Este documento trata sobre potências e suas propriedades matemáticas e operações. Discute também análise dimensional em física, incluindo símbolos dimensionais, equações dimensionais, homogeneidade dimensional e o teorema de Bridgman. Fornece exemplos e exercícios sobre esses tópicos.

1. 1 - Potências E APLICAÇÕES<br />O QUE É UMA POTÊNCIA?<br />É um produto de fatores iguais que se define formalmente como:<br />Seja um número n natural e maior que 1. Denomina-se potência de base a e expoente n ao produto de fatores iguais. Matematicamente:<br />an = a . a . a . ... . a (n fatores) <br />A tabela 1 abaixo representa exemplos de potências com diversas bases e a tabela 2 apresenta números que são denominados de quadrados perfeitos, pois podem ser construídos geometricamente na forma de quadrados.<br />Base 2Base 3Base 5Base 1021 = 231 = 351 = 522 = 432 = 952 = 25<br />Tabela 1 – Bases<br />02 = 0102 = 100202 = 400302 = 90012 = 1112 = 121212 = 441402 = 160022 = 4122 = 144222 = 484502 = 250032 = 9132 = 169232 = 569602 = 360042 = 16142 = 196242 = 576702 = 490052 = 25152 = 225252 = 625802 = 6400<br />Tabela 2 – Quadrados Perfeitos<br />PROPRIEDADES OPERATÓRIAS:<br />P1 ; am . an = am+n<br />P2 ; am : an = am - n<br />P3 ; (am )n = am.n<br />Casos Especiais:<br />Exercícios - Calcule as potências:<br />a) 43 = b) (–3)4 = c) –34 =d) (–1)3 = <br />e) (–1)4 = f) (–1)2168 = g) –13978 =h) (–6)–3 = <br />i) –5–4 = j) = l ) = m) =<br />RAÍZES E POTÊNCIAS: São operações inversas, assim apresentam as seguintes propriedades:<br />P1 ; <br />P2 ; <br />P3 ; <br />P4 ; = <br />P5 ; <br />P6 ; <br />Lembrete:<br />HOT - Indeterminações<br />Na exponenciação, é possível chegar às formas de indeterminação a seguir:<br />, quando <br />= <br />= <br />CURIOSIDADE:<br />1 - HYPERLINK \"
http://pt.wikipedia.org/wiki/Euler\"
Euler divulgou a fórmula<br />2 - Sintaxe em linguagens de programação <br />x ^ y: Basic, Matlab, R, Excel, Calculadora Cientifica e vários outros<br />x ** y: Fortran, Perl, Python, Ruby, Bash<br />pow(x, y): C, C++ (deve-se incluir a biblioteca math.h)<br />Math.pow(x, y): Java, JavaScript<br />$x^y$: HYPERLINK \"
http://pt.wikipedia.org/wiki/LaTeX\"
LaTeX<br />Em pascal não existe a função correspondente, podendo ser utilizado no lugar, por exemplo, a função HYPERLINK \"
http://pt.wikipedia.org/wiki/Logaritmo\"
logaritmo (função ln()) juntamente com a exponencial (função exp()) (ambos na base HYPERLINK \"
http://pt.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Euler\"
\o \"
Número de Euler\"
e), na forma exp(y * ln(x)), ou até mesmo um ciclo de repetição, com multiplicações sucessivas. <br />Os compiladores Pascal aceitam a notação x ^ y.<br />2 - ANÁLISE DIMENSIONAL<br /> <br /> Em Física todas as grandezas podem ser expressas em função das fundamentais, representadas dimensionalmente por meio de símbolos de dimensões. A seguir, estão relacionados os símbolos dimensionais das grandezas físicas fundamentais ou primitivas do S.I.<br /> <br />L=[comprimento]T=[tempo]M=[massa]I=[intensidade de corrente elétrica]N=[quantidade de matéria]I O=[intensidade luminosa]<br /> <br /> OBS.:<br />a) O símbolo dimensional de um número real é 1 (um);<br />b) O símbolo dimensional do ângulo plano é 1 (um).<br /> <br />EQUAÇÃO DIMENSIONAL<br /> <br /> Toda grandeza física pode ser expressa, matematicamente, em função de outras grandezas físicas, através da equação dimensional. <br /> É comum que se adote as grandezas fundamentais do S.I. para se escreverem as equações dimensionais. Assim, uma grandeza mecânica (X), que depende da massa, do comprimento e do tempo, tem sua equação dimensional escrita da seguinte forma.<br /> <br />[X] = Ma. Lb. Tc<br /> <br />OBS.: a, b, c representam dimensões das grandezas.<br /> <br />EXEMPLO: Determine a fórmula ou equação dimensional da velocidade escalar linear. (os símbolos dimensionais fundamentais do S.I.)<br /> <br />RESOLUÇÃO: V = <br /> <br />[V] = = [V] = L. T -1<br /> <br />EXERCÍCIOS.<br /> <br />Utilizando-se dos símbolos dimensionais das grandezas fundamentais do S.I., determine as fórmulas dimensionais.<br /> <br />1) aceleração escalar linear ( a = )<br />2) força ( F = m.a)<br />3) energia cinética ( Ec = )<br />4) trabalho ( F.d)<br />5) quantidade de movimento ( Q = m.v)<br />6) pressão (p = )<br />7) área ( A = b. h )<br />8) volume ( V = Ab . h)<br />9) constante elástica (K = )<br />10) quantidade de carga (q = i.t)<br /> <br />HOMOGENEIDADE DIMENSIONAL <br /> <br /> Uma equação que traduz uma lei física é homogênea. Neste caso as parcelas constituem os dois membros da igualdade apresentam os mesmos símbolos dimensionais, tendo respectivamente as mesmas dimensões.<br /> <br />EXEMPLO: Verifique se há homogeneidade na equação definida da energia potencial gravitacional. (EP = m.g.h)<br /> <br />RESOLUÇÃO: <br /> <br />1º membro à [EP] = M. L2. T -2<br />2º membro à [mgh] = M. L. T -2 = M. L2. T -2<br /> <br />Fica assim demonstrada a homogeneidade dimensional de uma equação.<br /> <br />OBS.: A homogeneidade de uma equação é critério de verificação de sua validade, ou seja, é uma condição necessária, mas não suficiente para que uma equação seja correta.<br /> <br />EXERCÍCIOS. Verifique se há homogeneidade nas equações abaixo:<br /> <br />1) S = S0 + v.t<br />2) F = m.a<br />3) E = m.c²<br />4) S = S0 + v0 .t + <br />5) V² = V0² + 2. a. t<br /> <br />TEOREMA DE BRIDGMAN<br /> <br /> Se, empiricamente, for constatado que uma determinada grandeza física X depende das grandezas A, B, C, ...., independente entre si, então X pode ser expressa da seguinte forma:<br /> <br />X = cte. Aa.Bb.Cc...<br /> <br /> cte. = fator puramente numérico, cujo valor é determinado mediante experiências.<br /> <br />EXEMPLO:<br /> <br /> Numa experiência, verifica-se que o período (T) de oscilação de um sistema corpo-mola depende somente da massa (m) do corpo e da constante elástica (K) da mola. Então, pelo Teorema de Bridgman:<br /> <br />T = cte. ma.kb<br /> <br /> Para se determinar a fórmula do período, aplica-se a análise dimensional:<br /> <br />[T] = [cte]. [m] a. [k]b<br /> <br />T = l. M a. (MT -²) b <br /> <br />T = l. M a + b. T – 2b<br /> <br />temos;<br /> <br /> <br />Portanto:<br /> <br /> <br /> <br />ou <br /> <br />cte = 2p<br /> <br />EXERCÍCIOS<br /> <br />01) A força centrípeta depende da massa (m), da velocidade escalar (v) do objeto e do raio (R) da órbita do movimento. Determinar a equação de definição da mesma.<br /> <br />Fc = f(m, R, v)<br /> <br />02) Sabe-se que o período de um pêndulo simples pode depender de seu comprimento (l), da massa (m) e da aceleração da gravidade (g) local. Determine a equação que relaciona as grandezas citadas, baseando-se em considerações dimensionais.<br /> <br />T = f (l,m, g)<br /> <br />03) Estudando um determinado fenômeno físico, um pesquisador conclui que a velocidade do objeto em estudo depende de certa força (F), de certa massa (m) e de certo comprimento (l).<br /> Através da análise dimensional das grandezas citadas, determine uma possível expressão monômica para v = f(F, m, l).<br /> 04) Em que unidade deverá ser medida, no SI, a grandeza k para que P seja medida em watts?<br /> P = <br /> Sendo v = velocidade, m = massa, L = comprimento e T = tempo.<br /> <br />05) Se as grandezas fundamentais são comprimento, massa e tempo, a grandeza mecânica X tem fórmula dimensional da forma: [X] = Lª.Mb.Tc. Então, assinale o conjunto incorreto.<br />X a b c<br /> a) aceleração 1 0 -2<br /> b) força 1 1 -2<br /> c) trabalho 2 1 -2<br /> d) potência 2 1 -3<br /> e) n.d.a<br /> <br />06) Qual das seguintes expressões é a fórmula dimensional da intensidade de força?<br /> <br />a) LM¹ T¹ <br />b) Lº M¹ T¹ <br />c) L¹ Mº T¹<br />d) L¹ M¹ T-2<br />e) L² M¹ Tº<br /> <br />07) Quais são as dimensões da constante da gravidade universal G em função das grandezas fundamentais do SI?<br /> <br />a) M-1L3T-2<br />b) M-1 L3 T2<br />c) MLT 2<br />d) ML-1 T-2<br />e) n.d.a.<br /> <br />08) Na expressão , X representa um distância ; v, uma velocidade; a. uma aceleração e k uma constante adimensional:<br /> <br />X = k <br /> <br />Qual deve ser o valor do expoente n para que a expressão seja fisicamente correta?<br /> <br />a) 1/3 <br />b) 1/2<br />c) 1<br />d) 2<br />e) 3<br /> <br />09) Se watt e joule não tivessem sido adotados com nomes das unidades do SI, de potência e de trabalho, a unidade de potência poderia ser escrita do seguinte modo:<br /> <br />a) Kg.m.s-2<br />b) N.m.s-2<br />c) N.m.s-1<br />d) Kg.m-1<br />e) N.m-2:s-2 <br /> <br />10) (Unirio-RJ) Para o movimento de um corpo sólido em contato com o ar foi verificado experimentalmente que a intensidade da força de resistência F, é determinada pela expressão Fr = k . v², na qual v é o módulo da velocidade do corpo em relação ao ar, e k, uma constante.<br />A unidade de k, no Sistema Internacional (SI) é dada por:<br /> <br />a) kg . m -1 <br />b) kg . m<br />c) kg . m . s -1 <br />d) kg . m -1. s -2<br />e) kg . m² . s -2<br /> <br />11) (Mack - SP) Na equação dimensional homogênea x = a.t² - b.t³, em que x tem a dimensão de comprimento (L) e t tem (T), as dimensões a e b são, respectivamente:<br /> <br /> a) LT e LT-1 <br />b) L²T³ e L-2T-3<br />c) LT-2 e L-3<br />d) L-2 e T-3<br />e) L² T³ e LT-3<br /> <br />12) (ITA-SP) Os valores de x, y e z para que a equação: (força)x (massa)x = (volume) (energia) z seja dimensionalmente correta são, respectivamente:<br />a) (-3, 0, 3)<br />b) (-3, 0, -3)<br />c) (3, -1, -3)<br />d) (1, 2, -1)<br />e) (1, 0, 1)<br /> <br />13) (Fuvest-SP) Um estudante está prestando vestibular e não se lembra da fórmula correta que relaciona o módulo V da velocidade de propagação do som, com a pressão P e a massa específica r (kg/m³), num gás. No entanto, ele se recorda de que a fórmula é do tipo va = , onde C é uma constante adimensional . Analisando as dimensões (unidades) das diferentes grandezas físicas, ele conclui que os valores corretos dos expoentes a e b são:<br /> <br />a) a = 1 e b = 2<br />b) a = 1 e b = 1<br />c) a = 2 e b = 1<br />d) a = 2 e b = 2<br />e) a = 3 e b = 2<br /> <br />RESPOSTAS<br /> <br />01) Fcp = <br />02) T = cte<br />03) v = cte <br />04) s²<br /> <br />05) E<br /> <br />06) D<br /> <br />07) A<br /> <br />08) D<br /> <br />09) C<br /> <br />10) A<br /> <br />11) C<br /> <br />12) B<br /> <br />13) C<br />