1. O documento apresenta o projeto de três pilares de concreto armado: P5 (pilar interno), P4 (pilar de extremidade) e P1 (pilar de canto).
2. Fornece os dados iniciais para o projeto de cada pilar, como esforços normais e momentos.
3. Detalha o procedimento de projeto para o pilar interno P5, incluindo cálculo de excentricidades, verificação de necessidade de segunda ordem e dimensionamento das armaduras.
Solução listaexercicios 1º bimestre_2-2016_concretoiiroger forte
Este documento apresenta três exercícios de dimensionamento de vigas de concreto armado. O primeiro exercício determina a armadura necessária para uma viga retangular submetida a momento fletor. O segundo exercício calcula a armadura para uma viga biapoiada sob dois carregamentos diferentes. O terceiro exercício dimensiona a armadura de uma viga apoiada em uma extremidade e engastada na outra.
O documento descreve os tipos de fundações superficiais, classificação e dimensionamento de sapatas. Apresenta definições de sapatas flexíveis e rígidas, isoladas, corridas, associadas e de divisa. Explica como calcular as dimensões em planta considerando a tensão admissível do solo e os momentos causados por cargas excêntricas.
Este documento descreve as características de lajes maciças de concreto armado, incluindo: 1) definições de placas, cascas e chapas; 2) cálculo do vão efetivo de lajes; 3) tipos de curvatura em lajes e formas de armadura; 4) condições de apoio em lajes contínuas. Exemplos ilustram o cálculo de cargas permanentes e acidentais atuantes em lajes.
O documento discute o cálculo de reações de apoio em estruturas de vigas. Apresenta conceitos de apoios simples e duplos e tipos de esforços. Fornece exemplos de cálculo de reações de apoio para vigas sob cargas concentradas e distribuídas, isoladas ou combinadas, usando equações de equilíbrio estático.
1) A tabela apresenta fórmulas para calcular deflexões angulares, reações e momentos em vigas isostáticas e hiperestáticas sob diferentes carregamentos.
2) Para vigas isostáticas, fornece expressões para flecha máxima e deflexões angulares nos apoios sob carga pontual, uniforme e momento.
3) Para vigas hiperestáticas, lista valores de reações e momentos máximos sob mesma variedade de carregamentos.
1) A tabela apresenta fórmulas para calcular deflexões angulares, reações e momentos em vigas isostáticas e hiperestáticas sob diferentes carregamentos.
2) Para vigas isostáticas, fornece expressões para flecha máxima e deflexões angulares nos apoios sob carga pontual, uniforme e momento.
3) Para vigas hiperestáticas, lista valores de reações e momentos máximos sob mesma variedade de carregamentos.
Resolução da lista de exercícios 1 complementos de rm-7Eduardo Spech
Este documento fornece exemplos de exercícios sobre resistência dos materiais, incluindo cálculos de tensões, alongamentos e determinação de áreas de seção transversal de barras sob cargas axiais. Resolve exemplos como determinar tensões em diferentes trechos de uma barra sob múltiplas forças, calcular alongamentos em barras elásticas e dimensionar perfis estruturais.
1) O documento discute linhas de influência em estruturas isostáticas submetidas a carregamentos móveis, mostrando como os esforços variam com a posição da carga. 2) É mostrado o procedimento para construir linhas de influência de esforços como reações, cortantes e momentos fletores para vigas simples e compostas. 3) O documento explica como usar linhas de influência para localizar posições críticas de cargas e determinar esforços máximos.
Solução listaexercicios 1º bimestre_2-2016_concretoiiroger forte
Este documento apresenta três exercícios de dimensionamento de vigas de concreto armado. O primeiro exercício determina a armadura necessária para uma viga retangular submetida a momento fletor. O segundo exercício calcula a armadura para uma viga biapoiada sob dois carregamentos diferentes. O terceiro exercício dimensiona a armadura de uma viga apoiada em uma extremidade e engastada na outra.
O documento descreve os tipos de fundações superficiais, classificação e dimensionamento de sapatas. Apresenta definições de sapatas flexíveis e rígidas, isoladas, corridas, associadas e de divisa. Explica como calcular as dimensões em planta considerando a tensão admissível do solo e os momentos causados por cargas excêntricas.
Este documento descreve as características de lajes maciças de concreto armado, incluindo: 1) definições de placas, cascas e chapas; 2) cálculo do vão efetivo de lajes; 3) tipos de curvatura em lajes e formas de armadura; 4) condições de apoio em lajes contínuas. Exemplos ilustram o cálculo de cargas permanentes e acidentais atuantes em lajes.
O documento discute o cálculo de reações de apoio em estruturas de vigas. Apresenta conceitos de apoios simples e duplos e tipos de esforços. Fornece exemplos de cálculo de reações de apoio para vigas sob cargas concentradas e distribuídas, isoladas ou combinadas, usando equações de equilíbrio estático.
1) A tabela apresenta fórmulas para calcular deflexões angulares, reações e momentos em vigas isostáticas e hiperestáticas sob diferentes carregamentos.
2) Para vigas isostáticas, fornece expressões para flecha máxima e deflexões angulares nos apoios sob carga pontual, uniforme e momento.
3) Para vigas hiperestáticas, lista valores de reações e momentos máximos sob mesma variedade de carregamentos.
1) A tabela apresenta fórmulas para calcular deflexões angulares, reações e momentos em vigas isostáticas e hiperestáticas sob diferentes carregamentos.
2) Para vigas isostáticas, fornece expressões para flecha máxima e deflexões angulares nos apoios sob carga pontual, uniforme e momento.
3) Para vigas hiperestáticas, lista valores de reações e momentos máximos sob mesma variedade de carregamentos.
Resolução da lista de exercícios 1 complementos de rm-7Eduardo Spech
Este documento fornece exemplos de exercícios sobre resistência dos materiais, incluindo cálculos de tensões, alongamentos e determinação de áreas de seção transversal de barras sob cargas axiais. Resolve exemplos como determinar tensões em diferentes trechos de uma barra sob múltiplas forças, calcular alongamentos em barras elásticas e dimensionar perfis estruturais.
1) O documento discute linhas de influência em estruturas isostáticas submetidas a carregamentos móveis, mostrando como os esforços variam com a posição da carga. 2) É mostrado o procedimento para construir linhas de influência de esforços como reações, cortantes e momentos fletores para vigas simples e compostas. 3) O documento explica como usar linhas de influência para localizar posições críticas de cargas e determinar esforços máximos.
O documento apresenta um e-book sobre fundamentos do concreto protendido para apoiar o curso de engenharia civil. Ele aborda conceitos básicos de protensão e concreto protendido, materiais, sistemas de protensão, critérios de projeto, estados limites último de flexão e cortante. O objetivo é fornecer subsídios para o entendimento do comportamento do concreto protendido e sua aplicação em projetos.
Este documento resume as propriedades mecânicas da madeira e métodos para sua caracterização. Ele discute a resistência e rigidez da madeira sob diferentes tipos de carga e direções, além de métodos para determinar e corrigir essas propriedades de acordo com a umidade e qualidade da madeira. Finalmente, apresenta coeficientes para modificar os valores de cálculo das propriedades da madeira.
O documento discute o dimensionamento de vigas de seção em T. Explica que esta seção é usada quando há compressão na mesa da viga e permite aumentar a resultante de compressão no concreto. Detalha os passos para calcular a largura da mesa colaborante (bf) e determinar o Momento de Referência (MREF), e como utilizar estas variáveis para dimensionar a viga pelo método simplificado ou processo rigoroso.
O documento apresenta os principais conceitos sobre estruturas de concreto armado, incluindo sua composição, características mecânicas, histórico e normas aplicáveis. Aborda tópicos como resistência à compressão do concreto, classificação de concretos e tipos de estruturas de concreto.
O documento discute o dimensionamento de pilares de canto segundo a norma brasileira NBR 6118/2003. Apresenta um roteiro de cálculo para pilares de canto, com flexão composta oblíqua, e dois exemplos numéricos aplicando as novas prescrições da norma. Os resultados são analisados e comparados com os obtidos pela norma anterior NBR 6118/78, mostrando semelhanças e diferenças significativas nas armaduras calculadas.
1) O documento apresenta as tabelas de Rüsch para cálculo de lajes de pontes retangulares e esconsas.
2) Descreve a carga móvel conforme a norma alemã DIN 1072, semelhante à norma brasileira NBR 7188.
3) Explica a simbologia utilizada nas tabelas e os parâmetros para cálculo dos momentos fletores da carga móvel e uniforme.
O documento discute o fenômeno da flambagem em estruturas sob compressão axial. Apresenta experimentos conceituais para ilustrar a flambagem e as variáveis que afetam seu surgimento. Também introduz a fórmula de Euler para calcular a carga crítica de colunas ideais e discute como a fórmula é modificada para diferentes tipos de apoio nas extremidades.
O documento discute flexão pura em vigas. Apresenta as equações para calcular o momento fletor M e tensões normais σ em uma viga sob flexão pura. Explica como calcular o módulo de resistência W para diferentes formas de seção, que é usado para determinar σmax. Fornece exemplos de cálculos de M, σ e dimensionamento de vigas.
1. O documento apresenta os fundamentos da disciplina de Teoria de Estruturas II, que analisa estruturas hiperestáticas.
2. São apresentados os objetivos, referências bibliográficas, avaliações e programa da disciplina.
3. São discutidos os conceitos de estruturas isostáticas, hipostáticas e hiperestáticas, assim como vantagens e desvantagens destas últimas. Dois métodos de análise de estruturas hiperestáticas são introduzidos: Método das Forças e Método dos Deslocamentos.
O documento discute conceitos de flexão em estruturas, incluindo:
1) A deformação por flexão de vigas retas e a distribuição linear de tensões de tração e compressão;
2) A fórmula da flexão que relaciona momento, tensão, momento de inércia e distância ao eixo neutro;
3) Exemplos ilustrando o cálculo de tensões em seções transversais sob flexão.
Este documento descreve o cálculo das tensões médias no concreto e no aço de uma coluna de concreto armado submetida a uma carga axial. A coluna tem seção transversal de 300x300mm e é reforçada com 4 barras de aço de 18mm de diâmetro cada. Após calcular as áreas do aço e do concreto, determina-se a parte da carga suportada por cada material. Com isso, calculam-se as tensões médias resultantes no concreto (8,24MPa) e no aço (65,
1) O documento apresenta os cálculos para determinar as reações de apoio, o diagrama de esforço cortante (DEC) e o diagrama de momento fletor (DMF) de uma viga isostática com seis apoios.
2) No DEC, os valores de cortante são calculados para cada trecho da viga e traçado o gráfico. O cortante se anula nos trechos entre os apoios A-B, B-E e E-F.
3) No DMF, são calculados os momentos fletores no início e fim de cada trecho
O documento apresenta o método de energia de deformação e o teorema de Castigliano para determinar: (1) a energia de deformação U de uma viga sob carga distribuída, (2) a deflexão δ no ponto B, e (3) a rotação θ no ponto B. Os resultados obtidos foram U = 104,68 J, δ = 3,85 mm e θ = 3,45 × 10-3 radianos.
Resistência dos materiais - Exercícios ResolvidosMoreira1972
O documento apresenta um material didático sobre resistência dos materiais elaborado por Michel Sadalla Filho para ser usado em cursos técnicos e de engenharia. O documento inclui conceitos básicos de resistência dos materiais, exemplos de problemas, exercícios e referências bibliográficas. O autor ressalta que o objetivo é auxiliar no entendimento inicial dos conceitos e não substituir as referências oficiais da disciplina.
O documento descreve o que são treliças, suas classificações e hipóteses de análise. Uma treliça é uma estrutura composta por barras ligadas em seus extremos. As treliças podem ser planas ou tridimensionais. Na análise de treliças, considera-se que as barras são ligadas por articulações sem atrito e que as cargas atuam apenas nos nós. As barras de uma treliça só são solicitadas por forças normais de tração ou compressão.
Resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2Douglas Alves
Este documento apresenta os conceitos de centróide e momento de inércia de superfícies planas. Explica como calcular as coordenadas x e y do centróide de uma área dividindo-a em partes de geometria simples e aplicando as fórmulas apropriadas. Também fornece exemplos numéricos de cálculo do centróide para diferentes configurações de áreas.
O documento apresenta uma aula sobre determinação dos esforços solicitantes em estruturas isostáticas. Aborda conceitos como análise estrutural, classificação de elementos e sistemas estruturais, vinculação de sistemas lineares planos, equações de equilíbrio para sistemas isostáticos e determinação dos esforços normais, cortantes e momentos fletores.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE TEORIA DAS ESTRUTURAS Eduardo Spech
O documento discute os conceitos fundamentais da teoria estrutural, incluindo sistemas estruturais, tipos de carregamento, apoios e esforços. É explicado o que são cargas permanentes e acidentais e como elas são distribuídas nas estruturas. Também são descritos os tipos de apoios, esforços normais, cortantes, momentos fletor e torsor.
O documento descreve a flexão composta, que é a ação combinada de força normal e momentos fletores. A flexão composta pode ser reta ou oblíqua. O documento também fornece exemplos de cálculos de tensões normais em seções de pilares sob flexão composta reta ou oblíqua, traçando diagramas de tensão.
O documento fornece exemplos didáticos para dimensionar e detalhar uma viga de concreto armado. A viga tem seção transversal de 16 cm x 50 cm e será projetada para classe de agressividade I. O documento detalha o cálculo da armadura de flexão, cisalhamento, ancoragem nos apoios e detalhamento final das barras. Fornece também exemplos de dimensionamento de vigas sob flexão e cisalhamento de acordo com a NBR 6118.
O documento discute tensões de cisalhamento em vigas. Apresenta hipóteses básicas sobre tensões de cisalhamento e fórmulas para calcular tensões de cisalhamento em seções retangulares e circulares. Inclui exemplos sobre dimensionamento de vigas considerando tensões normais e de cisalhamento.
O documento apresenta um e-book sobre fundamentos do concreto protendido para apoiar o curso de engenharia civil. Ele aborda conceitos básicos de protensão e concreto protendido, materiais, sistemas de protensão, critérios de projeto, estados limites último de flexão e cortante. O objetivo é fornecer subsídios para o entendimento do comportamento do concreto protendido e sua aplicação em projetos.
Este documento resume as propriedades mecânicas da madeira e métodos para sua caracterização. Ele discute a resistência e rigidez da madeira sob diferentes tipos de carga e direções, além de métodos para determinar e corrigir essas propriedades de acordo com a umidade e qualidade da madeira. Finalmente, apresenta coeficientes para modificar os valores de cálculo das propriedades da madeira.
O documento discute o dimensionamento de vigas de seção em T. Explica que esta seção é usada quando há compressão na mesa da viga e permite aumentar a resultante de compressão no concreto. Detalha os passos para calcular a largura da mesa colaborante (bf) e determinar o Momento de Referência (MREF), e como utilizar estas variáveis para dimensionar a viga pelo método simplificado ou processo rigoroso.
O documento apresenta os principais conceitos sobre estruturas de concreto armado, incluindo sua composição, características mecânicas, histórico e normas aplicáveis. Aborda tópicos como resistência à compressão do concreto, classificação de concretos e tipos de estruturas de concreto.
O documento discute o dimensionamento de pilares de canto segundo a norma brasileira NBR 6118/2003. Apresenta um roteiro de cálculo para pilares de canto, com flexão composta oblíqua, e dois exemplos numéricos aplicando as novas prescrições da norma. Os resultados são analisados e comparados com os obtidos pela norma anterior NBR 6118/78, mostrando semelhanças e diferenças significativas nas armaduras calculadas.
1) O documento apresenta as tabelas de Rüsch para cálculo de lajes de pontes retangulares e esconsas.
2) Descreve a carga móvel conforme a norma alemã DIN 1072, semelhante à norma brasileira NBR 7188.
3) Explica a simbologia utilizada nas tabelas e os parâmetros para cálculo dos momentos fletores da carga móvel e uniforme.
O documento discute o fenômeno da flambagem em estruturas sob compressão axial. Apresenta experimentos conceituais para ilustrar a flambagem e as variáveis que afetam seu surgimento. Também introduz a fórmula de Euler para calcular a carga crítica de colunas ideais e discute como a fórmula é modificada para diferentes tipos de apoio nas extremidades.
O documento discute flexão pura em vigas. Apresenta as equações para calcular o momento fletor M e tensões normais σ em uma viga sob flexão pura. Explica como calcular o módulo de resistência W para diferentes formas de seção, que é usado para determinar σmax. Fornece exemplos de cálculos de M, σ e dimensionamento de vigas.
1. O documento apresenta os fundamentos da disciplina de Teoria de Estruturas II, que analisa estruturas hiperestáticas.
2. São apresentados os objetivos, referências bibliográficas, avaliações e programa da disciplina.
3. São discutidos os conceitos de estruturas isostáticas, hipostáticas e hiperestáticas, assim como vantagens e desvantagens destas últimas. Dois métodos de análise de estruturas hiperestáticas são introduzidos: Método das Forças e Método dos Deslocamentos.
O documento discute conceitos de flexão em estruturas, incluindo:
1) A deformação por flexão de vigas retas e a distribuição linear de tensões de tração e compressão;
2) A fórmula da flexão que relaciona momento, tensão, momento de inércia e distância ao eixo neutro;
3) Exemplos ilustrando o cálculo de tensões em seções transversais sob flexão.
Este documento descreve o cálculo das tensões médias no concreto e no aço de uma coluna de concreto armado submetida a uma carga axial. A coluna tem seção transversal de 300x300mm e é reforçada com 4 barras de aço de 18mm de diâmetro cada. Após calcular as áreas do aço e do concreto, determina-se a parte da carga suportada por cada material. Com isso, calculam-se as tensões médias resultantes no concreto (8,24MPa) e no aço (65,
1) O documento apresenta os cálculos para determinar as reações de apoio, o diagrama de esforço cortante (DEC) e o diagrama de momento fletor (DMF) de uma viga isostática com seis apoios.
2) No DEC, os valores de cortante são calculados para cada trecho da viga e traçado o gráfico. O cortante se anula nos trechos entre os apoios A-B, B-E e E-F.
3) No DMF, são calculados os momentos fletores no início e fim de cada trecho
O documento apresenta o método de energia de deformação e o teorema de Castigliano para determinar: (1) a energia de deformação U de uma viga sob carga distribuída, (2) a deflexão δ no ponto B, e (3) a rotação θ no ponto B. Os resultados obtidos foram U = 104,68 J, δ = 3,85 mm e θ = 3,45 × 10-3 radianos.
Resistência dos materiais - Exercícios ResolvidosMoreira1972
O documento apresenta um material didático sobre resistência dos materiais elaborado por Michel Sadalla Filho para ser usado em cursos técnicos e de engenharia. O documento inclui conceitos básicos de resistência dos materiais, exemplos de problemas, exercícios e referências bibliográficas. O autor ressalta que o objetivo é auxiliar no entendimento inicial dos conceitos e não substituir as referências oficiais da disciplina.
O documento descreve o que são treliças, suas classificações e hipóteses de análise. Uma treliça é uma estrutura composta por barras ligadas em seus extremos. As treliças podem ser planas ou tridimensionais. Na análise de treliças, considera-se que as barras são ligadas por articulações sem atrito e que as cargas atuam apenas nos nós. As barras de uma treliça só são solicitadas por forças normais de tração ou compressão.
Resmat ii material de aula com exercicios da av1 até av2Douglas Alves
Este documento apresenta os conceitos de centróide e momento de inércia de superfícies planas. Explica como calcular as coordenadas x e y do centróide de uma área dividindo-a em partes de geometria simples e aplicando as fórmulas apropriadas. Também fornece exemplos numéricos de cálculo do centróide para diferentes configurações de áreas.
O documento apresenta uma aula sobre determinação dos esforços solicitantes em estruturas isostáticas. Aborda conceitos como análise estrutural, classificação de elementos e sistemas estruturais, vinculação de sistemas lineares planos, equações de equilíbrio para sistemas isostáticos e determinação dos esforços normais, cortantes e momentos fletores.
CONCEITOS FUNDAMENTAIS DE TEORIA DAS ESTRUTURAS Eduardo Spech
O documento discute os conceitos fundamentais da teoria estrutural, incluindo sistemas estruturais, tipos de carregamento, apoios e esforços. É explicado o que são cargas permanentes e acidentais e como elas são distribuídas nas estruturas. Também são descritos os tipos de apoios, esforços normais, cortantes, momentos fletor e torsor.
O documento descreve a flexão composta, que é a ação combinada de força normal e momentos fletores. A flexão composta pode ser reta ou oblíqua. O documento também fornece exemplos de cálculos de tensões normais em seções de pilares sob flexão composta reta ou oblíqua, traçando diagramas de tensão.
O documento fornece exemplos didáticos para dimensionar e detalhar uma viga de concreto armado. A viga tem seção transversal de 16 cm x 50 cm e será projetada para classe de agressividade I. O documento detalha o cálculo da armadura de flexão, cisalhamento, ancoragem nos apoios e detalhamento final das barras. Fornece também exemplos de dimensionamento de vigas sob flexão e cisalhamento de acordo com a NBR 6118.
O documento discute tensões de cisalhamento em vigas. Apresenta hipóteses básicas sobre tensões de cisalhamento e fórmulas para calcular tensões de cisalhamento em seções retangulares e circulares. Inclui exemplos sobre dimensionamento de vigas considerando tensões normais e de cisalhamento.
O documento discute diferentes tipos de concretos especiais como concretos de alto desempenho, concretos leves, concretos auto-adensáveis, concretos com fibras, concretos de pós reativos e ECC. Estes concretos possuem propriedades mecânicas e de durabilidade melhoradas e são adequados para aplicações estruturais e não estruturais.
1. O documento discute tipos de lajes nervuradas de concreto armado, incluindo lajes moldadas no local, pré-moldadas e mistas com formas metálicas incorporadas.
2. Aborda considerações para projeto como vinculação das bordas e vãos efetivos.
3. Explica ações atuantes, verificações de segurança e exemplo numérico.
O documento apresenta três exemplos de dimensionamento de pilares de concreto armado, incluindo um pilar interno (P5), com seções de 35x60 cm e 560 cm de altura, sob carga axial de 2720 kN. É calculada a armadura necessária considerando flexão normal composta e oblíqua, com 14 barras de aço CA-50 φ22 e estribos φ6 a cada 20 cm.
1. O documento apresenta os critérios de projeto para dimensionamento de pilares utilizando o software CAD/Pilar. 2. Inclui seções sobre identificação do projeto, dimensionamento de seções retangulares e qualquer forma, cálculo de esforços, seleção e disposição de armaduras longitudinais e transversais. 3. Detalha procedimentos para cálculo de excentricidades, momentos de segunda ordem, combinação de cargas, entre outros parâmetros necessários para o dimensionamento estrutural de pilares.
Este documento fornece instruções para dimensionar estruturas como lajes, vigas e pilares. Ele explica como determinar o tipo de laje, calcular suas espessuras e verificar os limites mínimos. Também mostra como classificar vigas, calcular suas alturas e larguras. Para pilares, descreve como calcular a carga, dimensões da seção e valores mínimos de acordo com a altura.
La Unión Europea ha acordado un embargo petrolero contra Rusia en respuesta a la invasión de Ucrania. El embargo prohibirá las importaciones marítimas de petróleo ruso a la UE y pondrá fin a las entregas a través de oleoductos dentro de seis meses. Esta medida forma parte de un sexto paquete de sanciones de la UE destinadas a aumentar la presión económica sobre Moscú y privar al Kremlin de fondos para financiar su guerra.
O documento define engenharia estrutural como o ramo da engenharia dedicado ao projeto e cálculo de estruturas. Descreve elementos estruturais como barras, vigas e lajes e como são combinados em estruturas como treliças e pórticos. Explica também os processos de análise estrutural, dimensionamento e detalhamento necessários para o projeto de estruturas.
O documento apresenta os conceitos básicos da concepção estrutural de edifícios de concreto, incluindo elementos estruturais como lajes, vigas e pilares. Detalha o pré-dimensionamento destes elementos e fornece diretrizes para o posicionamento adequado considerando fatores como transferência de cargas, uniformidade e limites dimensionais.
O documento discute os tipos de cargas que atuam em pontes de concreto armado, incluindo carga permanente, carga móvel, impacto vertical, frenagem e aceleração, vento e linhas de influência. É apresentado o conceito de trem-tipo para simplificar os cálculos de carga móvel e como as linhas de influência podem ser usadas para determinar os momentos fletores e esforços cortantes máximos na estrutura.
1) O documento apresenta conceitos básicos de cálculo de estruturas de concreto armado, incluindo cargas características, esforços solicitantes, regras de pré-dimensionamento e dimensionamento à flexão de elementos como vigas e lajes.
2) São descritos os tipos de cargas que atuam em estruturas, como cargas permanentes e variáveis, e exemplos de esforços solicitantes em vigas, como momento fletor e cortante.
3) São apresentadas equações para cálculo de esforços em vigas biapoi
55048569 calculo-estrutural-de-edificios-passo-a-passo-vigas-pilares-em-pdfKeiliny Monteiro Keila
Este documento apresenta o projeto estrutural de um edifício de habitação constituído por duas caves e cinco pisos acima do solo localizado em Coimbra. Descreve a solução estrutural adotada em betão armado, os materiais utilizados, as ações consideradas como carga permanente, sobrecarga, sismo e impulso de terras. Apresenta também os cálculos realizados para dimensionar elementos estruturais como lajes, vigas, pilares e fundações.
1. O documento apresenta as diretrizes para projeto de pilares de concreto armado, abordando dimensões, cálculo de solicitações, análise estrutural e detalhamento.
2. São definidas as dimensões mínimas de seção dos pilares e os cobrimentos nominais da armadura de acordo com a classe de agressividade ambiental.
3. No cálculo das solicitações nos pilares, distinguem-se estruturas de nós fixos e móveis, e analisa-se o contraventamento e os
O documento discute a importância da estrutura para a arquitetura e como o projeto estrutural resolve conflitos de forças através do direcionamento dessas forças. Ele também fornece critérios para o lançamento de vigas e pilares, como manter os vãos das lajes de tamanho similar e posicionar pilares a cada 4-6 metros para edifícios de médio e pequeno porte.
O documento fornece informações iniciais sobre o pré-dimensionamento de elementos estruturais de concreto armado, como pilares, vigas, lajes e outros. Ele destaca a importância de se integrar a estrutura ao projeto arquitetônico de forma coerente e econômica. As dimensões sugeridas levam em conta critérios como cargas, vãos e materiais.
1. Os estudantes projetaram e construíram uma treliça para suportar dois pesos de 200 gramas cada, um nas extremidades. 2. Foram realizados cálculos estruturais para dimensionar a treliça e verificar sua capacidade de carga. 3. Conclui-se que projetos de treliças requerem precisão nos cálculos para garantir a segurança e evitar acidentes.
Este documento apresenta um resumo sobre lajes de concreto de formas especiais, incluindo lajes circulares e triangulares. Detalha os conceitos de momentos radiais e tangenciais em lajes circulares sob carga uniforme total ou parcial, e apresenta exemplos numéricos de dimensionamento destas lajes.
O documento discute cálculos estruturais de barras flexionadas e vigas metálicas. Apresenta fórmulas para calcular flechas máximas e momentos de flexão em diferentes configurações de carga. Também aborda verificações de estados limites de serviço e últimos, incluindo flambagem local e lateral. Um exemplo numérico ilustra o cálculo e dimensionamento de uma viga metálica sob cargas vivas e mortas.
I lista de exercícios resolucao para o blogluisresponde
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre equações fracionárias, circunferências e probabilidade. Inclui 5 questões sobre estes assuntos e instruções para realização dos exercícios.
Este documento descreve os estados limites de serviço e último, força cortante em lajes, dimensionamento de lajes à punção, detalhamento e um exemplo de projeto de lajes de acordo com a NBR 6118.
Este documento fornece soluções comentadas para questões de matemática de vestibulares da Universidade do Estado do Rio de Janeiro. As soluções abordam tópicos como meia-vida de isótopos radioativos, progressões aritméticas, probabilidades e geometria plana.
1. O documento apresenta os conceitos fundamentais de engrenagens, incluindo a classificação, perfis de dentado e conceitos como círculo primitivo, passo e módulo.
2. São descritos os processos de geração de dentado por cremalheira, incluindo a evolvente de círculo e o ângulo de incidência.
3. São apresentadas normas e referências técnicas relevantes para o projeto e análise de engrenagens.
O documento discute molas helicoidais de compressão, incluindo tensões, deformação, dimensões, materiais e projeto. É explicado que as tensões máximas em uma mola dependem da força aplicada, diâmetro, curvatura e outros fatores. Requisitos de projeto como índice de curvatura e estabilidade contra flambagem também são tratados.
O documento discute molas helicoidais de compressão, incluindo tensões, deformação, dimensões, materiais e projeto. É explicado que as tensões máximas em uma mola dependem da força aplicada, diâmetro, curvatura e outros fatores. Requisitos de projeto como índice de curvatura e estabilidade contra flambagem também são tratados.
O documento discute vigas de concreto armado sob carregamentos lineares, apresentando: 1) Introdução sobre vigas e seus componentes; 2) Método de dimensionamento considerando esforços de flexão e corte; 3) Exemplos de cálculo da armadura longitudinal para diferentes seções e carregamentos.
O documento apresenta resumos e exercícios sobre esforços internos em estruturas, abordando conceitos como força normal, força cortante, momento fletor e diagramas de esforços. São explicados os princípios do método das seções e apresentados exemplos de cálculo de esforços em vigas sob diversas condições de carregamento.
O documento discute os diferentes tipos de pórticos isostáticos, incluindo: (1) pórticos em balanço, biapoiados e triarticulados com barras retilíneas; (2) pórticos biapoiados e triarticulados com barras curvas; e (3) pórticos compostos formados por associações de quadros simples. Também aborda conceitos como estabilidade, grau de indeterminação e esforços em barras inclinadas em pórticos isostáticos.
Transferencia de calor aplicada - Transmissao de calor .pdfmafakina Malolo JRr
Este documento apresenta três problemas sobre transmissão de calor através de corpos sólidos. O primeiro problema trata de um ferro de engomar submetido a um fluxo de calor constante em uma superfície e uma temperatura especificada na outra. Os outros problemas envolvem uma conduta cilíndrica e uma esfera submetidas a fluxos de calor uniformes nas superfícies externas. Para cada caso, a equação de condução de calor é formulada e resolvida para determinar as temperaturas nas superfícies e a variação de temper
Este documento apresenta uma prova final sobre Teoria da Fadiga com 16 questões. As instruções gerais incluem não consultar outras fontes e assinar a lista de presença. As questões cobrem cálculos de tensões em amortecedores hidráulicos e barras sob flexão, bem como previsão de propagação de trincas.
1-CONCRETO PROTENDIDO - Estimativa de Carga de Protensão_Cristiano e Marcus.pdfmarcos343659
1. O documento apresenta os fundamentos do concreto protendido e fornece diretrizes para a estimativa da carga de protensão.
2. São definidos conceitos como classe de agressividade ambiental, tipos de protensão, estados-limites, e combinações de ações a serem consideradas no cálculo.
3. São apresentadas fórmulas para cálculo da tensão de fissuração, momento fletor, carga de protensão e carga inicial de protensão. Um exemplo numérico ilustra os procedimentos.
1. O documento apresenta o cálculo do deslocamento horizontal do nó 3 em uma treliça sob carregamento.
2. São fornecidos os ângulos entre as barras e os esforços normais para cada barra sob a carga original de 20 kN.
3. O deslocamento é calculado somando os produtos dos esforços normais e comprimentos para cada barra, dividindo pelo módulo de elasticidade.
1) O documento apresenta a resolução de um problema físico sobre conservação de energia mecânica envolvendo uma esfera rolando sem deslizar em um plano inclinado.
2) É analisado o equilíbrio de um disco sobre um plano inclinado, considerando o torque e a força resultante.
3) São resolvidos cálculos envolvendo a variação de pressão e temperatura de um gás confinado em um recipiente à medida que um líquido é despejado nele.
Este documento apresenta uma prova-modelo de exame de Matemática A do 12o ano. Inclui dois cadernos com itens de escolha múltipla e resposta aberta sobre vários tópicos de Matemática, como probabilidades, trigonometria, limites e derivadas. Fornece também um formulário com fórmulas úteis para a resolução dos problemas.
AE02 - ESTUDO CONTEMPORÂNEO E TRANSVERSAL COMUNICAÇÃO ASSERTIVA E INTERPESSOA...Consultoria Acadêmica
A interação face a face acontece em um contexto de copresença: os participantes estão imediatamente
presentes e partilham um mesmo espaço e tempo. As interações face a face têm um caráter dialógico, no
sentido de que implicam ida e volta no fluxo de informação e comunicação. Além disso, os participantes
podem empregar uma multiplicidade de deixas simbólicas para transmitir mensagens, como sorrisos,
franzimento de sobrancelhas e mudanças na entonação da voz. Esse tipo de interação permite que os
participantes comparem a mensagem que foi passada com as várias deixas simbólicas para melhorar a
compreensão da mensagem.
Fonte: Krieser, Deise Stolf. Estudo Contemporâneo e Transversal - Comunicação Assertiva e Interpessoal.
Indaial, SC: Arqué, 2023.
Considerando as características da interação face a face descritas no texto, analise as seguintes afirmações:
I. A interação face a face ocorre em um contexto de copresença, no qual os participantes compartilham o
mesmo espaço e tempo, o que facilita a comunicação direta e imediata.
II. As interações face a face são predominantemente unidirecionais, com uma única pessoa transmitindo
informações e a outra apenas recebendo, sem um fluxo de comunicação bidirecional.
III. Durante as interações face a face, os participantes podem utilizar uma variedade de sinais simbólicos,
como expressões faciais e mudanças na entonação da voz, para transmitir mensagens e melhorar a
compreensão mútua.
É correto o que se afirma em:
ALTERNATIVAS
I, apenas.
III, apenas.
I e III, apenas.
II e III, apenas.
I, II e III.
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A transformada de Fourier tem várias aplicações práticas, incluindo análise espectral, filtragem de sinais,
compressão de dados, modulação de sinais em comunicações e análise de sinais periódicos. Ela fornece uma
maneira poderosa de entender e manipular sinais em diferentes domínios, permitindo uma ampla gama de
aplicações em ciência e engenharia.
Elaborado pelo professor (2024).
Assinale a alternativa que descreva a série de Fourier.
ALTERNATIVAS
Na transformação de um sinal de domínio do tempo em um sinal de domínio discreto.
Na transformação de um sinal de tempo continuo em um sinal de domínio do tempo discreto.
Na representação de um sinal periódico como uma soma ponderada de funções seno e cosseno.
Na representação de um sinal não periódico como uma soma ponderada de funções discretas no tempo.
Na representação de um sinal não periódico como uma função exponencial.
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AE02 - SINAIS E SISTEMAS LINEARES UNICESUMAR 52/2024
3 pilares - parte 2
1. 1
Pilares
Prof. Romel Dias Vanderlei
Notas de Aulas
Universidade Estadual de Maringá
Centro de Tecnologia
Departamento de Engenharia Civil
Capítulo3
Curso: Engenharia Civil Disciplina: Estruturas em Concreto II
1.º Semestre de 2008
Prof.RomelDiasVanderlei
Bibliografia:
ALVA, G. M. S.; EL DEBS, A. L. H. C.; GIONGO, J. S. Concreto armado:
projeto de pilares segundo a NBR 6118:2003. Notas de aula – USP –
EESC – SET. Fevereiro de 2008
ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS: NBR 6118:2003.
Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro, ABNT, 2003.
CARVALHO, R.C.; FIGUEIREDO FILHO, J.R. Pilares de concreto
armado. p.9-25. Notas de aula – Universidade Federal de São Carlos,
2002.
FUSCO, P. B. Estruturas de concreto: solicitações normais. Editora
Guanabara Dois, Rio de Janeiro, 1981.
FUSCO, P. B. Introdução ao projeto estrutural. McGraw-Hill do Brasil. São
Paulo, 1976.
MONTOYA, P. J.; MESEGUER, A.G.; CABRÉ, F.M. Hormigón armado.
Editorial Gustavo Gili. 9a ed. Barcelona, Espana, 1978.
PINHEIRO, L.M. Fundamentos do Concreto e Projeto de Edifícios.
capítulo 16: Pilares. Notas de aula – EESC-USP, 2007.
PINHEIRO, L.M.; BARALDI; L.T.; POREM, M.E. Concreto armado:
Ábacos para flexão oblíqua. São Carlos, EESC-USP, 1994.
VENTURINI, W.S. Dimensionamento de peças retangulares de concreto
armado solicitadas à flexão reta. São Carlos, EESC-USP, 1987.
2. 2
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Sumário (2ª Parte)
3.11- Exemplos
3.11.1- Pilar Interno – P5
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
3.11.3- Pilar de Canto – P1
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3.11- Exemplos
Projetar os pilares:
P5 - pilar interno;
P4 - pilar de
extremidade;
P1 - pilar de canto.
3. 3
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3.11- Exemplos
Dados para os projetos dos pilares do exemplo de edifício:
Para a determinação dos efeitos de 2ª ordem, emprega-se:
Para o pilar P5: método do pilar padrão com curvatura aproximada;
Para o pilar P4: método do pilar padrão com curvatura aproximada;
Para o pilar P1: método do pilar padrão com rigidez aproximada.
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Dados iniciais:
4. 4
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Dados iniciais:
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
Dados iniciais:
Nk = 2.720kN
Nd = 1,4 x 2.720 = 3.808kN
Mk = 0kN e Md = 0kN
1- Características Geométricas
Comprimentos equivalentes:
⎩
⎨
⎧ +
≤
l
hl
le
0
Na direção x:
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ex
x
xx
ex
x
xx
x
533
560
533
560
53335498
49862560
0
0
0
=⇒
⎩
⎨
⎧
=
=+
≤
=
=+=+
=−=
5. 5
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Na direção y:
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ey
y
yy
ey
y
yy
y
560
560
568
560
56860508
50852560
0
0
0
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
≤
=
=+=+
=−=
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Na direção y:
3,32
60
1256012
=
⋅
=
⋅
==
y
ey
y
ey
y
h
l
i
l
λ
Índices de Esbeltez:
Na direção x:
8,52
35
1253312
=
⋅
=
⋅
==
x
ex
x
ex
x
h
l
i
l
λ
6. 6
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Como os momentos nas seções de extremidades (topo e
Base) e na intermediária são nulos, as excentricidades
iniciais também são nulas.
2- Excentricidades:
Excentricidade Inicial
d
topo
topoi
N
M
e =,
d
base
basei
N
M
e =,
d
meio
meioi
N
M
e =,
0
808.3
0
, ==topoie 0
808.3
0
, ==baseie0
808.3
0
, ==meioie
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Sendo:
2- Excentricidades:
Excentricidades acidentais:
rad
l
rad
l
ey
ex
00423,0
60,5100
1
100
1
00433,0
33,5100
1
100
1
1y
1x
===
===
θ
θ
2
2
1ay
1ax
ey
y
ex
x
l
e
l
e
⋅=
⋅=
θ
θ
7. 7
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3.11.1- Pilar Interno – P5
rad00333,0
300
1
min,11 ==≥ θθ
(OK)00423,0
(OK)00433,0
min,11y
min,11x
θθ
θθ
>=
>=
rad
rad
Logo:
Excentricidades acidentais:
Onde:
cm
l
e
cm
l
e
ey
y
ex
x
18,1
2
560
00423,0
2
15,1
2
533
00433,0
2
1ay
1ax
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
θ
θ
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3.11.1- Pilar Interno – P5
ymin,1
xmin,1
0,03h0,015)(
0,03h0,015)(
+=
+=
y
x
e
e
( ) min,min,1 03,0015,0 iddd eNhNM ⋅=+⋅=
Logo:
Excentricidades acidentais:
Excentricidades mínimas:
cme
cme
y
x
30,360,003,0015,00,03h0,015)(
55,235,003,0015,00,03h0,015)(
ymin,1
xmin,1
=⋅+=+=
=⋅+=+=
8. 8
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3.11.1- Pilar Interno – P5
cme
cme
y
x
30,3
55,2
1
1
=
=
cmecmee
cmecmee
ytopoiyy
xtopoixx
30,3)(0
55,2)(0
min,1,1
min,1,1
=<==
=<==
cmecmeee
cmecmeee
ymeioiyy
xmeioixx
30,3)(18,118,10
55,2)(15,115,10
min,1ay,1
min,1ax,1
=<=+=+=
=<=+=+=
Seção intermediária:
Excentricidades de 1ª ordem totais:
Seções de extremidades (topo e base)
cme
cme
y
x
30,3
55,2
1
1
=
=
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3.11.1- Pilar Interno – P5
90
35
e
5,1225
1
b
1
1 ≤≤
⋅+
= λ
αα
λ
b
h
e
cmhe
h
e
xxi
xb
x
xi
x 350:onde
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
=
α
λ
35
9035quesendo25
0,1
35
0
5,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
x
xb
x
xi
x
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção x:
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 0 < M1d,mín 0,1, =xbα
9. 9
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3.11.1- Pilar Interno – P5
cmhe
h
e
yyi
yb
y
yi
y 600:onde
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
=
α
λ
35
9035quesendo25
0,1
60
0
5,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
y
yb
y
yi
y
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção y:
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 0 < M1d,mín 0,1, =ybα
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3.11.1- Pilar Interno – P5
358,52 ,1 =>= xx λλ Pilar medianamente esbelto, é
necessário considerar o efeito de
2ª ordem na direção x.
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
353,32 ,1 =<= yy λλ Pilar curto, não é necessário
considerar o efeito de 2ª ordem
na direção y.
10. 10
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3.11.1- Pilar Interno – P5
cml
cmkNeNMM
xe
xmíndmíndAd
b
533
.4,710.955,2808.3)(0
0,1
,
,1,1,1
=
=×=⋅=≥=
=α
Ad
xe
dAdbtotd M
r
l
NMM ,1
2
,
,1,
1
10
≥⋅⋅+⋅= α
Onde:
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Direção x:
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3.11.1- Pilar Interno – P5
85,0
4,1
0,3
)6035(
808.3
=
⋅⋅
=
⋅
=
cdc
sd
fA
N
ν
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada:
( ) hhr x
005,0
5,0
005,01
≤
+
=
ν
( )
55
103,14
35
005,0
1058,10
5,085,035
005,01 −−
⋅=<⋅=
+
=
r
(OK)
11. 11
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Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Direção x:
3.11.1- Pilar Interno – P5
cmkNM
cmkNM
totd
totd
⋅=
⋅>⋅⋅⋅+⋅= −
4,134.21
4,710.91058,10
10
533
808.34,710.90,1
,
5
2
,
Ad
xe
dAdbtotd M
r
l
NMM ,1
2
,
,1,
1
10
≥⋅⋅+⋅= α
cm
N
M
e
d
totd
xtot 55,5
808.3
4,134.21,
, ===
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3.11.1- Pilar Interno – P5
3- Situações de Projeto e de Cálculo:
12. 12
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3.11.1- Pilar Interno – P5
cm
N
M
e
cmkNM
kNN
d
totd
x
totd
d
55,5
808.3
4,134.21
4,134.21
808.3
,
,
===
⋅=
=
4- Dimensionamento das armaduras
a) Situação mais desfavorável:
Direção x: Seção Intermediária
Direção y: Seção Intermediária ou de Extremidades.
cmee
kNN
yy
d
30,3
808.3
1 ==
=
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3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras
b) Equações adimensionais:
Direção x:
13,0
35
55,5
85,0
85,0
4,1
0,3
6035
808.3
=×=⋅=
=
××
=
⋅
=
x
x
ddx
cdc
d
d
h
e
ν
fA
N
μ
ν
13. 13
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3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras
b) Equações adimensionais:
Direção y:
05,0
60
30,3
85,0
85,0
4,1
0,3
6035
808.3
=×=⋅=
=
××
=
⋅
=
y
y
ddy
cdc
d
d
h
e
ν
fA
N
μ
ν
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3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção x:
Escolha do Ábaco:
- Flexão composta normal;
- Armadura distribuída paralela ao eixo y;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-2 [Venturini, 1987]
- Taxa de armadura: ω = 0,36
13,0
85,0
10,011,0
35
0,4
=
=
≅==
′
dx
d
x
x
h
d
μ
ν
14. 14
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Ábaco A-2 [Venturini, 1987]
ω = 0,36
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3.11.1- Pilar Interno – P5
Área das barras:
Escolha das barras:
- 12φ20 - As,efe = 37,68cm2;
- 6 barras de cada lado, distribuída paralela ao eixo y;
2
26,37
15,1
50
4,1
0,3)6035(
36,0 cm
f
fA
A
yd
cdc
s =
××
×=
⋅
⋅= ω
15. 15
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3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção y:
Escolha do Ábaco:
- Flexão composta normal;
- Armadura distribuída conforme adotado na direção x;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-17 [d’/h=0,05] e A-18
[d’/h=0,10]
- Taxa de armadura: ω = 0,13
05,0
85,0
07,0
60
0,4
=
=
==
′
dy
d
y
y
h
d
μ
ν
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3.11.1- Pilar Interno – P5
4- Dimensionamento das armaduras
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção y:
Como ωx = 0,36 > ωy = 0,13:
- O arranjo para a direção “x” (12φ20 ) atende as duas
situações de cálculo da armadura;
16. 16
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3.11.1- Pilar Interno – P5
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
a) Diâmetro das barras
(OK)75,43
8
350
2010
8
10
mmmmmm
b
mm l
=<<
≤≤ φ
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3.11.1- Pilar Interno – P5
%4,0%63,085,0
15,1
50
4,1
0,3
15,0
%4,015,0
15,0,
>=⋅⋅=
≥⋅⋅=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
==
mín
yd
cd
cd
cd
ydc
d
c
míns
mín
f
f
f
f
fA
N
A
A
ρ
νρ
%79,101794,0
6035
68,37
==
×
==
c
s
A
A
ρ
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
b) Taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal
%0,4
2
%0,8
==máxρ
17. 17
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3.11.1- Pilar Interno – P5
mma
mmcmd
mm
mm
a
agremáx
l
23
2328,29,12,12,1
20
20
.,
≥
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≈=×=⋅
=≥ φ
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
c) Número mínimo de barras:
Uma barra em cada canto ou vértice do polígono
d) Espaçamentos para armadura longitudinal
cma
cm
cmb
a
máx
máx
40
40
703522
≤
⎩
⎨
⎧ =×=⋅
≤
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3.11.1- Pilar Interno – P5
mm
mm
mm
tlt 5
5
4
20
4
5
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
==
≥ φφφ
5- Detalhamento
Armadura Transversal
a) Diâmetro
b) Espaçamentos para armadura transversal
cms
cm
cm
s t
l
t 20
242,01212
35cmseçãodadimensãomenor
20
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=⋅
=≤
φ
Adotar φ5 c/20
18. 18
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3.11.1- Pilar Interno – P5
cmt 0,105,02020 =×=⋅φ
5- Detalhamento
Armadura Transversal
c) Proteção contra flambagem localizada das armaduras
Verificação do espaçamentos da armadura longitudinal
(OK)404,83,2
4,8
16
0,265,025,2260
1
22
cmacmacma
cma
n
nch
a
máxmín
ltnom
=<=<=
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
φφ
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3.11.1- Pilar Interno – P5
( ) ( ) gtnomnomt lcbchl ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= 22222
Onde: lgt = comprimento do gancho para estribo, podendo ser
• semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de
comprimento igual a 5φ, porém não inferior a 5cm;
• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a
10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser
utilizado para barras e fios lisos).
5- Detalhamento
Armadura Transversal
Como (a+ φl) =10,4cm ≈ 20φt = 10cm, é necessário
proteção contra flambagem apenas nas duas barras
centrais (estribos suplementares)
d) Comprimento dos estribos
19. 19
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3.11.1- Pilar Interno – P5
( ) ( )
( ) ( ) cml
lcbchl
t
gtnomnomt
1800,525,223525,22602
22222
=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
e) Comprimento dos estribos suplementares
5- Detalhamento
Armadura Transversal
d) Comprimento dos estribos
( )
( ) cml
lcbl
s
gtnoms
400,525,2235
22
=⋅+⋅−=
⋅+⋅−=
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
)180(20/529
291
20
560
1
c
s
hl
N
t
vigao
φ
=+=+
+
=
e) Número de estribos suplementares
5- Detalhamento
Armadura Transversal
f) Número de estribos
( )[ ]4020/5292 cφ×
180
20. 20
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
5- Detalhamento
Armadura Transversal
f) Desenho da seção
transversal
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ ⋅
≥=⋅⋅=
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ ⋅
≥≥⋅⋅=
mm
l
lll
mm
l
l
A
A
ll
b
bbnecb
b
b
efs
calcs
bnecb
100
10
3,0
0,10,1
100
10
3,0
,
min,
,
,
1,
φ
φα
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧ ⋅
≥≥=
mm
l
lll
b
ocnecboc
200
15
6,0
min,, φ
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
21. 21
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
bd
yd
b
f
f
l ⋅=
4
φ
3
2
3
2
3375,0
21,0
0,10,125,2
321
ckbd
c
ck
bd
ctdbd
ff
f
f
ff
⋅=
⋅
⋅⋅⋅=
⋅⋅⋅=
γ
ηηη
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
⎩
⎨
⎧
≥=
mm
ll boc
200
15φ
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
3
2
3
2
35,13375,04 ck
yd
ck
yd
b
f
f
f
f
l
⋅
⋅=
⋅
⋅= φ
φ
22. 22
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
cmcml
f
f
l
b
ck
yd
b
7071,66
3035,1
15,1
500
0,2
35,1
3
2
3
2
≈=
⋅
⋅=
⋅
⋅= φ
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
Logo:
⎩
⎨
⎧ =×=
≥==
mm
cm
cmll boc
200
300,21515
70
φ
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.1- Pilar Interno – P5
cml
lhll ocviga
63070560
)( 0
=+=
++=
5- Detalhamento
Comprimento total das barras longitudinais
24. 24
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Dados iniciais:
460
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Dados iniciais:
Nk = 1.670kN
Nd = 1,4 x 1.670 = 2.338kN
Na direção x:
⎩
⎨
⎧ +
≤
l
hl
le
0
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ex
x
xx
ex
x
xx
x
423
460
423
460
42325398
39862460
0
0
0
=⇒
⎩
⎨
⎧
=
=+
≤
=
=+=+
=−=
Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar
a) Características Geométricas
Comprimentos equivalentes do Pilar:
25. 25
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Na direção y:
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ey
y
yy
ey
y
yy
y
460
460
478
460
47870408
40852460
0
0
0
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
≤
=
=+=+
=−=
Comprimentos equivalentes do Pilar:
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Vão efetivo da Viga V2:
cml
aall
viga
vigaovigaef
570
2
35
2
25
600,0
21,,
=−−=
++=
A medida a1 relativa ao pilar P4:
cma
cmha
cm
h
a
V
Px
5,12
6,18623,03,0
5,12
2
25
2 1
2,21
4,
1
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=×=⋅=
===
26. 26
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Vão efetivo da Viga V2:
A medida a2 relativa ao pilar P5:
cma
cmha
cm
h
a
V
Px
5,17
6,18623,03,0
5,17
2
35
2 2
2,22
5,
2
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=×=⋅=
===
cml
aall
viga
vigaovigaef
6005,175,12570,0
21,,
=++=
++=
Vão efetivo da viga V2:
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:
Modelo Simplificado NBR 6118:2003:
27. 27
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:
3
3
sup
sup 293.1
423
2
1
12
2570
3
2
1
3
cm
l
I
r
pilar
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
Rigidez no tramo do pilar:
rinf = rsup = 1293cm3
Rigidez da viga:
3
3
648.2
600
12
6220
44
cm
l
I
r
viga
viga
viga =
⋅
⋅
=
⋅
=
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:
cmkNkNm
lqg
M
viga
eng ⋅==
⋅
=
⋅+
= 700.557
12
0,619
12
)( 22
Momento de engastamento perfeito na viga:
Momento fletor no tramo do pilar:
cmkN
rrr
r
MM
viga
eng ⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⋅= 408.1
293.1293.1648.2
293.1
700.5
infsup
sup
sup
28. 28
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
b) Momento fletor no Pilar P4:
Como não há mudança de seção transversal entre os pavimentos tem-se:
Minf = Msup = 1.408kN.cm
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Na direção y:
8,22
70
1246012
=
⋅
=
⋅
==
y
ey
y
ey
y
h
l
i
l
λ
Índices de Esbeltez:
Na direção x:
6,58
25
1242312
=
⋅
=
⋅
==
x
ex
x
ex
x
h
l
i
l
λ
29. 29
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
2- Excentricidades:
Excentricidade Inicial
Na direção x:
cm
N
M
ee
d
Ad
baseixtopoix 84,0
338.2
408.14,1,
,, =
⋅
===
cme
cmcme
eeee
meioix
meioix
ixixixmeioix
34,0
34,084,04,017,0)84,0(4,084,06,0
4,04,06,0
,
,
max,min,max,,
=
=⋅≥=−⋅+⋅=
⋅≥⋅+⋅=
Na direção y: cm
N
M
eee
d
Ady
meioiybaseiytopoiy 0,0
338.2
0,0,
,,, =====
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Sendo:
2- Excentricidades:
Excentricidades acidentais:
rad
l
rad
l
ey
ex
00466,0
60,4100
1
100
1
00486,0
23,4100
1
100
1
1y
1x
===
===
θ
θ
2
2
1ay
1ax
ey
y
ex
x
l
e
l
e
⋅=
⋅=
θ
θ
30. 30
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
rad00333,0
300
1
min,11 ==≥ θθ
(OK)00466,0
(OK)00486,0
min,11y
min,11x
θθ
θθ
>=
>=
rad
rad
Logo:
Excentricidades acidentais:
Onde:
cm
l
e
cm
l
e
ey
y
ex
x
07,1
2
460
00466,0
2
03,1
2
423
00486,0
2
1ay
1ax
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
θ
θ
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
ymin,1
xmin,1
0,03h0,015)(
0,03h0,015)(
+=
+=
y
x
e
e
( ) min,min,1 03,0015,0 iddd eNhNM ⋅=+⋅=
Logo:
Excentricidades acidentais:
Excentricidades mínimas:
cme
cme
y
x
60,370,003,0015,00,03h0,015)(
25,225,003,0015,00,03h0,015)(
ymin,1
xmin,1
=⋅+=+=
=⋅+=+=
31. 31
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
kNcmeNM
kNcmeNM
yiddy
xiddx
8,416.860,3338.2)(
5,260.525,2338.2)(
min,min,1
min,min,1
=×=⋅=
=×=⋅=
Excentricidades acidentais:
Momentos mínimos:
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cme
cme
y
x
60,3
25,2
1
1
=
=
cmecmee
cmecmee
ytopoiyy
xtopoixx
60,3)(0
25,2)(84,0
min,1,1
min,1,1
=<==
=<==
cmecmeee
cmecmeee
ymeioiyy
xmeioixx
60,3)(07,107,10
25,2)(37,103,134,0
min,1ay,1
min,1ax,1
=<=+=+=
=<=+=+=
Seção intermediária:
Excentricidades de 1ª ordem totais:
Seções de extremidades (topo e base)
cme
cme
y
x
60,3
25,2
1
1
=
=
32. 32
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
90
35
e
5,1225
1
b
1 ≤≤
⋅+
= λ
αα
λ
b
i
h
e
cmhe
h
e
xxi
xb
x
xi
x 2584,0:onde
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
=
α
λ
35
9035quesendo4,25
0,1
25
84,0
5,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
x
xb
x
xi
x
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção x:
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 1.971,2kNcm < M1dx,mín = 5.260,5kNcm 0,1, =xbα
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmhe
h
e
yyi
yb
y
yi
y 700:onde
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
=
α
λ
35
9035quesendo25
0,1
70
0
5,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
y
yb
y
yi
y
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção y:
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 0 < M1d,mín 0,1, =ybα
33. 33
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
356,58 ,1 =>= xx λλ Pilar medianamente esbelto, é
necessário considerar o efeito de
2ª ordem na direção x.
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
358,22 ,1 =<= yy λλ Pilar curto, não é necessário
considerar o efeito de 2ª ordem
na direção y.
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cml
cmkNeNMcmkNM
xe
xmíndmíndAd
b
423
.5,260.525,2338.2)(2,971.1
0,1
,
,1,1,1
=
=×=⋅=≥⋅=
=α
Ad
xe
dAdbtotd M
r
l
NMM ,1
2
,
,1,
1
10
≥⋅⋅+⋅= α
Onde:
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Direção x:
34. 34
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
62,0
4,1
0,3
)7025(
338.2
=
⋅⋅
=
⋅
=
cdc
sd
fA
N
ν
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada:
( ) hhr x
005,0
5,0
005,01
≤
+
=
ν
( )
44
100,2
25
005,0
1079,1
5,062,025
005,01 −−
⋅=<⋅=
+
=
r
(OK)
Prof.RomelDiasVanderlei
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada
Direção x:
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmkNM
cmkNM
totd
totd
⋅=
⋅>⋅⋅⋅+⋅= −
7,748.12
5,260.51079,1
10
423
338.25,260.50,1
,
4
2
,
Ad
xe
dAdbtotd M
r
l
NMM ,1
2
,
,1,
1
10
≥⋅⋅+⋅= α
cm
N
M
e
d
totd
xtot 45,5
338.2
7,748.12,
, ===
35. 35
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
3- Situações de Projeto e de Cálculo:
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cm
N
M
e
cmkNM
kNN
d
totd
x
totd
d
45,5
338.2
7,748.12
7,748.12
338.2
,
,
===
⋅=
=
4- Dimensionamento das armaduras
a) Situação mais desfavorável:
Direção x: Seção Intermediária – Flexão normal composta
Direção y: Seção Extremidade – Flexão oblíqua
cmee
cmee
kNN
yy
topoixx
d
60,3
84,0
338.2
1
,
==
==
=
36. 36
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras
b) Equações adimensionais:
Direção x:
14,0
25
45,5
62,0
62,0
4,1
0,3
7025
338.2
=×=⋅=
=
××
=
⋅
=
x
x
ddx
cdc
d
d
h
e
ν
fA
N
μ
ν
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras
b) Equações adimensionais:
Direção y:
03,0032,0
70
60,3
62,0
02,0021,0
25
84,0
62,0
62,0
4,1
0,3
7025
338.2
≅=×=⋅=
≅=×=⋅=
=
××
=
⋅
=
y
y
ddy
x
x
ddx
cdc
d
d
h
e
ν
h
e
ν
fA
N
μ
μ
ν
37. 37
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção x:
Escolha do Ábaco:
- Flexão composta normal;
- Armadura distribuída paralela ao eixo y;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-3 [Venturini, 1987]
- Taxa de armadura: ω = 0,25
14,0
62,0
15,016,0
25
0,4
=
=
≅==
′
dx
d
x
x
h
d
μ
ν
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Ábaco A-3 [Venturini, 1987]
ω = 0,25
38. 38
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Área das barras:
Escolha das barras:
- 12φ16 - As,efe = 24,12cm2;
- 6 barras de cada lado, distribuída paralela ao eixo y;
2
52,21
15,1
50
4,1
0,3)7025(
25,0 cm
f
fA
A
yd
cdc
s =
××
×=
⋅
⋅= ω
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras
c) Taxa mecânica de armadura:
Direção y:
03,0032,0
70
60,3
62,0
02,0021,0
25
84,0
62,0
62,0
15,016,0
25
0,4
05,006,0
70
0,4
≅=⋅=⋅=
≅=⋅=⋅=
=
≅==
′
≅==
′
y
y
ddy
x
x
ddx
d
x
x
y
y
h
e
h
e
h
d
h
d
νμ
νμ
ν
39. 39
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras
c) Taxa mecânica de armadura:
Escolha do Ábaco:
- Flexão oblíqua;
- Armadura distribuída conforme adotado na direção x;
- Como não há arranjo para 12φ, escolhe-se os ábaco A-16
[20φ] e A-17 [8φ] de Pinheiro (1994)
- Taxa de armadura: ω = 0,0
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
Ábaco A-16 [Pinheiro, 1994]
ω = 0,0
40. 40
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
4- Dimensionamento das armaduras
c) Taxa mecânica de armadura:
Como ωx = 0,25 > ωy = 0,0:
- O arranjo para a direção “x” (12φ16 ) atende as duas
situações de cálculo da armadura;
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
a) Diâmetro das barras
(OK)25,31
8
250
1610
8
10
mmmmmm
b
mm l
=<<
≤≤ φ
41. 41
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
%4,0%46,062,0
15,1
50
4,1
0,3
15,0
%4,015,0
15,0,
>=⋅⋅=
≥⋅⋅=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
⋅
⋅
==
mín
yd
cd
cd
cd
ydc
d
c
míns
mín
f
f
f
f
fA
N
A
A
ρ
νρ
%38,10138,0
7025
12,24
==
×
==
c
s
A
A
ρ
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
b) Taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal
%0,4
2
%0,8
==máxρ
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
mma
mmcmd
mm
mm
a
agremáx
l
23
2328,29,12,12,1
16
20
.,
≥
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≈=×=⋅
=≥ φ
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
c) Número mínimo de barras:
Uma barra em cada canto ou vértice do polígono
d) Espaçamentos para armadura longitudinal
cma
cm
cmb
a
máx
máx
40
40
502522
≤
⎩
⎨
⎧ =×=⋅
≤
42. 42
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
mm
mm
mm
tlt 5
4
4
16
4
5
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
≥ φφφ
5- Detalhamento
Armadura Transversal
a) Diâmetro
b) Espaçamentos para armadura transversal
cms
cm
cm
s t
l
t 19
2,191,61212
25cmseçãodadimensãomenor
20
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=⋅
=≤
φ
Adotar φ5 c/19
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmt 0,105,02020 =×=⋅φ
5- Detalhamento
Armadura Transversal
c) Proteção contra flambagem localizada das armaduras
Verificação do espaçamentos da armadura longitudinal
(OK)409,103,2
9,10
16
6,165,025,2270
1
22
cmacmacma
cma
n
nch
a
máxmín
ltnom
=<=<=
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
φφ
43. 43
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
( ) ( ) gtnomnomt lcbchl ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= 22222
Onde: lgt = comprimento do gancho para estribo, podendo ser
• semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de
comprimento igual a 5φ, porém não inferior a 5cm;
• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a
10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser
utilizado para barras e fios lisos).
5- Detalhamento
Armadura Transversal
Como (a+ φl) =12,5cm > 20φt = 10cm, é necessário
proteção contra flambagem em todas as barras centrais
(estribos suplementares)
d) Comprimento dos estribos
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
( ) ( )
( ) ( ) cml
lcbchl
t
gtnomnomt
1800,525,222525,22702
22222
=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
e) Comprimento dos estribos suplementares
5- Detalhamento
Armadura Transversal
d) Comprimento dos estribos
( )
( ) cml
lcbl
s
gtnoms
300,525,2225
22
=⋅+⋅−=
⋅+⋅−=
44. 44
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
)180(19/525
251
19
460
1
c
s
hl
N
t
vigao
φ
=+=+
+
=
e) Número de estribos suplementares
5- Detalhamento
Armadura Transversal
f) Número de estribos
( )[ ]3019/5254 cφ×
180C/19
C/19
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
5- Detalhamento
Armadura Transversal
f) Desenho da seção
transversal
45. 45
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cmcml
f
f
l
b
ck
yd
b
5537,53
3035,1
15,1
500
6,1
35,1
3
2
3
2
≈=
⋅
⋅=
⋅
⋅= φ
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
Logo:
⎩
⎨
⎧ =×=
≥==
mm
cm
cmll boc
200
246,11515
55
φ
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
cml
lhll ocviga
51555460
)( 0
=+=
++=
5- Detalhamento
Comprimento total das barras longitudinais
46. 46
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.2- Pilar de Extremidade – P4
5- Detalhamento
Desenho do Pilar P4:
180
515
C/19
C/19
C/19
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Dados iniciais:
47. 47
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Dados iniciais:
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Dados iniciais:
Nk = 1.230kN
Nd = 1,4 x 1.230 = 1.722kN
Na direção x:
⎩
⎨
⎧ +
≤
l
hl
le
0
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ex
x
xx
ex
x
xx
x
423
460
423
460
42325398
39862460
0
0
0
=⇒
⎩
⎨
⎧
=
=+
≤
=
=+=+
=−=
Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar
a) Características Geométricas
Comprimentos equivalentes do Pilar:
48. 48
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Na direção y:
cml
cml
cmhl
l
cml
cmhl
cml
ey
y
yy
ey
y
yy
y
460
460
468
460
46860408
40852460
0
0
0
=⇒
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=
=+
≤
=
=+=+
=−=
Comprimentos equivalentes do Pilar:
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Vão efetivo das Vigas V1 e V4:
a) Viga V1:
cml
aall
V
VoVef
5,557
2
60
2
25
6001,0
211,1,
=−−=
++=
A medida a1 relativa ao pilar P1:
cma
cmha
cm
h
a
V
Px
5,12
6,18623,03,0
5,12
2
25
2 1
11
1,
1
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=×=⋅=
===
49. 49
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
a) Viga V1:
A medida a2 relativa ao pilar P2:
cma
cmha
cm
h
a
V
Px
6,18
6,18623,03,0
0,30
2
60
2 2
12
2,
2
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=×=⋅=
===
cml
aall
Vef
VoVef
6,5886,185,125,5571,
211,1,
=++=
++=
Vão efetivo da viga V1:
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
b) Viga V4:
cml
aall
V
VoVef
0,315
2
70
60
2
20
4004,0
214,4,
=−−+=
++=
A medida a1 relativa ao pilar P1:
cma
cmha
cm
h
a
V
Py
6,15
6,15523,03,0
0,30
2
60
2 1
41
1,
1
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=×=⋅=
===
50. 50
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
b) Viga V4:
A medida a2 relativa ao pilar P4:
cma
cmha
cm
h
a
V
Py
6,15
6,15523,03,0
0,35
2
70
2 2
42
4,
2
=⇒
⎪
⎭
⎪
⎬
⎫
=×=⋅=
===
cml
aall
Vef
VoVef
2,3466,156,150,3154,
214,4,
=++=
++=
Vão efetivo da viga V4:
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V1:
Eixo “x”: Modelo Simplificado NBR 6118:2003
51. 51
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V1:
3
3
sup
sup 108.1
423
2
1
12
2560
3
2
1
3
cm
l
I
r
pilar
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
Rigidez no tramo do pilar:
rinf = rsup = 1.108cm3
Rigidez da viga:
3
3
699.2
6,588
12
6220
44
cm
l
I
r
viga
viga
viga =
⋅
⋅
=
⋅
=
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V1:
cmkNkNm
lqg
M
viga
eng ⋅==
⋅
=
⋅+
= 774.574,57
12
886,520
12
)( 22
Momento de engastamento perfeito na viga:
Momento fletor no tramo do pilar:
cmkN
rrr
r
MMM
viga
eng ⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⋅== 302.1
108.1108.1699.2
108.1
774.5
infsup
sup
infsup
52. 52
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V4:
Eixo “y”: Modelo Simplificado NBR 6118:2003
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V4:
3
3
sup
sup 870.5
460
2
1
12
6025
3
2
1
3
cm
l
I
r
pilar
=
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
Rigidez no tramo do pilar:
rinf = rsup = 5.870cm3
Rigidez da viga:
3
3
625.1
2,346
12
5212
44
cm
l
I
r
viga
viga
viga =
⋅
⋅
=
⋅
=
53. 53
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momento fletor relativo a viga V4:
cmkNkNm
lqg
M
viga
eng ⋅==
⋅
=
⋅+
= 598.198,15
12
462,316
12
)( 22
Momento de engastamento perfeito na viga:
Momento fletor no tramo do pilar:
cmkN
rrr
r
MMM
viga
eng ⋅=⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
++
⋅=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⋅== 702
870.5870.5625.1
870.5
598.1
infsup
sup
infsup
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Momentos Fletores Atuantes no Tramo do Pilar P1
54. 54
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Na direção y:
6,26
60
1246012
=
⋅
=
⋅
==
y
ey
y
ey
y
h
l
i
l
λ
Índices de Esbeltez:
Na direção x:
6,58
25
1242312
=
⋅
=
⋅
==
x
ex
x
ex
x
h
l
i
l
λ
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
2- Excentricidades:
Excentricidade Inicial
Na direção x:
cm
N
M
ee
d
Ad
baseixtopoix 06,1
722.1
302.14,1,
,, =
⋅
===
cme
cmcme
eeee
meioix
meioix
ixixixmeioix
42,0
42,006,14,021,0)06,1(4,006,16,0
4,04,06,0
,
,
max,min,max,,
=
=⋅≥=−⋅+⋅=
⋅≥⋅+⋅=
55. 55
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
2- Excentricidades:
Excentricidade Inicial
Na direção y:
cm
N
M
ee
d
Ad
baseiytopoiy 57,0
722.1
7024,1,
,, =
⋅
===
cme
cmcme
eeee
meioiy
meioiy
iyiyiymeioiy
23,0
23,057,04,011,0)57,0(4,057,06,0
4,04,06,0
,
,
max,min,max,,
=
=⋅≥=−⋅+⋅=
⋅≥⋅+⋅=
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Sendo:
2- Excentricidades:
Excentricidades acidentais:
rad
l
rad
l
ey
ex
00466,0
60,4100
1
100
1
00486,0
23,4100
1
100
1
1y
1x
===
===
θ
θ
2
2
1ay
1ax
ey
y
ex
x
l
e
l
e
⋅=
⋅=
θ
θ
56. 56
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
rad00333,0
300
1
min,11 ==≥ θθ
(OK)00466,0
(OK)00486,0
min,11y
min,11x
θθ
θθ
>=
>=
rad
rad
Logo:
Excentricidades acidentais:
Onde:
cm
l
e
cm
l
e
ey
y
ex
x
07,1
2
460
00466,0
2
03,1
2
423
00486,0
2
1ay
1ax
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
θ
θ
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
ymin,1
xmin,1
0,03h0,015)(
0,03h0,015)(
+=
+=
y
x
e
e
( ) min,min,1 03,0015,0 iddd eNhNM ⋅=+⋅=
Logo:
Excentricidades acidentais:
Excentricidades mínimas:
cme
cme
y
x
30,360,003,0015,00,03h0,015)(
25,225,003,0015,00,03h0,015)(
ymin,1
xmin,1
=⋅+=+=
=⋅+=+=
57. 57
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
kNcmeNM
kNcmeNM
yiddy
xiddx
6,682.530,3722.1)(
5,874.325,2722.1)(
min,min,1
min,min,1
=×=⋅=
=×=⋅=
Excentricidades acidentais:
Momentos mínimos:
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cme
cme
y
x
30,3
25,2
1
1
=
=
cmecmee
cmecmee
ytopoiyy
xtopoixx
30,3)(57,0
25,2)(06,1
min,1,1
min,1,1
=<==
=<==
cmecmeee
cmecmeee
ymeioiyy
xmeioixx
30,3)(30,107,123,0
25,2)(45,103,142,0
min,1ay,1
min,1ax,1
=<=+=+=
=<=+=+=
Seção intermediária:
Excentricidades de 1ª ordem totais:
Seções de extremidades (topo e base)
cme
cme
y
x
30,3
25,2
1
1
=
=
58. 58
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
90
35
e
5,1225
1
b
1
1 ≤≤
⋅+
= λ
αα
λ
b
h
e
cmhe
h
e
xxi
xb
x
xi
x 2506,1:onde
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
=
α
λ
35
9035quesendo5,25
0,1
25
06,1
5,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
x
xb
x
xi
x
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção x:
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 1.822,8kNcm < M1dx,mín = 3.874,5kNcm 0,1, =xbα
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cmhe
h
e
yyi
yb
y
yi
y 6057,0:onde
5,1225
,
,
,
,1 ==
⋅+
=
α
λ
35
9035quesendo1,25
0,1
60
057
5,12255,1225
,1
1
,
,
,1
=
≤≤=
⋅+
=
⋅+
=
y
yb
y
yi
y
h
e
λ
λ
α
λ
Na direção y:
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
Esbeltez Limite:
como MA,d = 982,8 < M1dy,mín = 5.682,6kNcm 0,1, =ybα
59. 59
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
356,58 ,1 =>= xx λλ Pilar medianamente esbelto, é
necessário considerar o efeito de
2ª ordem na direção x.
Necessidade de excentricidade de 2ª ordem:
356,26 ,1 =<= yy λλ Pilar curto, não é necessário
considerar o efeito de 2ª ordem
na direção y.
Para pilares sob flexão oblíqua, se em pelo menos
uma direção for necessário considerar o efeito de 2ª
ordem, deve-se considerar o efeito de 2ª ordem nas
duas direções principais.
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
≥
⋅
−
⋅
=
min,1
,1
2
,1
,
120
1 d
AdAdb
totd
M
MM
M
ν
κ
λ
α
νκ ⋅⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅
+⋅=
d
totd
Nh
M ,
5132
Solução única:
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
a
cabb
M totd
⋅
⋅⋅−+−
=
2
42
,
Addb
Adb
d
d
MNhc
M
Nh
Nhb
a
,1
,1
2
2,0
19200
2,0
1
⋅⋅⋅⋅−=
⋅−
⋅⋅
−⋅⋅=
=
α
α
λ
60. 60
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
mKncmkNM
mkNcmkNM
kNN
mcmh
míndx
Adx
d
x
x
bx
⋅==
⋅=⋅=
=
==
=
=
75,38.0,875.3
23,180,823.1
722.1
25,025
6,58
0,1
,1
,1
λ
α
Direção x:
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Direção x:
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
6,569.123,18722.125,00,12,0
2,0
126,923,180,1
19200
722.125,06,58
722.125,02,0
19200
2,0
1
,1
2
,1
2
−=⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅⋅−=
−=⋅−
⋅⋅
−⋅⋅=
⋅−
⋅⋅
−⋅⋅=
=
c
MNhc
b
M
Nh
Nhb
a
Adxdxbx
Adxbx
dxx
dx
α
α
λ
61. 61
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Direção x:
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
( ) ( ) ( )
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⋅=
⋅=
>⋅=⋅=
⋅
−⋅⋅−−+−−
=
⋅
⋅⋅−+−
=
mkNM
mkNM
cmkNmkNM
M
a
cabb
M
dx
Adx
totdx
totdx
totdx
875.3
823.1
3,444.4443,44
0,12
6,569.10,14126,9126,9
2
4
min,1
,1
,
2
,
2
,
cm
N
M
e
d
totdx
xtot 58,2
722.1
3,444.4,
, ===
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
mKncmkNM
mkNcmkNM
kNN
mcmh
mínyd
Ayd
d
y
y
bx
⋅==
⋅=⋅=
=
==
=
=
83,56.683.5
83,9983
722.1
60,060
6,26
0,1
,1
,1
λ
α
Direção y:
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
62. 62
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
Direção y:
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
3,031.283,9722.160,00,12,0
2,0
73,15883,90,1
19200
722.160,06,26
722.160,02,0
19200
2,0
1
,1
2
,1
2
−=⋅⋅⋅⋅−=
⋅⋅⋅⋅−=
=⋅−
⋅⋅
−⋅⋅=
⋅−
⋅⋅
−⋅⋅=
=
c
MNhc
b
M
Nh
Nhb
a
Adxdxbx
Adyby
dyy
dy
α
α
λ
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3.11.3- Pilar de Canto – P1
Direção y:
Efeitos de 2ª ordem:
Método do Pilar Padrão com rigidez aproximada
( )
cmkNM
cmkNM
cmkNM
cmkNmkNM
M
a
cabb
M
totdy
dx
Adx
totdy
totdy
totdy
⋅=
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
⋅=
⋅=
≥⋅=⋅=
⋅
−⋅⋅−+−
=
⋅
⋅⋅−+−
=
683.5
683.5
983
4,190.1904,11
0,12
3,031.20,1473,15873,158
2
4
,
min,1
,1
,
2
,
2
,
cm
N
M
e
d
totdy
ytot 30,3
722.1
683.5,
, ===
63. 63
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3.11.3- Pilar de Canto – P1
cme
cme
kNN
y
x
d
30,3
58,2
722.1
=
=
=
cme
cme
kNN
y
x
d
57,0
25,2
722.1
=
=
=
4- Dimensionamento das armaduras
a) Situação de cálculo:
Seção Intermediária – Flexão obíqua
Seção Extremidade – Flexão oblíqua
Direção x: Direção y:
cme
cme
kNN
y
x
d
30,3
06,1
722.1
=
=
=
Situação mais desfavorável
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4- Dimensionamento das armaduras
b) Equações adimensionais:
03,0
60
30,3
54,0
06,0
25
58,2
54,0
54,0
4,1
0,3
6025
722.1
=×=⋅=
=×=⋅=
=
××
=
⋅
=
y
y
ddy
x
x
ddx
cdc
d
d
h
e
ν
h
e
ν
fA
N
μ
μ
ν
64. 64
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3.11.3- Pilar de Canto – P1
15,016,0
25
0,4
05,007,0
60
0,4
≅==
′
≅==
′
x
x
y
y
h
d
h
d
4- Dimensionamento das armaduras
c) Taxa mecânica de armadura:
Escolha do Ábaco:
- Flexão oblíqua;
- Armadura distribuída paralela ao eixo y;
- Escolhe-se inicialmente o Ábaco A-17 [Pimheiro, 1994]
- Taxa de armadura: ω = 0,0
03,0
60
30,3
54,0
06,0
25
58,2
54,0
54,0
=⋅=⋅=
=⋅=⋅=
=
y
y
ddy
x
x
ddx
d
h
e
h
e
νμ
νμ
ν
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Ábaco A-16 [Pinheiro, 1994]
ω = 0,0
65. 65
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3.11.3- Pilar de Canto – P1
Área das barras:
A seção precisa ser armada com armadura mínima.
2
0,0 cm
f
fA
A
yd
cdc
s =
⋅
⋅= ω
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3.11.3- Pilar de Canto – P1
22
, 00,66025004,0%4,094,5
15,1
50
722.1
15,015,0 cmAcm
f
N
A c
yd
d
míns =××=≥=⋅=⋅=
%0,4
2
%0,8
%5,0
6025
36,7
==<=
×
== máx
c
s
A
A
ρρ
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
a) Taxas mínimas e máximas de armadura longitudinal
Escolha das barras:
- 6φ12,5 - As,efe = 7,36cm2;
- 3 barras de cada lado, distribuída paralela ao eixo y;
2
0,6 cmAs =
66. 66
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5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
b) Diâmetro das barras
(OK)25,31
8
250
5,1210
8
10
mmmmmm
b
mm l
=<<
≤≤ φ
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mma
mmcmd
mm
mm
a
agremáx
l
23
2328,29,12,12,1
5,12
20
.,
≥
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
≈=×=⋅
=≥ φ
5- Detalhamento
Armadura Longitudinal
c) Número mínimo de barras:
Uma barra em cada canto ou vértice do polígono
d) Espaçamentos para armadura longitudinal
cma
cm
cmb
a
máx
máx
40
40
502522
≤
⎩
⎨
⎧ =×=⋅
≤
67. 67
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3.11.3- Pilar de Canto – P1
mm
mm
mm
tlt 5
1,3
4
5,12
4
5
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
==
≥ φφφ
5- Detalhamento
Armadura Transversal
a) Diâmetro
b) Espaçamentos para armadura transversal
cms
cm
cm
s t
l
t 15
151,251212
25cmseçãodadimensãomenor
20
=⇒
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=×=⋅
=≤
φ
Adotar φ5 c/15
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3.11.3- Pilar de Canto – P1
cmt 0,105,02020 =×=⋅φ
5- Detalhamento
Armadura Transversal
c) Proteção contra flambagem localizada das armaduras
Verificação do espaçamentos da armadura longitudinal
(OK)4013,253,2
13,25
13
25,135,025,2260
1
22
cmacmacma
cma
n
nch
a
máxmín
ltnom
=<=<=
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
−
⋅−⋅−⋅−
=
φφ
68. 68
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3.11.3- Pilar de Canto – P1
( ) ( ) gtnomnomt lcbchl ⋅+⋅−⋅+⋅−⋅= 22222
Onde: lgt = comprimento do gancho para estribo, podendo ser
• semicirculares ou em ângulo de 45o (interno), com ponta reta de
comprimento igual a 5φ, porém não inferior a 5cm;
• em ângulo reto, com ponta reta de comprimento maior ou igual a
10φ, porém não inferior a 7cm (este tipo de gancho não deve ser
utilizado para barras e fios lisos).
5- Detalhamento
Armadura Transversal
Como (a+ φl) =26,4cm > 20φt = 10cm, é necessário
proteção contra flambagem na barra central (estribo
suplementar)
d) Comprimento dos estribos
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( ) ( )
( ) ( ) cml
lcbchl
t
gtnomnomt
1600,525,222525,22602
22222
=⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
⋅+⋅−⋅+⋅−⋅=
e) Comprimento dos estribos suplementares
5- Detalhamento
Armadura Transversal
d) Comprimento dos estribos
( )
( ) cml
lcbl
s
gtnoms
300,525,2225
22
=⋅+⋅−=
⋅+⋅−=
69. 69
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3.11.3- Pilar de Canto – P1
)160(15/532
321
15
460
1
c
s
hl
N
t
vigao
φ
=+=+
+
=
e) Número de estribos suplementares
5- Detalhamento
Armadura Transversal
f) Número de estribos
( )3015/532 cφ
N2 - 32φ5,0 c/15 C = 160
55
N3 - 32φ5,0 c/15 C = 30
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3.11.3- Pilar de Canto – P1
5- Detalhamento
Armadura Transversal
f) Desenho da seção
transversal
6 φ 12,5 mm
26,4 cm
70. 70
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3.11.3- Pilar de Canto – P1
cmcml
f
f
l
b
ck
yd
b
4570,41
3035,1
15,1
500
25,1
35,1
3
2
3
2
≈=
⋅
⋅=
⋅
⋅= φ
5- Detalhamento
Comprimento das esperas
Logo:
⎩
⎨
⎧ =×=
≥==
mm
cm
cmll boc
200
75,1825,11515
45
φ
Prof.RomelDiasVanderlei
3.11.3- Pilar de Canto – P1
cml
lhll ocviga
50545460
)( 0
=+=
++=
5- Detalhamento
Comprimento total das barras longitudinais