Tensão Vetor Tensão Tensor Tensão Componentes Simetria Tensões Principais Máxima Tensão Cisalhante Representação Gráfica de Mohr Equações do Movimento Condições de Contorno Equação de Equilíbrio para pequenas Deformações

1. Mecˆanica dos S´olidos I – MAC-005
Unidade 03
Luis Paulo S. Barra
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecˆanica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora
v. 14.11
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 1 / 33

2. Livro Texto
Livro texto:
I Introduction to Continuum Mechanics
I W. Michael Lai , David Rubin , Erhard Krempl
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3. Programa
1 Tens˜ao
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 3 / 33

4. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
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5. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 4 / 33

6. Vetor Tens˜ao
Nas unidades anteriores consideramos a descric¸ ˜ao cinm´etica do movimento de um
meio cont´ınuo
N˜ao foram consideradas as forc¸as que causam o movimento ou deformac¸ ˜ao
Nesta unidade, vamos considerar formas de descrever as forc¸as no interior do
corpo idealizado como cont´ınuo
As forc¸as s˜ao consideradas como
I Forc¸as de superf´ıcie, atuando em superf´ıcies1 separando os corpos
I Forc¸as de corpo, devido a campos gravitacionais ou forc¸as eletrost´aticas
1reais ou imaginarias
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7. Vetor Tens˜ao
Vamos considerar um meio cont´ınuo mostrado na Figura abaixo. Imagine um plano S
que passa por um ponto arbitr´ario P com normal n.
O plano divide a corpo em duas partes, I e II.
Considere na parte I uma resultante F atuando no entorno de uma regi˜ao A
contendo P
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8. Vetor Tens˜ao
O vetor tens˜ao ´e definido como o limite da raz˜ao F=A quando A ! 0
tn = lim
A!0
F
A
:
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9. Vetor Tens˜ao
O vetor tens˜ao ´e definido como o limite da raz˜ao F=A quando A ! 0
tn = lim
A!0
F
A
:
Ac¸ ˜ao e reac¸ ˜ao:
tn = tn
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 6 / 33

10. Vetor Tens˜ao
O vetor tens˜ao ´e definido como o limite da raz˜ao F=A quando A ! 0
tn = lim
A!0
F
A
:
Ac¸ ˜ao e reac¸ ˜ao:
tn = tn
Em uma superf´ıcie qualquer de normal n
em P:
t = lim
S!0
F
S
:
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11. Vetor Tens˜ao
Princ´ıpio da Tens˜ao de Cauchy
t = t(x; t; n)
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12. Vetor Tens˜ao
Princ´ıpio da Tens˜ao de Cauchy
t = t(x; t; n)
Mais especificamente:
t(x; t; n) = T(x; t)n:
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13. Vetor Tens˜ao
Princ´ıpio da Tens˜ao de Cauchy
t = t(x; t; n)
Mais especificamente:
t(x; t; n) = T(x; t)n:
Tensor Tens˜ao
Seja T a transformac¸ ˜ao tal que :
tn = Tn
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14. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 8 / 33

15. Tensor Tens˜ao
Considerando a segunda lei
de Newton aplicada ao
tetraedro ao lado:
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16. Tensor Tens˜ao
Considerando a segunda lei
de Newton aplicada ao
tetraedro ao lado:
X
F = te1 (A1) + te2 (A2) + te3 (A3) + tn(An) = ma:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 8 / 33

17. Tensor Tens˜ao
Considerando a segunda lei
de Newton aplicada ao
tetraedro ao lado:
X
F = te1 (A1) + te2 (A2) + te3 (A3) + tn(An) = ma:
Sendo:
n = n1e1 + n2e2 + n3e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 8 / 33

18. Tensor Tens˜ao
Considerando a segunda lei
de Newton aplicada ao
tetraedro ao lado:
X
F = te1 (A1) + te2 (A2) + te3 (A3) + tn(An) = ma:
Sendo:
n = n1e1 + n2e2 + n3e3
Podem ser obtidas as relac¸ ˜oes :
A1 = n1An; A2 = n2An; A3 = n3An
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19. Tensor Tens˜ao
Considerando ainda que m = V:
X
F = te1n1 + te2n2 + te3n3 + tn =
V
An
a
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20. Tensor Tens˜ao
Considerando ainda que m = V:
X
F = te1n1 + te2n2 + te3n3 + tn =
V
An
a
Uma vez que:
tei = tei = T ei
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21. Tensor Tens˜ao
Considerando ainda que m = V:
X
F = te1n1 + te2n2 + te3n3 + tn =
V
An
a
Uma vez que:
tei = tei = T ei
tn = T n
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 9 / 33

22. Tensor Tens˜ao
Considerando ainda que m = V:
X
F = te1n1 + te2n2 + te3n3 + tn =
V
An
a
Uma vez que:
tei = tei = T ei
tn = T n
e fazendo o limite quando os lados do tetraedro tendem a zero:
n1T e1 n2T e2 n3T e3 + T n = 0
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23. Tensor Tens˜ao
Considerando ainda que m = V:
X
F = te1n1 + te2n2 + te3n3 + tn =
V
An
a
Uma vez que:
tei = tei = T ei
tn = T n
e fazendo o limite quando os lados do tetraedro tendem a zero:
n1T e1 n2T e2 n3T e3 + T n = 0
Logo:
T n = T(n1e1 + n2e2 + n3e3)
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24. Tensor Tens˜ao
Considerando ainda que m = V:
X
F = te1n1 + te2n2 + te3n3 + tn =
V
An
a
Uma vez que:
tei = tei = T ei
tn = T n
e fazendo o limite quando os lados do tetraedro tendem a zero:
n1T e1 n2T e2 n3T e3 + T n = 0
Logo:
T n = T(n1e1 + n2e2 + n3e3) = n1T e1 + n2T e2 + n3T e3
O que mostra que T ´e linear, portanto um tensor de segunda ordem.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 9 / 33

25. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 10 / 33

26. Componentes do Tensor Tens˜ao
A partir de t = Tn, as componentes de t est˜ao relacioanadas com T e n da seguinte
forma:
ti = Tijnj
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27. Componentes do Tensor Tens˜ao
A partir de t = Tn, as componentes de t est˜ao relacioanadas com T e n da seguinte
forma:
ti = Tijnj
ou de uma forma mais conveniente aos c´alculos,
[t] = [T][n]:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 10 / 33

28. Componentes do Tensor Tens˜ao
A partir de t = Tn, as componentes de t est˜ao relacioanadas com T e n da seguinte
forma:
ti = Tijnj
ou de uma forma mais conveniente aos c´alculos,
[t] = [T][n]:
Uma vez que:
te1 = T e1 = T11e1 + T21e2 + T31e3
te2 = T e2 = T12e1 + T22e2 + T32e3
te3 = T e3 = T13e1 + T23e2 + T33e3
percebe-se que:
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29. Componentes do Tensor Tens˜ao
A partir de t = Tn, as componentes de t est˜ao relacioanadas com T e n da seguinte
forma:
ti = Tijnj
ou de uma forma mais conveniente aos c´alculos,
[t] = [T][n]:
Uma vez que:
te1 = T e1 = T11e1 + T21e2 + T31e3
te2 = T e2 = T12e1 + T22e2 + T32e3
te3 = T e3 = T13e1 + T23e2 + T33e3
percebe-se que:
T11 ´e a componente normal ou tens˜ao normal;
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 10 / 33

30. Componentes do Tensor Tens˜ao
A partir de t = Tn, as componentes de t est˜ao relacioanadas com T e n da seguinte
forma:
ti = Tijnj
ou de uma forma mais conveniente aos c´alculos,
[t] = [T][n]:
Uma vez que:
te1 = T e1 = T11e1 + T21e2 + T31e3
te2 = T e2 = T12e1 + T22e2 + T32e3
te3 = T e3 = T13e1 + T23e2 + T33e3
percebe-se que:
T11 ´e a componente normal ou tens˜ao normal;
T12 e T13 s˜ao as componentes tangenciais ou tens˜oes cisalhantes.
...
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31. Componentes do Tensor Tens˜ao
Tens˜ao Cisalhante Resultante
A tens˜ao cisalhante resultante na face de normal n1 ´e dada por:
= T21e2 + T31e3
tendo como m´odulo:
jj =
q
T2
21 + T2
31
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32. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 12 / 33

33. Simetria do Tensor Tens˜ao
Fazendo o equil´ıbrio de momento angular do elemento diferencial, vamos mostrar que
o tensor de tens˜oes ´e geralmente um tensor sim´etrico 2
X
(MA)3 = T21(x2x3)
x1
2
!
T12 (x1x3)
x2
2
!
+ (T21 + T21) (x2x3)
x1
2
!
(T12 + T12) (x1x3)
x2
2
!
= I333
2A simetria do tensor de tens˜oes n˜ao ´e v´alida se h´a momentos distribu´ıdos por unidade de volume,
como no caso de s´olidos diel´etricos anisotr´opicos polarizados
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34. Simetria do Tensor Tens˜ao
X
(MA)3 = (T21 T12) x1x2x3 = I333
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 13 / 33

35. Simetria do Tensor Tens˜ao
X
(MA)3 = (T21 T12) x1x2x3 = I333
E como:
I33 =
1
12
(densidade)x1x2x3
12
h
(x1)2 + (x2)2
i
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 13 / 33

36. Simetria do Tensor Tens˜ao
X
(MA)3 = (T21 T12) x1x2x3 = I333
E como:
I33 =
1
12
(densidade)x1x2x3
12
h
(x1)2 + (x2)2
i
No limite, quando xi ! 0 :
(T21 T12) = 0
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37. Simetria do Tensor Tens˜ao
X
(MA)3 = (T21 T12) x1x2x3 = I333
E como:
I33 =
1
12
(densidade)x1x2x3
12
h
(x1)2 + (x2)2
i
No limite, quando xi ! 0 :
(T21 T12) = 0
Logo:
T12 = T21
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 13 / 33

38. Simetria do Tensor Tens˜ao
X
(MA)3 = (T21 T12) x1x2x3 = I333
E como:
I33 =
1
12
(densidade)x1x2x3
12
h
(x1)2 + (x2)2
i
No limite, quando xi ! 0 :
(T21 T12) = 0
Logo:
T12 = T21
E analogamente:
T13 = T31
T23 = T32
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 13 / 33

39. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 14 / 33

40. Tens˜oes Principais
Devido `a simetria:
existem pelo menos 3 direc¸ ˜oes principais (autovetores) mutuamente ortogonais
definindo planos principais;
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 14 / 33

41. Tens˜oes Principais
Devido `a simetria:
existem pelo menos 3 direc¸ ˜oes principais (autovetores) mutuamente ortogonais
definindo planos principais;
nestes planos atuam apenas tens˜oes normais (autovalores);
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 14 / 33

42. Tens˜oes Principais
Devido `a simetria:
existem pelo menos 3 direc¸ ˜oes principais (autovetores) mutuamente ortogonais
definindo planos principais;
nestes planos atuam apenas tens˜oes normais (autovalores);
dentre estas tens˜oes tem-se a m´axima e a m´ınima tens˜ao normal.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 14 / 33

43. Tens˜oes Principais
Devido `a simetria:
existem pelo menos 3 direc¸ ˜oes principais (autovetores) mutuamente ortogonais
definindo planos principais;
nestes planos atuam apenas tens˜oes normais (autovalores);
dentre estas tens˜oes tem-se a m´axima e a m´ınima tens˜ao normal.
Equac¸ ˜ao Caracter´ıstica:
3 I12 + I2 I3 = 0
onde
I1 = T11 + T22 + T33
I2 =

49. T11 T12
T21 T22

55. +

61. T11 T13
T31 T33

67. +

73. T22 T23
T32 T33

79. I3 = det[T] =

87. T11 T12 T13
T21 T22 T23
T31 T32 T33

95. Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 14 / 33

96. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 15 / 33

97. M´axima Tens˜ao Cisalhante
Em relac¸ ˜ao `as direc¸ ˜oes principais:
2666666664
t1
t2
t3
3777777775
=
2666666664
T1 0 0
0 T2 0
0 0 T3
3777777775 2666666664
n1
n2
n3
3777777775
=
2666666664
n1T1
n2T2
n3T3
3777777775
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 15 / 33

98. M´axima Tens˜ao Cisalhante
Em relac¸ ˜ao `as direc¸ ˜oes principais:
2666666664
t1
t2
t3
3777777775
=
2666666664
T1 0 0
0 T2 0
0 0 T3
3777777775 2666666664
n1
n2
n3
3777777775
=
2666666664
n1T1
n2T2
n3T3
3777777775
Ou de forma mais compacta:
t = n1T1e1 + n2T2e2 + n3T3e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 15 / 33

99. M´axima Tens˜ao Cisalhante
Em relac¸ ˜ao `as direc¸ ˜oes principais:
2666666664
t1
t2
t3
3777777775
=
2666666664
T1 0 0
0 T2 0
0 0 T3
3777777775 2666666664
n1
n2
n3
3777777775
=
2666666664
n1T1
n2T2
n3T3
3777777775
Ou de forma mais compacta:
t = n1T1e1 + n2T2e2 + n3T3e3
A componente normal, Tn, pode ser obtida:
Tn = n t = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3
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100. M´axima Tens˜ao Cisalhante
E a magnitude da tens˜ao cisalhante, Ts, deve satisfazer a relac¸ ˜ao:
T2
s = jtj2 T2
n
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101. M´axima Tens˜ao Cisalhante
E a magnitude da tens˜ao cisalhante, Ts, deve satisfazer a relac¸ ˜ao:
T2
s = jtj2 T2
n
que expandida fornece:
T2
s = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
n21
T1 + n22
T2 + n23
T3
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 16 / 33

102. M´axima Tens˜ao Cisalhante
E a magnitude da tens˜ao cisalhante, Ts, deve satisfazer a relac¸ ˜ao:
T2
s = jtj2 T2
n
que expandida fornece:
T2
s = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
n21
T1 + n22
T2 + n23
T3
2
Observamos que Ts = 0, que ´e o valor m´ınimo da tens˜ao cisalhante, em
(n1; n2; n3) = (1; 0; 0)
(n1; n2; n3) = (0; 1; 0)
(n1; n2; n3) = (0; 0; 1)
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103. M´axima Tens˜ao Cisalhante
E a magnitude da tens˜ao cisalhante, Ts, deve satisfazer a relac¸ ˜ao:
T2
s = jtj2 T2
n
que expandida fornece:
T2
s = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
n21
T1 + n22
T2 + n23
T3
2
Observamos que Ts = 0, que ´e o valor m´ınimo da tens˜ao cisalhante, em
(n1; n2; n3) = (1; 0; 0)
(n1; n2; n3) = (0; 1; 0)
(n1; n2; n3) = (0; 0; 1)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 16 / 33

104. M´axima Tens˜ao Cisalhante
Usando a restric¸ ˜ao n21
+ n22
+ n23
= 1 pode-se obter, por exemplo:
T2
s = f (n1; n2)
e a determinac¸ ˜ao dos valores m´aximos pode ser feita satisfazendo:
@
T2
s
@n1
= 0 e
@
T2
s
@n2
= 0
Pode ser mostrado que o valor m´aximo da tens˜ao cisalhante ´e:
(Ts)max =
T1 T3
2 =
(Tn)max (Tn)min
2
e ocorre em planos definidos pelo vetor normal:
n =
p
2
2
e1
p
2
2
e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 17 / 33

105. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 18 / 33

106. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Sejam e1, e2 e e3 as direc¸ ˜oes principais de T e sejam T1; T2; T3 as tens˜oes principais.
Se n = n1e1 + n2e2 + n3e3 ´e o normal unit´ario a um plano, ent˜ao
2666666664
t1
t2
t3
3777777775
=
2666666664
T1 0 0
0 T2 0
0 0 T3
3777777775 2666666664
n1
n2
n3
3777777775
ou
t = n1T1e1 + n2T2e2 + n3T3e3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 18 / 33

107. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
A componente normal ´e dada por
Tn = t n = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3
Se Ts denota a magnitude da tens˜ao
cisalhante total no plano, ent˜ao temos
T2
s = ktk2 T2
n
ou ainda
T2
s = n21
T2
1+n22
T2
2+n23
T2
3(n21
T1+n22
T2+n23
T3)
com
knk = 1 ) n21
+ n22
+ n23
= 1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 19 / 33

108. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

109. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

110. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

111. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

112. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

113. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

114. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

115. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

116. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

117. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

118. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

119. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

120. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

121. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

122. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

123. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

124. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Gerac¸ ˜ao do gr´afico:
Dados um tensor T e um vetor
normal n unit´ario qualquer, calcule
(Tn; Ts) e fac¸a o gr´afico com os
pontos gerados
Resultados obtidos para
T =
2666666664
3777777775
8 2 1
2 2 1
1 1 1
MPa
com
T1 = 8:66531115 MPa
T2 = 2:42968287 MPa
T3 = 0:09499401 MPa
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 20 / 33

125. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 21 / 33

126. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜ao da semi-circunferˆencia de raio R,com centro em (O1; 0):
(Tn O1)2 + T2
s = R2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 21 / 33

127. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜ao da semi-circunferˆencia de raio R,com centro em (O1; 0):
(Tn O1)2 + T2
s = R2
Que expandida fornece:
T2
n 2O1Tn + O21
+ T2
s = R2
onde O1 = T2+T3
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 21 / 33

128. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33

129. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2 = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33

130. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2 = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
Lembrando que Tn = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3 e subtraindo 2Tn
T2+T3
2 dos dois membros:
T2
n Tn (T2 + T3) + T2
s = T2
1 n21
+ T2
2 n22
+ T2
3 n23
T1n21
+ T2n22
+ T3n23
(T2 + T3)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33

131. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2 = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
Lembrando que Tn = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3 e subtraindo 2Tn
T2+T3
2 dos dois membros:
T2
n Tn (T2 + T3) + T2
s = T2
1 n21
+ T2
2 n22
+ T2
3 n23
T1n21
+ T2n22
+ T3n23
(T2 + T3)
= n21
T2
1 T1T2 T1T3
T2T3
n22
+ n23
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33

132. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2 = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
Lembrando que Tn = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3 e subtraindo 2Tn
T2+T3
2 dos dois membros:
T2
n Tn (T2 + T3) + T2
s = T2
1 n21
+ T2
2 n22
+ T2
3 n23
T1n21
+ T2n22
+ T3n23
(T2 + T3)
= n21
T2
1 T1T2 T1T3
T2T3
n22
+ n23
= n21
T2
1 T1T2 T1T3+T2T3
T2T3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33

133. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2 = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
Lembrando que Tn = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3 e subtraindo 2Tn
T2+T3
2 dos dois membros:
T2
n Tn (T2 + T3) + T2
s = T2
1 n21
+ T2
2 n22
+ T2
3 n23
T1n21
+ T2n22
+ T3n23
(T2 + T3)
= n21
T2
1 T1T2 T1T3
T2T3
n22
+ n23
= n21
T2
1 T1T2 T1T3+T2T3
T2T3
= n21
[T1 (T1 T2) T3 (T1 T2)] T2T3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33

134. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Partindo de:
T2
n + T2
s = jtj2 = n21
T2
1 + n22T2
2 + n23
T2
3
Lembrando que Tn = n21
T1 + n22
T2 + n23
T3 e subtraindo 2Tn
T2+T3
2 dos dois membros:
T2
n Tn (T2 + T3) + T2
s = T2
1 n21
+ T2
2 n22
+ T2
3 n23
T1n21
+ T2n22
+ T3n23
(T2 + T3)
= n21
T2
1 T1T2 T1T3
T2T3
n22
+ n23
= n21
T2
1 T1T2 T1T3+T2T3
T2T3
= n21
[T1 (T1 T2) T3 (T1 T2)] T2T3
= n21
(T1 T2) (T1 T3) 2
T2T3
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 22 / 33

135. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
T2
n 2Tn
T2 + T3
2
+ T2
s = n21
(T1 T2) (T1 T3) 2
T2T3
2
Somando membro a membro a equac¸ ˜ao acima com:
T2 + T3
2
2
=
T2
2
4 +
T2T3
2 +
T2
3
4
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 23 / 33

136. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
T2
n 2Tn
T2 + T3
2
+ T2
s = n21
(T1 T2) (T1 T3) 2
T2T3
2
Somando membro a membro a equac¸ ˜ao acima com:
T2 + T3
2
2
=
T2
2
4 +
T2T3
2 +
T2
3
4
obt´em-se:
Tn
T2 + T3
2
2
+ T2
s = n21
(T1 T2) (T1 T3) +
T2 T3
2
2
| {z }
R2n
1=0 | {z }
R2n
1
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 23 / 33

137. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Analogamente pode-se obter:
Tn
T1 + T3
2
2
s = n22
+ T2
(T2 T1) (T2 T3) +
T1 T3
2
2
| {z }
R2n
2=0 | {z }
R2n
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 24 / 33

138. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Analogamente pode-se obter:
Tn
T1 + T3
2
2
s = n22
+ T2
(T2 T1) (T2 T3) +
T1 T3
2
2
| {z }
R2n
2=0 | {z }
R2n
2
e
Tn
T1 + T2
2
2
+ T2
s = n23
(T3 T1) (T3 T2) +
T2 T1
2
2
| {z }
R2n
3=0 | {z }
R2n
3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 24 / 33

139. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac¸ ˜ao Gr´afica:
R2n
1 = n21
(T1 T2) (T1 T3) +
T2 T3
2
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 25 / 33

140. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac¸ ˜ao Gr´afica:
R2n
1 = n21
(T1 T2) (T1 T3) +
T2 T3
2
2
= n21
(T1 T2) [(T1T2) + (T2 T3)] +
T2 T3
2
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 25 / 33

141. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac¸ ˜ao Gr´afica:
R2n
1 = n21
(T1 T2) (T1 T3) +
T2 T3
2
2
= n21
(T1 T2) [(T1T2) + (T2 T3)] +
T2 T3
2
2
= n21
(T1 T2)2 + n21
(T1 T2) (T2 T3) +
T2 T3
2
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 25 / 33

142. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac¸ ˜ao Gr´afica:
R2n
1 = n21
(T1 T2) (T1 T3) +
T2 T3
2
2
= n21
(T1 T2) [(T1T2) + (T2 T3)] +
T2 T3
2
2
= n21
(T1 T2)2 + n21
(T1 T2) (T2 T3) +
T2 T3
2
2
Somando e subtraindo n41
(T1 T2)2 :
R2n1 = n21
(T1 T2)2 n41
(T1 T2)2 +
T1 T3
2 + n21
(T1 T2)
#2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 25 / 33

143. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33

144. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33

145. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
= n21
(T1 T2)
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33

146. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
= n21
(T1 T2)
O1C =
T2 T3
2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33

147. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
= n21
(T1 T2)
O1C =
T2 T3
2
Desta forma:
R2n
1 = n21
(T1 T2)2 n41
(T1 T2)2 +
T1 T3
2 + n21
(T1 T2)
#2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33

148. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
= n21
(T1 T2)
O1C =
T2 T3
2
Desta forma:
R2n
1 = n21
(T1 T2)2 n41
(T1 T2)2 +
T1 T3
2 + n21
(T1 T2)
#2
= CB2
CD2
+
h
O1C + CD
i2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33

149. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
= n21
(T1 T2)
O1C =
T2 T3
2
Desta forma:
R2n
1 = n21
(T1 T2)2 n41
(T1 T2)2 +
T1 T3
2 + n21
(T1 T2)
#2
= CB2
CD2
+
h
O1C + CD
i2
= DB2
+ O1D2
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33

150. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Observando que
n1 = cos():
CB = n1 (T1 T2)
CD = n1CB
= n21
(T1 T2)
O1C =
T2 T3
2
Desta forma:
R2n
1 = n21
(T1 T2)2 n41
(T1 T2)2 +
T1 T3
2 + n21
(T1 T2)
#2
= CB2
CD2
+
h
O1C + CD
i2
= DB2
+ O1D2
= O1B2
Analogamente para a variac˜ao das demais componentes.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 26 / 33

151. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

152. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

153. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

154. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

155. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

156. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

157. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

158. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

159. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

160. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

161. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

162. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

163. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

164. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

165. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

166. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

167. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

168. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

169. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

170. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

171. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

172. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

173. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

174. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

175. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

176. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

177. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

178. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

179. Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Determinac˜ao gr´afica das componentes normal e cisalhante, a partir de ,

180. e
:
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 27 / 33

181. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 28 / 33

182. Equac¸ ˜oes do Movimento
Vamos determinar as equac¸ ˜oes diferencias do movimento para qualquer meio
cont´ınuo. A hip´otese b´asica ´e que cada part´ıcula no cont´ınuo satisfaz as leis de
Newton.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 28 / 33

183. Equac¸ ˜oes do Movimento
Sejam B = Biei a forc¸a de corpo (peso pr´oprio), a densidade do material em xi, a a a
acelerac¸ ˜ao da part´ıcula em xi. Ent˜ao, em coordenadas cartesianas retangulares, as leis
de Newton tomam a forma:
te1 (x1 + x1; x2; x3) te1 (x1; x2; x3)
x1
!
+
te2 (x1; x2 + x2; x3) te2 (x1; x2; x3)
x2
!
+
te3 (x1; x2; x3 + x3) te3 (x1; x2; x3)
x3
!#
x1x2x3
+Bx1x2x3 = a x1x2x3
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 29 / 33

184. Equac¸ ˜oes do Movimento
Fazendo x1, x2 e x3 tender a zero, obt´em-se:
@te1
@x1
+
@te2
@x2
+
@te3
@x3
+ B = a
3Equac¸ ˜ao de Cauchy do movimento
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 30 / 33

185. Equac¸ ˜oes do Movimento
Fazendo x1, x2 e x3 tender a zero, obt´em-se:
@te1
@x1
+
@te2
@x2
+
@te3
@x3
+ B = a
E lembrando que Tej = Tijei, chega-se a:
@Tij
@xj
ei + Biei = aiei
3Equac¸ ˜ao de Cauchy do movimento
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 30 / 33

186. Equac¸ ˜oes do Movimento
Fazendo x1, x2 e x3 tender a zero, obt´em-se:
@te1
@x1
+
@te2
@x2
+
@te3
@x3
+ B = a
E lembrando que Tej = Tijei, chega-se a:
@Tij
@xj
ei + Biei = aiei
Sob forma invariante a equac¸ ˜ao acima pode ser escrita como:
divT + B = a
e em componentes3:
@Tij
@xj
+ Bi = ai
3Equac¸ ˜ao de Cauchy do movimento
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 30 / 33

187. Equac¸ ˜oes do Movimento
Se a acelerac¸ ˜ao ´e nula: Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio
@Tij
@xj
+ Bi = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 31 / 33

188. Equac¸ ˜oes do Movimento
Se a acelerac¸ ˜ao ´e nula: Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio
@Tij
@xj
+ Bi = 0
Ou em forma invariante:
divT + B = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 31 / 33

189. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 32 / 33

190. Condic¸ ˜oes de Contorno
Se no contorno (fronteira) de um meio
cont´ınuo ´e aplicada alguma forc¸a
distribu´ıda em uma ´area, devemos
considerar as condic¸ ˜oes de contorno para
a tens˜ao na fronteira,
t = Tn
onde T ´e o tensor de tens˜oes avaliado no
contorno.
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 32 / 33

191. Programa
1 Tens˜ao
Vetor Tens˜ao
Tensor Tens˜ao
Componentes
Simetria
Tens˜oes Principais
M´axima Tens˜ao Cisalhante
Representac¸ ˜ao Gr´afica de Mohr
Equac¸ ˜oes do Movimento
Condic¸ ˜oes de Contorno
Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio para pequenas Deformac˜oes
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 33 / 33

192. Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio pequenas deformac˜oes
No caso de pequenas deformac˜oes a configurac˜ao deformada se confunde com a
original desta forma a equac˜ao:
@Tim
@xm
+ Bi = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 33 / 33

193. Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio pequenas deformac˜oes
No caso de pequenas deformac˜oes a configurac˜ao deformada se confunde com a
original desta forma a equac˜ao:
@Tim
@xm
+ Bi = 0
´e equivalente a:
@Tim
@Xm
+ 0Bi = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 33 / 33

194. Equac¸ ˜ao de Equil´ıbrio pequenas deformac˜oes
No caso de pequenas deformac˜oes a configurac˜ao deformada se confunde com a
original desta forma a equac˜ao:
@Tim
@xm
+ Bi = 0
´e equivalente a:
@Tim
@Xm
+ 0Bi = 0
ou ainda:
divT + f = 0
Luis Paulo Barra / Leonardo Goliatt (MAC-UFJF) Mecˆanica dos S´olidos I v. 14.11 33 / 33