Cargas em vigas

ESTRUTURAS CONCRETO ARMADO
Prof. Moacyr Molinari

Cargas Lineares em Vigas
Determinadas as cargas superficiais nas lajes, o próximo passo é determinar os valores das
forças (cargas concentradas e/ou cargas distribuídas) que atuam sobre cada vão (ou tramo) de cada
viga.
Em geral, uma viga suporta:
- seu peso próprio;
- os pesos de paredes de alvenaria;
- as cargas concentradas aplicadas por outras vigas ou por pilares (no caso de viga de transição);
- parte da carga total suportada pelas lajes que se apóiam na viga.
A soma das quatro parcelas de cargas citadas resultará na carga linearmente distribuída a ser
suportada pela viga.
Acompanhe a seguir a discussão teórica do cálculo de cada parcela de carga.
1 - PESO PRÓPRIO
Considere uma viga com seção transversal retangular. O lado horizontal da seção
transversal é denominado base “b”. O lado vertical da seção transversal é denominado altura “h”.
O comprimento do tramo (ou vão) considerado da viga é “L”. Como o tramo de viga tem forma de
um paralelepípedo, seu volume (Vc) é:
Vc = b . h . L
O peso específico (γc) do material (concreto) é:
_Pc_ = γc
Vc
O peso (Pc) do tramo da viga é:
Pc = γc . Vc

ou

Pc = γc . b . h . L
Para dimensões em metros e peso específico em kgf/m3 , resultará peso (Pc) em kgf .
O peso é distribuído ao longo do comprimento “L” do tramo da viga. Então a carga
linearmente distribuída (qc), proveniente do peso próprio do tramo da viga é
qc = _Pc
L

→

qc = γc . b . h . L →
L
qc = γc . b . h

(γc em kgf/m3 , “b” e “h” em metro, qc em kgf/m)

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2 – PAREDE DE ALVENARIA
Se uma parede de alvenaria se apoiar diretamente sobre a viga, pode-se calcular o peso da
parede e considerá-lo distribuído ao longo de seu comprimento, na forma discutida a seguir.
Considere o tramo de viga anterior suportando uma parede de alvenaria com comprimento
“La”, altura “ha” e espessura “ta”.
O volume (Va) da parede de alvenaria é
Va = La . ha . ta
O peso específico (γa) do material (alvenaria) é:
_Pa_ = γa
Va
O peso (Pa) da parede de alvenaria é
Pa = γa . Va

ou

Pa = γa . La . ha . ta
O peso da parede de alvenaria pode ser considerado linearmente distribuído ao longo do
comprimento em que se apóia no tramo de viga, isto é, ao longo do comprimento da própria
parede (La). Então, a carga linearmente distribuída (qa), originada no peso da parede de alvenaria é
qa =

Pa_
L

qa = γa . La . ha . ta
La
qa = γa . ha . ta

(γa em kgf/m3 , “ha” e “ta” em metro, qa em kgf/m)

3 - CARGAS CONCENTRADAS
De modo geral, as cargas concentradas em vigas são as forças aplicadas por outras vigas ou
por pilares que se apóiem na viga considerada.
Se outra viga se apóia na viga considerada, será necessário antes calcular a reação da outra
viga e considerá-la como carga aplicada na viga considerada, com mesmo valor, mas com sentido
contrário. Se a outra viga tem uma reação de 1000 kgf para cima, aplicaremos uma carga de 1000
kgf para baixo na viga considerada.
Se um pilar se apoiar diretamente na viga considerada, ela poderá ser denominada viga de
transição. Nesse caso, a carga concentrada na viga será igual à força normal presente no pilar. Se o
pilar estiver submetido a compressão, a carga concentrada será aplicada para baixo na viga. Se a
força normal for de tração, estaremos em presença de um tirante e, nesse caso, a carga concentrada
será aplicada para cima na viga.
Em qualquer caso, as cargas concentradas serão consideradas, no modelo estático da viga,
independentemente das cargas linearmente distribuídas.



4 - CARGAS APLICADAS POR LAJES
Normalmente, lajes se apóiam em vigas. Em geral, uma laje suporta seu peso próprio, o
peso do seu revestimento (carpet, tacos, cerâmica etc.), os pesos de usuários e móveis (carga
acidental ou sobrecarga normalizada) e, eventualmente, os pesos de paredes de alvenaria.
Em material didático anterior, discutiu-se o cálculo da carga distribuída superficial a ser
suportada por uma laje. Cada painel (ou “pano”) de laje retangular se apóia em quatro vigas
periféricas, uma em cada um dos quatro bordos. Cabe agora determinar quanto da carga total
presente na laje será comunicado a cada uma das quatro vigas periféricas. A carga linearmente
distribuída aplicada pela laje no tramo de viga periférica será adicionada às demais cargas
linearmente distribuídas, provenientes de peso próprio do tramo de viga e de peso de parede de
alvenaria que se apóie diretamente sobre o tramo de viga.
4.1 - Linhas de Ruptura
Ensaios em laboratório com lajes submetidas a carregamento superficial uniforme
crescente, mostram que, na situação limite, as rupturas ocorrem aproximadamente ao longo de
certas linhas com direções características. Essas linhas, às vezes denominadas bielas plásticas,
possuem origens nos vértices da laje e se estendem para o interior da laje, com inclinações em
direções aos bordos que dependem do tipo de vinculação com a laje adjacente.
4.2 - Áreas de Influência
Os mesmos ensaios mostram que a porção de carga que a laje apóia em cada viga periférica
é proporcional à área da região delimitada pelas linhas de ruptura que lhe cabe. Para cada viga
periférica haverá uma região de influência.
4.3 - Tipos de Bordos
Os bordos de uma laje podem ser engastados ou simplesmente apoiados, dependendo da
relação física e geométrica com as lajes adjacentes. Os bordos simplesmente apoiados serão
representados por linhas contínuas simples, como mostrado na figura da esquerda (a seguir). Os
bordos engastados serão representados por linhas delimitando hachuras inclinadas, como mostrado
na figura central (a seguir). A figura da direita (a seguir) representa um bordo simplesmente
apoiado e um bordo engastado.
4.4 - Inclinações das Linhas de Ruptura
Quando um vértice de uma laje é definido pelo encontro de dois bordos simplesmente
apoiados, a linha de ruptura que aí nasce possui inclinação de 45o (quarenta e cinco graus) com
cada um dos bordos (vide figura da esquerda, a seguir).
Quando um vértice de uma laje é definido pelo encontro de dois bordos engastados, a linha
de ruptura que aí nasce possui inclinação de 45o (quarenta e cinco graus) com cada um dos bordos
(vide figura central, a seguir).



Quando um vértice de uma laje é definido pelo encontro de um bordo simplesmente
apoiado e de um bordo engastado, a linha de ruptura que aí nasce possui inclinação de 60o
(sessenta graus) com o bordo engastado (vide figura da direita, a seguir).
Nas três figuras a seguir, as linhas de ruptura são representadas em linhas tracejadas azuis.

2 bordos simplesmente apoiados

2 bordos engastados

1 bordo simplesmente apoiado
e 1 bordo engastado

4.5 – Condições dos Tipos de Bordos
O bordo será classificado como simplesmente apoiado quando não houver continuidade
com outra laje, no outro lado da viga de apoio.
O bordo será classificado como engastado quando houver continuidade com a laje
adjacente, no outro lado da viga de apoio, ao longo de pelo menos 2/3 do comprimento do bordo
da laje analisada, contanto que as duas lajes estejam contidas no mesmo plano horizontal. Se as
lajes adjacentes estiverem em planos horizontais diferentes, isto é, com desnível entre elas, não
será considerada continuidade entre elas.
Por exemplo, as duas lajes (L1 e L2) na figura a seguir, possuem continuidade ao longo do
bordo comum a ambas (as lajes estão no mesmo nível): o bordo comum é engastado para ambas as
lajes (os demais bordos são simplesmente apoiados).



Por outro lado, as duas lajes (L1 e L2) na figura a seguir, não possuem continuidade ao
longo do bordo comum a ambas porque as lajes não estão no mesmo nível: a laje L2 é rebaixada
em relação à laje L1. As lajes L1 e L2 não possuem bordo engastado (os quatro bordos são
simplesmente apoiados).

Observe a figura a seguir, em que são representadas duas lajes que estão no mesmo
nível. O bordo comum é engastado para a laje L2 porque há continuidade em mais de 2/3 do bordo
da laje L2 (no caso, 100%). No entanto, o bordo comum não é engastado (é simplesmente apoiado)
para a laje L1 porque tem continuidade em menos de 2/3 do bordo da laje L1 (no caso, 50%).

4.6 – Cálculo da Carga Aplicada na Viga
Para determinar a carga que a laje aplica em cada viga de bordo, pode-se:
- desenhar cada painel de laje em separado, com as dimensões internas, já classificando cada bordo
em simplesmente apoiado ou engastado;



- desenhar as linhas de ruptura a partir de cada vértice, prolongando-as até que se encontrem;
- em geral, as linhas de ruptura se encontram duas a duas. Nesse caso, una os dois pontos de
intersecção com um segmento de reta (a quinta linha de ruptura) que será, necessariamente,
paralelo a um dos dois bordos da laje;
- é raro, mas pode ocorrer de as quatro linhas de ruptura que partem dos vértices se encontrarem
todas em um único ponto. Nesse caso, não haverá a quinta linha de ruptura;
- calcular as áreas das figuras formadas pelos bordos da laje e suas linhas de ruptura (triângulos ou
trapézios);
- a carga (ql) aplicada pela laje na viga que está em seu bordo será calculada multiplicando a área
(A1) da figura formada pelas linhas de ruptura correspondente, pela carga superficialmente
distribuída (qs) na laje e dividindo o valor obtido pelo comprimento (L) do correspondente bordo
da laje:

ql =

q s × A1
L

4.7 - Exemplo
Considere a planta de formas a seguir (cotas em cm). Calcule os valores das cargas
distribuídas lineares aplicadas apenas pela laje L2 em cada tramo de viga de seu contorno: V1B,
V2B, V5B e V6B. A carga distribuída superficial total na laje L2 é ql = 1000 kgf/m2 , já
incluindo peso próprio da laje, peso de revestimento e sobrecarga normalizada .



O bordo esquerdo da laje L2 é engastado porque tem
continuidade com a laje L1. O bordo inferior (na figura)
da laje L2 é engastado porque tem continuidade com a
laje L3. Os demais bordos da laje L2 são simplesmente
apoiados porque não possuem continuidade com lajes
adjacentes.

Vamos desenhar as linhas de ruptura sobre a laje L2 :
- do vértice no pilar P5 (encontro dos bordos V5B e V2B) sai uma linha inclinada a 45o porque os
dois bordos que aí se encontram são engastados.
- do vértice no pilar P3 (encontro dos bordos V1B e V6B) sai uma linha inclinada a 45o porque os
dois bordos que aí se encontram são simplesmente apoiados.
- do vértice no pilar P6 (encontro dos bordos V6B e V2B) sai uma linha inclinada de 60o com o
bordo em V2B porque esse bordo é engastado, enquanto que o bordo em V6B é simplesmente
apoiado.
- do vértice no pilar P2 (encontro dos bordos V5B e V1B) sai uma linha inclinada de 60o com o
bordo em V5B porque esse bordo é engastado, enquanto que o bordo em V1B é simplesmente
apoiado (observe que foi representado o ângulo complementar, de 30o , com o bordo em V1B).
- as linhas de ruptura se encontram duas a duas - entre os dois pontos de intersecção, é traçada a
quinta linha de ruptura, paralela ao bordo em V6B.
Observe as linhas de ruptura traçadas sobre a laje L2:



Agora, é necessário determinar os
valores das áreas A1, A2, A3 e A4
(veja ao lado) das figuras (dois
triângulos e dois trapézios) formadas
pelos bordos da laje L2 e suas linhas
de ruptura. Se desenhadas em CAD e
em verdadeira grandeza, bastará usar
o comando correspondente (“area”).
Se
desenhadas
manualmente,
precisaremos calcular as dimensões
geométricas
que
definem
os
triângulos (base e altura) e trapézios
(base maior, base menor e altura).
Esse cálculo utiliza conceitos de
geometria e trigonometria, na forma
como segue:

No triângulo A3 a base tem comprimento
a + b = 4 . A altura “c” se relaciona com a
tg 45º = 1 → b = c . A altura “c” se relaciona com a dimensão “ a ” por
dimensão “b” por
tg 30º =

c
3
→c=a
a
3

Substituindo “c” em
3
a+a
=4
3
3a + a

3

.
a + b = 4 tem-se

= 12

a × (3 + 3 ) = 12
a=

12
= 2,54m
3+ 3

c=a

3
3
= 2,54
= 1,47 m
3
3

Então, a área da figura A3 é: A3 =

4 × 1,47
= 2,94m 2
2



O ângulo de 45o do triângulo A4 permite inferir que as cotas marcadas com “= a ” valem
ambas 2,54 m .
No trapézio A2 tem-se
b = c → b = 1,47 m
d = 5 − a − c = 5 − 2,54 − 1,74 = 1m

Então a área da figura A2 é

A2 =

5 +1
× 1,47 = 4,41m 2
2

A área da figura A1 é

A1 =

5 +1
× 2,54 = 7,62m 2
2

A área da figura A4 é

A4 =

4 × 2,54
= 5,08m 2
2

A título de verificação, a soma das áreas das figuras A1, A2, A3 e A4 deve ser igual à área
da laje, isto é
4m . 5m =

∑A

i

= 20m 2

A carga (ql) aplicada pela laje em cada tramo de viga periférico será calculada
multiplicando a área (Ai) da figura formada pelas linhas de ruptura correspondente, pela carga
superficialmente distribuída (qs) na laje e dividindo o valor obtido pelo comprimento (L) do
correspondente bordo da laje:
ql =

qs × Ai
L

Então, as cargas linearmente distribuída aplicadas pela laje L2 nos tramos de vigas V5B,
V6B, V1B e V2B valem, respectivamente:
1000 × 7,62
= 1524kgf / m
5,00
1000 × 4,41
ql 2 =
= 882kgf / m
5,00
1000 × 2,94
ql 3 =
= 735kgf / m
4,00
1000 × 5,08
ql 4 =
= 1270kgf / m
4,00
ql1 =



5 - CARGA LINEARMENTE DISTRIBUÍDA TOTAL
Se um tramo de viga suportar seu peso próprio (qc) e, simultaneamente, a carga de uma
parede de alvenaria (qa) e as cargas de duas lajes adjacentes L1 (qr1) e L2 (qr2), a carga linearmente
distribuída total (qt) será :
qt = qc + qa + ql1 + ql2
Exemplo
No desenho do exemplo do item 4.7 , considere que o tramo de viga V6B possui seção transversal
(20 x 45), isto é, tem base de 20 cm e altura de 45 cm, e sustenta uma parede de alvenaria ao longo
de todo o seu comprimento, com altura de 220 cm e espessura de 15 cm. Determine a carga
linearmente distribuída total sobre a viga. Os pesos específicos do concreto e da alvenaria valem,
respectivamente, 2500 kgf/m3 e 1800 kgf/m3 .
a) Carga de peso próprio:
qc = γc . b . h = 2500 . 0,20 . 0,45 = 225 kgf/m
b) Carga da parede de alvenaria:
qa = γa . ha . ta = 1800 . 2,20 . 0,15 = 594 kgf/m
c) Carga de lajes:
Apenas a laje L2 se apóia no tramo V6B, aplicando a carga calculada anteriormente
q l 2 = 882kgf / m
d) Carga linearmente distribuída total:
qt = qc + qa + ql1 + ql2 = 225 + 594 + 882 + 0 = 1701 kgf/m
6 – EXERCÍCIO PROPOSTO
Considere a planta de formas a seguir (pilares não representados, cotas em cm, sem escala).
As lajes L1, L2 e L3 possuem as seguintes características:
Dados
Espessura

Para L1
10cm

Para L2
8cm

Para L3
9cm

Uso

Dormitório

Sala de estar

Lavanderia

Espessura do
Revestimento
Peso Especifico do
Concreto (γ c )

4cm

2cm

5cm

2400kgf / m3

2400kgf / m3

2400kgf / m3

1800kgf / m3

1000kgf / m3

1500kgf / m3

Peso Especifico do
revestimento (γ r )

As vigas são executadas com concreto de peso específico γ c = 2400kgf / m 3 . Sobre cada
viga há paredes de alvenaria ( γ a = 1900kgf / m 3 ) com altura de 260cm e espessura 15cm. A laje L3


suporta uma parede de alvenaria (não representada), com altura de 210 cm, espessura de 20 cm e
comprimento de 350 cm. Pede-se determinar:
a) Cargas distribuídas superficiais em cada uma das lajes, em kgf/m2 .
b) Cargas linearmente distribuídas aplicadas pelas lajes em cada tramo de viga, em kgf/m .
c) Cargas linearmente distribuídas totais em cada tramo de viga, incluindo peso próprio de vigas e
paredes de alvenaria diretamente apoiadas em vigas, em kgf/m .

==================================================================================
ANEXO: Algumas transformações de unidades úteis:

1kgf = 9,81N
N
MPa = 10 6 2
m
×

100

9 ,81
MPa ⎯⎯ → kgf / cm 2
⎯

Para o material de referência (água), tem-se densidade, massa específica e peso específico de,
respectivamente
d = 1 → µ = 1000kgf / m 3 → γ = 1000kgf / m 3


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