Resistência dos Materiais II - Unidade 01

Unidade 01 – Flexão Oblíqua
Resistência dos Materiais II
Elson Toledo
Flávia Bastos
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora
versão 13.05
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 1 / 34

Flexão Oblíqua
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Caracterização da flexão oblíqua
Tensões normais na flexão oblíqua
Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Tensões na flexão oblíqua com eixos quaisquer
Verificação da estabilidade
Momento fletor máximo
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3

Flexão Oblíqua Introdução
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3

Flexão Oblíqua
Introdução
O estudo da teoria de ﬂexão realizado na Resistência dos Materiais I restringe-se
ao caso denominado ﬂexão reta
y
z
Mz
LN
σx

Flexão Oblíqua
Introdução
Carregamento situado no plano de
solicitação (PS)
o PS é um plano que intercepta a
seção segundo seu eixos principais
de inércia – dois para o retângulo
O eixo de solicitação (ES ou ss) é
a interseção entre o PS e o plano
da seção
O momento fletor é perpendicular
ao eixo de solicitação
O plano de ocorre a flexão é o
plano de solicitação (PS)
A linha neutra (LN ou nn) é
definida como o lugar geométrico
das tensões normais nulas
y
z
PS
ES, ssMz
LN, ss

Flexão Oblíqua
Introdução
Para seções T e U constatamos duas possibilidades de ﬂexão reta, segundo os
dois eixos principais de inércia (um deles é de simetria)
z
y
Mz
PS

Flexão Oblíqua
Introdução
z
y
My
PS

Flexão Oblíqua
Introdução
z
y
Mz z
y
My

Flexão Oblíqua
Introdução
Como último exemplo temos as seções L com abas iguais, com os planos de
solicitação cortando a seção segundo seus eixos principais de inércia
y z
Mz
y z
My

Flexão Oblíqua
Introdução
Os casos em seguida mostram que dependendo da posição do plano de solici-
tação as seções estarão submetidas a um tipo de ﬂexão diferente
z
M

Flexão Oblíqua
Introdução
Isso ocorre mesmo em casos de
seções com dois eixos de simetria,
como as seções retangulares
Está é denominada a ﬂexão não
simétrica, oblíqua ou desviada
Nestes casos, o ES (ss) não é ⊥ a
LN
É necessário determinar a
posição da LN, a partir do con-
hecimento da posição do eixo de
solicitação (ss)
y
z
M

Flexão Oblíqua Caracterização da ﬂexão oblíqua
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3

Flexão Oblíqua
Vamos considerar uma seção transversal qualquer, como a origem do sistema de
eixos em seu centroide C
y
z
M
M
y
z
Mz
My
ES, ss
π
2
C

Flexão Oblíqua
Casos de ocorrência
1
1http://www.uff.br/petmec/downloads/resmat/E%20-%20Flexao%20Pura.pdf

Flexão Oblíqua Tensões normais na ﬂexão oblíqua
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3

Flexão Oblíqua
Situação na ﬂexão oblíqua
n
n
s
s
M
PS
dA
dF
z
y

Flexão Oblíqua
Na flexão oblíqua, as seções giram em torno de um eixo chamado Eixo Neutro
ou Linha Neutra (LN)
O PS não é mais o plano de flexão como ocorre na flexão reta
n n
s
s
M
u
v
u
δdx
dϕ
dϕ
ES
LN
dx
ρ
G0 G
f
f
P

Flexão Oblíqua
Seja P um ponto genérico da seção e u a distância de P à LN
dx a distância entre duas seções transversais adjacentes
dϕ o giro relativo entre as duas seções separadas por dx
ρ o raio de curvatura sofrido pela fibra após a deformação
δdx o alongamento sofrido pela fibra dx cuja posição é definida por u e v
n n
s
s
M
u
v
u
δdx
dϕ
dϕ
ES
LN
dx
ρ
G0 G
f
f
P

Flexão Oblíqua
Temos que
εx =
δdx
dx
=
u tan dϕ
dx
=
udϕ
dx
=
udϕ
ρdϕ
=
u
ρ
Pela lei de Hooke
σx = Eεx =
Eu
ρ
⇒
E
ρ
=
σx
u
n n
s
s
M
u
v
u
δdx
dϕ
dϕ
ES
LN
dx
ρ
G0 G
f
f
P

Flexão Oblíqua
Outra maneira de chegarmos as mes-
mas expressões:
O plano de solicitação PS não con-
tém um dos eixos principais de inér-
cia
A interseção do PS com o plano da
seção deﬁne o eixo de solicitação
(ES)
O momento interno M é ⊥ ao ES e é
decomposto segundo a LN
Mn = M cos θ
onde θ é o ângulo entre o ES e a LN
As seções giram em torno de um
eixo denominado eixo neutro ou
linha neutra (LN, nn)
y
z C
ES
M
α
β
θMn
B
LN, nn
P
u
β
v

Flexão Oblíqua
Seja P um ponto genérico da seção
u a distância de P à LN
dx a distância entre duas seções
transversais adjacentes
ρ o raio de curvatura sofrido pela
ﬁbra após a deformação
dX o comprimento de uma ﬁbra a
distância u da LN
dϕ o giro relativo entre as duas
seções separadas por dx
ρ
dx
dϕ
LN
dX
u
y
z
C
ES
M
α
β
θMn
P
u
LN
y
z C
ES
M
α
β
θMn
B
LN
P
u
β
v

Flexão Oblíqua
Temos que
εx =
dX − dx
dx
=
(ρ + u)dϕ − ρdϕ
ρdϕ
=
u
ρ
Pela Lei de Hooke,
σx = Eεx =
Eu
ρ
⇒
E
ρ
=
σx
u
ρ
dx
dϕ
LN
dX
u

Flexão Oblíqua
Sabemos que o esforço normal na
seção é nulo (N = 0)
N =
A
σxdA =
A
Eu
ρ
dA =
E
ρ A
udA = 0
O que permite escrever
u =
A
udA = 0
Conclusões:
u é a distância da LN ao centroide
da seção
A LN é baricêntrica (passa pelo
centroide da seção)
y
z C
ES
M
α
β
θMn
B
LN, nn
P
u
β
v

Flexão Oblíqua
O momento Mn com relação a LN é
dado por
Mn =
A
uσxdA =
A
Eu2
ρ
dA =
EIn
ρ
onde In = A
u2
dA
Daí temos que
Mn
In
=
E
ρ
=
σx
u
⇒ σx =
Mnu
In
Conclusões:
σx é um plano nas coordenadas u e
v (ou quaisquer coordenadas com
relação a quaisquer pares de eixos)
Comportamento similar ao da ﬂexão
reta
y
z C
ES
M
α
β
θMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u
β
v

Flexão Oblíqua
O momento Ms com relação ao ES é
nulo pois M ⊥ ES
Ms =
A
vσxdA =
E
ρ A
uvdA = 0
Daí temos que
Ins =
A
uvdA = 0
onde Ins é o produto de inércia em
relação aos eixos oblíquos ES e LN
Conclusões:
ES e LN fazem parte da elipse cen-
tral de inércia da seção
y
z C
ES
M
α
β
θMn
B
LN, nn
P
u
β
v

Flexão Oblíqua Posição relativa: Eixo de Solicitação × Linha Neutra
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3

Flexão Oblíqua
Seja P um ponto genérico distante u
da LN
In o momento de inércia com relação
a LN
α indica a posição do eixo de
solicitação (ES) em relação ao eixo z
β indica a posição da linha neutra
(LN) em relação ao eixo z
Temos que Ins = 0
Vamos mostrar que se y e z são eixos
principais de inércia, então
tan α tan β = −
Iz
Iy
y
z C
ES
M
α
β
θMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u
β
v

Flexão Oblíqua
Para a determinação de In, sejam
α a posição relativa do ES ao eixo z
β a posição relativa da LN ao eixo z
dA um elemento de área com coor-
denadas y e z com relação a xCy
As coordenadas dA são u com re-
lação a LN e v com relação ao ES
A tranformação de coordenadas ﬁca
v = y cos α − z sin α
u = z sin β − y cos β
E então
Ins = A
uvdA = 0
In = A
u2
dA
Is = A
v2
dA
z
y
α
β
α
α
β
β
α
β
u
v
ES
LN
dA
C
M
n
n
s
s

Flexão Oblíqua
Sabemos que
Ins = A
uvdA
= A
(z sin β − y cos β)(y cos α − z sin α)dA
= A
yz sin β cos α − z2
sin β sin α − cos α cos βy2
+ yz cos α cos β
= Iyz sin β cos α − Iy sin β sin α − Iz cos α cos β + Iyz cos α cos β
= (Iyz − Iy) sin β cos α + (Iyz − Iz) cos α cos β
= 0
Se y e z forem os eixos principais de inércia, Iyz = 0
Ins = −Iy sin β sin α − Iz cos α cos β
o que nos permite escrever (já que Ins = 0)
sin α
cos α
sin β
cos β
= −
Iz
Iy
⇒ tan α tan β = −
Iz
Iy

Flexão Oblíqua
Temos também que In = A
u2
dA, ou
In = A
(z sin β − y cos β)2
dA
= Iy sin2
β − 2Iyz sin β cos β + Iz cos2
β
Se y e z forem os eixos principais de
inércia, Iyz = 0
In = Iy sin2
β + Iz cos2
β
E por ﬁm, com Mn = M cos θ, pode-
mos calcular
σn =
Mn
In
u
y
z C
ES
M
α
β
θMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u
β
v

Flexão Oblíqua
A ﬂexão reta é um caso particular da ﬂexão
oblíqua
Se M = Mz, então o eixo y é o eixo de solicitação
Cy ≡ ES
α = π
2
β = 0
Cz ≡ LN
u = y
Mn = Mz
In = Iz
Como resultado
σx =
Mn
In
u =
Mz
Iz
y
y ≡ ES
z ≡ LN
C
M
α
β = 0
P
u = y
M = Mz

Flexão Oblíqua
A ﬂexão reta é um caso particular da ﬂexão
oblíqua
Se M = My, então o eixo z é o eixo de solicitação
Cz ≡ ES
α = 0
β = π
2
Cy ≡ LN
u = z
Mn = My
In = Iy
Como resultado
σx =
Mn
In
u =
My
Iy
z
y ≡ LN
z ≡ ES
C
M
α = 0
β
P
u = z
M = My

Flexão Oblíqua Tensões na ﬂexão oblíqua com eixos quaisquer
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3

Flexão Oblíqua
Hipóteses básicas
O momento M é decomposto em duas componentes My e Mz
O esforço normal é nulo (N = 0)
Regime de pequenas deformações
Material elástico linear ⇒ σx = Eεx
y
z CMz
My
+ –
+–

Flexão Oblíqua
Hipóteses básicas
Postulado de Navier-Bernoulli: seções planas normais ao eixo geométrico da barra
antes da deformação permanecem planas e normais a esse eixo após a deformação 2
z y
C
u(y, z) = Ay + Bz
2Essa hipótese foi originalmente usada por James Bernoulli (1654–1705), embora Louis
Navier (1785–1836) a tenha usado para desenvolver a primeira teoria completa sobre tensões em
vigas.

Flexão Oblíqua
Se a condição de Navier-Bernoulli prevalece, temos que o deslocamento na di-
reção normal ao eixo geométrico, para um dado valor de x, forma um plano que
passa pela origem, pode ser escrito
u = Ay + Bz
onde A = A(x), B = B(x) e podem ser consideradas constantes ao logo da seção
z y
C
u(y, z) = Ay + Bz

Flexão Oblíqua
A deformação longitudinal ﬁca
εx =
du
dx
=
d
dx
(Ay + Bz) =
dA
dx
y +
dB
dx
z = c1y + c2z
Considerando o regime elástico linear, temos que
σx = Eεx = E(c1y + c2z) = (Ec1)y + (Ec2)z) = ay + bz
A representação das tensões normais resulta em um plano que passa pela origem

Flexão Oblíqua
E do equilíbrio das forças internas
Mz = A
σxydA = a A
y2
dA + b A
yzdA = aIz + bIyz
My = − A
σxzdA = −a A
yzdA − b A
z2
dA = −aIyz − bIy
y
z
σx
τxz
τxy
dA

Flexão Oblíqua
Rearranjando os termos
Mz = aIz + bIyz
My = −aIyz − bIy
→
Iz Iyz
−Iyz −Iy
a
b
=
Mz
My
Daí
a
b
=
1
IzIy − I2
yz
−Iy −Iyz
Iyz Iz
Mz
My
e os coeﬁcientes ﬁcam
a =
MzIy + MyIyz
IzIy − I2
yz
b = −
MyIz + MzIyz
IzIy − I2
yz

Flexão Oblíqua
Retornando em
σx = ay + bz
Temos para o caso de y ou z serem eixos quaisquer
σx =


MzIy + MyIyz
IzIy − I2
yz

 y −


MyIz + MzIyz
IzIy − I2
yz

 z
ou
σx =
(MzIy + MyIyz)y − (MyIz + MzIyz)z
IzIy − I2
yz
O método acima é útil quando as direções principais não são conhecidas, mas Iy,
Iyz e Iz podem ser determinados.

Flexão Oblíqua
Agora vamos supor que y ou z sejam os eixos principais de inércia
Se tal condição é válida temos Iyz = 0 e a expressão acima se reescreve como
σx =
Mz
Iz
y −
My
Iy
z

Flexão Oblíqua Veriﬁcação da estabilidade
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3

Flexão Oblíqua
A veriﬁcação da estabilidade consiste em comparar e asseguar-se que as máxi-
mas tensões normais atuantes sejam menores que os valores admissíveis
σc é a tensão máxima de compressão e σt é a tensão máxima de tração
Vamos deﬁnir A e B os pontos mais distantes da LN (mais solicitados), com uA e
uB as respectivas distâncias
y
z C
ES
M
α
β
θMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u

Flexão Oblíqua
As seguintes têm que ser satisfeitas
σA =
MnuA
In
≤ σc
σB =
MnuB
In
≤ σt
Nas expressões acima não usamos nenhum sinal
Os sinais dependem da identiﬁcação prévia dos pontos onde ocorre tração ou
compressão

Flexão Oblíqua Momento ﬂetor máximo
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3

Flexão Oblíqua Momento fletor máximo
Flexão Oblíqua
A partir da definição da LN e consequentemente das fibras mais solicitadas
podemos calcular a capacidade portante
Supondo Mmax o momento máximo que a seção pode estar submetida, temos
Mmax =
σtIn
u
Para o caso em análise, com A e B os pontos mais solicitados
Mmax ≤ min
σtIn
uB
,
σcIn
uA
y
z C
ES
M
α
β
θMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u

Flexão Oblíqua Resumo
Flexão Oblíqua
Resumo
My = M cos α; Mz = M sin α; tan α =
My
Mz
σx =


MzIy + MyIyz
IzIy − I2
yz

 y −


MyIz + MzIyz
IzIy − I2
yz

 z
tan α tan β = − Iz
Iy
(Eixos principais de inércia)
σx =
Mz
Iz
y −
My
Iy
z (Eixos principais de inércia)
σn =
Mn
In
u, In = Iy sin2
β − 2Iyz sin β cos β + Iz cos2
β
σA =
MnuA
In
≤ σc, σB =
MnuB
In
≤ σt
Mmax ≤ min
σtIn
uB
,
σcIn
uA
M
y
z
Mz
My
ES, ss
π
2
C
y
z C
ES
M
α
β
θMn
A
B
σA
σB
–
+
uA
uB
LN, nn
P
u

Flexão Oblíqua Resumo
Flexão Oblíqua
Resumo
Se mudarmos a orientação do eixo z, os sinais de algumas as expressões anteri-
ores se alteram
σx =


MzIy − MyIyz
IzIy − I2
yz

 y −


MyIz − MzIyz
IzIy − I2
yz

 z
tan α tan β = + Iz
Iy
(Eixos principais de inércia)
M
y
z
Mz
My
ES, ss
π
2
C

Flexão Oblíqua Exemplo 1
Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3

Flexão Oblíqua
Exemplo 1
Para a seção ilustrada ao lado, pede-se calcular as
tensões nos vértices do retângulo, determinar a linha
neutra (LN, nn) e desenhar o diagrama de tensões
referenciado à LN.
Dados: M = 150 kNm; α = 70o
ES
y
z 60 cm
20 cm
C
M
70o

Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3

Flexão Oblíqua
Exemplo 2
Para o perﬁl L (dimensões
em mm), pede-se determinar
a posição de nn e as tensões
máximas. Dados: M = 50 kNm.
ES
C
M
600
50
50
400

Programa
1 Flexão Oblíqua
Introdução
Exemplo 1
Exemplo 2
Exemplo 3

Flexão Oblíqua
Exemplo 3
um momento M age na viga engastada de acordo com a ﬁgura. Determine a tensão
normal no pto A e a posição da LN. Cotas em mm. Dados: M = 1, 5(106
) Nmm.
y
z
12
12
12
100
80
C
M
A
M
A

Resistência dos Materiais II - Unidade 01

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