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Resistência dos Materiais
Flambagem
Introdução
•2
Quando se tem uma barra articulada nas extremidades, submetida
a uma força axial P, como mostra a figura, se essa força, aumentar
continuamente, verifica-se que existe uma carga P acima da qual a
barra perde sua estabilidade lateral e assume a configuração
abaixo:
Este fenômeno é denominado
flambagem e a carga acima da qual
ele acontece é denominada carga
crítica de flambagem e é denotada
por Pcr.
Determinação da carga crítica de
flambagem
•3
A carga de flambagem é dada pela seguinte expressão, denominada Fórmula
de Euler.
Onde:
E= módulo de elasticidade do material
Imín = I2 = Momento de inércia mínimo da seção tranversal (eixo 2-2)
L = comprimento da barra
Obs.: A flambagem deve ocorrer em torno do eixo da barra com a menor
inércia.
Comprimento de flambagem
•4
A fórmula de Euler foi deduzida para uma barra articulada nas extremidades,
contudo pode ser utilizada para outras condições de extremidade, desde que se
aplique o conceito de comprimento de flambagem:
Onde:
K é um coeficiente que depende da condição de extremidade ou vinculação
da barra.
Desta forma, a fórmula de Euler tornou-se:
Comprimento de flambagem
•5
K = 2 K = 1 K = 0,7 K = 0,5
Determinação da tensão de
flambagem
•6
→
A tensão de flambagem é calculada dividindo-se a carga crítica de flambagem
pela área da seção transversal:
•7
Determinação da tensão de
flambagem
•8
Observa-se que sF é função do índice de Esbeltez l, e este gráfico é uma
hipérbole, denominada Hipérbole de Euler.
Determinação da tensão de
flambagem
•9
Determinação da tensão de
flambagem
Exercícios
10
1) Um tubo de aço A-36 com 7,2 m de comprimento e a seção
transversal mostrada na figura, deve ser usado como uma coluna presa
por pinos na extremidade. Determine a carga axial máxima que a coluna
pode suportar sem sofrer flambagem.
Dados: Eaço= 200GPa
se = 250 MPa
Resposta: 228,2 kN
Exercícios
11
2) O elemento estrutural W200 x 46 de aço A-36 mostrado na figura
deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos. Determine a maior
carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem.
Eaço= 200GPa
se = 250 MPa
Dados tabelados:
• A = 5890 mm²
• Ix = 45,5x106 mm4
• Iy = 15,3x106 mm4
Resposta: 1472,5 kN
Exercícios
12
3) Uma coluna de aço W150 x 24 tem 8 m de comprimento e as
extremidades engastadas como mostra a figura. Sua capacidade de carga
é aumentada pelas escoras de reforço em torno do eixo y-y (menor
inércia). Consideramos que essas escoras estão acopladas por pinos no
ponto médio da coluna. Determine a carga que a coluna pode suportar
sem flambagem e sem que o material ultrapasse a tensão de escoamento.
Considere Eaço= 200GPa e se = 410 MPa.
Dados tabelados:
A = 3060 mm²
Ix = 13,4x106 mm4
Iy = 1,83x106 mm4
Resposta: 460,8 kN
Exercícios
13
4) Uma barra prismática de aço de seção transversal retangular de 40
mm por 50 mm é articulada nas extremidades e está submetida a uma
força axial de compressão, supondo-se que a barra tenha um
comprimento igual a 1,80 m, determinar a carga crítica de flambagem.
Dado: Eaço = 200 GPa e se = 250 MPa.
Resposta: 162,5 kN
•14
5) Considere uma barra prismática de aço com Eaço = 200 GPa, de seção
transversal circular de diâmetro igual a 50 mm. Sabendo-se que seu
comprimento é igual a 1,35 m e que a tensão máxima admissível é de 230MPa,
determinar a carga máxima de compressão que pode ser aplicada a ela nas
seguintes condições:
a) engastada nas extremidades → K=0,5
b) articulada nas extremidades → K= 1
Exercícios
Resposta: a) 451,6 kN b) 332,3 kN
•15
6) Uma coluna biarticulada de 2 m de comprimento de seção transversal circular
deve ser feita de madeira. Considerando que E =13 GPa e σadm= 12 MPa,
usando a equação da carga crítica de Euler para flambagem, determine o
diâmetro da seção transversal para que a coluna possa suportar uma força de
100 kN.
Exercícios
Resposta: D = 103 mm
•16
7) Uma plataforma é suportada por uma série de colunas de tubos de alumínio
com comprimento L = 3,75 m e diâmetro externo dext = 100 mm. As bases das
colunas estão fixadas em sapatas de concreto e as partes superiores das colunas
são suportadas lateralmente pela plataforma. As colunas estão sendo projetados
para suportar cargas de compressão P = 320 kN. Determinar a mínima espessura
necessária t das colunas para que possam suportar o carregamento sem que
ocorra flambagem. Para o alumínio, utilizar para o módulo de elasticidade 72
GPa e para tensão de escoamento 480 MPa.
Exercícios
Resposta: t = 11 mm
•17
8) Dado um pilar engastado em uma extremidade e livre na outra, com seção
retangular, determine em que ponto devemos travar em torno do menor eixo
para que a carga de flambagem seja igual nas duas direções principais.
Exercícios
Resposta: 0,8L

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  • 2. Introdução •2 Quando se tem uma barra articulada nas extremidades, submetida a uma força axial P, como mostra a figura, se essa força, aumentar continuamente, verifica-se que existe uma carga P acima da qual a barra perde sua estabilidade lateral e assume a configuração abaixo: Este fenômeno é denominado flambagem e a carga acima da qual ele acontece é denominada carga crítica de flambagem e é denotada por Pcr.
  • 3. Determinação da carga crítica de flambagem •3 A carga de flambagem é dada pela seguinte expressão, denominada Fórmula de Euler. Onde: E= módulo de elasticidade do material Imín = I2 = Momento de inércia mínimo da seção tranversal (eixo 2-2) L = comprimento da barra Obs.: A flambagem deve ocorrer em torno do eixo da barra com a menor inércia.
  • 4. Comprimento de flambagem •4 A fórmula de Euler foi deduzida para uma barra articulada nas extremidades, contudo pode ser utilizada para outras condições de extremidade, desde que se aplique o conceito de comprimento de flambagem: Onde: K é um coeficiente que depende da condição de extremidade ou vinculação da barra. Desta forma, a fórmula de Euler tornou-se:
  • 5. Comprimento de flambagem •5 K = 2 K = 1 K = 0,7 K = 0,5
  • 6. Determinação da tensão de flambagem •6 → A tensão de flambagem é calculada dividindo-se a carga crítica de flambagem pela área da seção transversal:
  • 8. •8 Observa-se que sF é função do índice de Esbeltez l, e este gráfico é uma hipérbole, denominada Hipérbole de Euler. Determinação da tensão de flambagem
  • 10. Exercícios 10 1) Um tubo de aço A-36 com 7,2 m de comprimento e a seção transversal mostrada na figura, deve ser usado como uma coluna presa por pinos na extremidade. Determine a carga axial máxima que a coluna pode suportar sem sofrer flambagem. Dados: Eaço= 200GPa se = 250 MPa Resposta: 228,2 kN
  • 11. Exercícios 11 2) O elemento estrutural W200 x 46 de aço A-36 mostrado na figura deve ser usado como uma coluna acoplada por pinos. Determine a maior carga axial que ele pode suportar antes de começar a sofrer flambagem. Eaço= 200GPa se = 250 MPa Dados tabelados: • A = 5890 mm² • Ix = 45,5x106 mm4 • Iy = 15,3x106 mm4 Resposta: 1472,5 kN
  • 12. Exercícios 12 3) Uma coluna de aço W150 x 24 tem 8 m de comprimento e as extremidades engastadas como mostra a figura. Sua capacidade de carga é aumentada pelas escoras de reforço em torno do eixo y-y (menor inércia). Consideramos que essas escoras estão acopladas por pinos no ponto médio da coluna. Determine a carga que a coluna pode suportar sem flambagem e sem que o material ultrapasse a tensão de escoamento. Considere Eaço= 200GPa e se = 410 MPa. Dados tabelados: A = 3060 mm² Ix = 13,4x106 mm4 Iy = 1,83x106 mm4 Resposta: 460,8 kN
  • 13. Exercícios 13 4) Uma barra prismática de aço de seção transversal retangular de 40 mm por 50 mm é articulada nas extremidades e está submetida a uma força axial de compressão, supondo-se que a barra tenha um comprimento igual a 1,80 m, determinar a carga crítica de flambagem. Dado: Eaço = 200 GPa e se = 250 MPa. Resposta: 162,5 kN
  • 14. •14 5) Considere uma barra prismática de aço com Eaço = 200 GPa, de seção transversal circular de diâmetro igual a 50 mm. Sabendo-se que seu comprimento é igual a 1,35 m e que a tensão máxima admissível é de 230MPa, determinar a carga máxima de compressão que pode ser aplicada a ela nas seguintes condições: a) engastada nas extremidades → K=0,5 b) articulada nas extremidades → K= 1 Exercícios Resposta: a) 451,6 kN b) 332,3 kN
  • 15. •15 6) Uma coluna biarticulada de 2 m de comprimento de seção transversal circular deve ser feita de madeira. Considerando que E =13 GPa e σadm= 12 MPa, usando a equação da carga crítica de Euler para flambagem, determine o diâmetro da seção transversal para que a coluna possa suportar uma força de 100 kN. Exercícios Resposta: D = 103 mm
  • 16. •16 7) Uma plataforma é suportada por uma série de colunas de tubos de alumínio com comprimento L = 3,75 m e diâmetro externo dext = 100 mm. As bases das colunas estão fixadas em sapatas de concreto e as partes superiores das colunas são suportadas lateralmente pela plataforma. As colunas estão sendo projetados para suportar cargas de compressão P = 320 kN. Determinar a mínima espessura necessária t das colunas para que possam suportar o carregamento sem que ocorra flambagem. Para o alumínio, utilizar para o módulo de elasticidade 72 GPa e para tensão de escoamento 480 MPa. Exercícios Resposta: t = 11 mm
  • 17. •17 8) Dado um pilar engastado em uma extremidade e livre na outra, com seção retangular, determine em que ponto devemos travar em torno do menor eixo para que a carga de flambagem seja igual nas duas direções principais. Exercícios Resposta: 0,8L