Apresentacao da aula 1

CCE0044 – Cálculo Diferencial e Integral I
Aula 1: Derivadas (parte 1)

Unidade I: Derivadas
Cálculo Diferencial e Integral I
AULA 1: Derivadas (parte 1)
PLANO DE ENSINO
1
DERIVADAS:
CONCEITUAÇÃO
2
DERIVADAS:
REGRAS BÁSICAS
3
DERIVADAS:
ORDEM SUPERIOR
4
DERIVADAS:
REGRA DA CADEIA
5
PRÓXIMOS
PASSOS

Plano de Ensino (Conteúdo Programático)
Unidade I - DERIVADAS
1.1 Conceituação de Derivadas
1.2 Regras Básicas de Derivação
1.3 Derivadas de ordem superior
1.4 A Regra da Cadeia
1.5. Derivadas de Funções Trigonométricas
1.6 Derivadas de Funções Trigonométricas Inversas
1.7 Derivadas de Funções Exponenciais e Logarítmicas
1.8 Derivação Implícita
1.9 Equação de reta tangente e normal

Unidade II - APLICAÇÕES DE DERIVADAS
2.1 Taxas Relacionadas
2.2 Máximos e Mínimos, traçado de curvas
2.3 Modelagem e Otimização
Unidade III - INTEGRAÇÃO
3.1 Integral Indefinida
3.2 Integrais Imediatas e Integração por substituição
3.3 Integrais Definidas
3.3 Teorema Fundamental do Cálculo
3.4 Cálculo de áreas como limites e áreas pelo cálculo infinitesimal

Unidade IV - APLICAÇÕES DE INTEGRAIS DEFINIDAS
4.1 Cálculo de Volumes por fatiamento
4.2 Cálculo de Volumes pela rotação em torno de um eixo
4.3 Cálculo do Comprimento curvas planas
Unidade V - TÉCNICAS DE INTEGRAÇÃO
5.1 Procedimentos Algébricos
5.2 Integração por Partes
5.3 Integração de Funções Racionais por Frações Parciais
5.4 Regra de L’Hôpital e Integrais Impróprias

Bibliografia Básica
BROCHI, André. Cálculo Diferencial e Integral I. Rio de
Janeiro: SESES, 2015.
FINNEY, Ross L.; WEIR, Maurice D.; GIORDANO, Frank
R. THOMAS, George B. Cálculo. 11 ed. V.1- São Paulo:
Ed. Addison-Wesley, 2009. 2 v.
LEITHOLD, Louis. Cálculo com geometria analítica. 3.
ed. São Paulo: Harbra, 1994-2002. 2 v.

Bibliografia Complementar
AVILA, Geraldo. Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro: LTC. 1ª Edição, 1998.
HOFFMANN, Laurence D; BRADLEY, Gerald L. 10 ed. Cálculo: um curso moderno e suas aplicações. Rio
de Janeiro: LTC, 2011.
IEZZI, Gelson; MURAKAMI, Carlos; MACHADO, Nilson José. Fundamentos de matemática elementar, 8:
limites, derivadas, noções de integral. 5. ed. rev e ampl. São Paulo: Atual, c1995.
MUNEM, Mustafa A; FOULIS, David J. Cálculo. Rio de Janeiro: Guanabara Dois, 1986. v.
SIMMONS, George F. Cálculo com geometria analítica. São Paulo: Makron, 2008. 2 v.

Conceituação
Taxa de variação
Seja uma partícula em movimento segundo a
função:
𝑠 𝑡 = −𝑡2
+ 6𝑡
Determinar, a partir de s(t), uma função que
fornece a variação instantânea do movimento
da partícula em qualquer instante
A velocidade no instante 𝑡 = 1s, foi obtida através
do cálculo do limite

Taxa de variação
𝒗 𝒕 = −𝟐𝒕 + 𝟔
Essa expressão é denominada derivada da
função 𝑠(𝑡).
Conceituação

𝒗 𝒕 = −𝟐𝒕 + 𝟔
Agora, podemos determinar a velocidade da
partícula no instante que quisermos.
𝑣 1 = −2 ∙ 1 + 6 = 4 m/s;
𝑣 2 = −2 ∙ 2 + 6 = 2 m/s
𝑣 2,5 = −2 ∙ 2,5 + 6 = 1 m/s
𝑣 3 = −2 ∙ 3 + 6 = 0;
𝑣 4 = −2 ∙ 4 + 6 = −2 m/s
Taxa de variação
Conceituação

A derivada 𝑓′(𝑥) da função 𝑓(𝑥) é definida por:
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥+ℎ −𝑓(𝑥)
ℎ
sempre que esse limite existe.
Conceituação

• determinar taxas de variações instantâneas;
• obter máximos e mínimos de funções;
• detalhar o comportamento de funções.
Engenharia: funções modelam matematicamente fenômenos de interesse.
Recursos matemáticos que permitem detalhar o comportamento das funções.
PERMITEM AO ENGENHEIRO CONHECER OS FENÔMENOS ESTUDADOS.
Aplicações da derivada

• Obter a derivada através do cálculo de limites nem sempre é tarefa fácil;
• O cálculo pode se transformar em uma tarefa árdua e penosa;
• Algumas regras básicas facilitarão o processo.
Regra 1: Derivada da função y = k
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑘, em que 𝑘 é uma constante,
então a sua derivada é:
y′ = 0
Regras básicas da derivação

Regra 1: Derivada da função y = k
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑘, em que 𝑘 é uma
constante, então a sua derivada é:
y′
= 0
f 𝒙 = 𝟓 ⇒ 𝒇′
𝒙 =?;
𝒚 = −𝟎, 𝟎𝟐 ⇒ 𝒚′
=?;
𝒔 𝒕 =
𝟏
𝟏𝟎𝟎
⇒ 𝒔′
𝒕 =? ;
𝒇 𝒙 = 𝒕 𝟑
⇒ 𝒇′
𝒙 =?

Regra 2: Derivada da função y = xn
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑥 𝑛
, então a sua derivada
é:
𝑦′
= 𝑛 ∙ 𝑥 𝑛−1
, 𝑛 ∈ ℝ
f 𝒙 = 𝒙 𝟒
f 𝒙 = 𝒙 𝟏
𝒈 𝒙 =
𝟏
𝒙 𝟒
𝒉 𝒙 =
𝟔
𝒙 𝟓

𝒇(𝒙) =
𝟏
𝒙
+ 𝒙 𝟐
𝒚 = 𝒙 𝟑
+ 𝒙 𝟐
− 𝒙 + 𝟕
Regra 3: Derivada da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥), então a sua
derivada é:
𝑦′
= 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥)

𝒇 𝒙 = 𝟓𝒙 𝟑
𝒇 𝒙 =
𝟐𝒙 𝟑
− 𝒙 𝟐
+ 𝟓
𝟕
Regra 4: Derivada da função 𝒚 = 𝒌 ∙ 𝒇(𝒙)
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑘 ∙ 𝑓(𝑥), em que 𝑘 é constante,
𝑦′
= 𝑘 ∙ 𝑓′(𝑥)

𝒚 = (𝒙 𝟐
− 𝟓𝒙)(𝟑𝒙 + 𝟏)
𝒉(𝒙) = (𝒙 𝟑
+ 𝟏)(𝒙 𝟐
− 𝒙)
Regra 5: Derivada da função 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)
Seja uma função do tipo 𝑦 = 𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥).
Então a sua derivada é:
𝑦′
= 𝑓′
𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 + 𝑔′(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥)

𝒕 𝒙 =
𝒙 𝟐
− 𝟑𝒙
𝟐𝒙 + 𝟏
𝒇 𝒙 =
𝟕
−𝒙 𝟑 + 𝟐𝒙 − 𝟒
Regra 6: Derivada da função 𝒚 =
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
Seja uma função do tipo 𝒚 =
𝒇(𝒙)
𝒈(𝒙)
, em que 𝑔(𝑥) ≠ 0,
𝑦′
=
𝑓′
𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 − 𝑔′(𝑥) ∙ 𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥) 2

• Estudamos uma função s(t) que representava a posição de uma partícula no tempo;
• Vimos que a sua derivada, v(t), representava a variação da sua velocidade no tempo;
• Afinal, a velocidade é a taxa de variação posição, em relação ao tempo t;
• A derivada de uma função indica sua taxa de variação;
• A aceleração de um móvel indica a variação de sua velocidade.
• Logo, a função a(t) que fornece a aceleração de um móvel, no instante t, é a derivada
v’(t) de sua velocidade.
Derivadas de Ordem Superior

Sendo s(t) a função posição, v(t) a velocidade e a(t) a aceleração:
A função aceleração é a derivada de segunda ordem da função posição s(t).
)(')( tstv  )(')( tvta 
)('')( tsta 

''y )('' xf
2
2
dx
yd• derivada de segunda ordem: , ou
'''y )(''' xf• derivada de terceira ordem: , ou 3
3
dx
yd
• derivada de quarta ordem: y(4), f (4)
ou 4
4
dx
yd
• derivada de quarta ordem: y(4), f (4)
ou n
n
dx
yd

Uma partícula desloca-se segundo
a função horária
s em metros e t em segundos,
com 0  t  3.
2
23)(
3
2 t
ttts 

)´()( tstv 

)´´()´()( tstvta 

)´´()´()( tstvta 
Posição,
Velocidade,
aceleração

Considere y uma função de t em que t, por sua vez, é uma função de x.
y é a função composta
)(tfy  )(xgt  ))(( xgfy 
))(( xgf 
Lê-se: “função f da g de x”
Regra da Cadeia

DEFINIÇÃO: Se
)(tfy  )(xgt e
são funções deriváveis em t e x, respectivamente, então a derivada de y em relação a x, , é
dada por: dx
dy
dx
dt
dt
dy
dx
dy

Regra da Cadeia






23
2
xt
ty
Regra da Cadeia

Assuntos da próxima aula:
1. Derivadas: Funções Trigonométricas
2. Derivadas: Funções Trigonométricas Inversas
3. Derivadas: Funções Exponenciais e Logarítmicas

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