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Cálculo dos Esforços em Vigas
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
Conceitos gerais
• Conceito de momento
É importante lembrar que momento é um esforço que
provoca giro.
À primeira vista a palavra momento não apresenta
qualquer relação com a palavra giro. No entanto, elas estão
ligadas por um fato histórico: na antiguidade, o tempo
(momento) era medido com relógios de sol, instrumento
constituído por uma haste vertical que, projetando sua
sombra num plano, indica a altura do Sol e as horas do dia.
Assim o tempo (momento) era medido pelo giro aparente
do Sol em tomo da Terra.
Conceitos gerais
Para ocorrer um giro ou momento físico é necessário
que existam duas forças iguais, de mesma direção, de
sentidos contrários e não colineares, o que se
denomina binário.
Conceitos gerais
Quanto mais afastadas estiverem as forças maior será a
intensidade de giro. Isso é fácil perceber quando se tira
o parafuso da roda do carro. Quanto maior for o braço
da ferramenta menor será a força necessária para
provocar o giro do parafuso.
Conceitos gerais
Conceitos gerais
Matematicamente, pode-se traduzir esse fenômeno
pela relação:
Exemplo: Seja determinar
o valor do momento da
força F1=2,0 tf em
relação ao ponto P1.
Conceitos gerais
Denomina-se distância da força ao ponto à menor
distância entre a linha de ação da força e o ponto.
Suponha o valor de d = 4m, logo o
momento de F1 em relação a P1 será:
Esforços nas vigas isostáticas
Quando carregadas por uma ou mais forças, as vigas
isostáticas deformam-se de maneira que suas seções,
antes paralelas, giram umas em relação às outras, de
forma que se afastam em uma das faces e se
aproximam em outra.
Esforços nas vigas isostáticas
Esforços nas vigas isostáticas
Esforços nas vigas isostáticas
Em todas essas situações, as vigas se deformam de
maneira que em relação ao eixo reto original aparecem
flechas.
Esforços nas vigas isostáticas
Este fenômeno é por isso denominado de flexão e o
esforço que provoca o giro das seções e o
aparecimento de flechas ao longo da viga, de momento
fletor. Sempre que o momento fletor varia de uma
seção para outra, o que é mais frequente, aparece na
viga a tendência de escorregamentos transversal e
longitudinal entre as seções verticais e horizontais da
viga.
Esforços nas vigas isostáticas
Ao esforço que tende a provocar o escorregarnento das fatias
longitudinais e transversais dá-se o nome de força cortante.
Esforços nas vigas isostáticas
Para comprovar que a força cortante sempre aparece
quando há variação do momento fletor, tome-se nas
mãos um maço de folhas de papel (umas 50 folhas).
Aplique-se em uma das extremidades um giro
(momento), deixando livre o outro extremo.
Esforços nas vigas isostáticas
Observe como as folhas escorregam.
Esforços nas vigas isostáticas
Esse fenômeno pode também ser observado na
ilustração:
Esforços nas vigas isostáticas
Em seguida, provoque concomitantemente giros de
mesma intensidade nas duas extremidades.
Observe que neste caso não há mais escorregamento das
tiras, pois o momento não varia de uma extremidade à
outra.
Esforços nas vigas isostáticas
Para dimensionar uma viga a flexão deve-se determinar os
valores de momento fletor e da força cortante de maneira
que se determine a largura e altura de sua seção, para que o
material do qual é feita possa resistir às tensões de tração e
de compressão provocadas pelo momento fletor e às
tensões tangenciais ou de cisalhamento provocadas pelas
forças cortantes.
Como se verá mais adiante, as tensões de cisalhamento
provocam também tensões de tração e de compressão em
planos inclinados em relação a seção transversal da viga.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
• Vigas bi apoiadas sem balanços
O equilíbrio externo das vigas depende das cargas que
atuam sobre as vigas e das reações a essas cargas
provocadas pelos vínculos, denominadas reações de apoio.
As primeiras cargas são denominadas cargas externas
ativas e as segundas, reativas.
Em uma viga, as cargas externas ativas são: cargas
distribuídas decorrentes do peso próprio da viga; as cargas
aplicadas pelas lajes e alvenarias; e as cargas concentradas
devidas a outras vigas que nela se apoiam.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Para determinação das cargas externas reativas, é
necessário conhecer-se as forças de reação que cada
vínculo é capaz de admitir.
Assim, um apoio articulado móvel, que permite giro e
deslocamento horizontal, só reage a forças verticais.
Portanto, esse vínculo só admite reação vertical. O vínculo
articulado fixo, por impedir deslocamento vertical e
horizontal, admite reações vertical e horizontal. O vínculo
engastado, que impede rotação e deslocamentos, admite
reação vertical, horizontal e momento.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Se, sob a ação das cargas externas ativas e reativas, a viga
estiver em equilíbrio estático valem as condições de
estabilidade já enunciadas, ou seja, não anda na horizontal,
não anda na vertical e não gira. Essas condições podem ser
traduzidas matematicamente pelas chamadas equações da
estática, ou seja:
- não anda na horizontal  𝐹𝐻 = 0
- não anda na vertical  𝐹𝑉 = 0
- não gira  𝑀 = 0
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Não andar na horizontal significa que a soma de todas as
forças na horizontal (incluindo as projeções horizontais
das forças inclinadas) deve resultar nula.
O mesmo para as forças verticais. Não girar significa que
os giros (momentos) que as forças ativas e reativas tendem
a provocar em relação a um ponto qualquer,
preestabelecido, são nulos.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Exemplo: determinar as reações de apoio da viga da figura
abaixo.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Denominem-se de A e B os apoios. Colocando a seguir as
reações possíveis em cada tipo de vínculo, tem-se:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Em seguida apliquem-se as três equações da estática:
𝐹𝐻 = 0, 𝐹𝑉 = 0 e 𝑀 = 0
Usando a primeira equação e convencionando um sinal
para as forças, ou seja, se a força horizontal tiver o sentido
da esquerda pra a direita será positiva, caso contrário
negativa. Essa convenção pode ser oposta a esta sem que
os resultados sofram qualquer alteração. Assim:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Como não existe nenhuma força horizontal atuando na
viga, a equação resulta no óbvio, ou seja, a reação
horizontal no apoio B é zero, não existe.
Aplicando a segunda
equação e também
convencionando que as
forças com sentido de
baixo para cima são
positivas e as de sentido
contrário negativas, tem-se:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Deve-se aplicar, ainda, a terceira equação, a que se refere
ao giro, convencionando-se que se a força tender a fazer a
viga girar no sentido horário, em relação a um ponto
qualquer escolhido, ela será positiva, caso contrário
negativa. Antes de aplicar essa terceira equação é
necessário escolher um ponto qualquer, mas qualquer
mesmo, para se tomar os momentos das forças ativas e
reativas que atuam na viga.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Para tomar o resultado mais rápido, recomenda-se que o
ponto escolhido (também denominado polo de momento)
para considerar os momentos das forças, seja um dos
apoios.
Seja, neste exemplo, o ponto B0 polo dos momentos.
Assim:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Considere-se o momento de
cada força, desconsiderando,
em princípio, as demais, ou
seja:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Portanto, tem-se:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Como M = F x d, no primeiro caso tem-se como força a
reação VA, cuja distância ao polo B é 5m. Sua tendência
de giro em relação a B é no sentido horário. Soma-se a esse
momento o momento da força de 2,0 tf, cuja distância ao
polo B é de 2 m e cujo sentido de giro em relação a B é
anti-horário.
No terceiro caso, a linha de ação da reação VB passa pelo
ponto B, logo sua distância a B é zero, o que resulta em um
momento nulo.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Completando-se a equação
2, tem-se:
Para determinar VB,
substitui-se o valor de VA
na equação 1:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Exercício: Calcular as reações de apoio para a viga da figura a
seguir.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Para simplificar o cálculo, pode-se generalizar os
resultados, usando uma força P qualquer atuando sobre a
viga de vão l qualquer e distante a e b dos apoios A e B,
respectivamente.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Desta maneira, basta aplicar diretamente essas relações
genéricas, sem necessidade de se determinar os valores das
reações usando, toda vez, as equações da estática.
Se houver mais de uma carga na viga, faz-se o cálculo das
reações parciais para cada carga, somando-se ao final esses
valores parciais para obter a reação total em cada apoio.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Exemplo:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
A viga deste exemplo pode ser decomposta em três vigas,
carregada cada uma com uma carga concentrada.
Calculam-se os valores das reações para cada viga e
somam-se esses valores parciais para obter o valor final.
Exemplo:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Somando-se os valores parciais,
tem-se:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
No caso de cargas uniformemente distribuídas sobre a
viga, tais como seu peso próprio, laje e alvenaria, usa-se o
artifício de substituir a carga distribuída pela sua resultante.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Como a carga distribuída é de 2,0 tf/m e o seu
comprimento é de 4 m, sua resultante é de P = 2,0 tf/m
x 4 m = 8,0 tf, aplicada no meio, ou seja:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Usando as equações da estática, desconsiderando a que
se refere a forças horizontais, já que só existem cargas
verticais atuando sobre a viga, tem-se:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Resultados que eram de se esperar: já que a carga é
uniformemente distribuída sobre toda a extensão da viga,
metade de seu valor vai para cada apoio. Generalizando,
considerando a carga distribuída q e o vão l, tem-se:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Exemplo: Calcular as reações de apoio da viga da figura.
Carga distribuída:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
1ª carga concentrada:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
2ª carga concentrada:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
• Vigas em balanço
Como foi visto, uma viga em balanço é aquela em que uma
das extremidades é totalmente livre de apoio e a outra
apresenta um apoio engastado.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Como o vínculo engastado não admite deslocamentos
horizontal e vertical e nem o giro da barra, ele é capaz de
absorver reações horizontais, verticais e momento.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Lembrar que a linha de ação da reação
VA passa pelo ponto A, escolhido como
polo dos momentos. Já o momento
reativo MA, apesar de estar atuando no
polo A, não se anula, porque ele já é um
momento e não uma força, por isso não
é multiplicado por qualquer distância.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
O resultado é esperado, pois o momento de P em relação ao apoio é o seu
valor P multiplicado pela sua distância ao apoio, bo, portanto P x bo .
Esse resultado pode ser generalizado para qualquer quantidade de cargas
concentradas.
Assim:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Exemplo: Calcular as reações de apoio para o balanço da figura.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
A viga da figura da página anterior pode ser decomposta em
três outras:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Somando todas as reações intermediárias, tem-se:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
No caso de carga distribuída, usa-se o mesmo artifício já usado
anteriormente: substitui-se a carga distribuída pela sua resultante. Assim:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
As vigas biapoiadas, já estudadas, também podem
apresentar balanços, o que não altera os procedimentos
vistos.
Suponha-se a situação da figura, onde só existe a carga
P concentrada aplicada no extremo do balanço:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
O resultado negativo para a reação VA indica que está ocorrendo um
arrancamento no apoio. Esse efeito que o momento do balanço causa nas
reações de apoio, aliviando o apoio oposto e sobrecarregando o apoio do
balanço é denominado efeito de alavanca. Pois, nessa situação, a viga se
comporta como uma alavanca, usada para levantar pesos.
Uma outra maneira de encaminhar a solução e que pode agilizar os
cálculos é considerar o vão independente do balanço, calcular o balanço
independentemente e aplicar o resultado ao vão.
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Assim:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Repare que os resultados são os mesmos. Prestando mais
atenção aos valores obtidos, pode-se notar que:
Sendo P x bo o momento devido ao balanço, tem-se que a
reação VA é o momento do balanço dividido pelo vão, ou seja:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Como P é a carga no balanço, tem-se que a reação VB é igual
às cargas existentes no balanço somadas ao momento do
balanço (P x bo), dividido pelo vão central, ou seja:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Considere-se a situação apresentada na figura a seguir:
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
Equilíbrio externo das vigas -
Cálculo das reações de apoio
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3. cálculo dos esforços em vigas

  • 1. Cálculo dos Esforços em Vigas RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS
  • 2. Conceitos gerais • Conceito de momento É importante lembrar que momento é um esforço que provoca giro. À primeira vista a palavra momento não apresenta qualquer relação com a palavra giro. No entanto, elas estão ligadas por um fato histórico: na antiguidade, o tempo (momento) era medido com relógios de sol, instrumento constituído por uma haste vertical que, projetando sua sombra num plano, indica a altura do Sol e as horas do dia. Assim o tempo (momento) era medido pelo giro aparente do Sol em tomo da Terra.
  • 3. Conceitos gerais Para ocorrer um giro ou momento físico é necessário que existam duas forças iguais, de mesma direção, de sentidos contrários e não colineares, o que se denomina binário.
  • 4. Conceitos gerais Quanto mais afastadas estiverem as forças maior será a intensidade de giro. Isso é fácil perceber quando se tira o parafuso da roda do carro. Quanto maior for o braço da ferramenta menor será a força necessária para provocar o giro do parafuso.
  • 6. Conceitos gerais Matematicamente, pode-se traduzir esse fenômeno pela relação: Exemplo: Seja determinar o valor do momento da força F1=2,0 tf em relação ao ponto P1.
  • 7. Conceitos gerais Denomina-se distância da força ao ponto à menor distância entre a linha de ação da força e o ponto. Suponha o valor de d = 4m, logo o momento de F1 em relação a P1 será:
  • 8. Esforços nas vigas isostáticas Quando carregadas por uma ou mais forças, as vigas isostáticas deformam-se de maneira que suas seções, antes paralelas, giram umas em relação às outras, de forma que se afastam em uma das faces e se aproximam em outra.
  • 9. Esforços nas vigas isostáticas
  • 10. Esforços nas vigas isostáticas
  • 11. Esforços nas vigas isostáticas Em todas essas situações, as vigas se deformam de maneira que em relação ao eixo reto original aparecem flechas.
  • 12. Esforços nas vigas isostáticas Este fenômeno é por isso denominado de flexão e o esforço que provoca o giro das seções e o aparecimento de flechas ao longo da viga, de momento fletor. Sempre que o momento fletor varia de uma seção para outra, o que é mais frequente, aparece na viga a tendência de escorregamentos transversal e longitudinal entre as seções verticais e horizontais da viga.
  • 13. Esforços nas vigas isostáticas Ao esforço que tende a provocar o escorregarnento das fatias longitudinais e transversais dá-se o nome de força cortante.
  • 14. Esforços nas vigas isostáticas Para comprovar que a força cortante sempre aparece quando há variação do momento fletor, tome-se nas mãos um maço de folhas de papel (umas 50 folhas). Aplique-se em uma das extremidades um giro (momento), deixando livre o outro extremo.
  • 15. Esforços nas vigas isostáticas Observe como as folhas escorregam.
  • 16. Esforços nas vigas isostáticas Esse fenômeno pode também ser observado na ilustração:
  • 17. Esforços nas vigas isostáticas Em seguida, provoque concomitantemente giros de mesma intensidade nas duas extremidades. Observe que neste caso não há mais escorregamento das tiras, pois o momento não varia de uma extremidade à outra.
  • 18. Esforços nas vigas isostáticas Para dimensionar uma viga a flexão deve-se determinar os valores de momento fletor e da força cortante de maneira que se determine a largura e altura de sua seção, para que o material do qual é feita possa resistir às tensões de tração e de compressão provocadas pelo momento fletor e às tensões tangenciais ou de cisalhamento provocadas pelas forças cortantes. Como se verá mais adiante, as tensões de cisalhamento provocam também tensões de tração e de compressão em planos inclinados em relação a seção transversal da viga.
  • 19. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio • Vigas bi apoiadas sem balanços O equilíbrio externo das vigas depende das cargas que atuam sobre as vigas e das reações a essas cargas provocadas pelos vínculos, denominadas reações de apoio. As primeiras cargas são denominadas cargas externas ativas e as segundas, reativas. Em uma viga, as cargas externas ativas são: cargas distribuídas decorrentes do peso próprio da viga; as cargas aplicadas pelas lajes e alvenarias; e as cargas concentradas devidas a outras vigas que nela se apoiam.
  • 20. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Para determinação das cargas externas reativas, é necessário conhecer-se as forças de reação que cada vínculo é capaz de admitir. Assim, um apoio articulado móvel, que permite giro e deslocamento horizontal, só reage a forças verticais. Portanto, esse vínculo só admite reação vertical. O vínculo articulado fixo, por impedir deslocamento vertical e horizontal, admite reações vertical e horizontal. O vínculo engastado, que impede rotação e deslocamentos, admite reação vertical, horizontal e momento.
  • 21. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 22. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Se, sob a ação das cargas externas ativas e reativas, a viga estiver em equilíbrio estático valem as condições de estabilidade já enunciadas, ou seja, não anda na horizontal, não anda na vertical e não gira. Essas condições podem ser traduzidas matematicamente pelas chamadas equações da estática, ou seja: - não anda na horizontal  𝐹𝐻 = 0 - não anda na vertical  𝐹𝑉 = 0 - não gira  𝑀 = 0
  • 23. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Não andar na horizontal significa que a soma de todas as forças na horizontal (incluindo as projeções horizontais das forças inclinadas) deve resultar nula. O mesmo para as forças verticais. Não girar significa que os giros (momentos) que as forças ativas e reativas tendem a provocar em relação a um ponto qualquer, preestabelecido, são nulos.
  • 24. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Exemplo: determinar as reações de apoio da viga da figura abaixo.
  • 25. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Denominem-se de A e B os apoios. Colocando a seguir as reações possíveis em cada tipo de vínculo, tem-se:
  • 26. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Em seguida apliquem-se as três equações da estática: 𝐹𝐻 = 0, 𝐹𝑉 = 0 e 𝑀 = 0 Usando a primeira equação e convencionando um sinal para as forças, ou seja, se a força horizontal tiver o sentido da esquerda pra a direita será positiva, caso contrário negativa. Essa convenção pode ser oposta a esta sem que os resultados sofram qualquer alteração. Assim:
  • 27. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Como não existe nenhuma força horizontal atuando na viga, a equação resulta no óbvio, ou seja, a reação horizontal no apoio B é zero, não existe. Aplicando a segunda equação e também convencionando que as forças com sentido de baixo para cima são positivas e as de sentido contrário negativas, tem-se:
  • 28. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Deve-se aplicar, ainda, a terceira equação, a que se refere ao giro, convencionando-se que se a força tender a fazer a viga girar no sentido horário, em relação a um ponto qualquer escolhido, ela será positiva, caso contrário negativa. Antes de aplicar essa terceira equação é necessário escolher um ponto qualquer, mas qualquer mesmo, para se tomar os momentos das forças ativas e reativas que atuam na viga.
  • 29. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Para tomar o resultado mais rápido, recomenda-se que o ponto escolhido (também denominado polo de momento) para considerar os momentos das forças, seja um dos apoios. Seja, neste exemplo, o ponto B0 polo dos momentos. Assim:
  • 30. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Considere-se o momento de cada força, desconsiderando, em princípio, as demais, ou seja:
  • 31. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 32. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 33. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 34. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Portanto, tem-se:
  • 35. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Como M = F x d, no primeiro caso tem-se como força a reação VA, cuja distância ao polo B é 5m. Sua tendência de giro em relação a B é no sentido horário. Soma-se a esse momento o momento da força de 2,0 tf, cuja distância ao polo B é de 2 m e cujo sentido de giro em relação a B é anti-horário. No terceiro caso, a linha de ação da reação VB passa pelo ponto B, logo sua distância a B é zero, o que resulta em um momento nulo.
  • 36. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Completando-se a equação 2, tem-se: Para determinar VB, substitui-se o valor de VA na equação 1:
  • 37. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Exercício: Calcular as reações de apoio para a viga da figura a seguir.
  • 38. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 39. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 40. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 41. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Para simplificar o cálculo, pode-se generalizar os resultados, usando uma força P qualquer atuando sobre a viga de vão l qualquer e distante a e b dos apoios A e B, respectivamente.
  • 42. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 43. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 44. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Desta maneira, basta aplicar diretamente essas relações genéricas, sem necessidade de se determinar os valores das reações usando, toda vez, as equações da estática. Se houver mais de uma carga na viga, faz-se o cálculo das reações parciais para cada carga, somando-se ao final esses valores parciais para obter a reação total em cada apoio.
  • 45. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Exemplo:
  • 46. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio A viga deste exemplo pode ser decomposta em três vigas, carregada cada uma com uma carga concentrada. Calculam-se os valores das reações para cada viga e somam-se esses valores parciais para obter o valor final. Exemplo:
  • 47. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 48. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Somando-se os valores parciais, tem-se:
  • 49. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio No caso de cargas uniformemente distribuídas sobre a viga, tais como seu peso próprio, laje e alvenaria, usa-se o artifício de substituir a carga distribuída pela sua resultante.
  • 50. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Como a carga distribuída é de 2,0 tf/m e o seu comprimento é de 4 m, sua resultante é de P = 2,0 tf/m x 4 m = 8,0 tf, aplicada no meio, ou seja:
  • 51. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Usando as equações da estática, desconsiderando a que se refere a forças horizontais, já que só existem cargas verticais atuando sobre a viga, tem-se:
  • 52. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 53. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 54. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Resultados que eram de se esperar: já que a carga é uniformemente distribuída sobre toda a extensão da viga, metade de seu valor vai para cada apoio. Generalizando, considerando a carga distribuída q e o vão l, tem-se:
  • 55. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 56. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Exemplo: Calcular as reações de apoio da viga da figura. Carga distribuída:
  • 57. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio 1ª carga concentrada:
  • 58. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio 2ª carga concentrada:
  • 59. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio • Vigas em balanço Como foi visto, uma viga em balanço é aquela em que uma das extremidades é totalmente livre de apoio e a outra apresenta um apoio engastado.
  • 60. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Como o vínculo engastado não admite deslocamentos horizontal e vertical e nem o giro da barra, ele é capaz de absorver reações horizontais, verticais e momento.
  • 61. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Lembrar que a linha de ação da reação VA passa pelo ponto A, escolhido como polo dos momentos. Já o momento reativo MA, apesar de estar atuando no polo A, não se anula, porque ele já é um momento e não uma força, por isso não é multiplicado por qualquer distância.
  • 62. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio O resultado é esperado, pois o momento de P em relação ao apoio é o seu valor P multiplicado pela sua distância ao apoio, bo, portanto P x bo . Esse resultado pode ser generalizado para qualquer quantidade de cargas concentradas. Assim:
  • 63. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Exemplo: Calcular as reações de apoio para o balanço da figura.
  • 64. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio A viga da figura da página anterior pode ser decomposta em três outras:
  • 65. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 66. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Somando todas as reações intermediárias, tem-se:
  • 67. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio No caso de carga distribuída, usa-se o mesmo artifício já usado anteriormente: substitui-se a carga distribuída pela sua resultante. Assim:
  • 68. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio As vigas biapoiadas, já estudadas, também podem apresentar balanços, o que não altera os procedimentos vistos. Suponha-se a situação da figura, onde só existe a carga P concentrada aplicada no extremo do balanço:
  • 69. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 70. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio O resultado negativo para a reação VA indica que está ocorrendo um arrancamento no apoio. Esse efeito que o momento do balanço causa nas reações de apoio, aliviando o apoio oposto e sobrecarregando o apoio do balanço é denominado efeito de alavanca. Pois, nessa situação, a viga se comporta como uma alavanca, usada para levantar pesos. Uma outra maneira de encaminhar a solução e que pode agilizar os cálculos é considerar o vão independente do balanço, calcular o balanço independentemente e aplicar o resultado ao vão.
  • 71. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Assim:
  • 72. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 73. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 74. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Repare que os resultados são os mesmos. Prestando mais atenção aos valores obtidos, pode-se notar que: Sendo P x bo o momento devido ao balanço, tem-se que a reação VA é o momento do balanço dividido pelo vão, ou seja:
  • 75. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Como P é a carga no balanço, tem-se que a reação VB é igual às cargas existentes no balanço somadas ao momento do balanço (P x bo), dividido pelo vão central, ou seja:
  • 76. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio Considere-se a situação apresentada na figura a seguir:
  • 77. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 78. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 79. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio
  • 80. Equilíbrio externo das vigas - Cálculo das reações de apoio