O documento discute flexão composta, que ocorre quando peças estão sujeitas a momentos fletores e esforços normais simultaneamente. Apresenta a distribuição de tensões normais na flexão composta, determinação da linha neutra e propriedades fundamentais como antipolaridade. Inclui exemplos como pilares de canto, vigas e fundações submetidas a cargas excêntricas.
O documento discute o cálculo de ligações em estruturas metálicas. Apresenta os principais tipos de ligações, classificação de acordo com a rigidez, resistência mínima e especificações para dimensionamento de soldas e parafusos. Fornece exemplos de fórmulas para determinar a resistência de cálculo de soldas e esforços em parafusos sob tração, cisalhamento e pressão.
O documento discute projetos de pavimentos asfálticos e de concreto, abordando: 1) Fatores a serem considerados em projetos de pavimentos; 2) Tipos de estruturas de pavimentos flexíveis, rígidos e semi-rígidos; 3) Camadas constituintes de pavimentos flexíveis e rígidos.
Este documento apresenta conceitos sobre projeto estrutural de sapatas isoladas em concreto armado. No capítulo 1, discute-se tipos de fundações rasas como sapatas isoladas, associadas, corridas e radeiras. Explica-se a influência da rigidez da sapata no projeto e dimensionamento. Nos capítulos subsequentes, abordam-se modelos para determinação dos esforços resistentes em sapatas e exemplos de projeto para diferentes configurações de carga.
O documento discute o cálculo das cargas que atuam sobre vigas de concreto armado, incluindo: (1) o peso próprio da viga, (2) o peso de paredes de alvenaria apoiadas na viga, e (3) a parcela da carga das lajes que se transfere para cada viga de apoio. Explica como calcular a carga linearmente distribuída resultante de cada uma dessas fontes de carga e como somá-las para determinar a carga total sobre cada tramo de viga.
O documento descreve diferentes tipos de forros e suas características, incluindo: (1) Forro monolítico que pode ser aplicado em qualquer tamanho; (2) Teto Knauf D112 que utiliza estrutura metálica para fixar chapas de drywall de forma uniforme; (3) Forro de chapas Knauf Standard formado por chapas e junções para aplicação em ambientes comerciais e residenciais.
Este documento estabelece os procedimentos para a execução de estruturas de concreto, incluindo requisitos para projeto, documentação, materiais, canteiro de obra, sistemas de formas, armaduras e concretagem. Cobre tópicos como armazenamento e preparo de materiais, instalação e remoção de formas, limpeza e montagem de armaduras, e cuidados necessários para a concretagem.
O documento descreve os tipos de fundações superficiais, classificação e dimensionamento de sapatas. Apresenta definições de sapatas flexíveis e rígidas, isoladas, corridas, associadas e de divisa. Explica como calcular as dimensões em planta considerando a tensão admissível do solo e os momentos causados por cargas excêntricas.
O documento discute o cálculo de ligações em estruturas metálicas. Apresenta os principais tipos de ligações, classificação de acordo com a rigidez, resistência mínima e especificações para dimensionamento de soldas e parafusos. Fornece exemplos de fórmulas para determinar a resistência de cálculo de soldas e esforços em parafusos sob tração, cisalhamento e pressão.
O documento discute projetos de pavimentos asfálticos e de concreto, abordando: 1) Fatores a serem considerados em projetos de pavimentos; 2) Tipos de estruturas de pavimentos flexíveis, rígidos e semi-rígidos; 3) Camadas constituintes de pavimentos flexíveis e rígidos.
Este documento apresenta conceitos sobre projeto estrutural de sapatas isoladas em concreto armado. No capítulo 1, discute-se tipos de fundações rasas como sapatas isoladas, associadas, corridas e radeiras. Explica-se a influência da rigidez da sapata no projeto e dimensionamento. Nos capítulos subsequentes, abordam-se modelos para determinação dos esforços resistentes em sapatas e exemplos de projeto para diferentes configurações de carga.
O documento discute o cálculo das cargas que atuam sobre vigas de concreto armado, incluindo: (1) o peso próprio da viga, (2) o peso de paredes de alvenaria apoiadas na viga, e (3) a parcela da carga das lajes que se transfere para cada viga de apoio. Explica como calcular a carga linearmente distribuída resultante de cada uma dessas fontes de carga e como somá-las para determinar a carga total sobre cada tramo de viga.
O documento descreve diferentes tipos de forros e suas características, incluindo: (1) Forro monolítico que pode ser aplicado em qualquer tamanho; (2) Teto Knauf D112 que utiliza estrutura metálica para fixar chapas de drywall de forma uniforme; (3) Forro de chapas Knauf Standard formado por chapas e junções para aplicação em ambientes comerciais e residenciais.
Este documento estabelece os procedimentos para a execução de estruturas de concreto, incluindo requisitos para projeto, documentação, materiais, canteiro de obra, sistemas de formas, armaduras e concretagem. Cobre tópicos como armazenamento e preparo de materiais, instalação e remoção de formas, limpeza e montagem de armaduras, e cuidados necessários para a concretagem.
O documento descreve os tipos de fundações superficiais, classificação e dimensionamento de sapatas. Apresenta definições de sapatas flexíveis e rígidas, isoladas, corridas, associadas e de divisa. Explica como calcular as dimensões em planta considerando a tensão admissível do solo e os momentos causados por cargas excêntricas.
O documento discute os conceitos e tipos de formas para concreto armado, incluindo formas de madeira, chapas compensadas, formas metálicas e mistas. Detalha os procedimentos para a execução de formas para pilares e vigas, como a transferência de eixos, marcação, travejamento e conferência antes da concretagem.
O documento discute o dimensionamento de pilares de canto segundo a norma brasileira NBR 6118/2003. Apresenta um roteiro de cálculo para pilares de canto, com flexão composta oblíqua, e dois exemplos numéricos aplicando as novas prescrições da norma. Os resultados são analisados e comparados com os obtidos pela norma anterior NBR 6118/78, mostrando semelhanças e diferenças significativas nas armaduras calculadas.
O documento discute a produção e propriedades do aço, incluindo: 1) O processo de produção do aço a partir do minério de ferro, coque e cal; 2) Os métodos de laminação a quente e a frio para produzir chapas e perfis de aço; 3) As propriedades mecânicas comuns dos aços estruturais como resistência, módulo de elasticidade e coeficientes.
O documento apresenta os principais conceitos sobre estruturas de concreto armado, incluindo sua composição, características mecânicas, histórico e normas aplicáveis. Aborda tópicos como resistência à compressão do concreto, classificação de concretos e tipos de estruturas de concreto.
O documento descreve os principais conceitos de materiais de construção, incluindo seus componentes, propriedades e aplicações. Aborda elementos estruturais como pilares, vigas e lajes, além de betão, argamassas, alvenaria e outros materiais comuns na construção civil. Também define termos técnicos relacionados a resistência mecânica, deformação, dilatação térmica, porosidade e outros aspectos físicos dos materiais.
O documento descreve vários tipos de patologias em estruturas de concreto armado, incluindo: (1) corrosão de armaduras devido à falta de cobrimento, (2) corrosão em vigas com juntas de dilatação obstruídas, (3) corrosão em lajes executadas sem cobrimento, (4) corrosão causada por umidade. O documento também aborda ninhos de concretagem, desagregação, bolor e defeitos em pinturas.
1. O documento apresenta o relatório de ensaios de compressão realizados em corpos de prova de concreto.
2. Os objetivos dos ensaios eram determinar a tensão máxima, módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson e comportamento sob compressão.
3. Foram realizados ensaios de compressão cíclicos, medições de deformação e análises dos resultados para calcular as propriedades mecânicas do concreto.
Este documento fornece informações sobre os produtos e serviços oferecidos pela Soluções Usiminas, incluindo aços planos, tubos e serviços de transformação. A empresa possui 10 unidades industriais localizadas em 6 estados brasileiros e fornece uma ampla gama de produtos de aço, como chapas, bobinas, tubos e serviços de corte, soldagem e galvanização. A Soluções Usiminas destaca-se pela qualidade dos seus produtos e serviços customizados para atender as necessidades específicas de cada cliente.
Caderno de laboratorio_materiais_de_construcaoMonalisa Macedo
O documento apresenta um caderno de aulas práticas sobre materiais de construção II. Ele inclui definições e procedimentos para caracterização de agregados, incluindo granulometria, massa específica, umidade e outros índices físicos. Também aborda especificações de cimento e métodos de dosagem e controle de qualidade de concreto.
1) A tabela apresenta fórmulas para calcular deflexões angulares, reações e momentos em vigas isostáticas e hiperestáticas sob diferentes carregamentos.
2) Para vigas isostáticas, fornece expressões para flecha máxima e deflexões angulares nos apoios sob carga pontual, uniforme e momento.
3) Para vigas hiperestáticas, lista valores de reações e momentos máximos sob mesma variedade de carregamentos.
Abnt 6118 projeto de estruturas de concreto -procedimentocarlospradojr2
Este documento apresenta as diretrizes para projeto de estruturas de concreto no Brasil. Ele estabelece os requisitos gerais para projeto de estruturas de concreto simples, armado e protendido, excluindo estruturas especiais. A norma define procedimentos para análise estrutural, dimensionamento, detalhamento e verificação de segurança considerando ações, resistências dos materiais e estados limites.
Este documento apresenta os fundamentos da resistência dos materiais, incluindo conceitos como forças, sistemas de forças, tipos de solicitações mecânicas e equilíbrio estático. O documento também discute alavancas e apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos.
Resistencia dos materiais tensão e deformaçãoDouglas Mota
O documento discute os conceitos fundamentais da resistência dos materiais, incluindo tensões, deformações, elasticidade e o ensaio de tração. Explica que a resistência dos materiais estuda o comportamento de sólidos sob diferentes tipos de carregamento e que o ensaio de tração é usado para determinar a relação entre tensões e deformações para um material.
O documento descreve os principais tipos e classificações de lajes, incluindo lajes maciças, nervuradas e pré-fabricadas. Detalha as ações que atuam em lajes, como peso próprio, carga de piso e paredes. Explica os métodos para determinar os esforços em lajes armadas em uma ou duas direções, como teoria das placas, tabelas e elementos finitos. Por fim, aborda o detalhamento da armadura em lajes.
O documento discute diversos tópicos relacionados à qualidade e execução de obras de construção civil, incluindo a importância do planejamento, gerenciamento e organização do canteiro de obra. Também aborda patologias comuns em revestimentos como eflorescência, mofo, bolor e deslocamentos, apresentando suas possíveis causas e soluções. Por fim, explica procedimentos para a colagem e betumação correta de cerâmicas.
O documento discute o uso do software AutoCAD Civil 3D para projetos de rede de esgoto, apresentando suas principais ferramentas. Ele destaca a importância de configurar corretamente o template, as famílias de materiais e as regras antes de iniciar o projeto da rede, e explica os conceitos básicos de pipe network, pipes, structures e part list. Também aborda a criação e concepção da rede no Civil 3D, incluindo a inserção de dados, uso de ferramentas de layout, aplicação de regras e labels.
Madeira (Propriedades, Processos de Fabricação e Aplicações)Sílvio Júnior
O documento discute as propriedades físicas e processos de fabricação da madeira. Aborda tópicos como a anatomia da madeira, propriedades mecânicas e químicas, densidade, defeitos, processos de fabricação como abate, descascarmento, desdobramento, serragem, produção de partículas, tipos de madeiras, painéis de madeira e suas aplicações.
O documento descreve os produtos e serviços da empresa Fischer para fixações, incluindo chumbadores químicos e software de dimensionamento de ancoragens. A empresa possui alta taxa de solicitação de patentes, implementa muitas patentes em produtos, e oferece soluções personalizadas para clientes em mais de 100 países.
Resolução da flexão composta normal e oblíqua por meio de ábacosJoao Wagner Dominici
O documento descreve o método de resolução da flexão composta em seções retangulares de concreto armado utilizando ábacos adimensionais. Inicialmente apresenta a modelagem da seção retangular simétrica e os parâmetros necessários para a análise. Em seguida, explica como os valores de esforço normal e momento fletor resistentes são obtidos a partir dos domínios de deformação do concreto e aço. Por fim, demonstra a construção dos gráficos de esforços reduzidos e a obtenção da taxa de armad
O documento apresenta o resumo da aula 01 de Resistência dos Materiais II. Os tópicos abordados incluem flexão normal e oblíqua, análise de tensões em diferentes estados, deformação por flexão e flambagem em pilares esbeltos. A bibliografia básica e complementar é apresentada. Uma introdução sobre flexão em vigas é fornecida.
O documento discute os conceitos e tipos de formas para concreto armado, incluindo formas de madeira, chapas compensadas, formas metálicas e mistas. Detalha os procedimentos para a execução de formas para pilares e vigas, como a transferência de eixos, marcação, travejamento e conferência antes da concretagem.
O documento discute o dimensionamento de pilares de canto segundo a norma brasileira NBR 6118/2003. Apresenta um roteiro de cálculo para pilares de canto, com flexão composta oblíqua, e dois exemplos numéricos aplicando as novas prescrições da norma. Os resultados são analisados e comparados com os obtidos pela norma anterior NBR 6118/78, mostrando semelhanças e diferenças significativas nas armaduras calculadas.
O documento discute a produção e propriedades do aço, incluindo: 1) O processo de produção do aço a partir do minério de ferro, coque e cal; 2) Os métodos de laminação a quente e a frio para produzir chapas e perfis de aço; 3) As propriedades mecânicas comuns dos aços estruturais como resistência, módulo de elasticidade e coeficientes.
O documento apresenta os principais conceitos sobre estruturas de concreto armado, incluindo sua composição, características mecânicas, histórico e normas aplicáveis. Aborda tópicos como resistência à compressão do concreto, classificação de concretos e tipos de estruturas de concreto.
O documento descreve os principais conceitos de materiais de construção, incluindo seus componentes, propriedades e aplicações. Aborda elementos estruturais como pilares, vigas e lajes, além de betão, argamassas, alvenaria e outros materiais comuns na construção civil. Também define termos técnicos relacionados a resistência mecânica, deformação, dilatação térmica, porosidade e outros aspectos físicos dos materiais.
O documento descreve vários tipos de patologias em estruturas de concreto armado, incluindo: (1) corrosão de armaduras devido à falta de cobrimento, (2) corrosão em vigas com juntas de dilatação obstruídas, (3) corrosão em lajes executadas sem cobrimento, (4) corrosão causada por umidade. O documento também aborda ninhos de concretagem, desagregação, bolor e defeitos em pinturas.
1. O documento apresenta o relatório de ensaios de compressão realizados em corpos de prova de concreto.
2. Os objetivos dos ensaios eram determinar a tensão máxima, módulo de elasticidade, coeficiente de Poisson e comportamento sob compressão.
3. Foram realizados ensaios de compressão cíclicos, medições de deformação e análises dos resultados para calcular as propriedades mecânicas do concreto.
Este documento fornece informações sobre os produtos e serviços oferecidos pela Soluções Usiminas, incluindo aços planos, tubos e serviços de transformação. A empresa possui 10 unidades industriais localizadas em 6 estados brasileiros e fornece uma ampla gama de produtos de aço, como chapas, bobinas, tubos e serviços de corte, soldagem e galvanização. A Soluções Usiminas destaca-se pela qualidade dos seus produtos e serviços customizados para atender as necessidades específicas de cada cliente.
Caderno de laboratorio_materiais_de_construcaoMonalisa Macedo
O documento apresenta um caderno de aulas práticas sobre materiais de construção II. Ele inclui definições e procedimentos para caracterização de agregados, incluindo granulometria, massa específica, umidade e outros índices físicos. Também aborda especificações de cimento e métodos de dosagem e controle de qualidade de concreto.
1) A tabela apresenta fórmulas para calcular deflexões angulares, reações e momentos em vigas isostáticas e hiperestáticas sob diferentes carregamentos.
2) Para vigas isostáticas, fornece expressões para flecha máxima e deflexões angulares nos apoios sob carga pontual, uniforme e momento.
3) Para vigas hiperestáticas, lista valores de reações e momentos máximos sob mesma variedade de carregamentos.
Abnt 6118 projeto de estruturas de concreto -procedimentocarlospradojr2
Este documento apresenta as diretrizes para projeto de estruturas de concreto no Brasil. Ele estabelece os requisitos gerais para projeto de estruturas de concreto simples, armado e protendido, excluindo estruturas especiais. A norma define procedimentos para análise estrutural, dimensionamento, detalhamento e verificação de segurança considerando ações, resistências dos materiais e estados limites.
Este documento apresenta os fundamentos da resistência dos materiais, incluindo conceitos como forças, sistemas de forças, tipos de solicitações mecânicas e equilíbrio estático. O documento também discute alavancas e apresenta exemplos para ilustrar esses conceitos.
Resistencia dos materiais tensão e deformaçãoDouglas Mota
O documento discute os conceitos fundamentais da resistência dos materiais, incluindo tensões, deformações, elasticidade e o ensaio de tração. Explica que a resistência dos materiais estuda o comportamento de sólidos sob diferentes tipos de carregamento e que o ensaio de tração é usado para determinar a relação entre tensões e deformações para um material.
O documento descreve os principais tipos e classificações de lajes, incluindo lajes maciças, nervuradas e pré-fabricadas. Detalha as ações que atuam em lajes, como peso próprio, carga de piso e paredes. Explica os métodos para determinar os esforços em lajes armadas em uma ou duas direções, como teoria das placas, tabelas e elementos finitos. Por fim, aborda o detalhamento da armadura em lajes.
O documento discute diversos tópicos relacionados à qualidade e execução de obras de construção civil, incluindo a importância do planejamento, gerenciamento e organização do canteiro de obra. Também aborda patologias comuns em revestimentos como eflorescência, mofo, bolor e deslocamentos, apresentando suas possíveis causas e soluções. Por fim, explica procedimentos para a colagem e betumação correta de cerâmicas.
O documento discute o uso do software AutoCAD Civil 3D para projetos de rede de esgoto, apresentando suas principais ferramentas. Ele destaca a importância de configurar corretamente o template, as famílias de materiais e as regras antes de iniciar o projeto da rede, e explica os conceitos básicos de pipe network, pipes, structures e part list. Também aborda a criação e concepção da rede no Civil 3D, incluindo a inserção de dados, uso de ferramentas de layout, aplicação de regras e labels.
Madeira (Propriedades, Processos de Fabricação e Aplicações)Sílvio Júnior
O documento discute as propriedades físicas e processos de fabricação da madeira. Aborda tópicos como a anatomia da madeira, propriedades mecânicas e químicas, densidade, defeitos, processos de fabricação como abate, descascarmento, desdobramento, serragem, produção de partículas, tipos de madeiras, painéis de madeira e suas aplicações.
O documento descreve os produtos e serviços da empresa Fischer para fixações, incluindo chumbadores químicos e software de dimensionamento de ancoragens. A empresa possui alta taxa de solicitação de patentes, implementa muitas patentes em produtos, e oferece soluções personalizadas para clientes em mais de 100 países.
Resolução da flexão composta normal e oblíqua por meio de ábacosJoao Wagner Dominici
O documento descreve o método de resolução da flexão composta em seções retangulares de concreto armado utilizando ábacos adimensionais. Inicialmente apresenta a modelagem da seção retangular simétrica e os parâmetros necessários para a análise. Em seguida, explica como os valores de esforço normal e momento fletor resistentes são obtidos a partir dos domínios de deformação do concreto e aço. Por fim, demonstra a construção dos gráficos de esforços reduzidos e a obtenção da taxa de armad
O documento apresenta o resumo da aula 01 de Resistência dos Materiais II. Os tópicos abordados incluem flexão normal e oblíqua, análise de tensões em diferentes estados, deformação por flexão e flambagem em pilares esbeltos. A bibliografia básica e complementar é apresentada. Uma introdução sobre flexão em vigas é fornecida.
O documento apresenta um resumo das principais alterações introduzidas pela revisão de 2012 da NBR 6118. O palestrante, Prof. Sergio Hampshire de C. Santos, discute as mudanças nos requisitos de projeto, materiais, ações, dimensões mínimas de elementos estruturais e análise estrutural. O documento fornece uma visão geral das novas diretrizes estabelecidas pela norma revisada.
1. O documento discute conceitos fundamentais de resistência dos materiais como flexão, vigas, apoios e casos de flexão simples e composta.
2. É apresentado o ensaio de flexão em três e quatro pontos para avaliar propriedades mecânicas como tensão de flexão.
3. São descritas as hipóteses e fórmulas para cálculo de momento fletor, momento de inércia, módulo de resistência e tensão de flexão.
O documento discute flexão simples em vigas. Explica conceitos como linha elástica, superfície neutra, curvatura, deformação, distribuição de tensões e momentos resultantes. Apresenta duas exemplos numéricos ilustrando cálculos de tensões, momentos de inércia e diagramas de esforços em vigas sob flexão.
Este documento descreve a flexão oblíqua em estruturas. Introduz o conceito de flexão oblíqua quando o eixo de solicitação não é perpendicular à linha neutra. Explica como calcular as tensões normais na flexão oblíqua e determinar a posição da linha neutra. Apresenta exemplos para ilustrar os conceitos.
Este documento apresenta a Lei de Hooke Generalizada, que relaciona os estados de tensão e deformação em materiais. A lei descreve que um estado uniaxial de tensão gera um estado triaxial de deformação, e que quanto maior a rigidez de um material, menores serão suas deformações para um mesmo nível de tensão. A lei é apresentada através de exemplos de barras sob carga axial e prisma sob estado plano de tensões.
Tensão
Vetor Tensão
Tensor Tensão
Componentes
Simetria
Tensões Principais
Máxima Tensão Cisalhante
Representação Gráfica de Mohr
Equações do Movimento
Condições de Contorno
Equação de Equilíbrio para pequenas Deformações
Este documento apresenta um programa sobre mecânica dos sólidos que inclui: (1) revisão da notação indicial e propriedades de tensores; (2) revisão de cálculo e álgebra linear relevantes para mecânica dos sólidos, incluindo tensores, transformações lineares, propriedades de tensores simétricos e antissimétricos.
Aula 10 - AVA - Física 3 - Halliday Campus do Sertão UFAL -Agnaldo Santos
[1] O documento discute os princípios da indução e indutância em física, incluindo a lei de Faraday, lei de Lenz, campos elétricos induzidos, indutores, autoindução e circuitos RL. [2] É apresentada uma aula sobre indução e indutância com nove tópicos, incluindo leis fundamentais, transferência de energia, conceitos de indutância e circuitos. [3] O resumo inclui as principais definições, fórmulas e diagramas discutidos ao longo da aula.
1 resistenciamateriaisestaticasestruturas-importantssimo-usareste-13082817034...everton galvao de neiva
O documento apresenta os principais conceitos de resistência dos materiais e estática de estruturas. Aborda temas como sistemas de unidades, noções sobre forças, decomposição de forças, equilíbrio de corpos rígidos, tipos de apoios, cálculo de reações, esforços solicitantes, resistência de materiais, características de seções, e teoria de treliças.
1 resistenciamateriaisestaticasestruturas-importantssimo-usareste-13082817034...Carlos A. Silva
O documento apresenta os principais conceitos de resistência dos materiais e estática de estruturas. Aborda sistemas de unidades, noções sobre forças, decomposição de forças, equilíbrio de corpos rígidos, tipos de apoios, cálculo de reações, esforços solicitantes, resistência de materiais, características de seções, e teoria de treliças.
1 resistenciamateriaisestaticasestruturas-importantssimo-usareste-13082817034...everton galvao de neiva
O documento apresenta os principais conceitos de resistência dos materiais e estática de estruturas. Aborda sistemas de unidades, noções sobre forças, decomposição de forças, equilíbrio de corpos rígidos, tipos de apoios, cálculo de reações, esforços solicitantes, resistência de materiais, características de seções, e teoria de treliças.
O documento apresenta os principais conceitos de resistência dos materiais e estática de estruturas. Aborda temas como sistemas de unidades, noções sobre forças, decomposição de forças, equilíbrio de corpos rígidos, tipos de apoios, cálculo de reações, esforços solicitantes, resistência de materiais, características de seções, e teoria de treliças.
1) O documento discute estados limites de serviço em estruturas de concreto, incluindo momento de fissuração, homogeneização da seção, formação de fissuras e deformação.
2) É apresentado o cálculo do momento de fissuração usando a resistência à tração do concreto e propriedades da seção.
3) Métodos para cálculo de flecha imediata e diferida em vigas sob combinações de cargas são explicados.
1) O documento apresenta tabelas de análise de estruturas com fórmulas para analisar vigas sob diferentes tipos de cargas e condições de apoio. 2) Inclui equações para calcular deformações, esforços, momentos fletores e cortantes em vigas sob cargas pontuais ou distribuídas, assim como sob efeitos de variações de temperatura. 3) Fornece casos particulares para configurações comuns como viga simplesmente apoiada com carga no meio do vão.
1. O documento discute superfícies e interfaces, incluindo a área interfacial em meios dispersos como coloides e nanopartículas, e a escala nanométrica.
2. Apresenta conceitos como tensão superficial, ângulo de contato, molhabilidade, adesão e coesão.
3. Discutem-se métodos para medir a tensão superficial como a balança de Wilhelmy e ascensão capilar.
1. O documento apresenta informações sobre superfícies e interfaces, incluindo a área interfacial em meios dispersos, tensão superficial, ângulo de contato, molhabilidade e espalhamento, adesão e coesão.
2. Inclui também métodos para medir a tensão superficial, como a balança de Wilhelmy e ascensão capilar, e explica a relação entre curvatura de interface e diferença de pressão.
3. Aborda conceitos fundamentais sobre superfícies como número de partículas, área total, orig
O documento discute os conceitos de flexão em materiais, incluindo flexão normal, flexão oblíqua e cargas combinadas de flexão e compressão. A seção apresenta as fórmulas para calcular tensões devido à flexão para diferentes configurações geométricas e orientações do momento de flexão aplicado. Exemplos ilustram o cálculo das tensões em seções retangulares e em T sob flexão normal e oblíqua.
1) O documento apresenta conceitos fundamentais de resistência dos materiais como forças, momentos, esforços solicitantes e classificação de estruturas.
2) São descritos os tipos de esforços solicitantes que ocorrem internamente em estruturas sob ação de cargas externas, como força normal, cortante e momento fletor.
3) É apresentada a metodologia para resolução de problemas de equilíbrio de estruturas isostáticas, incluindo escrita de equações e traçado de diagramas de esforços.
O documento discute tensões em vigas sob flexão, incluindo a decomposição de tensões, unidades de tensão, ensaio de tração, mecanismo de deformação em vigas sob flexão, e hipóteses básicas da teoria da flexão.
O documento discute tensões em vigas sob flexão, incluindo a decomposição de tensões, unidades de tensão, ensaio de tração, mecanismo de deformação em vigas sob flexão, e hipóteses básicas da teoria da flexão.
O documento discute diferentes tipos de flexão em elementos estruturais. Aborda flexão pura, onde apenas momento fletor atua na seção, e flexão combinada, onde momento fletor e esforço cortante atuam simultaneamente. Explica como as tensões variam linearmente na seção transversal em função da distância ao eixo neutro para flexão pura, de acordo com a fórmula de Navier. Também discute como esforços cortantes geram tensões tangenciais adicionais na seção.
Semelhante a Resistência dos Materiais II - Unidade 02 (18)
O documento apresenta uma introdução ao curso de Inteligência Computacional ministrado por Leonardo Goliatt. É dividido em unidades que abordam tópicos como redes neurais, sistemas fuzzy e inteligência de enxame. A primeira unidade define inteligência computacional e noções básicas como aprendizagem, percepção e raciocínio em sistemas inteligentes.
Cinemática I
Descrição do Movimento
Derivada Material
Aceleração de uma Partícula
Cinemática do Corpo Rígido
Gradiente de Deslocamentos
Deformaões Infinitesimais
Interpretação Geométrica
Cinemática II
Deformacções Principais
Dilatação Específica
Tensor de Rotação Infinitesimal
Taxa de Deformação
Tensor Spin
Conservação da Massa
Condições de Compatibilidade
Cinemática III
Gradiente de Deformação
Decomposição do Tensor F
Tensor C
Tensor de Deformação Lagrangeano
Tensor B
Tensor de Deformaçõa Euleriano
Resumo
Mudança de Area
Unidade 01 - Fundamentos de Mecânica das EstruturasLeonardo Goliatt
Este documento apresenta três tópicos principais: (1) estruturas e seus elementos, (2) esforços internos em estruturas, e (3) representação computacional de estruturas.
Unidade 00 - Fundamentos de Mecânica das EstruturasLeonardo Goliatt
Este documento apresenta o programa de uma disciplina de Fundamentos de Mecânica das Estruturas ministrada por Leonardo Goliatt. Ele inclui a bibliografia recomendada, pré-requisitos, considerações sobre projeto, ferramentas computacionais e incertezas, além do programa dividido em unidades sobre representação de estruturas, modelos reticulados, tensões em barras curvas, membranas e flambagem.
Unidade 05 - Fundamentos de Mecânica das EstruturasLeonardo Goliatt
Este documento apresenta as tensões radiais e tangenciais em barras curvas. Primeiro, define-se as tensões radiais e analisa-se o equilíbrio de um elemento da seção da barra. Em seguida, determinam-se as tensões tangenciais considerando o equilíbrio das forças horizontais no elemento. Finalmente, chega-se às expressões para calcular as tensões radiais e tangenciais em função dos momentos aplicados e propriedades geométricas e mecânicas da seção da barra.
Unidade 04 - Fundamentos de Mecânica das EstruturasLeonardo Goliatt
O documento discute tensões normais em barras curvas. Ele apresenta três tópicos principais: 1) equações de equilíbrio para barras curvas, 2) hipótese de Navier sobre deformações em barras curvas, 3) geometria de elementos de barra entre seções.
Minicurso de R
Pós-Graduação em Modelagem Computacional da UFJF
Conteúdo:
1 - Interface R
2 - Sintaxe R
3 - Pacotes do R
4 - Gráficos
5 - Interface com outras linguagens
6 - Análise de casos
Este documento apresenta um programa sobre a Semana da Computação da UFJF que inclui informações preliminares, conteúdo sobre a linguagem R, análise de casos e interface com outras linguagens. O documento discute a filosofia e objetivos do R, como invocar o R na linha de comando, sintaxe básica incluindo vetores, caracteres e números, e estruturas de dados.
1. Unidade 02 – Flexão Composta
Resistência dos Materiais II
Elson Toledo
Flávia Bastos
Leonardo Goliatt
Departamento de Mecânica Aplicada e Computacional
Universidade Federal de Juiz de Fora
versão 13.05
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 1 / 26
2. Flexão Composta
Programa
1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Exemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 26
3. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Programa
1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Exemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 26
4. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Encontramos diversas situações em Engenharia onde as peças estão solicitadas
simultamente pela ação de momentos fletores e esforços normais
A esse tipo de solicitação denominamos flexão composta
Ocorrências usuais:
Pilares de canto
Ganchos
Sapatas com cargas excêntricas
Vigas protendidas
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 2 / 26
5. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 3 / 26
6. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Fundações submetidas a cargas excêntricas
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 4 / 26
7. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Vigas protendidas
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 5 / 26
8. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Vigas protendidas
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 5 / 26
9. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Projeto de componentes mecânicos1
1Springer handbook of mechanical engineering, edited by K.-H. Grote and E.K. Antonsson, Springer-
Verlag, 2009; pg 349-351
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 6 / 26
10. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Projeto de componentes mecânicos1
1Springer handbook of mechanical engineering, edited by K.-H. Grote and E.K. Antonsson, Springer-
Verlag, 2009; pg 349-351
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 6 / 26
11. Flexão Composta Introdução e casos de ocorrência
Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 7 / 26
12. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Programa
1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Exemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 8 / 26
13. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Carga normal aplicada no ponto (zc, yc) denominado centro de solicitação
Carga aplicada fora do centroide
Provoca momentos fletores decorrentes de sua excentricidade
α
y
z
P
α
y
z
zc
yc
Mz = Pyc
My = Pzc
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 8 / 26
14. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Carga normal aplicada no ponto (zc, yc) denominado centro de solicitação
Carga aplicada fora do centroide
Provoca momentos fletores decorrentes de sua excentricidade
P
y
z
C(zc, yc) zc
yc
y
z
zc
yc
α
ES
s
s
M
Mz
MyM
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 8 / 26
15. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Considere y e z eixos principais de inércia
Redução da força P em C(zc, yc) ao centroide
da seção resulta em uma força e um momento
N = P
My = −Nzc
Mz = Nyc
P é aplicada na direção do eixo da peça
P é positivo se provoca tração na seção
As tensões atuantes são determinadas por su-
perposição de efeitos
σx = σN
x + σ
My
x + σMz
x
y
z
zc
yc
α
s
s
Mz
MyM
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 9 / 26
16. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
As tensões atuantes são determinadas por su-
perposição de efeitos
σx = σN
x + σ
My
x + σMz
x
onde
σN
x = N
A
σ
My
x = −
My
Iy
z
σMz
x = Mz
Iz
y
o que resulta em
σx =
N
A
−
My
Iy
z +
Mz
Iz
y
y
z
zc
yc
α
s
s
Mz
MyM
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 9 / 26
17. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Considerando que
N = P
My = −Nzc
Mz = Nyc
e substituindo em
σx =
N
A
−
My
Iy
z +
Mz
Iz
y
temos que
σx =
N
A
+
Nzc
Iy
z +
Nyc
Iz
y
y
z
zc
yc
α
s
s
Mz
MyM
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 9 / 26
18. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Com os eixos principais de inércia
σx = N
A + Mz
Iz
y −
My
Iy
z
= N
A + Nyc
Iz
y + −Nzc
Iy
z
Definindo o raio de giração tal que Ii = ρ2
i A, podemos reescrever
σx =
N
A
1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z
Essa é a equação de um plano que não passa pela origem (centroide da seção)
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 10 / 26
19. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
z
y
C
x
yc
zc
My = Pzc
Mz = Pyc
P σx =
N
A
1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 11 / 26
20. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Com o eixo na linha neutra, onde LNC
é a posição da LN na flexão composta
σx =
N
A
+
Mn
In
u
s
s
M
ES
LNO
f
f
P
LNC
σN
x = N
A
σMn
x = Mn
In
u σx = N
A + Mn
In
u
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 12 / 26
21. Flexão Composta Distribuição de tensões normais na flexão composta
Flexão Composta
Distribuição de tensões normais na flexão composta
E se os sistema de eixos não coincidir com os eixos principais de inércia,
σx =
N
A
+
MzIy + MyIyz
IzIy + I2
yz
y −
MyIz − MzIyz
IzIy − I2
yz
z
ou
σx =
N
A
+
(MzIy + MyIyz)y − (MyIz + MzIyz)z
IzIy − I2
yz
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 13 / 26
22. Flexão Composta Determinação da linha neutra
Programa
1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Exemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 14 / 26
23. Flexão Composta Determinação da linha neutra
Flexão Composta
Determinação da linha neutra
Por definição, a linha neutra (LN) é o
lugar geométrico onde σx = 0
Usando os eixos principais de inércia,
e fazendo
σx =
N
A
1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z
= 0
temos
1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z = 0
Esta é uma equação de uma reta que
não passa pela origem
z
y
C
x
yc
zc
My = Pzc
Mz = Pyc
P
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 14 / 26
24. Flexão Composta Determinação da linha neutra
Flexão Composta
Determinação da linha neutra
Para determinar as ordenadas y0 e z0,
podemos usar a equação
1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z = 0
e escrever a forma segmentária
y
y0
+
z
z0
= 1
Após algum algebrismo,
z = 0 ⇒ y = y0 ⇒ y0 = −
ρ2
z
yc
y = 0 ⇒ z = z0 ⇒ z0 = −
ρ2
y
zc
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 14 / 26
25. Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Programa
1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Exemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
26. Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Flexão Composta
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Podemos determinar o paralelismo da
LN na flexão composta com a LN da
flexão oblíqua
Seja β1 a inclinação com relação ao
eixo z da LN na flexão pura
Seja β a inclinação da LN na flexão
composta
Vamos mostrar que β = β1
Na flexão oblíqua temos que
tan α tan β1 = −
Iz
Iy
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
C
Mz
My
α β1
β
zc
yc
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
27. Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Flexão Composta
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Na flexão composta observamos que
tan α =
yc
zc
e que a equação da LN é
1 +
zcz
ρ2
y
+
ycy
ρ2
z
= 0
o que permite escever
y =
−ρ2
z
yc
1 +
zcz
ρ2
y
= a + bz
onde b é a inclinação da LN com
relação ao eixo z
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
C
Mz
My
α β1
β
zc
yc
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
28. Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Flexão Composta
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
O valor de b pode ser calculado como
b = tan β =
dy
dx
=
−ρ2
z zc
ρ2
yyc
Substituindo ρ2
z A = Iz, ρ2
y A = Iy e
tan α = yc
zc
tan β = −
Iz
Iy
yc
zc
= −
Iz
Iy
1
tan α
Resultando em
tan α tan β = −
Iz
Iy
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
C
Mz
My
α β1
β
zc
yc
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
29. Flexão Composta Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Flexão Composta
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Comparando os dois resultados
tan α tan β1 = −
Iz
Iy
, tan α tan β = −
Iz
Iy
Tem-se imediatamente que
tan β1 = tan β ⇒ β = β1
Conclusão:
Estando a secão sujeita aos mes-
mos momentos fletores, as LN’s na
flexão oblíqua e composta têm a
mesma inclinação
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
C
Mz
My
α β1
β
zc
yc
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 15 / 26
30. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Programa
1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Exemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 16 / 26
31. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Quando se varia o centro de aplicação da carga, a posição da linha neutra varia
O diagrama de tensões pode ser:
Bi-triangular: tensões de tração e compressão no campo da seção
Trapezoidal: tensão de um único sinal em toda a tensão (a LN não corta a seção);
Triangular: a tensão nula se reduz a um único ponto
2
2Vitor Dias da Silva, Mechanics and Strength of Materials, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006,
XVI, 529 p.
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 16 / 26
32. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Definição: O núcleo central de inércia é o lu-
gar geométrico da seção transver-
sal, tal que, se nele for aplicada
uma carga de compressão P, toda a
seção está comprimida. Alternativa-
mente,
região da seção transversal
onde aplicada uma força nor-
mal, sua linha neutra não corta
a seção
LN 1
LN 2
LN 3
y
z
1
2
3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 17 / 26
33. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Conseqüência: a seção só terá tensões de um
mesmo sinal (compressão ou tra-
ção) de acordo com o sinal da força
Importância: materiais com baixa resistência a
tração. Exemplos: murros de ar-
rimo, chaminés e pilares
LN 1
LN 2
LN 3
y
z
1
2
3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 17 / 26
34. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Processo espontâneo de determinação do N.C.a
partir de um número finito de tangentes à seção
da peça: Considerando-as cada uma como uma
linha neutra, podemos determinar os centros de
solicitação das cargas correspondentes, que seria o
contorno deste núcleo.
LN 1
LN 2
LN 3
y
z
1
2
3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 18 / 26
35. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Vamos considerar a seção ao lado,
submetida a flexão composta dada or
uma carga de compressão aplicada
em C, que provoca um momento M
e é a excentricidade da carga
n0n0 é e LN na flexão pura
nn é e LN na flexão pura
θ é o ângulo entre a LN na flexão e o
eixo de solicitação
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
C
M
u
θ
yc
zc
e
s0
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 26
36. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
A tensão normal se escreve
σx =
N
A
+
Mn
In
u
com
Mn = M sin θ, M = Ne
de onde vem
M = Ne sin θ
A equação da LN (σx = 0) fica
σx =
N
A
+
Ne sin θ
In
u = 0 y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
C
M
u
θ
yc
zc
e
s0
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 26
37. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Considerando que u = s0 sin θ vem
N
A
+
Ne sin2
θs0
ρ2
nA
= 0
o que resulta em
1 +
e sin2
θs0
ρ2
n
= 0
Chegamos finalmente em
es0 =
−ρ2
n
sin2θ
⇒ es0 = −r2
n
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
C
M
u
θ
yc
zc
e
s0
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 26
38. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
A equação
es0 = −r2
n
relaciona a distância (ao centroide)
do ponto de aplicação da carga com
a distância (ao centroide) do ponto
onde a LN corta o ES
A constante rn = −ρ2
n
sin2θ
depende
a inércia da seção e da posição do
centro de solicitação
y
z
n0
n0
s
s
ES
n
n
LN
y0
z0
C
M
u
θ
yc
zc
e
s0
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 19 / 26
39. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Ao lado vemos a variação da LN com
a posição do centro de solicitação
O sinal negativo em es0 = −r2
n deve
ser interpretado entendo-se que o
centro de solicitação e o ponto de
passagem da LN estão sempre em
lados opostos do ES dividido pelo
baricentro (antipolaridade)
Temos que
e1s1 = −r2
n
e2s2 = −r2
n
...
ek sk = −r2
n
y
z
n
n1
s
s
ES
s1
s2
s3
e3
e2
e1
n2
n2
n3
n3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 20 / 26
40. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Para obterms o NCI de uma seção
qualquer, considere
1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z = 0
Dado C(yc, zc)m podemos obter a LN
a partir dos pontos onde esta corta os
eixos coordenados
z = 0 ⇒ y = y0 ⇒ y0 = −
ρ2
z
yc
y = 0 ⇒ z = z0 ⇒ z0 = −
ρ2
y
zc
y
z
n
n1
s
s
ES
s1
s2
s3
e3
e2
e1
n2
n2
n3
n3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 21 / 26
41. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
O processo pode ser realizado de
forma “inversa”:
1 Arbitra-se uma LN tangente à seção
2 Determina-se y0 e z0
3 Obtêm-se as coordenada de yc e zc
yc = −
ρ2
z
y0
zc = −
ρ2
y
z0
4 Repetem-se as operações anteriores
até que se obtenha um conjunto
satisfatórios de pontos para o NCI
y
z
n
n1
s
s
ES
s1
s2
s3
e3
e2
e1
n2
n2
n3
n3
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 21 / 26
42. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Análise de uma seção retangular (flexão reta)
Vamos determinar a posição do centro de soli-
citação (zc, yc) ao longo do eixo y ⇒ zc = 0
O centro de solicitação tem coordenadas
(0, yc)
Para satisfazer a cndição do NCI, a LN deve
passar por uma das arestas do retângulo (d =
±h
2 )
σx(d) ≤ 0 ⇒ σx(±
h
2
) ≤ 0
Dai temos (para o caso ao lado)
σx =
N
A
1 +
yc
ρ2
z
h
2
≤ 0 ⇒ 1 +
yc
ρ2
z
h
2
≤ 0
y
z
(0, yc < 0)
LN
h
b
d
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 22 / 26
43. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Da condição do NCI,
σx =
N
A
1 +
yc
ρ2
z
h
2
≤ 0 ⇒ 1 +
yc
ρ2
z
h
2
≤ 0
o que resulta em
yc ≤ −
2ρ2
z
h
=
2Iz
Ah
= 2
bh3
12
1
bh
1
h
E então temos
yc ≥
−h
6
⇒ yc ≤
h
6
De modo análogo, temos zc ≤ b
6
y
z
(0, yc < 0)
LN
h
b
d
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 22 / 26
44. Flexão Composta Núcleo central de inércia
Flexão Composta
Núcleo central de inércia
Outros exemplos de NCI
3
3Vitor Dias da Silva, Mechanics and Strength of Materials, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2006,
XVI, 529 p.
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 23 / 26
45. Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Programa
1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Exemplos
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 26
46. Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Flexão Composta
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Sejam C(yc, zc) centro de solicitação de um
carregamento e
nn a LN originada pela aplicação de uma
carga em C
Sejam também C (yc, zc) um ponto qualquer
de nn e
n n uma reta passante por C
Temos então a LN associada a C
nn ⇒ 1 +
yc
ρ2
z
y +
zc
ρ2
y
z = 0
y
z
n
n
LN
yc
zc
C (yc, zc)
n
n
LN’
C(yc, zc)
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 26
47. Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Flexão Composta
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Podemos mostrar que se
C ∈ nn ⇒ C ∈ n n
onde n n é a LN associada a uma carga cm
centro de solicitação C
Temos então
C ∈ nn ⇒ 1 +
ycyc
ρ2
z
+
zczc
ρ2
y
= 0
Por outro lado, a equação de n n é
1 +
ycyc
ρ2
z
+
zczc
ρ2
y
= 0 y
z
n
n
LN
yc
zc
C (yc, zc)
n
n
LN’
C(yc, zc)
Elson, Flávia, Leonardo (MAC/UFJF) Resistência dos Materiais II versão 13.05 24 / 26
48. Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Flexão Composta
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Então, a partir de
1 +
ycyc
ρ2
z
+
zczc
ρ2
y
= 0
concluímos que
Se C ∈ n n então
z = zc, y = yc
o que prova a propriedade
y
z
n
n
LN
yc
zc
C (yc, zc)
n
n
LN’
C(yc, zc)
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49. Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Flexão Composta
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
A partir de
1 +
ycyc
ρ2
z
+
zczc
ρ2
y
= 0
podemos constatar que
quando o C → C as LN associadas a estes
centros de solicitação giram em torno de C
y
z
n
n
LN
yc
zc
C (yc, zc)
n
n
LN’
C(yc, zc)
C (yc , zc )
n
n
LN”
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50. Flexão Composta Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Flexão Composta
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Essa propriedade pode ser usada de forma
inversa:
Dadas duas LN (LN1, LN2) tangentes a uma
seção, que passam por um mesmo ponto,
podemos determinar todos os centros de soli-
citação que passam por uma reta que contem
os centros de solicitação associados (C1, C2)
y
z
n
n
LN
yc
zc
C (yc, zc)
n
n
LN’
C(yc, zc)
C (yc , zc )
n
n
LN”
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51. Flexão Composta Exemplos
Programa
1 Flexão Composta
Introdução e casos de ocorrência
Distribuição de tensões normais na flexão composta
Determinação da linha neutra
Paralelismo das LN’s na flexão oblíqua e composta
Núcleo central de inércia
Propriedade Fundamental da Antipolaridade
Exemplos
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52. Flexão Composta Exemplos
Flexão Composta
Exemplos
Determinar o maior valor que a força de tração T,
aplicada no ponto C da seção ao lado, pode atingir.
Determine também o diagrama de tensões final para
a carga calculada.
Dados:
| ¯σc| = | ¯σt| = 150 N/cm2
.
zc = 0.8 cm;
yc = 2.0 cm;
C
20
60
y
z
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