormente, 1
dV
D(dV)
Dt = @vi
@xi
= div v:

@vi
@xi
+
D
Dt
() = 0

tem-se:
D
Dt
(dV) = 0
Logo:

D
Dt
(dV) + dV
D
Dt
() = 0
Usando a relaç ão obtida anteriormente, 1
dV
D(dV)
Dt = @vi
@xi
= div v:

@vi
@xi
+
D
Dt
() = 0
Ou em notaç ão direta:
div v +
D
Dt = 0
que é conhecida como equaç ão de continuidade.

Se for utilizada a descric¸ ˜ao espacial para :
D
Dt =
@
@t + v r
1E se depender da temperatura (x(t); t), onde = ( t; x(t); (x(t); t) )?
2http://goo.gl/f02dxK

Se for utilizada a descric¸ ˜ao espacial para :
D
Dt =
@
@t + v r
Logo, em componentes cartesianas 1:
div v +
@
@t + v r = 0

@v1
@x1
+
@v2
@x2
+
@v3
@x3
!
+
@
@t + v1
@
@x1
+ v2
@
@x2
+ v3
@
@x3
= 0
Para materiais incompress´ıveis temos constante, logo 2:
div v = 0
ou
@v1
@x1
+
@v2
@x2
+
@v3
@x3
= 0
1E se depender da temperatura (x(t); t), onde = ( t; x(t); (x(t); t) )?
2http://goo.gl/f02dxK

Programa
2 Cinem´atica II
Tensor Spin

Dadas três funç ões u1, u2 e u3 é sempre poss´ıvel determinar Eij, mas o inverso não.
Para que isto se verifique é necessário que:
@2E11
@X2
2
+
@2E22
@X2
1
= 2
@2E12
@X1@X2
@2E11
@X2
3
+
@2E33
@X2
1
= 2
@2E13
@X1@X3
@2E22
@X2
3
+
@2E33
@X2
2
= 2
@2E23
@X2@X3

E tamb´em:
@2E11
@X2@X3
=
@
@X1

@E23
@X1
+
@E13
@X2
+
@E12
@X3
!
@2E22
@X1@X3
=
@
@X2

@E13
@X2
+
@E12
@X3
+
@E23
@X1
!
@2E33
@X1@X2
=
@
@X3

@E12
@X3
+
@E23
@X1
+
@E13
@X2
!

E também:
@2E11
@X2@X3
=
@
@X1

@E23
@X1
+
@E13
@X2
+
@E12
@X3
!
@2E22
@X1@X3
=
@
@X2

@E13
@X2
+
@E12
@X3
+
@E23
@X1
!
@2E33
@X1@X2
=
@
@X3

@E12
@X3
+
@E23
@X1
+
@E13
@X2
!
Condiç ões de compatibilidade para D
Analogamente podem ser escritas condiç ões de compatibilidade para o tensor de Taxa
de Deformaç ão, D.
Entretanto, como no caso anterior, usando diretamente as componentes vi estas
condiç ões são implicitamente satisfeitas.

Programa
3 Cinemática III
Gradiente de Deformaç ão F
Decomposiç ão do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformaç ão Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformaç ão Euleriano
Resumo
Mudança de A´ rea
Mudança de Volume

Lembrando que x = x(X; t), pode-se obter:

dx = x(X + dX; t) x(X; t) = rXxdX
Definindo o tensor Gradiente de Deformac¸ ˜ao como:
F = rXx

F = rXx ou F = r0x

F = rXx ou F = r0x ou F = Gradx

F = rXx ou F = r0x ou F = Gradx ou F = rx

F = rXx ou F = r0x ou F = Gradx ou F = rx
Em componentes cartesianas:
[F] =
266666666666666666666666666666664
@x1
@X1
@x1
@X2
@x1
@X3
@x2
@X1
@x2
@X2
@x2
@X3
@x3
@X1
@x3
@X2
@x3
@X3
377777777777777777777777777777775

Pode se escrever ent˜ao:
dx = FdX

dx = FdX
E lembrando que x = X + u, obt´em-se :
F = I + ru

dx = FdX
F = I + ru
FTF = (I + ru)T (I + ru)

dx = FdX
F = I + ru
= I + ru + (ru)T + (ru)T ru

dx = FdX
F = I + ru
= I + 2E
Onde E é o tensor de deformaç ão Lagrangeano.

dx = FdX
F = I + ru
= I + 2E
Onde E é o tensor de deformaç ão Lagrangeano. E para pequenas deformaç ões:
FTF = I + 2E

Movimentos de Corpo R´ıgido Locais
Em um corpo se deformando pode-se verificar em alguns pontos:
FTF = I e det F = 1
Nestes pontos ocorre uma rotac¸ ˜ao de corpo r´ıgido.

FTF = I e det F = 1
Alongamento Puro
Em pontos em que F é simétrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direç ões
principais, nas quais:
dx(1) = 1dX(1)
dx(2) = 2dX(2)
dx(3) = 3dX(3)

FTF = I e det F = 1
Alongamento Puro
Em pontos em que F é simétrico, representado por U, podem ser obtidas 3 direç ões
principais, nas quais:
dx(1) = 1dX(1)
dx(2) = 2dX(2)
dx(3) = 3dX(3)
Não há mudança de direç ão e jdx(1)j=jdX(1)j = 1.
Se U é constante o movimento é dito homogêneo.

Programa
3 Cinem´atica III
Tensor C
Tensor B
Resumo
Mudanc¸a de Volume

Caso Geral de F
Teorema da Decomposiç ão Polar
Um tensor qualquer F invers´ıvel, i.e. com det F , 0 pode sempre ser decomposto no
produto:
F = RU ou F = VR
onde R é um tensor ortogonal próprio (rotaç ão) e U e V são tensores simétricos e
positivos definidos.

Decomposic¸ ˜ao de F
Dado F e sabendo que F = RU:
FTF

FTF = (RU)T (RU)

FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU

FTF = (RU)T (RU) = UTRTRU = UTU

Logo
U2 = FTF

Logo
U2 = FTF
Atrav´es da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:
U =

FTF
1=2

Logo
U2 = FTF
Atrav´es da forma diagonalizada de FTF, pode-se obter:
U =

FTF
1=2
R = FU1

Da express˜ao anterior:
RTR =

FU1
T
FU1


RTR =

FU1
T
FU1

= U1FTFU1

RTR =

FU1
T
FU1

= U1FTFU1
= U1U2U1

RTR =

FU1
T
FU1

= U1FTFU1
= U1U2U1
= I
o que mostra que R ´e ortogonal, como esperado.

RTR =

FU1
T
FU1

= U1FTFU1
= U1U2U1
= I
o que mostra que R ´e ortogonal, como esperado.
O tensor de alongamento esquerdo V, pode ser obtido a partir da igualdade VR = RU
como:
V = RURT

Programa
3 Cinem´atica III
Tensor C
Tensor B
Resumo
Mudanc¸a de Volume

Tensor Deformaç ão de Cauchy-Green Direito
Também conhecido como tensor de deformaç ão de Green:
C FTF = U2

C FTF = U2
Interpretaç ão Geométrica: Diagonal
Considerando como anteriormente dx(1) = FdX(1) e dx(2) = FdX(2)
Pode-se escrever:
dx(1) dx(2) = FdX(1) FdX(2)

C FTF = U2
Pode-se escrever:
dx(1) dx(2) = FdX(1) FdX(2) = FdX(2) FdX(1)

C FTF = U2
Pode-se escrever:
dx(1) dx(2) = FdX(1) FdX(2) = FdX(2) FdX(1) = dX(1) FTFdX(2)

C FTF = U2
Pode-se escrever:
= dX(1) CdX(2)

C FTF = U2
Pode-se escrever:
= dX(1) CdX(2)
Fazendo dx = ds1n o vetor deformado do elemento material dX = dS1e1 e
dx(1) = dx(2) = dX = dS1e1, temos
ds21
= dS2
1e1 Ce1 = dS2
1C11 ! C11 =

ds1
dS1
!2
para o elemento material dX = dS1e1

Interpretaç ão Geométrica: Fora da Diagonal
Considerando dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, que se deformam em dx(1) = ds1m e
dx(2) = ds2n respectivamente a, pode-se escrever:
ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2e1 Ce2

Considerando dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, que se deformam em dx(1) = ds1m e
dx(2) = ds2n respectivamente a, pode-se escrever:
ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2e1 Ce2
ou, de outra forma:
C12 =
ds1ds2
dS1dS2
cos(dx(1); dx(2))
Da mesma forma para as demais componentes.
am e n s˜ao vetores unit´arios que fazem um angulo

= cos(dx(1); dx(2)) entre si

Programa
3 Cinem´atica III
Tensor C
Tensor B
Resumo
Mudanc¸a de Volume

Lembrando o caso geral do tensor de deformaç ão infinitesimal:
E =
1
2

ru + (ru)T + (ru)T ru

e também que
C = FTF

E =
1
2


e tamb´em que
C = FTF = (I + ru)T (I + ru)

E =
1
2


e tamb´em que
C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I +
h
ru + (ru)T
i
+ (ru)T (ru)

E =
1
2


e tamb´em que
C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I +
h
ru + (ru)T
i
+ (ru)T (ru)
Pode-se escrever:
E =
1
2
(C I)

E =
1
2


e tamb´em que
C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I +
h
ru + (ru)T
i
+ (ru)T (ru)
Pode-se escrever:
E =
1
2
(C I)
que leva a:
dx(1) dx(2) dX(1) dX(2) = dX(1) (C I) dX(2)

E =
1
2


e tamb´em que
C = FTF = (I + ru)T (I + ru) = I +
h
ru + (ru)T
i
+ (ru)T (ru)
Pode-se escrever:
E =
1
2
(C I)
que leva a:
dx(1) dx(2) dX(1) dX(2) = dX(1) (C I) dX(2)
= 2dX(1) EdX(2)

Deforma an´aloga ao caso linear:
ds2 dS2 = 2dS2e1 Ee1:

Logo:
E11 =
1
2
ds2 dS2
dS2
para dX = dSe1
e analogamente para os demais termos da diagonal.

Logo:
E11 =
1
2
ds2 dS2
dS2
para dX = dSe1
e analogamente para os demais termos da diagonal.
Fazendo, mais uma vez dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2, pode-se escrever:
E
12 =
1
2
ds1ds2
dS1dS2
cos

dx(1); dx(2)


Programa
3 Cinem´atica III
Tensor C
Tensor B
Resumo
Mudanc¸a de Volume

Tensor Deformac¸ ˜ao de Cauchy-Green Esquerdo
Seja:
B = FFT

Seja:
B = FFT = VR(VR)T

Seja:
B = FFT = VR(VR)T = V2

Seja:
Substituindo F = RU, chega-se a:
B = RCRT e C = RTBR

Seja:
B = RCRT e C = RTBR
Pode-se verificar que se n é autovetor de B com autovalor , então Rn é autovetor de
C com o mesmo autovalor.

Seja:
B = RCRT e C = RTBR
Relac¸ ˜ao com ru
Pode-se expressar B em termos de ru, como:
B = FFT

Seja:
B = RCRT e C = RTBR
Relac¸ ˜ao com ru
B = FFT = (I + ru) (I + ru)T

Seja:
B = RCRT e C = RTBR
Relac¸ ˜ao com ru
B = FFT = (I + ru) (I + ru)T = I +
h
ru + (ru)T
i
+ (ru) (ru)T

Fazendo dX = dSn onde n = RTe1, sendo F = VR tem-se:
ds2 = dS2n Cn

ds2 = dS2n Cn = dS2RTe1 CRTe1

= dS2e1

CRT
T RTe1

= dS2e1

CRT
T RTe1
= dS2e1 RCRTe1

= dS2e1

CRT
T RTe1
= dS2e1 RCRTe1
= dS2e1 Be1

= dS2e1

CRT
T RTe1
= dS2e1 RCRTe1
= dS2e1 Be1
Logo:
B11 =

ds
dS
!2
para dX = RTe1

Considerando dX(1) = dS1RTe1 e dX(2) = dS2RTe2, pode-se escrever:
ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2

RTe1

CRTe2

Considerando dX(1) = dS1RTe1 e dX(2) = dS2RTe2, pode-se escrever:
ds1ds2 cos(dx(1); dx(2)) = dS1dS2

RTe1

CRTe2
= dS1dS2e1 Be2
Logo:
B12 =
ds1ds2
dS1dS2
cos(dx(1); dx(2)) para
8:
dX(1) = dS1RTe1
e
dX(2) = dS2RTe2

Programa
3 Cinem´atica III
Tensor C
Tensor B
Resumo
Mudanc¸a de Volume

Seja o Tensor de deformac¸ ˜ao Euleriano:
e
1
2

I B1


e
1
2

I B1

Sem deformac¸ ˜ao: B1 = I e e = 0

e
1
2

I B1

F1
Partindo de dx = FdX pode-se escrever:
dX = F1dx

e
1
2

I B1

F1
dX = F1dx e ainda dXi = F1
ij dxj

e
1
2

I B1

F1
dX = F1dx e ainda dXi = F1
ij dxj
Logo:
F1
ij =
dXi
dxj
onde Xi = Xi(x1; x2; x3; t) é a funç ão inversa de xi = xi(X1; X2; X3; t).

Interpretaç ão Geométrica de e
Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)

Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)
= F1dx(2) F1dx(1)

Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)
= F1dx(2) F1dx(1)

= dx(1)
F1
T F1dx(2)

Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)
= F1dx(2) F1dx(1)

= dx(1)
F1
T F1dx(2)
= dx(1)

FFT
1
dx(2)

Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)
= F1dx(2) F1dx(1)

= dx(1)
F1
T F1dx(2)
= dx(1)

FFT
1
dx(2)
Isto ´e
dX(1) dX(2) = dx(1) B1dx(2)

Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)
= F1dx(2) F1dx(1)

= dx(1)
F1
T F1dx(2)
= dx(1)

FFT
1
dx(2)
Isto ´e
dX(1) dX(2) = dx(1) B1dx(2)
Logo:
dx(1) dx(2) dX(1) dX(2) = dx(1)

I B1

dx(2)

Fazendo:
dX(1) dX(2) = F1dx(1) F1dx(2)
= F1dx(2) F1dx(1)

= dx(1)
F1
T F1dx(2)
= dx(1)

FFT
1
dx(2)
Isto ´e
dX(1) dX(2) = dx(1) B1dx(2)
Logo:
dx(1) dx(2) dX(1) dX(2) = dx(1)

I B1

dx(2)
= 2dx(1) edx(2)

Diagonal
Fazendo dx(1) = dx(2) = dse1 obt´em-se:
B1
11 =
dS2
ds2

Diagonal
B1
11 =
dS2
ds2 e tamb´em e
11 =
1
2

ds2 dS2

ds2

Diagonal
B1
11 =
dS2
ds2 e tamb´em e
11 =
1
2

ds2 dS2

ds2
Fora da Diagonal
Fazendo dx(1) = dse1 e dx(2) = dse2 obt´em-se:

Diagonal
B1
11 =
dS2
ds2 e tamb´em e
11 =
1
2

ds2 dS2

ds2
Fora da Diagonal
B1
12 =
dS1dS2
ds1ds2
cos(dX(1); dX(2))

Diagonal
B1
11 =
dS2
ds2 e tamb´em e
11 =
1
2

ds2 dS2

ds2
Fora da Diagonal
B1
12 =
dS1dS2
ds1ds2
cos(dX(1); dX(2))
e tamb´em
2e12 = 1
dS1dS2
ds1ds2
cos(dX(1); dX(2))

Relaç ões com ru
Lembrando que x = X + u pode-se obter:
X = x u(x1; x2; x3; t)
onde se utiliza uma descriç ão espacial para u.

X = x u(x1; x2; x3; t)
Logo:
@Xi
@xj
= ij
@ui
@xj

X = x u(x1; x2; x3; t)
Logo:
@Xi
@xj
= ij
@ui
@xj
ou
F1 = I rxu
com
[rxu]ij =
@ui
@xj
[rXu]ij =
@ui
@Xj

Portanto:
B1 = (I rxu)T (I rxu)

Portanto:
= I
h
rxu + (rxu)T
i
+ (rxu)T rxu

Portanto:
= I
h
rxu + (rxu)T
i
+ (rxu)T rxu
e tamb´em:
e =
h
rxu + (rxu)T
i
2

(rxu)T rxu
2

Programa
3 Cinem´atica III
Tensor C
Tensor B
Resumo
Mudanc¸a de Volume

Resumo das Medidas de Deformaç ão
Gradiente de deformaç ao ˜F = RU = VR
Tensor Cauchy-Green direito C = FTF = U2
Tendor Cauchy-Green Esquerdo
(Finger Tensor) b = FFT = V2
Tensor de deformaç ao ˜de Green
1
Tensor de deformaç ao ˜Lagrangiano E = (C I)
2 Tensor de deformaç ão de Almansi
Tensor de deformaç ão Eulerian e = 12

I b1


Programa
3 Cinem´atica III
Tensor C
Tensor B
Resumo
Mudanc¸a de Volume

Considere dX(1) = dS1e1 e dX(2) = dS2e2 emanando de um ponto material X.
Em t0 a ´area formada por dX(1) e dX(2) pode se escrever:
dA0 = dX(1) dX(2)

dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3

dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3

dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
e, analogamente, durante a deformac¸ ˜ao no tempo t:
dA = dFdX(1) FdX(2)

dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
dA = dFdX(1) FdX(2)
= dS1dS2Fe1 Fe2

dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
dA = dFdX(1) FdX(2)
= dS1dS2Fe1 Fe2
= dA0Fe1 Fe2

dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
dA = dFdX(1) FdX(2)
= dS1dS2Fe1 Fe2
= dA0Fe1 Fe2
Sendo n o vetor unitário de direç ão Fe1 Fe2, com n = dA0
dA (Fe1 Fe2):
dA = dA n

dA0 = dX(1) dX(2)
= dS1dS2e3
= dA0e3
dA = dFdX(1) FdX(2)
= dS1dS2Fe1 Fe2
= dA0Fe1 Fe2
Sendo n o vetor unitário de direç ão Fe1 Fe2, com n = dA0
dA (Fe1 Fe2):
dA = dA n = dA0 (Fe1 Fe2)

Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0

Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 )

Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0

Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 )

Logo:
Fe1 dA n = Fe2 dAn = 0 ) Fe1 n = Fe2 n = 0 ) e1 FTn = e2 FTn = 0

Logo:
com isso temos que FTn ´e simultaneamente normal a e1 e e2 e portanto:
Fe3 dA

Logo:
Fe3 dA =

Logo:
Fe3 dA = Fe3 dAn

Logo:
Fe3 dA = Fe3 dAn =

Logo:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2)

Logo:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) =

Logo:
Fe3 dA = Fe3 dAn = Fe3 dA0 (Fe1 Fe2) = dA0 (Fe3 Fe1 Fe2)

Logo:
Lembrando que a b c = det [abc]T = det [abc]:
Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3

Logo:
Fe3 Fe1 Fe2 = Fe1 Fe2 Fe3 = det F

Logo:
Desta forma
Fe3 dA = dA0 det F

Logo:
Desta forma
Fe3 dA = dA0 det F )

Logo:
Desta forma
Fe3 dA = dA0 det F ) Fe3 dAn = dA0 det F

Logo:
Desta forma
Fe3 dA = dA0 det F ) Fe3 dAn = dA0 det F )

Logo:
Desta forma
Fe3 dA = dA0 det F ) Fe3 dAn = dA0 det F ) Fe3 n =
dA0
dA
det F
Usando agora a Tb = b TTa, a express˜ao anterior resulta em
e3 FTn =
dA0
dA
det F

Logo:
Desta forma
dA0
dA
det F
e3 FTn =
dA0
dA
det F )

Logo:
Desta forma
dA0
dA
det F
e3 FTn =
dA0
dA
det F ) FTn =

dA0
dA
#
e3
det F

A área na configuraç ão deformada é realacionada com a área na configuraç ão
deformada da seguinte maneira

A área na configuraç ão deformada é realacionada com a área na configuraç ão
deformada da seguinte maneira
dA = dA0(det F)

Mecânica dos Sólidos - Unidade 02

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