O documento aplica métodos numéricos de Runge-Kutta de 1a a 5a ordem para resolver uma equação diferencial ordinária que modela o resfriamento de Newton. A solução analítica é obtida e comparada com as soluções aproximadas dos métodos numéricos para avaliar a precisão de cada método.

1. APLICAÇÃO DE ALGUNS MÉTODOS NUMÉRICOS DE
RUNGE-KUTTA
NA RESOLUÇÃO DE UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL
ORDINÁRIA REFERENTE AO PROBLEMA DO
RESFRIAMENTO DE NEWTON
RODRIGO ROMAIS
Departamento de Matemática – UNEMAT/Sinop
r.romais@gmail.com

2. Equações Diferenciais
 Uma equação diferencial é uma igualdade que envolve uma função de uma
ou mais variáveis e suas derivadas até determinada ordem.
 Pode ser encontrada em aplicações como reações químicas, decaimento
radioativo e corpos em queda.
 Nem toda equação diferencial apresenta solução analítica. Para se
contornar esta problemática, surgem os métodos numéricos.
 Em se tratando da resolução de EDO´s de primeira ordem, destacam-se os
Métodos de Runge-Kutta, devido à relativa facilidade de obtenção dos seus
algoritmos.

3. Problema Modelo
O problema modelo é governado por uma equação diferencial linear de
primeira ordem. Uma equação diferencial de primeira ordem é toda
equação do tipo:
(1)
em que:
- função incógnita ou solução da EDO;
- derivada da função incógnita;
- função da variável independente ;
- função da variável independente .

4. Problema Modelo
Figura 1 - Representação do problema modelo
A lei do resfriamento de Newton é contemplada pela equação:
(2)

5. Problema Modelo
 A barra de ferro é aquecida em 60ºC, consequentemente submergido em
um recipiente termicamente controlado à 5ºC. No decorrer de 10 minutos
a temperatura da barra cai para 40ºC. Qual será a temperatura da barra no
decorrer de 22 minutos.
 Caracterizado um Problema de Valor Inicial(PVI), segue algumas
condições iniciais:

6. Resolução Analítica
Da equação (1) e (2):
(3)
Fazendo analogia entre as equações (1) e (3):
(4)
(5)
A solução da equação (2), segundo a técnica do fator integrante é expressa
pela equação (6):
(6)
Conhecido o fator integrante U(t):
(7)

7. Resolução Analítica
Substituindo as equações (4), (5) e (7) na equação (6) :
com:
Assim:
(8)

8. .
Resolução Analítica
A equação (8) é a solução geral da EDO. Como condição inicial admitimos que
Quando o tempo é igual à zero, a temperatura do corpo é To, e dessa forma, a
solução particular da equação (2) fica expressa por:
Substituindo na equação (8):
Encontra-se a solução particular para o problema:
(9)

9. Resolução Analítica
Do problema modelo é conhecido que a temperatura inicial do corpo To e
que a sua temperatura após 10 minutos é de , pode-se
agora encontrar o valor da constante k, assim como expressa a Equação (10) :

10. Resolução Analítica
Então, a expressão de k fica expressa:
(10)
Conhecido o valor de k, a função Temperatura do corpo fica expressa pela
equação (11):
(11)
+ .
A equação (11) também pode ser representada da seguinte maneira:

11. Resolução Analítica
Sabendo que:
Então a função Temperatura da barra fica limitada à Temperatura do
Ambiente:

12. Resolução Analítica
A Figura 2 representa a variação da temperatura da barra de ferro ao longo
do tempo.
Figura 2 - Variação de temperatura do corpo (problema modelo).
Para o instante t=22 minutos, a temperatura do corpo segundo a equação
(11), é de T(t=22)=25.347659907ºC

13. Métodos Numéricos de Runge-Kutta
 Basicamente, o desenvolvimento e consequentemente, a melhoria das
aproximações de métodos numéricos aplicados a resolução de equações
diferenciais ordinárias fundamentam-se em séries de Taylor, cuja melhoria
das aproximações ficam atreladas ao termo do truncamento da mesma.
 Os Métodos de Runge-Kutta evitam essas dificuldades algébricas,
utilizando expressões menos “complicadas” e fornecendo precisão igual ao
da expansão da série de Taylor de mesma ordem.

14. Métodos Numéricos de Runge-Kutta
A expressão geral do Método de Runge-Kutta de ordem m, é expressa pela
equação (12):
(12)
Com i variando de 0 a n-1. Em que:
Constantes para cada método de ordem m
Sendo pj e r j,l , constantes para cada método de ordem m, para j>1.

15. Runge-Kutta de 1ª Ordem
Seja a EDO y’=f(x,y), com condições iniciais x e y . Deseja-se obter y=f(x), para
0 0
que x=x.
(13)
Constante para o método de ordem 1

16. Representação Geométrica de Runge-Kutta
A Figura 3 representa o comportamento do método numérico para três
partições de domínio, h=3.
Figura 3 – Método de Euler de 1ª Ordem para três partições de domínio

17. Representação Geométrica de Runge-Kutta
A Figura 4 representa o comportamento do método numérico para cinco
partições de domínio, h=5.
Figura 4 – Método de Euler de 1ª Ordem para cinco partições de domínio

18. Runge-Kutta de 2ª Ordem
De maneira análoga, a expressão para Runge-Kutta de 2ª Ordem fica expresso
pela equação (14):
(14)
Onde:

19. Runge-Kutta de 3ª Ordem
A expressão para Runge-Kutta de 3ª Ordem fica expresso pela equação (15):
(15)
Onde:

20. Runge-Kutta de 4ª Ordem
A expressão para Runge-Kutta de 4ª Ordem fica expresso pela equação (16):
(16)
Onde:

21. Runge-Kutta de 5ª Ordem
Por fim, a expressão de Runge-Kutta de 5ª Ordem, fica expresso pela equação
(17):
(17)
Onde:

22. Resolução Aproximada
Para a verificação do erro gerado em ambas aproximações, utiliza-se a
medida de erro percentual relativo, assim como expressa a equação (18):
(18)
Onde:
- Solução Analítica do Problema Modelo
- Solução Aproximada obtida pele Método Numérico

23. Resolução Aproximada
Para a verificação das aproximações segundo as versões de Runge-Kutta,
Serão utilizadas respectivamente 5, 10 e 20 partições no intervalo do
problema modelo que varia de 10 a 22 minutos, lembrando que temperatura
de interesse é referente ao tempo de 22 min.
SAN = T(t=22)=25.347659907ºC

24. Aproximações com 5 partições de Domínio
Tabela 1 - Aproximações para cinco partições e o erro encontrado.
Xn 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 5ª Ordem
10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000
12,4 36,203324961 36,073153245 36,401803839 36,402005767 36,402001476
14,8 32,818499674 32,885269528 33,173522409 33,173884749 33,173877048
17,2 29,800848150 30,024439925 30,277126404 30,277614039 30,277603675
19,6 27,110540689 27,457111019 27,678496141 27,679079482 27,679067083
22 24,712068176 25,153171732 25,347019634 25,347673848 25,347659943
Erro(%) 2,507496680 0,767282567 0,002525967 0,000054999 0,000000142

25. Aproximações com 5 partições de Domínio
O gráfico da Figura 5 ilustra a forma como as aproximações são realizadas
para ambos os métodos.
O gráfico da Figura 5 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.

26. Aproximações com 10 partições de Domínio
Tabela 2 - Aproximações para dez partições e o erro encontrado.
Xn 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 5ª Ordem
10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000
11,2 38,101662480 38,069119551 38,152212950 38,152225570 38,152225435
12,4 36,306287399 36,324150643 36,401977813 36,402001722 36,402001465
13,6 34,608290257 34,671259072 34,744144443 34,744178412 34,744178047
14,8 33,002389448 33,105586165 33,173834588 33,173877489 33,173877028
16 31,483589833 31,622529625 31,686427539 31,686478334 31,686477789
17,2 30,047167198 30,217730008 30,277546532 30,277604269 30,277603649
18,4 28,688653562 28,887057907 28,943045871 28,943109674 28,943108989
19,6 27,403823281 27,626601810 27,678998725 27,679067794 27,679067052
20,8 26,188679900 26,432656607 26,481685578 26,481759177 26,481758387
22 25,039443727 25,301712695 25,347583280 25,347660740 25,347659908
Erro(%) 1,215955165 0,181268062 0,000302306 0,000003285 0,000000004

27. Aproximações com 10 partições de Domínio
O gráfico da Figura 6 ilustra a forma como as aproximações são realizadas
para ambos os métodos.
O gráfico da Figura 6 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.

28. Aproximações com 20 partições de Domínio
Tabela 3 - Aproximações para vinte partições e o erro encontrado.
Xn 1ª Ordem 2ª Ordem 3ª Ordem 4ª Ordem 5ª Ordem
10 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000 40,000000000
10,6 39,050831240 39,042695508 39,063585201 39,063585990 39,063585986
11,2 38,127403090 38,132006273 38,152223907 38,152225443 38,152225434
11,8 37,229017487 37,245679237 37,265245819 37,265248061 37,265248049
12,4 36,354995299 36,383062675 36,401998572 36,402001480 36,402001465
13 35,504675814 35,543522301 35,561847252 35,561850791 35,561850772
13,6 34,677416233 34,726440794 34,744173937 34,744178069 34,744178047
14,2 33,872591194 33,931217348 33,948377232 33,948381925 33,948381899
14,8 33,089592292 33,157267231 33,173871837 33,173877056 33,173877028
15,4 32,327827621 32,404021351 32,420088108 32,420093822 32,420093791
16 31,586721328 31,670925841 31,686471642 31,686477822 31,686477788
16,6 30,865713176 30,957441650 30,972482871 30,972489487 30,972489451
17,2 30,164258122 30,263044150 30,277596662 30,277603686 30,277603648
17,8 29,481825903 29,587222744 29,601301931 29,601309337 29,601309297
18,4 28,817900636 28,929480496 28,943101268 28,943109030 28,943108988
19 28,171980430 28,289333764 28,302510572 28,302518666 28,302518623
19,6 27,543577004 27,666311844 27,679058694 27,679067096 27,679067051
20,2 26,932215317 27,059956622 27,072287089 27,072295777 27,072295731
20,8 26,337433214 26,469822242 26,481749481 26,481758435 26,481758386
21,4 25,758781071 25,895474773 25,907011534 25,907020733 25,907020683
22 25,195821457 25,336491895 25,347650535 25,347659958 25,347659907
Erro(%) 0,599023543 0,044059342 0,000036976 0,000000201 0

29. Aproximações com 20 partições de Domínio
O gráfico da Figura 7 ilustra a forma como as aproximações são realizadas
para ambos os métodos.
O gráfico da Figura 7 ilustra a forma como as aproximações são realizadas para ambos os métodos.

30. Conclusões
 O método de Runge-Kutta mostra-se como forma alternativa de resolução
de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, sendo de
fundamental importância em se tratando de problemas desprovidos de
solução analítica.
 É importante destacar que, em se tratando de problemas sem soluções
analíticas conhecidas, a solução do problema para algum valor de domínio
de interesse é encontrada quando a diferença entre dois valores sucessivos
calculados sobre o mesmo ponto para várias malhas (com aumento
progressivo) é menor que uma tolerância (erro) pré-estabelecida.

31. Conclusões
 Como era de se esperar, os resultados advindos das versões de Runge-
Kutta de 5a ordem aplicados na resolução do problema modelo,
independente da malha, mostrou ser o mais preciso dentre os demais.
 Para finalizar, a utilização de um Método de Runge-Kutta de 1a ordem pode
apresentar resultados satisfatórios a medida em que a malha do problema
é aumentada, o que acarreta em um número maior de iterações e
consequentemente, em trabalho computacional maior.

32. Referências
 BOYCE, W. E.; Di PRIMA, R. C. “Equações Diferenciais Elementares e
Problemas de Valores de Contorno”. 5ª Ed. Rio de Janeiro. Guanabara
Koogan, 1994.
 ROMAIS, R.; BENETTI, D.; CHRISTOFORO, A. L; REIS Jr, D. V. “ Aplicação de
Alguns Métodos de Runge-Kutta na Resolução de equações diferenciais
ordinárias”. II Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional
da Região Centro-Oeste, UNEMAT, Sinop – MT, 2009.
 RUGGIERO, M.A.G.; LOPES, V.L.R. “Cálculo Numérico: Aspectos teóricos e
computacionais”. 2° ed. São Paulo. Pearson Makron Books, 1996.
 ZILL, D.G. “Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem”. 1ª Ed.
São Paulo. Thomson, 2003.