O documento é uma compilação de conceitos e soluções relacionados a equações diferenciais parciais (EDPs), elaborado por Wagner Queiroz Barros a partir de notas do professor Viatcheslav Ivanovich Priimenko. Ele aborda definições, classificações e soluções de EDPs, além de tópicos como a equação da onda, leis de conservação e problemas de propagação de ondas. O texto inclui exemplos práticos e referências bibliográficas relevantes.

1. Elementos de Matemática Aplicada
Wagner Queiroz Barros
Engenheiro de Petróleo
2013

2. Esse documento foi compilado pelo Engenheiro de Petróleo Wagner Queiroz
Barros a partir de notas de aula do Professor Viatcheslav Ivanovich Priimenko,
da Universidade Estadual do Norte Fluminense - Dacy Ribeiro, Laboratório de
Engenharia e Exploração de Petróleo – LENEP.
Quaisquer dúvidas ou sugestões favor enviar um e-mail para:
Wagnerqb@gmail.com.
1

3. Sumário
1 – Conceitos Básicos de EDP’s ........................................................................ 4
1.1 – Definição de EDP .................................................................................. 4
1.2 – Classificação de EDP’s .......................................................................... 4
1.3 – Solução clássica de EDP’s .................................................................... 7
2 – A Equação da Onda ................................................................................... 10
2.1 – Introdução ao estudo das ondas .......................................................... 10
2.2 – Vibração em uma corda, dedução da equação da onda...................... 10
2.3 – Solução da equação da onda (Solução de D’Alembert) ...................... 14
3 – Leis de Conservação “Equações de 1ª Ordem não lineares” ..................... 21
3.1 – Derivação das leis de conservação ..................................................... 21
3.2 – Solução de equações conservativas “Método das Características ...... 24
4 – Catástrofe de Gradiente ............................................................................. 32
4.1 – Catástrofe de gradiente ....................................................................... 32
4.2 – Soluções do tipo ondas de choque ...................................................... 40
5 – Ondas de Rarefação .................................................................................. 52
5.1 – Áreas de rarefação .............................................................................. 52
5.2 – Solução geral de equações homogêneas com áreas de rarefação ..... 57
6 – Condição de Entropia ................................................................................. 62
6.1 – Não unicidade de soluções suaves por partes .................................... 62
6.2 – Condição de entropia ........................................................................... 63
7 – Propagação de Ondas em Meios Infinitos .................................................. 71
7.1 – Equação de D’Alembert ....................................................................... 71
7.2 – Curvas características da equação da onda ........................................ 74
7.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características ..... 76
7.4 – Conservação de energia na equação da onda .................................... 83
8 – Propagação de Ondas em Meios Semi-Infinitos ........................................ 85
8.1 – Meios semi-infinitos, condição de Dirichlet .......................................... 85
8.2 – Meios semi-infinitos, condição de Neumann........................................ 89
2

4. 8.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características para
um meio semi-infinito .................................................................................... 94
9 – Propagação de Ondas em Meios Finitos.................................................... 99
9.1 – Meio finito com limites fixos: ................................................................ 99
9.2 – Meio finito com termo fonte “Função de Green”: ............................... 109
9.3 – Meio finito com limites variáveis: ....................................................... 116
10 – Problemas de Propagação de Ondas em Meios Finitos ........................ 120
10.1 – Problema do martelo chato batendo em uma corda: ....................... 120
10.2 – Problema do martelo pontiagudo batendo em uma corda: .............. 122
10.3 – Problema da corda ressonante: ....................................................... 124
10.4 – Problema da corda com extremidades livre: .................................... 129
11 – Equação de Conservação de Calor ........................................................ 135
11.1 – Condução de calor em uma barra de comprimento finito: ............... 135
11.2 – Solução da equação do calor sem termo fonte: ............................... 137
11.3 – Solução da equação de calor considerando o termo fonte: ............. 139
11.4 – Solução final da equação de calor: .................................................. 142
Referências Bibliográficas .............................................................................. 146
Apêndice 1: Derivadas parciais e regra da cadeia para funções dependentes de
várias variáveis ............................................................................................... 147
A1.1 – Derivadas parciais ........................................................................... 147
A1.2 – Regra da cadeia para funções de várias variáveis .......................... 148
Apêndice 2: Solução alternativa da equação da onda ................................... 152
Apêndice 3: Ortogonalidade de Funções ....................................................... 154
A3.1 – Ortogonalidade de funções do tipo seno: ........................................ 154
A3.2 – Ortogonalidade de funções do tipo cosseno: .................................. 156
3

5. 1 – Conceitos Básicos de EDP’s
1.1 – Definição de EDP
Uma equação diferencial parcial é uma equação que contém derivadas
parciais, sendo as funções desconhecidas dependentes de mais de uma
variável. Por exemplo, a temperatura em uma placa que depende da posição e
do tempo.
Para efeitos de simplificação, a seguinte notação é utilizada:
u
ut 
t
u
ux 
x
 2u
u xy 
xy
...
Pode-se definir uma EDP utilizando a seguinte notação clássica:
Considerando-se a seguinte função:
u  u( x, y) , ( x, y)  D  R 2 “(x,y) pertencentes ao domínio D, contido no R²”
então, uma função do tipo:
F ( x, y, u, u x , u y , u xx , u xy , u yy ,...)  0 , ( x, y)  D
(Eq. 1.1)
é chamada Equação Diferencial Parcial (EDP). Segue alguns exemplos de
EDP’s famosas:
1. utt  C( x, y ) (u xx u yy )  F x, y ,t 
2. ut  u x  F x,t 
“Equação da onda”
“Equação de Burgers”
1.2 – Classificação de EDP’s
Existem seis classificações básicas de EDP’s:
i.
Quanto à ordem da EDP:
A ordem da EDP é a ordem da derivada parcial mais alta presente na equação.
Exemplos:
ut  u xx
(2ª Ordem)
ut  u x
ut  u.u xxx  senx
(1ª Ordem)
(3ª Ordem)
4

6. ii.
Quanto ao número de variáveis:
Essa classificação leva em conta o número de variáveis independentes na
equação.
Exemplos:
ut  u xx
1
1
ut  u rr  u r  2 u
r
r
iii.
(Dependente de 2 variáveis, (x,t))
(Dependente de 3 variáveis, (r,t,θ))
Quanto à linearidade:
As equações diferenciais parciais podem ser classificadas em lineares e nãolineares. Existem duas formas de se definir se uma EDP é linear:
1ª Forma: Uma EDP é dita linear se a variável dependente e todas suas
derivadas parciais puderem ser escritas em uma forma linear do tipo:
Auxx  Buxy  Cu yy  Du x  Eu y  Fu  G
(Eq. 1.2)
onde A, B, C, D, E, F, e G podem ser constantes ou funções das variáveis
independentes (x,y).
Exemplos:
utt  e t .u xx  sen (t )
u.u xx  ut  0
u xx  y.u yy  0
(linear)
(não linear)
(linear)
2ª Forma: A equação diferencial parcial é chamada de linear, se ela é linear
com respeito da função u e todas as suas derivadas. Assim as soluções da
EDP podem ser obtidas a partir de uma combinação linear de outras soluções.
Exemplo 1.1:
utt  c( x )u xx  0 (linear)
Demonstração:
u  1u1   2u2 “Uma solução a partir de uma combinação linear de outras 2”
5

7. 1u1   2u2 tt  C( x) 1u1   2u2 xx  0
1 u1tt  c( x)u1 xx    2 u2 tt  c( x)u2 xx   0
Exemplo 1.2:
ut  u.u x  0 (não linear)
Demonstração:
u  1u1   2u2 “Uma solução a partir de uma combinação linear de outras 2”
1u1   2u2 t  1u1   2u2 1u1   2u2 x  0
.
Desenvolvendo e agrupando:
2
1u1t  12u1.u1x   2u2 t   2 u2 .u2 x  1 2u1u2 x  1 2u2u1 x  0
O aparecimento de termos cruzados torna impossível a escrita da solução
linear como combinação linear de outras duas, assim a equação é não linear.
iv.
Quanto à homogeneidade:
Uma EDP é dita homogênea quando o termo independente G x , y  da Equação
1.2 for igual à zero para todo
( x, y) . Quando o termo G x, y  for diferente de
zero, a EDP é dita não homogênea.
v.
Quanto aos tipos de coeficientes:
Se o coeficientes A, B, C, D, E e F da Equação 1.2 forem constantes, a EDP é
dita como tendo coeficientes constantes. Caso contrário ela é dita como tendo
coeficientes variáveis.
vi.
Três tipos básicos de equações lineares:
Todas as EDP’s do tipo da Equação 1.2 podem ser classificadas em
basicamente 3 tipos:
a) Parabólicas: Descrevem problemas de trocas de calor e problemas de
difusão, e satisfazem a seguinte propriedade B  4 AC  0 .
b) Hiperbólicas: Descrevem problemas de ondas e vibrações, e satisfazem
2
a seguinte propriedade B  4 AC  0 .
2
6

8. c) Elípticas: Descrevem problemas estacionários, e satisfazem a seguinte
propriedade B  4 AC  0 .
2
Exemplos:
ut  u xx
(A=1, B=C=0, B  4 AC  0 ) Parabólica
utt  u xx
(A=1, B=0, C=-1, B  4 AC  4 ) Hiperbólica
2
2
u yy  u xx  0 (A=1, B=0, C=1, B 2  4 AC  4 ) Elíptica
1.3 – Solução clássica de EDP’s
Considere uma equação diferencial parcial de ordem m:


F x, y, u, u x , u y ,...,D m u  0 ,
(Eq. 1.3)
( x, y)    R 2 “Para todos os pontos pertencentes a um espaço ômega,
contido no plano cartesiano.”
Onde, define-se o operador derivada parcial:
 ( m1 m 2) u
D u  m1 m 2 , m  m1  m2
x y
m
Uma função u ( x, y ) é dita solução clássica (ou solução suave) da Equação 1.3
se:
i.
u( x, y)  C m () “Função u ( x, y) possuir derivadas de ordem m
contínuas no subespaço ômega”
ii.


F x, y, u, u x , u y ,...,D m u  0 , ( x, y)  
Exemplo 1.3:
Considere a seguinte equação da Advecção:
ut  cu x  0

c  consta.nte
(Eq. 1.4)
7

9. Provar que a função u  f ( x  ct ),
f  C 1 ( R) é solução da equação da
Advecção.
Demonstração:
Calcular as derivadas parciais da função u:
u
 u x  f ' ( x  ct )
x
u
 ut  f ' ( x  ct ).(c)
t
Substituindo na Equação 1.4:
ut  Cu x  0
 c. f ' ( x  ct )  c.( f ' ( x  ct ))  0
Assim, como a igualdade permanece verdadeira, a função u  f ( x  ct ) é
considerada solução clássica (ou suave) da Equação 1.4. Essa solução será
demonstrada com detalhes no Tópico 3.2.
As soluções do tipo u  f ( x  ct ) são chamadas de solução do tipo onda
viajante para a direita, pois para valores crescentes de ( x, t ) o perfil da solução
é deslocado para a direita, como pode ser visto na Figura 1.1.
Figura 1.1: Solução do tipo onda viajante para a direita
8

10. Exemplo 1.4:
Considere a seguinte equação da onda:
utt  c 2u xx  0

c  constante
(Eq. 1.5)
Provar que a solução da Equação 1.5 é uma combinação linear das soluções
tipo ondas viajante para esquerda e ondas viajante para direita, ou seja, uma
combinação linear de:
f ( x  ct )
“Onda viajante para direita”
g ( x  ct )
“Onda viajante para esquerda”
Demonstração:
Escrevendo a função u ( x, t ) como combinação linear das funções f ( x, t ) e
g ( x, t ) :
u( x, t )  C1 f ( x  ct )  C2 g ( x  ct )
Calculando as derivadas parciais:
u x  C1 f ' ( x  ct )  C2 g ' ( x  ct )
u xx  C1 f ' ' ( x  ct )  C2 g ' ' ( x  ct )
ut  C1 f ' ( x  ct )(c)  C2 g ' ( x  ct )(c)
utt  C1 f ' ' ( x  ct )(c) 2  C2 g ' ' ( x  ct )(c) 2
Substituindo as derivadas de segunda ordem na Equação 1.5:
utt  c 2u xx  0
c 2C1 f ' ' ( x  ct )  c 2C2 g ' ' ( x  ct )  c 2 C1 f ' ' ( x  ct )  C2 g ' ' ( x  ct )  0
Como a igualdade permaneceu verdadeira, podemos concluir que a
combinação linear das funções f ( x, t ) e g ( x, t ) é solução clássica da
Equação 1.5.
9

11. 2 – A Equação da Onda
2.1 – Introdução ao estudo das ondas
A noção de onda é algo familiar para as pessoas de uma forma ou de outra,
uma noção intuitiva de onda é uma perturbação que se propaga por um meio.
Uma descrição física de uma onda é um transporte de energia de um ponto ao
outro sem que haja transporte de matéria. Segundo Whitham (1976) “uma onda
é um sinal reconhecível que é transferido de uma parte de um meio para outra
parte com uma velocidade de propagação reconhecida”. A Figura 2.1 mostra o
exemplo de pedras batendo em um lago gerando ondas na superfície.
Figura 2.1: Ondas na superfície de um lago geradas por pequenos impactos.
2.2 – Vibração em uma corda, dedução da equação da onda
A equação da onda (Equação 2.1) é uma equação diferencial parcial que
descreve o fenômeno ondulatório em vários ramos da física.
utt  c 2u xx
(Eq. 2.1)
Nesse tópico será demonstrada a Equação 2.1 que modela pequenas
vibrações em uma corda totalmente esticada.
Considere uma corda totalmente esticada, homogênea, que possui peso,
porém não é afetada pela gravidade (vibração em uma mesa horizontal, por
exemplo), localizada no eixo x, como mostrada na Figura 2.2.
10

12. Figura 2.2: Representação de uma onda unidimensional trafegando em uma
corda totalmente esticada
Para uma total derivação da equação da onda, serão utilizadas as seguintes
considerações:


Corda uniforme: A corda possui uma densidade linear

Tensão constante: Será assumido que a tensão terá o mesmo módulo
em todos os pontos da corda, variando apenas a direção e o sentido;
Pequenas vibrações: A inclinação da corda indicada por u x ( x, t ) terá

constante;
sempre um valor pequeno.
Considere um elemento de comprimento infinitesimal da corda como mostrado
na Figura 2.3. Utilizando a segunda lei de Newton:
 Forças  (massa ) x(aceleração )
(Eq. 2.2)
Considera-se atuando as seguintes forças no elemento infinitesimal:
1. Forças devidas a tensão na corda:
Decompondo o vetor tensão na componente vertical em cada ponta da corda
mostrada na Figura 2.3 é possível obter a seguinte equação:
Tvertical  Txx .sen 2  Tx .sen1
(Eq. 2.3)
11

13. Figura 2.3: Representação de um elemento infinitesimal de corda
Utilizando a consideração de tensão constante, é possível observar que a
derivada espacial da função u ( x, t ) (função que representa o deslocamento da
corda) possui aproximadamente o mesmo valor do seno do ângulo formado
pela corda e a horizontal, em qualquer ponto da corda, assim a Equação 2.3
pode ser escrita como:
Tvertical  T u x ( x  x, t )  u x ( x, t )
(Eq. 2.4)
2. Forças externas:
Consideram-se forças externas principalmente as forças de campo, ou seja, o
peso da própria corda, ou forças criadas pela passagem de outras ondas na
mesma corda. Utilizando o conceito de força média no elemento infinitesimal,
as forças externas podem ser escritas como:
Forças _ externas  F ( x, t ).x
(Eq. 2.5)
no caso da gravidade, por exemplo, F ( x, t )  mg .
12

14. 3. Força de fricção ao movimento da corda:
Essa força pode ser modelada como sendo uma resistência da corda à
passagem da onda, utilizando o conceito de média, pode ser descrita como:
(Eq. 2.6)
Força _ Fricção  ut ( x, t ).x
4. Força de restauração
Essa força pode ser entendida como uma força que tende a restaurar a corda
para a posição de equilíbrio, e pode ser escrita como:
Força _ Restauração  u( x, t )x
(Eq. 2.7)
Observa-se que as forças com sinal negativo possuem o a direção contrária ao
movimento da corda, de forma a causar uma resistência à passagem da onda.
Substituindo as Equações (2.4 – 2.7) na Equação 2.2:
T [u x ( x  x, t )  u x ( x, t )]  F ( x, t )x  ut ( x, t )x  u( x, t )x  utt x
(Eq. 2.8)
onde

é a densidade linear da corda. Dividindo ambos os lados da equação
2.8 por x , e fazendo x tender para zero, a Equação 2.8 pode ser escrita
como:
utt 
1

Tu xx  ut  u  F ( x, t )
(Eq. 2.9)
Desprezando as forças externas, e de atrito que atuam na corda, a Equação
2.9 fica escrita de uma forma mais simples:
utt   2u xx
(Eq. 2.10)
onde:

T

(Eq. 2.11)
13

15. 2.3 – Solução da equação da onda (Solução de D’Alembert)
No Capítulo 1 foi provado que as funções tipo onda viajante para a esquerda e
para a direita são soluções da equação da onda, essa solução foi obtida por
Jean le Rond d'Alembert, e será demonstrada nesse tópico. Para o melhor
entendimento desse tópico, o Apêndice 1 mostra detalhes da regra da cadeia
para funções dependentes de mais de uma variável, e o Apêndice 2 mostra
uma segunda demonstração da solução para a equação da onda. Antes de
demonstrar a solução, será feita uma descrição matemática do problema.
O problema da solução da equação da onda (Equação 2.10) consiste em
encontrar a solução do seguinte conjunto:
utt  c 2u xx

c  constante
   x  

0  t  
“EDP Hiperbólica”
(Eq. 2.13)
“Condições Iniciais”
(Eq. 2.14)
Sujeito as seguintes condições iniciais:
u ( x,0)  f ( x)

ut ( x,0)  g ( x)
   x  
A solução da Equação 2.13 será realizada em quatro passos.
1º Passo: Transformação de coordenadas:
Para se resolver a Equação 2.13, será utilizada uma transformação de
coordenadas x, t    ,  , definida por:
  x  ct

  x  ct
(Eq. 2.15)
Assim, tomando as derivadas parciais no novo sistema de coordenadas:
ut  u  t  ut  cu  u 
utt 
(Eq. 2.16)
(c(u  u ))
t


utt  c u  t  u t   u  t  ut 
utt  c 2 .u  2u  u 
(Eq. 2.17)
u x  u  x  u x  u  u
(Eq. 2.18)
14

16. u xx 
(u  u )
x
u xx  u  x  u  x   u  x  u x 
u xx  u  2u  u
(Eq. 2.19)
Substituindo as Equações 2.17 e 2.19 na Equação 2.13:
c 2 .u  2u  u   c 2 .u  2u  u 
4c 2u  0
(Eq. 2.20)
Como a constante c foi definida como positiva, a Equação 2.20 pode ser
reescrita como:
u  0
(Eq. 2.21)
2º Passo: Solução da equação diferencial parcial:
A Equação 2.21 pode ser resolvida utilizando-se duas integrações, uma em
relação à  e outra em relação à  . Integrando em relação à  obtém-se:
 u d   0d
u ( , )   ( )
(Eq. 2.22)
 ( ) é uma função qualquer dependente apenas da variável  .
Integrando a Equação 2.22 em relação à  , obtém-se:
onde
 u d   d
u( , )  ( )   ( )
sendo ( ) a função anti-derivada de
(Eq. 2.23)
 ( ) , e  ( ) uma função dependente
apenas da variável  . Assim a solução geral da Equação 2.21 pode ser
definida como a soma de quaisquer funções dependentes apenas de  e  .
Exemplo 2.1:
Provar que a função u ( , )  sen ( )   é solução da Equação 2.21.
3
15

17. Resolução:
Substituindo a função definida no problema na Equação 2.21:
 2 ( sen ( )   3 )
0

Derivando a Equação 2.24 em relação à
(Eq. 2.24)
:
( sen ( )   3 )
 cos ( )

(Eq. 2.25)
Derivando a Equação 2.25 em relação à  :
 (cos ( ))
0

(Eq. 2.26)
O que prova que a função u ( , )  sen ( )   é solução da Equação 2.21.
3
3º Passo: Transformação da solução nas coordenadas iniciais do
problema:
Para se encontrar a solução geral da Equação 2.13 é preciso aplicar a mesma
transformada de coordenadas definidas pela Equação 2.15 na Equação 2.23,
assim:
  x  ct

  x  ct
aplicadas em:
u( , )  ( )   ( )
resulta em:
u( x, t )  ( x  ct )   ( x  ct )
(Eq. 2.27)
dessa forma, a Equação 2.27 é a solução geral da Equação 2.13. Observa-se
que a Equação 2.27 é composta por uma soma de ondas viajantes para a
esquerda para a direita, como foi discutido no Exemplo 1.4 do Capítulo 1.
Exemplo 2.2: Provar que a equação u( x, t )  sen ( x).cos(t ) é solução geral da
equação da onda definida pela Equação 2.13 com c  1 , e demonstrar que
essa solução pode ser escrita de acordo com a Equação 2.27.
16

18. Solução:
1ª Parte: Provar que u( x, t )  sen ( x).cos(t ) é solução de:
utt  c 2u xx , com c  1
(Eq. 2.28)
Derivando a função u ( x, t ) :
u  sen ( x)cos(t )
u x  cos( x)cos(t )
u xx  sen ( x)cos(t )
(Eq. 2.29)
ut  sen ( x)sen(t )
utt  sen ( x)cos(t )
(Eq. 2.30)
Substituindo as Equações 2.29 e 2.30 na Equação 2.28:
utt  u xx
 sen ( x)cos( x)  sen ( x)cos( x)
(Eq. 2.31)
O que prova que a função u( x, t )  sen ( x).cos(t ) é uma solução da equação
da onda com c  1 .
2ª Parte: Escrever a função u( x, t )  sen ( x).cos(t ) na forma da Equação 2.27:
Utilizando a propriedade de soma e subtração de arcos:
sen ( x  t )  sen ( x).cos(t )  sen (t ).cos( x)
(Eq. 2.32)
sen ( x  t )  sen ( x).cos(t )  sen (t ).cos( x)
(Eq. 2.33)
somando-se as Equações 2.32 e 2.33:
sen ( x  t )  sen ( x  t )  2sen ( x).cos(t )
sen ( x).cos (t ) 
sen ( x  t ) sen ( x  t )

2
2
(Eq. 2.34)
como c  1 , a Equação 2.34 pode ser escrita na forma:
u( x, t )  ( x  ct )   ( x  ct )
sendo
17

19. ( x  ct ) 
sen ( x  t )
“Onda viajante para direita”
2
(Eq. 2.35)
 ( x  ct ) 
sen ( x  t )
“Onda viajante para esquerda”
2
(Eq. 2.36)
4º Passo: Substituição das condições iniciais do problema
Nos passos anteriores foi encontrada a Equação 2.27 que é solução geral da
Equação 2.13. Nesse passo serão utilizadas as condições iniciais,
u ( x,0)  f ( x)

ut ( x,0)  g ( x)
   x  
“Condições Iniciais”
para se encontrar a solução específica do problema.
Substituindo as condições iniciais na Equação 2.27:
u( x,0)  ( x  c0)   ( x  c0)  ( x)   ( x)  f ( x)
(Eq. 2.37)
ut ( x,0)  ' ( x  c0)(c)   ' ( x  c0)(c)
ut ( x,0)  c' ( x)  c ' ( x)  g ( x)
(Eq. 2.38)
integrando a Equação 2.38:
 ( x)  ( x) 
1x
 g (s)ds  K , onde K é uma constante
c x0
(Eq. 2.39)
As Equações 2.37 e 2.39 formam um conjunto de equações lineares, cuja
solução é dada por:
 ( x) 
1 x
1
 g (s)ds  2 f ( x)  K
2c x0
1 x
1
( x)    g ( s)ds  f ( x)  K
2c x0
2
(Eq. 2.40)
(Eq. 2.41)
A solução específica da Equação 2.13 é feita substituindo ( x  ct ) e
 ( x  ct ) nas Equações 2.40 e 2.41, e somando as duas equações:
18

20.  ( x  ct ) 
1 xct
1
 g (s)ds  2 f ( x  ct )  K
2c x0
1 xct
1
( x  ct )  
 g (s)ds  2 f ( x  ct )  K
2c x0
(Eq. 2.42)
(Eq. 2.43)
u( x, t )   ( x  ct )  ( x  ct )
1 xct
1
1 xct
1
u ( x, t ) 
 g (s)ds  2 f ( x  ct )  2c  g (s)ds  2 f ( x  ct )
2c x0
x0
substituindo os limites de integração:
u ( x, t ) 
x ct
1
 f ( x  ct )  f ( x  ct )  1  g (s)ds
2
2c xct
(Eq. 2.44)
A Equação 2.44 é a solução da equação da onda de d’Alembert, onde a função
u ( x, t ) fica escrita utilizando as condições iniciais do problema.
Exemplo 2.3:
Encontrar a solução do seguinte problema de valor inicial:
utt  u xx

2
u ( x,0)  e  x

u ( x,0)  0
 t
(Eq. 2.45)
Solução:
Percebe-se que a Equação 2.45 é a equação da onda com c  1 , assim a
solução é dada pela Equação 2.44, onde:
f ( x)  e  x
2
(Eq. 2.46)
g ( x)  0
(Eq. 2.47)
substituindo as Equações 2.46 e 2.47 na Equação 2.44:
u ( x, t ) 


2
1 ( xct )2
1 xct
e
 e ( xct ) 
 0ds
2
2c xct
19

21. u ( x, t ) 

2
1 ( xt )2
e
 e ( x  t )
2

(Eq. 2.48)
A Equação 2.48 é a solução da Equação 2.45, composta por uma onda viajante
para esquerda e uma onda viajante para a direita. A Figura 2.4 mostra a
solução 2.48 plotada para vários tempos diferentes. Pode-se observar
claramente que existem duas ondas trafegando em sentidos contrários na
figura.
Figura 2.4: Solução da Equação 2.45 plotada para diferentes tempos.
20

22. 3 – Leis de Conservação “Equações de 1ª Ordem não lineares”
As leis de conservação constituem equações que contabilizam a variação de
qualquer variável mensurável em um sistema isolado. Constituem na
matemática um conjunto amplo de equações diferenciais parciais hiperbólicas,
onde as equações das ondas são um sub-grupo das leis de conservação. No
próximo tópico será deduzido a lei de conservação em um sistema
unidimensional, e serão apresentados alguns exemplos de equações
conservativas.
3.1 – Derivação das leis de conservação
Imagine um meio unidimensional posicionado ao longo do eixo-x que contém
uma substância mensurável que consegue se mover ou fluir por esse meio.
Utiliza-se a variável Q para representar essa substância (carros, partículas,
energia, massa, etc...), para se deduzir a equação da conservação, utilizam-se
dois conceitos básicos:
1. Concentração:
Concentração ou densidade é definida como o número de unidades da
substância Q por unidade de comprimento em um tempo t qualquer, ou seja:
u ( x, t ) 
N (Q)
x t
(Eq. 3.1)
Podendo ser, por exemplo, número de carros por quilômetro em uma rodovia,
ou gramas de uma substância por metro de tubulação.
2. Fluxo:
Número de unidades da substância Q passando por um ponto x , em um
intervalo de tempo t , assim:
F ( x, t ) 
N (Q)
t x
(Eq. 3.2)
Considere um pequeno segmento S definido pelos pontos a e b , mostrado na
Figura 3.1. A variação do número de unidades da substância Q nesse
segmento acontecerá somente de duas maneiras, ou a substância atravessará
21

23. as fronteiras A e B , mostradas no esquema, ou a substância será criada ou
destruída no interior do segmento S , em outras palavras:
N (Q)
N (Q)

t S
t

A
N (Q)
 s ( x, t )
t B
(Eq. 3.3)
Onde s( x, t ) é definida como termo fonte de uma substância, sendo
considerada a taxa (variação no tempo) em que a substância Q é adicionada
ou retirada do meio S .
Figura 3.1: Segmento S delimitado pelo intervalo [a, b] do eixo-x.
Para se calcular o número de unidades da substância Q calcula-se a integral
da concentração nesse intervalo, assim:
N (Q)
d b
  u ( x, t )dx
t S dt a
(Eq. 3.4)
logo a Equação 3.3 pode ser escrita como:
b
d b
 u( x, t )dx  F (a, t )  F (b, t )   s( x, t )dx
dt a
a
(Eq. 3.5)
A Equação 3.5 é conhecida como “Forma Integral da Lei da Conservação”, as
funções F (a, t ) e F (b, t ) possuem sinais contrários, pois a substância Q está
entrando na fronteira A , e saindo na fronteira B . Considerando as funções
u ( x, t ) e F ( x, t ) constantes e com primeiras derivadas constantes em todo o
domínio, e utilizando o teorema fundamental do cálculo, é possível escrever as
funções de fluxo da seguinte forma:
22

24. b
F (a, t )  F (b, t )    Fx ( x, t )dx
(Eq. 3.6)
a
assim a Equação 3.5 fica escrita como:
b
b
b
 ut ( x, t )dx   Fx ( x, t )dx   s( x, t )dx
a
a
(Eq. 3.7)
a
então:
b
 ut ( x, t )  Fx ( x, t )  s( x, t )dx  0
(Eq. 3.8)
a
o que implica que o resultado da integral deve ser sempre igual à zero em
qualquer intervalo [a, b] do domínio, ou seja:
ut  Fx  s
(Eq. 3.9)
A Equação 3.9 é conhecida como “Forma Diferencial da Lei da Conservação”,
também conhecida como lei fundamental da natureza. Apesar da Equação 3.9
ter um forte significado físico ela não consegue por si só modelar fenômenos
físicos, sendo necessárias equações constitutivas, que são relações entre
u ( x, t ) e F ( x, t ) . No caso de F ( x, t ) dependente de u ( x, t ) , e aplicando a
regra da cadeia, a Equação 3.9 pode ser escrita como:
ut  F ' (u)u x  s
(Eq. 3.10)
Exemplo 3.1:
ut  cu x  0

c  0, constante
“Equação da Advecção”
(Eq. 3.11)
A Equação 3.11 escrita na forma da lei da conservação:
ut  Fx  0

 F ( x, t )  c.u ( x, t )
“Forma da Lei da Conservação”
(Eq. 3.12)
Exemplo 3.2:
ut  uu x  0
“Equação de Burgers invíscida”
(Eq. 3.13)
A Equação 3.13 escrita na forma da lei da conservação:
23

25. ut  Fx  0


u 2 ( x, t )
 F ( x, t ) 

2
“Forma da Lei da Conservação”
(Eq. 3.14)
Exemplo 3.3:
ut  uu x  u xx

  constante
“Equação de Burgers víscida, viscosidade
”
(Eq. 3.15)
A Equação 3.15 escrita na forma da lei da conservação:
ut  Fx  0

“Forma da Lei da Conservação”

u 2 ( x, t )
 u x ( x, t )
 F ( x, t ) 

2
(Eq. 3.16)
Exemplo 3.4:
ut   ( x).u x ' x
(Eq. 3.17)
A Equação 3.17 escrita na forma da lei da conservação:
ut  Fx  0
“Forma da Lei da Conservação”

F ( x, t )   ( x).u x

(Eq. 3.18)
3.2 – Solução de equações conservativas “Método das Características"
No tópico anterior foram deduzidas as equações conservativas (Forma
Diferencial da Lei de Conservação), nesse tópico serão discutidos métodos de
solução desse tipo de equação, ou seja, solução de equações hiperbólicas de
primeira ordem. Assim o objetivo desse tópico é de se resolver o seguinte
problema:
ut  c( x, t )u x  F ( x, t )

u ( x,0)  u0 ( x)
“Problema de Cauchy”
(Eq. 3.19)
O problema descrito pela Equação 3.19 é conhecido como problema de
Cauchy, sendo composto por uma equação diferencial parcial e uma solução
inicial. Para se resolver esse problema será utilizado um método conhecido
como “método das características”, deduzido a partir da regra da cadeia
(descrita no apêndice 1). Para se resolver a Equação 3.19 será utilizada uma
parametrização da variável x , assim:
24

26.  x  x(t )

u ( x, t )  u ( x(t ), t )
(Eq. 3.20)
derivando a função u ( x(t ), t ) em relação ao tempo:
u ( x(t ), t ) u ( x, t ) x(t ) u ( x, t )
x(t )


 ut 
ux
t
x
t
t
t
(Eq. 3.21)
comparando-se as Equações 3.19 e 3.21 chega-se a duas conclusões:
x(t )
 c ( x, t )
t
(Eq. 3.22)
u ( x(t ), t )
 F ( x, t )
t
(Eq. 3.23)
Observa-se que a equação diferencial parcial foi transformada em duas
equações diferenciais ordinárias, que são geralmente mais fáceis de resolver.
Resolvendo a Equação 3.22:
dx  c( x, t )dt
x
(Eq. 3.24)
t
 dx   c( x, t )dt
x0
(Eq. 3.25)
0
t
x0  x   c( x, t )dt
(Eq. 3.26)
0
A Equação 3.26 descreve as curvas características do problema, mostradas na
Figura 3.2. Resolvendo a Equação 3.23:
du  F ( x, t )dt
( x ,t )
t
( x ( 0 ), 0 )
(Eq. 3.27)
0
 du   F ( x, t )dt
(Eq. 3.28)
t
u ( x, t )  u ( x0 ,0)   F ( x, t )dt
(Eq. 3.29)
0
Utilizando-se o valor inicial do problema de Cauchy:
t
u ( x, t )  u0 ( x0 )   F ( x, t )dt
(Eq. 3.30)
0
25

27. Combinando as Equações 3.26 e 3.30, chega-se a solução final da Equação
3.19:
t
t
0
0
u ( x, t )  u0 ( x   c( x, t )dt )   F ( x, t )dt
(Eq. 3.31)
O princípio físico do métodos das características baseia-se no fato de que um
distúrbio em um ponto x qualquer do domínio se propaga ao longo de curvas
no plano ( x, t ) , chamadas de curvas características, mostradas na Figura 3.2.
Figura 3.2: Curvas características no plano ( x, t ) .
Teorema 3.1:
Seja u0 ( x)  C (contínua e com primeira derivada contínua), então existe uma
1
solução única do problema de Cauchy (Equação 3.19), dada pela Equação
3.31.
Exemplo 3.5:
Resolver a equação da Advecção, descrita por:
ut  cu x  0
, onde

u ( x,0)  u0 ( x)
   x  
e c  constante

t  0
(Eq. 3.32)
Solução:
26

28. 1ª parte: Construção das características:
Encontrar curvas que satisfazem a Equação 3.24, ou seja:
dx
c
dt
(Eq. 3.33)
Resolvendo a Equação 3.33:
x  x0  ct
(Eq. 3.34)
ou
x0  x  ct
(Eq. 3.35)
Plotando-se as características descritas pela Equação 3.34 (Figura 3.3)
observa-se que as características são representadas por retas no plano ( x, t ) .
Figura 3.3: Características do Exemplo 3.5, considerando c  3 .
27

29. 2ª Parte: Construção da solução:
Construir uma solução que satisfaça a Equação 3.27, com F ( x, t )  0 , ou seja:
du
0
dt
(Eq. 3.36)
( x ,t )
t
( x ( 0 ), 0 )
0
 du   0dt
(Eq. 3.37)
u( x, t )  u( x(0),0)  u0 ( x0 )
(Eq. 3.38)
Substituindo a Equação 3.35 na Equação 3.38, chega-se ao resultado da
Equação 3.32:
u( x, t )  u0 ( x  ct )
(Eq. 3.39)
Essa solução é dada na forma de onda viajante para a direita, e foi comentada
com detalhes no Tópico 3.1.
Exemplo 3.6:
Utilizar o método das características para se resolver a seguinte equação:
ut  2u x  0


2
u ( x,0)  e  x

onde
   x  

t  0
(Eq. 3.40)
Solução:
1ª parte: Construção das características:
Encontrar curvas que satisfaçam a seguinte equação:
 dx
 2
 dt
 x ( 0)  x 0

(Eq. 3.41)
x  x0  2t
(Eq. 3.42)
2ª parte: Construção da solução:
Para se construir a solução da Equação 3.40 deve-se resolver a seguinte
equação:
28

30. du
0
dt
(Eq. 3.43)
( x ,t )
t
( x ( 0 ), 0 )
0
 du   0dt
(Eq. 3.44)
u( x, t )  u( x(0),0)
(Eq. 3.45)
Substituindo a condição inicial na Equação 3.45, encontra-se:
u ( x, t )  e  x0
2
(Eq. 3.46)
Utilizando-se a Equação 3.42:
u( x, t )  e ( x2t )
2
(Eq. 3.47)
A solução dada pela Equação 3.47 é do tipo onda viajante para a direita, a
Figura 3.4 mostra a solução, plotada para diferentes tempos.
Figura 3.4: Solução do Exemplo 3.6, para diferentes tempos.
Exemplo 3.7:
Utilizar o método das características para se resolver a seguinte equação:
ut  txu x  0

1

u ( x,0) 

1  x2

onde
   x  

t  0
(Eq. 3.48)
Solução:
29

31. 1ª parte: Construção das características:
Encontrar curvas que satisfaçam a seguinte equação:
 dx
  xt
 dt
 x ( 0)  x 0

(Eq. 3.49)
x
dx t
 x   tdt
x0
0
x  x0 .e (t
2
(Eq. 3.50)
2)
(Eq. 3.51)
As características definidas pela Equação 3.51 estão plotadas na Figura 3.5.
Observa-se que nesse caso as características não são definidas por retas no
plano ( x, t ) .
Figura 3.5: Características do Exemplo 3.7.
2ª parte: Construção da solução:
Para se construir a solução do Exemplo 3.7 deve-se resolver a seguinte
equação:
du
0
dt
(Eq. 3.52)
30

32. ( x ,t )
t
( x ( 0 ), 0 )
0
 du   0dt
(Eq. 3.53)
u( x, t )  u( x(0),0)
(Eq. 3.54)
Substituindo a condição inicial dada:
u ( x, t ) 
u ( x, t ) 
1
(Eq. 3.55)
1   x0 
2

1
1  x.e
t 2 2

2
(Eq. 3.56)
A Figura 3.6 mostra a solução dada pela Equação 3.56 para diferentes tempos.
Figura 3.6: Solução do Exemplo 3.7 plotada para diferentes tempos
31

33. 4 – Catástrofe de Gradiente
No Capítulo 3 foi deduzido o método das características, uma importante
ferramenta na resolução de equações diferenciais parciais de 1ª ordem. Nesse
capítulo será discutida uma extensão do método das características, utilizado
para resolver problemas em áreas onde existem mais de uma característica
(áreas de catástrofe de gradiente).
4.1 – Catástrofe de gradiente
Como descrito no capítulo anterior, o método das características baseia-se no
fato de uma perturbação do sistema se propagar ao longo de linhas
características no domínio. Porém em alguns casos essas linhas se colapsam
em um único ponto, inviabilizando a solução da EDP via método das
características. Para se entender a catástrofe do gradiente, considera-se o
seguinte exemplo:
Exemplo 4.1:
Plotar as características da seguinte equação diferencial:
ut  uu x  0


2
u ( x,0)  e  x

onde
   x  

t  0
(Eq. 4.1)
1ª parte: Construção das características:
Encontrar curvas que satisfaçam a seguinte equação:
 dx
 u
 dt
 x ( 0)  x 0

(Eq. 4.2)
Aplicando a definição do método das características:
du
0
dt
(Eq. 4.3)
u( x, t )  u( x(0),0)
(Eq. 4.4)
Substituindo a Equação 4.4 na Equação 4.2:
32

34. x
t
 dx   u ( x0 ,0)dt
x0
(Eq. 4.5)
0
x  x0  e  x0 .t
2
(Eq. 4.6)
Plotando-se a Equação 4.6 (Figura 4.1) encontram-se as curvas características
da Equação 4.1. É possível observar que as curvas características se
colapsam em um único ponto após aproximadamente t  1.2 .
Figura 4.1: Curvas características da Equação 4.1.
Esse fenômeno está associado com o princípio que a função solução u ( x, t )
acompanha a característica da solução no plano ( x, t , u ) . A Figura 4.2 mostra
duas curvas da função solução u ( x, t ) em uma região onde não ocorre a
catástrofe do gradiente. É possível observar que a função u ( x, t ) determina
uma função contínua nesse domínio.
33

35. Figura 4.2: Função u ( x, t ) plotada em um domínio ( x, t , u ) o qual não ocorre à
catástrofe de gradiente.
A Figura 4.3 mostra duas curvas da função solução u ( x, t ) plotada em um
domínio onde ocorre a catástrofe de gradiente. É possível perceber que no
ponto onde ocorre a catástrofe, a função u ( x, t ) possui dois valores diferentes,
representando uma descontinuidade na função.
Figura 4.3: Função u ( x, t ) plotada em um domínio ( x, t , u ) o qual ocorre à
catástrofe de gradiente.
34

36. Traçando retas paralelas ao eixo t que ligam as duas curvas na Figura 4.3
observa-se que no ponto de quebra do gráfico, a reta traçada faz uma vertical
em relação ao plano ( x, t ) , conclui-se então que a função u ( x, t ) é contínua
com relação ao tempo, e a catástrofe do gradiente ocorre quando a derivada
primeira da função u ( x, t ) em relação à variável x tende ao infinito.
Pode-se chegar à mesma conclusão analisando-se o perfil da solução quando
ocorre e quando não ocorre a catástrofe do gradiente. A Figura 4.4 mostra o
avanço da solução com o tempo em um caso onde não ocorre a catástrofe do
gradiente, pode-se se perceber que a função é crescente com velocidade
crescente. A Figura 4.5 mostra o avanço da solução em um caso onde ocorre a
catástrofe do gradiente, nesse caso a função solução é decrescente em um
intervalo com velocidade crescente, o que leva à formação da catástrofe do
gradiente.
Figura 4.4: Avanço do perfil da solução u ( x, t ) com o tempo, para um caso
onde não ocorre a catástrofe de gradiente.
Figura 4.5: Avanço do perfil da solução u ( x, t ) com o tempo, para um caso
onde ocorre a catástrofe de gradiente.
Analisando o perfil da solução, observa-se que no momento em que ocorre a
catástrofe de gradiente, a reta que liga os dois pontos da solução se torna
vertical.
35

37. Definição:
Define-se tempo de queda (Breaking Time) o ponto onde ocorre a catástrofe de
gradiente pela primeira vez, ou seja, o menor tempo positivo em que ocorre a
catástrofe de gradiente.
O tempo de queda pode ser calculado da seguinte forma:
t b = tempo mínimo onde
d (u ( x, t ))

dx
(Eq. 4.7)
Exemplo 4.2:
Calcular o tempo de queda para uma equação diferencial parcial homogênea
de primeira ordem, definida por:
ut  c(u )u x  0
, com

u ( x,0)  u0 ( x)

x  R

t  0
(Eq. 4.8)
Solução:
Para se calcular o tempo de queda, primeiro é preciso se calcular a solução da
EDP, nesse caso, utilizando-se o método das características:
du
0
dt
( x ,t )
(Eq. 4.9)
t
 du   dt
( x ( 0 ), 0 )
(Eq. 4.10)
0
u( x, t )  u( x(0),0)  u0 ( x0 ) , com x(0)  x0
(Eq. 4.11)
Calculando a derivada parcial da função u ( x, t ) em relação à x :
d (u ( x, t )) d (u0 ( x0 ))

dx
dx
(Eq. 4.12)
Utilizando a regra da cadeia:
d (u ( x, t )) d (u0 ( x0 )) d ( x0 )

.
dx
dx0
dx
(Eq. 4.13)
Construindo as características desse problema:
36

38. dx
 c(u )
dt
(Eq. 4.14)
x  x0  c(u0 ( x0 )).t
(Eq. 4.15)
Derivando em relação à x :
1
d ( x0 ) d [c(u0 ( x0 ))]

t
dx
dx
(Eq. 4.16)
Utilizando a regra da cadeia:
1
d ( x0 ) d [c(u0 ( x0 ))] d ( x0 )

t
dx
dx0
dx
(Eq. 4.17)
1
d ( x0 )  d [c(u0 ( x0 ))] 
1
t
dx 
dx0


(Eq. 4.18)
Combinando as Equações 4.13 e 4.18:
d (u0 ( x0 ))
dx0
d (u ( x, t ))

d [c(u0 ( x0 ))]
dx
1  t.
dx0
(Eq. 4.19)
Analisando a Expressão 4.19, a derivada de u ( x, t ) em relação à x tende ao
infinito quando o denominador da expressão for igual ao zero, assim o tempo
de queda é calculado escolhendo o menor tempo onde:
1  tb .
d [c(uo ( x0 ))]
0
dx0
(Eq. 4.20)
Ou seja:
tb 
1
d [c(uo ( x0 ))]
dx0
(Eq. 4.21)
Para se encontrar o tempo de quebra deve se encontrar o maior valor negativo
do denominador da Equação 4.21.
37

39. Exemplo 4.3:
Encontrar o tempo de queda do seguinte problema de Cauchy:
ut  uu x  0


2 , com
u ( x,0)  e  x

x  R

t  0
(Eq. 4.22)
Solução:
A Equação 4.22 é análoga a Equação 4.8, com:
c(u0 ( x0 ))  e  x0
2
(Eq. 4.23)
Assim:
2
d [c(u0 ( x0 ))]
 2e  x0 .x0
dx0
(Eq. 4.23)
Essa função terá valor máximo quando a derivada for igual ao zero, ou seja:
d 2 [c(u0 ( x0 ))]
dx0

2
0
(Eq. 4.24)

 2 e  x0  2e  x0 x0  0
2
2
2
1
2
x0  
(Eq. 4.25)
(Eq. 4.26)
Para valores negativos de x0 a Equação 4.23 se torna positiva, e o tempo de
queda se torna negativo. Utilizando a Equação 4.21:
tb 
1
d [c(uo ( x0 ))]
dx0
(Eq. 4.27)
Substituindo a parte positiva da Equação 4.26, encontra-se um tempo de queda
igual a:
tb 
e
2
(Eq. 4.28)
De fato esse valor vale aproximadamente tb  1.2 , fato que foi comprovado
graficamente na Figura 4.1.
38

40. Exemplo 4.4:
Encontrar o tempo de queda do seguinte problema de Cauchy, e confirmar o
valor graficamente plotando as características do problema:
ut  u 2u x  0


1 , com
u ( x,0) 

1  x2

x  R

t  0
(Eq. 4.29)
Solução:
A Equação 4.29 é análoga a Equação 4.8, com:
c(u0 ( x0 )) 
1
(Eq. 4.30)
(1  x0 ) 2
2
Assim:
d [c(u0 ( x0 ))]
 4 x0

2
dx0
1  x0


(Eq. 4.31)
3
Essa função terá valores máximos em pontos de descontinuidade, assim:
d 2 [c(u0 ( x0 ))]
dx0
2

 4 1  x0
0
(Eq. 4.32)
  24 x 1  x 
1  x 
2 3
2 2
2
0
2 6
0
0
(Eq. 4.33)
0
Ou seja:
x0  
1
5
(Eq. 4.34)
Para valores negativos de x0 a Equação 4.34 se torna positiva, e o tempo de
queda se torna negativo. Utilizando a Equação 4.21:
tb 
1
d [c(uo ( x0 ))]
dx0
(Eq. 4.35)
Substituindo a parte positiva da Equação 4.34 na Equação 4.35, encontra-se
um tempo de queda igual a:
39

41. tb 
54 5
125
(Eq. 4.36)
As características da Equação 4.29 estão plotadas na Figura 4.6. É possível
ver que o tempo de queda ocorre em um tempo aproximado de tb  0.97 , que
é numericamente igual ao tempo de queda encontrado na Equação 4.36.
Figura 4.6: Características do Exemplo 4.4.
4.2 – Soluções do tipo ondas de choque
No tópico anterior foi visto que ao depender do tipo da equação diferencial, e
do tipo da solução inicial do problema, podem ocorrer áreas onde mais de uma
característica passa pelo mesmo ponto, denominada área de catástrofe de
gradiente, foi também deduzida no tópico anterior, uma metodologia capaz de
se prever o tempo mínimo onde ocorre a catástrofe, denominado de tempo de
queda ou “Breaking Time”. Para se construir a solução da equação diferencial
em área de catástrofe, primeiro entenderemos o conceito de função suave por
partes.
Definição:
Uma função u ( x, t ) que divide o domínio R em duas regiões distintas R

e
R  (Figura 4.7) é dita suave por partes quando obedecer as seguintes
condições:
40

42. i.


A função possui primeiras derivadas contínuas nos intervalos R e R ,
e a função é solução do seguinte conjunto de equações:
ut  Fx  0
( x, t )  R 
,
“Lei de conservação”

u ( x,0)  u0 ( x) x  xs (0)

ut  Fx  0
( x, t )  R 
,
“Lei de conservação”

u ( x,0)  u0 ( x) x  xs (0)
ii.
(Eq. 4.37)
(Eq. 4.38)
O limite ( x, t )  ( xs (0),0) tendendo pelas regiões R

e R

existem,
podendo assumir valores diferentes.
Figura 4.7: Domínio de uma função suave por partes, onde x s é a curva de
descontinuidade da função.
A Figura 4.8 mostra um exemplo de uma função suave por partes. É possível
ver que nos domínios R
derivadas
contínuas,

e R
sendo

a função u ( x, t ) é contínua e com primeiras
que
a
curva
xs
define
um
plano
de
descontinuidade na função, sendo que os limites laterais existem possuindo
valores diferentes.
41

43. Figura 4.8: Função u ( x, t ) suave por partes.
Para se resolver o problema da catástrofe do gradiente, observa-se que se
pode escrever uma curva no plano ( x, t ) , onde as características se unem,
tornando assim a região de características uniforme, a Figura 4.9 mostra uma
curva  qualquer, onde as características se encontram de ambos os lados,
tornando a região das características uniforme.
s
Figura 4.9: Construção da curva  na região de catástrofe de gradiente.
s
42

44. A construção da solução resolvendo-se a equação da continuidade na forma
diferencial utilizando o método das características é interrompida a partir do
tempo de queda, porém o processo físico é um processo contínuo no tempo,
não havendo paradas, assim devemos voltar à lei de conservação na forma
diferencial, com termo fonte nulo, dada por:
d b
 u( x, t )dx  F (a, t )  F (b, t )
dt a
(Eq. 4.39)
Considerando o conceito de solução suave, o domínio agora é segmentado em
duas regiões dividas por uma curva  ( xs (t ), t ) , como mostrado na Figura
s
4.10, a Equação 4.39 pode ser escrita como:
b

d  xs (t )
u ( x, t )dx   u ( x, t )dx   F (a, t )  F (b, t )
 
dt  a

xs  ( t )



(Eq. 4.40)
Figura 4.10: Domínio da solução segmentado em dois domínios.
Desenvolvendo o lado esquerdo da equação:
b
 xs (t ) d

d
u ( x(t ), t )dx  
u ( x(t ), t )dx   F (a, t )  F (b, t )
 
 a dt

xs  ( t ) dt



(Eq. 4.41)
Utilizando a regra da cadeia para se resolver a derivada, e integral por partes
para se resolver a integral:

xs ( t )

a

xs (t )
d
 d [u ( x(t ), t )] d [u ( x(t ), t )] dx(t ) 
u ( x(t ), t )dx   

dx
dt
dt
dx
dt 
a 
(Eq. 4.42)
43

45. 
xs ( t )

a

xs ( t )

a


xs ( t )
xs ( t )
d
d [u ( x(t ), t )] dx(t )
u ( x(t ), t )dx   ut ( x, t )dx  
dx
dt
dx
dt
a
a

(Eq. 4.43)

xs ( t )
dxs xs (t )
d
d 2 x(t )

u ( x(t ), t )dx   ut ( x, t )dx u ( xs , t )
  u ( x, t ).
dx
dt
dt
dtdx
a
a
(Eq. 4.44)
Como x(t ) depende apenas de t , a Equação 4.44 pode ser escrita como:

xs ( t )

a

xs ( t )
dx
d

u ( x(t ), t )dx   ut ( x, t )dx u ( xs , t ) s
dt
dt
a
(Eq. 4.45)
Analogamente para o segundo termo do lado esquerda da Equação 4.41:
b
b
dxs
d

 dt u( x(t ),t )dx   ut ( x, t )dx u( xs , t ) dt
xs  ( t )
xs ( t )
(Eq. 4.46)
Substituindo as Equações 4.45 e 4.46 na Equação 4.41:
xs  ( t )

 ut ( x, t )dx u( xs , t )
a
b
dxs
dx

  ut ( x, t )dx u ( xs , t ) s  F (a, t )  F (b, t )
dt xs  (t )
dt
(Eq. 4.47)


Fazendo a  xs e b  xs , a Equação 4.47 pode ser escrita como:

u ( xs , t )
dxs
dx



 u ( xs , t ) s  F ( xs , t )  F ( xs , t )
dt
dt
(Eq. 4.48)
Que pode ser escrita da seguinte forma:


dxs F ( xs , t )  F ( xs , t )



dt
u ( xs , t )  u ( xs , t )
(Eq. 4.49)
De acordo com a equação deduzida, uma solução suave por partes que
satisfaz a lei de conservação na forma integral deve satisfazer a Equação 4.49.
Essa equação é também chamada de condição de Rankine-Hugoniot, que
pode ser escrita utilizando-se a notação de função salto, dada por:
dxs [ F ]

dt [u ]
“Condição de Rankine-Hugoniot”
(Eq. 4.50)
44

46. Para se encontrar precisamente essa curva, necessita-se de um dado inicial,
para isso se utiliza o tempo de queda descrito na Tópico 4.1, assim, encontrar
a função que descreve a curva  ( x, t ) é o mesmo que se resolver a seguinte
s
equação:
 dxs [ F ]


 ( xs , t )   dt [u ]
 x (t )  x
b
 s b
s
(Eq. 4.51)
Sendo o ponto ( xb , tb ) o ponto onde ocorre a catástrofe de gradiente pela
primeira vez.
Definição:
Dada uma função u ( x, t ) , que seja solução suave de ut  Fx  0 , satisfazendo
a condição de Rankine-Hugoniot, essa solução é dita “ondas de choque”, e a
função salto  ( x, t ) que divide o domínio em duas partes é dita “caminho de
s
choque”.
Exemplo 4.5:
Resolver o seguinte problema de valor inicial:
ut  uu x  0

1,

u ( x,0)  0,


x0
(Eq. 4.52)
x0
Solução:
1° Passo: Construção das características:
dx
u
dt
(Eq. 4.53)
Como a Equação 4.52 é homogênea, as características são dadas da seguinte
forma:
x  x0  C (u0 ( x0 )).t
(Eq. 4.54)
Ou seja:
45

47. x0
 x0  t ,
x
x0
 x0 ,
(Eq. 4.55)
As características do problema estão plotadas na Figura 4.11. É possível
observar que o breaking time ocorre no ponto ( xb , tb )  (0,0) .
Figura 4.11: Características do Exemplo 4.5.
2º Passo: Construção da solução:
De acordo com a Figura 4.11 existe uma zona de catástrofe de gradiente,
assim a solução será construída utilizando-se o conceito de ondas de choque.
du
0
dt
(Eq. 4.56)
u( x, t )  u( x0 ,0)
(Eq. 4.57)
Utilizando a definição de solução suave por partes:
1,

u ( x, t )  
0,

x  R
xR
(Eq. 4.58)



Portando, para se encontrar as regiões R e R , deve-se encontrar a curva de
caminho de choque. Assim, utilizando a Equação 4.51:
46

48.  dxs [ F ]


 ( xs , t )   dt [u ]
 x (t )  x
b
 s b
s
(Eq. 4.59)
A função fluxo pode ser encontrada utilizando-se a seguinte definição:
Fx  u.u x
(Eq. 4.60)
Integrando a Equação 4.60 em relação a variável x , tem-se:
u2
F
2
(Eq. 4.61)
Assim, a Equação 4.59 pode ser escrita como:
2
2
 dxs 1 u   u 


 s ( xs , t )   dt 2 u   u 
 x (0)  0
 s
(Eq. 4.62)
De acordo com a Equação 4.58 u   0 e u   1 , assim:
 dxs 1


 s ( xs , t )   dt 2
 xs (0)  0

xs 
t
2
(Eq. 4.63)
(Eq. 4.64)
A Figura 4.12 mostra as características plotadas considerando a curva de
caminho de choque dada pela Equação 4.64, assim a solução final pode ser
escrita como:

1,

u ( x, t )  
0,


t
2
t
x
2
x
(Eq. 4.65)
A Figura 4.13 mostra a Solução 4.65 plotada para diferentes tempos. É
possível observar que a frente de choque se move com velocidade igual a 0.5 .
47

49. Figura 4.12: Características do Exemplo 4.5 plotadas junto à curva de caminho
de choque.
Figura 4.13: Solução do Exemplo 4.5 para diferentes valores de tempo.
Exemplo 4.6:
Resolver o seguinte problema de valor inicial:
ut  u 2u x  0

x 1

2,
u ( x,0)  1,
x 1


(Eq. 4.66)
48

50. Solução:
1° Passo: Construção das características:
Como a Equação 4.66 é homogênea, as características são dadas da seguinte
forma:
x  x0  C (u0 ( x0 )).t
(Eq. 4.67)
Ou seja:
 x0  4t ,
x
 x0  t ,
x 1
x 1
(Eq. 4.68)
As características do problema estão plotadas na Figura 4.14. É possível
observar que o breaking time ocorre no ponto ( xb , tb )  (1,0) .
Figura 4.14: Características do Exemplo 4.6.
2º Passo: Construção da solução:
De acordo com a Figura 4.14 existe uma zona de catástrofe de gradiente,
assim a solução será construída utilizando-se o conceito de ondas de choque.
Utilizando a definição de solução suave por partes:
49

51. 2,

u ( x, t )  
1,

x  R
(Eq. 4.69)
x  R


Portando, para se encontrar as regiões R e R , deve-se encontrar a curva de
caminho de choque. Assim:
 dxs [ F ]


 s ( xs , t )   dt [u ]
 x (t )  x
b
 s b
(Eq. 4.70)
A função fluxo pode ser encontrada utilizando-se a seguinte definição:
Fx  u 2 .u x
(Eq. 4.71)
Integrando a Equação 4.60 em relação a variável x , tem-se:
F
u3
3
(Eq. 4.72)
Assim, a Equação 4.59 pode ser escrita como:
3
3
 dxs 1 u   u 


 s ( xs , t )   dt 3 u   u 
 x (0)  1
 s
(Eq. 4.73)
De acordo com a Equação 4.69 u   1 e u   2 , assim:
 dxs 7


 ( xs , t )   dt 3
 xs (0)  1

s
xs 
7t
1
3
(Eq. 4.74)
(Eq. 4.75)
A Figura 4.15 mostra as características plotadas considerando a curva de
caminho de choque dada pela Equação 4.75, assim a solução final pode ser
escrita como:
50

52. 
2,

u ( x, t )  
1,


 7t

x    1
3

 7t

x    1
3

(Eq. 4.76)
A Figura 4.16 mostra a Solução 4.76 plotada para diferentes tempos. É
possível observar que a frente de choque se move com velocidade 7 / 3 .
Figura 4.15: Características do Exemplo 4.6 plotadas junto à curva de caminho
de choque.
Figura 4.16: Solução do Exemplo 4.6 para diferentes valores de tempo.
51

53. 5 – Ondas de Rarefação
No Capítulo 3 foi deduzido o método das características para solução de
equações diferenciais parciais de 1ª ordem, e no Capítulo 4 foi deduzida uma
extensão do método das características para lidar com áreas de catástrofe de
gradiente. Nesse capítulo será deduzida a solução para uma área ainda não
discutida por onde não se passa nenhuma característica, denominadas áreas
de rarefação.
5.1 – Áreas de rarefação
Como discutido no tópico anterior, quando a função solução é decrescente com
velocidade crescente algumas áreas podem possuir mais de uma
característica, denominadas áreas de catástrofe de gradiente. Nesse tópico
serão discutidas algumas equações que possuem um vazio no plano das
características, essas áreas são denominadas áreas de rarefação. Para se
entender melhor a formação dessas zonas, o tópico será começado com o
Exemplo 5.1:
Exemplo 5.1:
Plotar as características da seguinte equação diferencial:
ut  uu x  0

0,

u ( x,0)  

1,

x0
(Eq. 5.1)
x0
Solução:
Utilizando o fato da Equação 5.1 ser homogênea:
x  x0  c(u0 ( x0 )).t
(Eq. 5.2)
x0
 x0 ,
x
x0
 x0  t ,
(Eq. 5.3)
As características dadas pela Equação 5.3 estão plotadas na Figura 5.1. É
0
possível ver o aparecimento de uma zona R
onde não passam
características, tal zona é denominada zona de rarefação.
52

54. Figura 5.1: Características do Exemplo 5.1.
Para melhor entendimento da solução do tipo ondas de rarefação, antes de se
apresentar a solução geral, será resolvido o Exemplo 5.1.
Podemos aproximar a solução do problema inicial por um problema que possui
as características homogêneas, apenas substituindo a condição inicial, da
seguinte forma:
ut  uu x  0

x  
0,

 

u ( x,0)   g ( x),    x  
1,

x  


(Eq. 5.4)
A Figura 5.2 mostra a diferença entre os perfis das soluções iniciais dada pelas
Equações 5.1 e 5.4. A Figura 5.3 mostra as características da Equação 5.4.
Do fato da Equação 5.4 ser homogênea, a solução pode ser escrita da seguinte
forma:
x  
0,

u ( x, t )   g ( x, t ),    x    t
1,
x  t

(Eq. 5.5)
53

55. Figura 5.2: Modificação da solução inicial da Equação 5.1.
Figura 5.3: Características da Equação 5.4.
Agora tomando o seguinte limite:
lim u ( x, t )
 0
(Eq. 5.6)
Tem-se:
x0
0,

u ( x, t )   g ( x, t ), 0  x  t
1,
xt

(Eq. 5.7)
54

56. A Figura 5.4 mostra as características da Equação 5.7. Agora o problema se
tornou se encontrar uma função g ( x, t ) que possua características contínuas e
que seja solução da Equação 5.1. De acordo com a Figura 5.4 a inclinação das
características muda na zona de rarefação, o que indica que a função g ( x, t )
possua a seguinte forma:
 x
g ( x, t )  g  
t
(Eq. 5.8)
Figura 5.4: Características da Equação 5.7.
Assim, como a função g ( x, t ) deve ser solução da Equação 5.1:
d [ g ( x, t )]
d [ g ( x, t )]
 g ( x, t )
0
dt
dx
(Eq. 5.9)
 x x
 x   x 1
 g '  2  g   g '   0
 t t
 t   t t
(Eq. 5.10)
 x   x  1 x 
g '  g    2   0
 t   t  t t 
(Eq. 5.11)
55

57. A Equação 5.11 admite duas soluções:
g ( x, t )  constante
(Eq. 5.12-a)
x
t
(Eq. 5.12-b)
g ( x, t ) 
Para se decidir qual solução melhor representa o Problema 5.1, deve-se
analisar a condição de Rankine-Hugoniot nas duas soluções, assim:
1ª: Solução 5.12-a:
0,

u ( x , t )  a ,
1,

x0
0  x  t , onde
a  constante
(Eq. 5.13)
xt
Aplicando a condição de Rankine-Hugoniot nas descontinuidades da função:
dxs [ F ] 1 (u  ) 2  (u  ) 2


dt [u ] 2 u   u 
(Eq. 5.14)
dxs
dt
(Eq. 5.15)

xs 0
a
0
2
Ou seja, a  0 .
dxs
dt

xs t
a 1
1
2
(Eq. 5.16)
Ou seja, a  1 .
Como a constante a tem que assumir dois valores diferentes, a Equação 5.13
não obedece à condição de Rankine-Hugoniot.
2ª: Solução 5.12-b:
0,
x

u ( x, t )   ,
t
1,

x0
0 xt
(Eq. 5.17)
xt
Aplicando a condição de Rankine-Hugoniot nas descontinuidades da função:
56

58. dxs [ F ] 1 (u  ) 2  (u  ) 2


dt [u ] 2 u   u 
(Eq. 5.18)
dxs
dt
(Eq. 5.19)
dxs
dt

xs  0
xs t
x
0
2t
x
1
t

1
2
(Eq. 5.20)
Fazendo x  0 na Equação 5.19, e x  t na Equação 5.20, observa-se que
a Equação 5.17 obedece à condição de Rankine-Hugoniot, sendo considerada
a solução da Equação 5.1.
A Figura 5.5 mostra a solução dada pela Equação 5.17 plotada para diferentes
tempos. Observa-se a presença de uma onda de avanço da solução, chamada
de onda de rarefação.
Figura 5.5: Solução da Equação 5.1, para diferentes valores de tempo.
5.2 – Solução geral de equações homogêneas com áreas de rarefação
No Tópico 5.1 foi construída uma solução do tipo ondas de rarefação para
resolver o Exemplo 5.1. Nesse tópico irá ser construída uma solução geral que
pode ser aplicada em todos os casos. Assim será construída a solução do
seguinte problema de Cauchy:
ut  C (u )u x  0

u  ,
xa


u ( x,0)   

u ,
xa


(Eq. 5.21)
57

59. Solução:
Utilizando o fato da Equação 5.21 ser homogênea, as características são
dadas da seguinte forma:
x  x0  c(u( x0 )).t
 x0  c(u (u  )).t ,

x
 x0  c(u (u  )).t ,

(Eq. 5.22)
xa
xa
(Eq. 5.23)
De acordo com a Equação 5.23 as características são retas, plotadas na Figura
5.6.
Figura 5.6: Características da Equação 5.21.
Da mesma forma que o Exemplo 5.1, a solução da Equação 5.21 pode ser
aproximada da seguinte forma:
u  ,
x  [a  c(u (u  )).t ]


u ( x, t )   g ( x, t ), [a  c(u (u  )).t ]  x  [a  c(u (u  )).t ]
 
x  [a  c(u (u  )).t ]
u ,

(Eq. 5.24)
De acordo com a Figura 5.6 a inclinação das características muda na zona de
rarefação, o que indica que a função g ( x, t ) possua a seguinte forma da
Equação 5.8, porém deslocada de uma constante a , ou seja:
58

60.  xa
g ( x, t )  g 

 t 
(Eq. 5.25)
Assim, calculando as derivadas parciais da função g ( x, t ) através da regra da
cadeia:
d [ g ( x, t )]
 ( x  a) 
  g ' ( x, t ). 2 
dt
 t

(Eq. 5.26)
d [ g ( x, t )]
1
 g ' ( x, t ). 
dx
t 
(Eq. 5.27)
Substituindo as Equações 5.26 e 5.27, na Equação 5.21:
 ( x  a) 
1
 g ' ( x, t ). 2   C ( g ( x, t )).g ' ( x, t ).   0
 t

t 
(Eq. 5.28)

1  ( x  a)  
g ' ( x, t ) C ( g ( x, t )).    2    0
t   t


(Eq. 5.29)
Da mesma forma que na Equação 5.11, a Equação 5.29 possui duas soluções
distintas, assim verificando a condição de Rankine-Hugoniot nas duas
condições, chega-se a conclusão que a solução fisicamente coerente da
Equação 5.29 é dada por:

1  ( x  a)  
 C ( g ( x, t )).    2    0
t   t


(Eq. 5.30)
 ( x  a) 
C ( g ( x, t ))  
 t 

(Eq. 5.31)
Por isso, a função g ( x, t ) é dada da seguinte forma:
 ( x  a) 
g ( x, t )  C 1 

 t 
(Eq. 5.32)
Logo, a solução da Equação 5.21 é dada por:
59

61. u  ,
x  [a  c(u (u  )).t ]

  ( x  a) 


u ( x, t )  C 1 
, [a  c(u (u )).t ]  x  [a  c(u (u )).t ]
  t 
u  ,
x  [a  c(u (u  )).t ]

(Eq. 5.33)
Exemplo 5.2:
Resolver o seguinte problema de Cauchy:
ut  u 3u x  0

x 1

1,
u ( x,0)  2,
x 1


(Eq. 5.34)
Solução:
1º Passo: Construção das características:
Como a Equação 5.34 é homogênea, as características são dadas da seguinte
forma:
x  x0  c(u( x0 )).t
(Eq. 5.35)
 x0  t ,
x
 x0  8t ,
(Eq. 5.36)
x 1
x 1
As características do problema estão plotadas na Figura 5.7. É possível
perceber uma zona de rarefação que começa no ponto ( xb , tb )  (1,0) .
Figura 5.7: Características do Exemplo 5.2.
60

62. 2° Passo: Construção da solução
A solução do tipo onda de rarefação pode ser escrita utilizando-se a Equação
5.33, dessa forma:
x  [1  t ]
1,

  ( x  1) 
u ( x, t )  C 1 
, [1  t ]  x  [1  8t ]
 t 

2,
x  [1  8t ]

(Eq. 5.37)
Nesse problema a função C (u ) é dada da seguinte forma:
C (u )  u 3
(Eq. 5.38)
Dessa forma, a solução da Equação 5.24 é dada por:
x  [1  t ]
1,

 ( x  1)
u ( x, t )  3
, [1  t ]  x  [1  8t ]
t

2,
x  [1  8t ]

(Eq. 5.39)
A Figura 5.8 mostra a solução dada pela Equação 5.39 plotada para diferentes
tempos.
Figura 5.8: Solução do Exemplo 5.2 plotadas em diferentes tempos.
61

63. 6 – Condição de Entropia
As soluções do tipo ondas de choque e ondas de rarefação são soluções
particulares da lei de conservação, quando é utilizada a noção de solução
suave por partes. Nesse tópico será visto que a noção de solução suave por
partes pode fazer com que um mesmo problema possua diversas soluções,
assim a condição de entropia será utilizada para se definir qual solução possui
maior significado físico.
6.1 – Não unicidade de soluções suaves por partes
Considere o seguinte problema de Cauchy:
ut  uu x  0

0,

u ( x,0)  

1,

x0
(Eq. 6.1)
x0
Utilizando-se a solução do tipo onda de rarefação, a solução da Equação 6.1
pode ser escrita como:
0,
x

u ( x, t )   ,
t
1,

x0
0 xt
(Eq. 6.2)
xt
Porém, utilizando-se a solução do tipo ondas de choque, a solução da Equação
6.1 pode ser escrita como:

0,


u ( x, t )   A,


1,

x
1
At
2
1
1
At  x  ( A  1)t , “onde (0  A  1) ”
2
2
1
( A  1)t  x
2
(Eq. 6.3)
Assim a Equação 6.1 possui uma solução do tipo onda de rarefação, e infinitas
soluções do tipo ondas de choque, note que todas as soluções obedecem à
condição de Rankine-Hugoniot.
62

64. 6.2 – Condição de entropia
Quando um problema de valor inicial tem mais de uma solução, utiliza-se a
condição de entropia para se escolher a solução mais realista do ponto de vista
da física do problema. A condição de entropia pode ser definida da seguinte
forma:
Definição:
Uma função u ( x, t ) satisfaz a condição de entropia se é possível encontrar
uma constante positiva E que satisfaz:
u x  h, t   u ( x, t ) E

h
t
(Eq. 6.4)
Para todo x  R e t  0 .
Graficamente a condição de entropia expressa à inclinação máxima que função
pode possuir com relação à variável x, como pode ser visto na Figura 6.1.
Figura 6.1: Representação gráfica da condição de entropia.
A condição de entropia também pode ser representada utilizando-se o conceito
de derivada parcial, da seguinte forma:
 u x  h, t   u ( x, t )  E
lim h0 

h

 t
(Eq. 6.5)
Que pode ser escrito como:
u x ( x, t ) 
E
,  x R , e t  0.
t
(Eq. 6.6)
63

65. Assim voltando ao Problema 6.1, deve-se analisar a condição de entropia nas
soluções do tipo ondas de choque e ondas de rarefação.
I.
Condição de Entropia na solução do tipo ondas de choque:
A Figura 6.2 mostra o gráfico da solução dada pela Equação 6.3, é possível ver
que a maior inclinação acontece nos pontos de descontinuidade da função,
assim, analisando o ponto da primeira descontinuidade, quando x  At / 2 :
u x  h, t   u ( x, t ) A

h
h
lim h0
A

h
(Eq. 6.7)
(Eq. 6.8)
O que indica que as soluções do tipo ondas de choque não satisfazem a
condição de entropia.
Figura 6.2: Solução do tipo ondas de choque, da Equação 6.1, para um tempo
t1 qualquer.
64

66. II.
Condição de Entropia na solução do tipo ondas de rarefação:
A Figura 6.3 mostra o gráfico representando a solução do tipo ondas de
rarefação para uma tempo t qualquer. É possível ver que a maior inclinação
ocorre no intervalo x  0, t1  , dessa forma:
u x  h, t   u ( x, t )
 u ' x (t1 , t1 )
h
(Eq. 6.9)
Figura 6.3: Solução do tipo ondas de rarefação, da Equação 6.1, para um
tempo t1 qualquer.
u ' x (t1 , t1 ) 
1
,  t1  0
t1
(Eq. 6.10)
Dessa forma, utilizando-se a condição de entropia:
u x  h, t   u ( x, t ) E
 , quando E  1
h
t
(Eq. 6.11)
Assim a solução do tipo ondas de rarefação satisfaz a condição de entropia,
sendo a solução mais fisicamente aceita.
Exemplo 6.1:
Verificar se a solução do tipo ondas de rarefação da equação 6.12 satisfaz a
condição de entropia.
65

67. ut  u 2 u x  0,    x  , t  0

x0

1,
u  x,0  2,
x0


(Eq. 6.12)
Solução:
1° Passo: Construção das curvas características:
Do fato da Equação 6.12 ser homogênea, as características são definidas da
seguinte forma:
x  x0  c(u( x0 )).t
(Eq. 6.13)
 x0  t , x  0
x
 x0  4t , x  0
(Eq. 6.14)
A Figura 6.4 mostra as características definidas pela Equação 6.14. É possível
observar a formação de uma zona de rarefação a partir do tempo t  0 .
Figura 6.4: Características da Equação 6.12.
2° Passo: Construção da solução:
A solução do tipo ondas de rarefação é dada de acordo com a seguinte
equação:
66

68. xt
1,

  x
u ( x, t )     , t  x  4t
 t
2,
x  4t

(Eq. 6.15)
A Figura 6.5 mostra o perfil da solução do Problema 6.12, para um tempo t1
qualquer a partir do início.
Figura 6.5: Perfil da solução da Equação 6.12, para um tempo t1 qualquer a
partir do início do problema.
3° Passo: Verificação da condição de entropia
De acordo com a Figura 6.5, a inclinação é máxima quando x  t1 , dessa
forma:
u x  h, t   u ( x, t )
 u ' x (t1 , t1 )
h
(Eq. 6.16)
xt
0,
 1

u ' x ( x, t )  
, t  x  4t
2 xt

0,
x  4t

(Eq. 6.17)
67

69. Combinando as Equações 6.16 e 6.17:
lim u ' x ( x, t1 )  0
x  t1
lim u ' x ( x, t1 ) 
x  t1 
1
,  t1  0
2t1
(Eq. 6.18)
(Eq. 6.19)
Assim, aplicando a condição de entropia:
1
u x  h, t   u ( x, t ) E
 , quando E 
2
h
t
(Eq. 6.20)
Assim a solução do tipo ondas de rarefação dada pela Equação 6.15 satisfaz a
condição de entropia.
Exemplo 6.2:
Verificar se a solução do tipo ondas de rarefação da equação 6.21 satisfaz a
condição de entropia.
ut  u 2u x  0,    x  , t  0

x0

0,
u  x,0  

x0
1,

(Eq. 6.21)
Solução:
1° Passo: Construção das curvas características:
As curvas características são dadas por:
x0
 x0 ,
x
x0
 x0  t ,
(Eq. 6.22)
A Figura 6.6 mostra as características definidas pela Equação 6.22. É possível
observar a formação de uma zona de rarefação a partir do tempo t  0 .
68

70. Figura 6.6: Características da Equação 6.21.
2° Passo: Construção da solução:
A solução do tipo ondas de rarefação é dada de acordo com a seguinte
equação:
x0
0,

  x
u ( x, t )     , 0  x  t
 t
1,
xt

(Eq. 6.23)
A Figura 6.7 mostra o perfil da solução do Problema 6.21, para um tempo t1
qualquer a partir do início do problema.
3° Passo: Verificação da condição de entropia
De acordo com a Figura 6.7, a inclinação é máxima quando x  0 , dessa
forma:
u x  h, t   u ( x, t )
 u ' x (0, t1 )
h
(Eq. 6.24)
69

71. Figura 6.7: Perfil da solução da Equação 6.21, para um tempo t1 qualquer a
partir do início do problema.
x0
0,
 1

u ' x ( x, t )  
, 0 xt
2 xt

0, t  x

(Eq. 6.25)
Combinando as Equações 6.24 e 6.25:
lim u ' x ( x, t1 )  0
(Eq. 6.26)
lim u ' x ( x, t1 )   ,  t1  0
(Eq. 6.27)
x 0 
x 0 
De acordo com a Equação 6.27 é impossível encontrar um valor E positivo
que satisfaça a condição de entropia, logo, a solução do tipo ondas de
rarefação dada pela Equação 6.23 não satisfaz a condição de entropia.
70

72. 7 – Propagação de Ondas em Meios Infinitos
No Capítulo 2 foi deduzida a solução de D’Alembert para a propagação de
ondas em meios infinitos, nesse capítulo essa equação será estudada em mais
detalhes.
7.1 – Equação de D’Alembert
Considerando o problema de propagação de ondas em meios infinitos, pode-se
enunciar o problema do seguinte modo:
Encontrar a solução da equação da onda:
utt  c 2u xx

c  constante
   x  

0  t  
“EDP Hiperbólica”
(Eq. 7.1)
“Condições Iniciais”
(Eq. 7.2)
Sujeito as seguintes condições iniciais:
u ( x,0)  u0 ( x)

ut ( x,0)  u1 ( x)
   x  
A solução desse conjunto de equações foi deduzida no Capítulo 2, dada pela
equação de D’Alembert escrita como:
u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct
u ( x, t ) 

 u1 (s)ds
2
2c x  ct
(Eq. 7.3)
Segue alguns exemplos da aplicação da Equação 7.3:
Exemplo 7.1:
Encontre a solução do seguinte problema:
utt  c 2u xx ,
x   ,,

u ( x,0)  sin( x)
u ( x,0)  0
 t
t 0
(Eq. 7.4)
Solução:
A solução da Equação 7.4 pode ser dada na forma de D’Alembert, escrita da
seguinte forma:
71

73. sin( x  ct )  sin( x  ct ) 1 x  ct
u ( x, t ) 

 0ds
2
2c x  ct
u ( x, t ) 
sin( x  ct )  sin( x  ct )
2
(Eq. 7.5)
(Eq. 7.6)
Utilizando identidades trigonométricas, a Equação 7.6 pode ser escrita da
seguinte forma:
u( x, t )  sin( x).cos(ct )
(Eq. 7.7)
O que mostra que a solução possui um formato senoidal no espaço, com
amplitude oscilando segundo cos(ct ) . A Figura 7.1 mostra a solução dada pela
Equação 7.7, considerando c  2 .
Figura 7.1: animação da solução da Equação 7.4, para um valor c  2 .
Exemplo 7.2:
Encontre a solução do seguinte problema:
u  c 2u ,
x   ,,
xx
 tt

u ( x,0)  0

2
ut ( x,0)  xe  x

t 0
(Eq. 7.8)
Solução:
A solução é dada pela fórmula de D’Alembert:
u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct
u ( x, t ) 

 u1 (s)ds
2
2c x  ct
1 x  ct  s 2
u ( x, t ) 
 se ds
2c x  ct
(Eq. 7.9)
(Eq. 7.10)
72

74. x  ct
1 1 2
u ( x, t )    e  s 
2c  2
 x  ct
u ( x, t ) 
(Eq. 7.11)
2
1    x  ct 2
 e   x  ct  
e


4c 
(Eq. 7.12)
A Figura 7.2 mostra o perfil da solução dada pela Equação 7.12 para alguns
valores de tempo. É possível observar que a solução é composta por uma onda
viajante para a esquerda e outra para a direita, onde no início do problema elas
estão com interferência destrutiva, o que explica a condição de contorno
u( x,0)  0 .
Figura 7.2: animação da solução da Equação 7.8, para um valor c  2 .
Exemplo 7.3:
Encontre a solução do seguinte problema:
u  c 2u ,
x   ,,
xx
 tt

u ( x,0)  sin( x)

2
ut ( x,0)  xe  x

t 0
(Eq. 7.13)
Solução:
Observe que as condições iniciais da Equação 7.13 é igual à soma das
condições iniciais das Equações 7.4 e 7.8. Devido ao fato da equação da onda
ser linear, a solução é dada pela soma das Soluções 7.7 e 7.12. Para
demonstrar tal fato o problema será resolvido sem utilizar essa hipótese.
A solução do Problema 7.13 é dada pela equação de D’Alembert:
73

75. u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct
u ( x, t ) 

 u1 (s)ds
2
2c x  ct
u ( x, t ) 
sin( x  ct )  sin( x  ct ) 1 x  ct  s 2

 se ds
2
2c x  ct
u ( x, t )  sin( x).cos(ct ) 
2
1    x  ct 2
 e   x  ct  
e


4c 
(Eq. 7.14)
(Eq. 7.15)
(Eq. 7.16)
Que de fato é a soma das Equações 7.7 e 7.12. A Figura 7.3 mostra o perfil da
solução dada pela Equação 7.16 plotada para alguns valores de tempo. É
possível ver que a solução possui a característica oscilatória da Equação 7.7, e
a característica de onda viajante da Equação 7.12.
Figura 7.3: animação da solução da Equação 7.13, para um valor c  2 .
Teorema 7.1:
Se u0 ( x), u1 ( x)  C “As funções possuem derivadas segundas contínuas”
então existe a solução clássica e única da propagação da equação da onda em
meios infinitos, dada pela Equação de D’Alembert. Além disso, pode-se provar
que a solução além de única é estável, o que mostra que o problema da
propagação da onda é bem posto.
2
7.2 – Curvas características da equação da onda
A Equação da onda possui solução dada pela equação de D’Alembert, que
pode ser reescrita da seguinte forma:
u ( x  ct ,0)  u ( x  ct ,0) 1 x  ct
u ( x, t ) 

 ut (s,0)ds
2
2c x  ct
(Eq. 7.17)
74

76. Essa forma mostra que a solução em um ponto ( x0 , t0 ) qualquer, depende
apenas da região compreendida entre ( x0  ct 0 , x0  ct 0 ) , esse intervalo é
chamado de domínio de dependência da solução em um ponto ( x0 , t0 ) . A
Figura 7.4 mostra o intervalo de dependência de um ponto ( x0 , t0 ) qualquer. É
possível observar que esse domínio pode ser encontrado traçando duas retas
com inclinações 1/ c e  1/ c .
Figura 7.4: Intervalo de dependência de um ponto ( x0 , t0 ) qualquer.
Da mesma forma que foi definido o intervalo de dependência, pode-se definir o
domínio de influência de um intervalo I qualquer, que é a região do espaço
onde a solução é influenciada pelas condições de contorno no intervalo I . A
Figura 7.5 mostra o domínio de influência do intervalo I , é possível perceber
que esse domínio é delimitado traçando-se duas retas com inclinações 1/ c e
 1/ c .
Figura 7.5: domínio de influência de um intervalo I qualquer.
75

77. 7.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características
Quando a equação da onda possui como condição inicial ut ( x)  0 , a solução
dada pela equação de D’Alembert pode ser escrita como:
u ( x, t ) 
u ( x  ct ,0)  u ( x  ct ,0)
2
(Eq. 7.18)
O que mostra que a solução em todos os pontos do domínio depende somente
dos valores iniciais da função no domínio. A Figura 7.6 mostra que a solução
em um ponto qualquer é dada por uma média dos valores iniciais nos extremos
do intervalo de dependência.
Figura 7.6: Solução da Equação da onda baseado nas curvas características.
Exemplo 7.4:
Resolver o seguinte problema de propagação de onda:
utt  4u xx

1,

u ( x,0)  
0,

ut ( x,0)  0

x  (0,1)
, ( x R , t  0)
x  (0,1)
(Eq. 7.19)
Solução:
Nesse caso o domínio de influência do intervalo inicial é calculado traçando-se
as seguintes retas:
1
t
r1  x0  t 
c
2
(Eq. 7.20)
76

78. 1
t
r2  x0  t  
c
2
(Eq. 7.21)
1
t
r3  x1  t  1 
c
2
(Eq. 7.22)
1
t
r4  x1  t  1 
c
2
(Eq. 7.23)
A Figura 7.7 mostra essas curvas plotadas no plano x  t . É possível perceber
que o domínio foi dividido em seis regiões distintas, onde a solução deve ser
construída separadamente para cada domínio.
Figura 7.7: Domínio de influência do perfil de solução inicial.
As soluções para cada domínio são dadas por:
1
u D1  (0  0)  0
2
(Eq. 7.24)
1
u D 2  (1  1)  1
2
(Eq. 7.25)
1
u D3  (0  0)  0
2
(Eq. 7.26)
1
1
u D 4  (0  1) 
2
2
(Eq. 7.27)
77

79. 1
u D5  (0  0)  0
2
(Eq. 7.28)
1
1
u D 6  (0  1) 
2
2
(Eq. 7.29)
A Figura 7.8 exemplifica graficamente o cálculo feito para os domínios D2 e
D4 .
Figura 7.8: Cálculo da solução da Equação 7.19 nos domínio D2 e D4 .
A Figura 7.9 mostra todas as soluções plotadas no plano x  t . É possível
perceber a presença do domínio de influência no perfil da solução no domínio.
Figura 7.9: Soluções da Equação 7.19 plotadas no plano x  t .
78

80. Com base na Figura 7.9 é possível criar uma animação no perfil da solução,
criando cortes com tempo constante, como mostrado na Figura 7.10.
Figura 7.10: Corte feito no plano x  t para um tempo constante, mostrando o
perfil da solução naquele tempo.
A Figura 7.11 mostra uma animação do perfil da solução criada a partir de
quatro cortes realizados no plano x  t . É possível observar que o perfil inicial
da solução se dissolve em duas ondas viajando com sentidos contrários.
Figura 7.11: Animação da solução da Equação 7.19, considerando quatro
tempos distintos.
A solução da Equação 7.19 também pode ser dada da forma analítica, da
seguinte forma:
79

81. Para t  1

0,

1 ,
2


u ( x, t )  1,

1
2 ,

0,


1
x t
2
1
1
 tx t
2
2
1
1
t  x 1 t
2
2
1
1
1 t  x 1 t
2
2
1
1 t  x
2
Para t  1

0,

1 ,
2


u ( x, t )  0,

1
2 ,

0,


1
x t
2
1
1
 t  x 1 t
2
2
1
1
1 t  x  t
2
2
1
1
t  x 1 t
2
2
1
1 t  x
2
(Eq. 7.30)
Exemplo 7.5:
Resolver o seguinte problema de propagação de onda:
utt  9u xx

x0
 0,

 1, 0  x  1




u ( x,0)   0, 1  x  4 , ( x  R , t  0 )

 1, 4  x  5


 0,
5 x



ut ( x,0)  0
(Eq. 7.31)
Solução:
1° Passo: Construção dos domínios de influências:
As retas que delimitam os domínios de influência são dadas por:
r  x0 
t
c
(Eq. 7.32)
Ou seja:
r1  
r2 
t
3
t
3
(Eq. 7.33)
(Eq. 7.34)
80

82. r3  1 
t
3
(Eq. 7.35)
r4  1 
t
3
(Eq. 7.36)
r5  4 
t
3
(Eq. 7.37)
r6  4 
t
3
(Eq. 7.38)
r7  5 
t
3
(Eq. 7.39)
r8  5 
t
3
(Eq. 7.40)
A Figura 7.12 mostra o domínio de influência da solução inicial da Equação
7.31 plotado no plano x  t . É possível perceber a formação de 15 domínios
separados.
Figura 7.12: Domínio de influência da solução inicial da Equação 7.31.
A Figura 7.13 mostra as soluções em cada domínio do problema, utilizando-se
a Equação 7.18.
81

83. Figura 7.13: Solução da Equação 7.31, plotada no plano x  t .
A Figura 7.14 mostra uma animação do perfil da solução para alguns valores
de tempo. É possível ver o aparecimento de duas ondas viajantes para cada
condição de contorno inicial, e a interferência causada entre elas.
Figura 7.14: Animação do perfil da solução da Equação 7.31.
82

84. 7.4 – Conservação de energia na equação da onda
Em vários problemas da física é assumido que a energia total do sistema é
conservada, no caso da propagação de ondas em meios infinitos, podemos
definir a função energia do sistema como:
e(t ) 


1 2
2 2
 ut ( x, t )  c u x ( x, t ) dx
2R
(Eq. 7.41)
O próximo passo é provar que a energia do sistema se conserva, ou seja:
e(t )  e(0)
(Eq. 7.42)
Para isso assumem-se as seguintes hipóteses:
 u1 ( x)dx  
2
(Eq. 7.43)
R
2
 d (u0 ( x)) 
  dx  dx  

R
(Eq. 7.44)
lim (ut u x )  0
(Eq. 7.45)
x 
Agora, derivando a equação da energia (Equação 7.41) no tempo:



d (e(t )) d  1 2
2
   ut ( x, t )  c 2u x ( x, t ) dx 
dt
dt  2 R

(Eq. 7.46)
Trocando a ordem da derivada com a integração, e aplicando a regra da
cadeia:


d (e(t ))
  utt ( x, t )ut ( x, t )  c 2u x ( x, t )u xt ( x, t ) dx
dt
R
(Eq. 7.47)
Utilizando a regra de integral por partes no segundo membro da Equação 7.47:
c
R
2
u x ( x, t )u xt ( x, t )dx  c 2 u x ut


 c 2  u xx ( x, t )ut ( x, t )dx
(Eq. 7.48)
R
83

85. Utilizando a consideração 7.45, pode-se escrever a Equação 7.48 como:
c
2
u x ( x, t )u xt ( x, t )dx  c 2  u xx ( x, t )ut ( x, t )dx
R
(Eq. 7.49)
R
Substituindo na Equação 7.47:



d (e(t ))
  utt ( x, t )  c 2u xx ( x, t ) ut ( x, t ) dx
dt
R
(Eq. 7.50)
Percebe-se que o termo dentro da integral é a equação da onda, assim:
d
e(t )  0
dt
(Eq. 7.51)
Ou seja, a energia da onda é uma constante. Substituindo as condições de
contorno do problema:
e(t )  e(0) 


1
2
2
2
 u1 ( x)  c u0 ' ( x) dx
2R
(Eq. 7.52)
84

86. 8 – Propagação de Ondas em Meios Semi-Infinitos
No Capítulo anterior foi estudada a solução de D’Alembert para a propagação
de ondas em meios infinitos, nesse capítulo será desenvolvida a equação de
D’Alembert modificada capaz de modelar a propagação de ondas em meios
semi-infinitos. Quando o meio é tratado como semi-infinito é necessário à
criação de uma condição de contorno capaz de modelar a interação da onda
com o ponto de descontinuidade do domínio, nesse capítulo serão estudadas
duas condições de contorno diferentes:
i.
Condição de Dirichlet:
A condição de Dirichlet é deduzida considerando-se que a corda por onde se
propaga a onda é fixa em um ponto, ou seja:
u(0, t )  f (t )
ii.
(Eq. 8.1)
Condição de Neumann:
A condição de Neumann é deduzida considerando-se que a corda possui a
extremidade livre para oscilar, ou possui uma oscilação criada por algum
mecanismo, ou seja:
u x (0, t )  g (t )
(Eq. 8.2)
8.1 – Meios semi-infinitos, condição de Dirichlet
O problema de propagação de uma onda em um meio semi-infinito, utilizandose a condição de Dirichlet pode ser definido como:
utt  c 2u xx

u ( x,0)  u0 ( x)
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  u1 ( x)

u (0, t )  f (t )

(Eq. 8.3)
De fato, primeiro será encontrada a solução para o caso onde a corda estará
fixa na origem do sistema, ou seja:
85

87. utt  c 2u xx

u ( x,0)  u0 ( x)
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  u1 ( x)

u (0, t )  0

(Eq. 8.4)
Para se resolver essa equação, será utilizada uma técnica chamada
superposição de efeitos, ou seja, a solução será composta por uma solução no
domínio real, porém apenas a parte positiva da solução será considerada. Para
se construir a solução, será assumido que as condições iniciais são dadas por
funções ímpares, ou seja:
x0
u0 ( x),
~
u0 ( x)  
x0
 u0 ( x),
(Eq. 8.5)
x0
u ( x),
~
u1 ( x)   1
x0
 u1 ( x),
(Eq. 8.6)
Dessa forma, a condição de contorno u (0, t )  0 será satisfeita para qualquer
valor de tempo. A Figura 8.1 mostra uma extensão ímpar de uma função
qualquer, observe que a função obrigatoriamente passa pela origem do
sistema.
Figura 8.1: Extensão ímpar de uma função qualquer.
Assim, a Equação 8.4 pode ser escrita como:
~
~
utt  c 2u xx
~
~
u ( x,0)  u0 ( x) , ( x  R , t  0 )
u ( x,0)  u ( x)
~
~
1
 t
(Eq. 8.7)
A Equação 8.7 possui solução dada pela Equação de D’Alembert, definida por:
x  ct
~
~
~( x, t )  u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )  1 u ( s)ds
~
u
 1
2
2c x  ct
(Eq. 8.8)
86

88. Utilizando as definições de funções ímpares, e observando que ( x  ct ) é
sempre positivo para o semieixo positivo, a solução pode ser rescrita como:
 u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct


 u1 ( s)ds, ( x  ct )  0
2
2c x  ct

u ( x, t )  
x  ct
  u0 (ct  x)  uo ( x  ct )  1 u ( s)ds, ( x  ct )  0
 1

2
2c ct  x

(Eq. 8.9)
A Equação 8.9 é chamada de equação de D’Alembert modificada, e
corresponde à solução da Equação 8.4, considerando-se que ( x, t )  0 .
Exemplo 8.1:
Resolver o seguinte problema de propagação de onda em meio semi-infinito:
utt  4u xx

2
u ( x,0)  e   x  5 
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  0
u (0, t )  0

(Eq. 8.10)
Solução:
A solução do problema 8.10 é dada pela Equação 8.9, substituindo os valores:
 u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )
, ( x  ct )  0


2
u ( x, t )  
  u0 (ct  x)  uo ( x  ct ) , ( x  ct )  0


2
(Eq. 8.11)
 e  ( x  2t  5) 2


u ( x, t )  
2
 e  ( x  2t  5)


(Eq. 8.12)
 e  ( x  2t  5)
,
2
2
e
2
 ( 2t  x  5) 2
,
x  2t
x  2t
A Figura 8.2 mostra o perfil da Solução 8.12 plotada para alguns valores de
tempo. É possível perceber que nos momentos iniciais o perfil inicial se divide
em dois pulsos, um viajando para a esquerda e outro para a direita. Quando o
pulso viajante para a esquerda encontra a origem, ele é refletido, ocorrendo
uma inversão de fase, característica de condições do tipo Dirichlet.
87

89. Figura 8.2: Solução da Equação 8.10, plotada para alguns valores de tempo.
Após a criação da solução da Equação 8.4, será criada a solução da seguinte
equação:
utt  c 2u xx

u ( x,0)  0
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  0
u (0, t )  f (t )

(Eq. 8.13)
A solução do Problema 8.13 é dada por uma onda viajante para a direita e uma
para esquerda, assim:
u( x, t )  F ( x  ct )  G( x  ct )
(Eq. 8.14)
Como a única fonte de propagação de onda está no limite esquerdo do
problema, só é possível a criação de ondas viajantes para a direita, assim:
u( x, t )  F ( x  ct )
(Eq. 8.15)
Aplicando a condição de contorno:
f (t )  F (ct )
(Eq. 8.16)
Considerando a seguinte substituição:
 ct  x  ct
(Eq. 8.17)
A Equação 8.16 pode ser escrita como:
x

F ( x  ct )  f  t  
 c
(Eq. 8.18)
Porém a substituição feita só vale para valores positivos do tempo, assim, a
solução da Equação 8.13 é dada por:
88

90. x
 
 f t  c  t 


u ( x, t )   

0
t


x
c
x
c
(Eq. 8.19)
Agora, com as soluções dos Problemas 8.4 e 8.13, e devido ao fato da
equação da onda ser linear, a solução da Equação geral 8.3 é dada pela soma
das soluções encontradas, assim a solução é dada por:
 u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct


 u1 (s)ds, ( x  ct )  0
2
2c x  ct

u ( x, t )  
x  ct
  u0 (ct  x)  uo ( x  ct )  1 u ( s)ds  f  t  x , ( x  ct )  0


 1

2
2c ct  x
 c

(Eq. 8.20)
8.2 – Meios semi-infinitos, condição de Neumann
O problema de propagação de uma onda em um meio semi-infinito, utilizandose a condição de Neumann pode ser definido como:
utt  c 2u xx

u ( x,0)  u0 ( x)
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  u1 ( x)

u (0, t )  g (t )
 x
(Eq. 8.21)
Primeiro será encontrada a solução quando g (t )  0 , assim o problema passa
a ser definido como:
utt  c 2u xx

u ( x,0)  u0 ( x)
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  u1 ( x)

u (0, t )  0
 x
(Eq. 8.22)
Para se resolver essa equação, será utilizada novamente à técnica da
superposição de efeitos, só que agora as condições iniciais são dadas por
funções pares, ou seja:
89

91. u0 ( x), x  0
~
u0 ( x)  
x0
u0 ( x),
(Eq. 8.23)
u ( x), x  0
~
u1 ( x)   1
x0
u1 ( x),
(Eq. 8.24)
Uma propriedade importante das funções pares é que suas derivadas são
funções ímpares, ou seja:
~
u x (0, t )  0
(Eq. 8.25)
Dessa forma, a condição de contorno u x (0, t )  0 será satisfeita para qualquer
valor de tempo. A Figura 8.3 mostra uma extensão par de uma função
qualquer, observe que a função possui derivada zero na origem do sistema.
Figura 8.3: Extensão par de uma função qualquer.
Assim a Equação 8.22 pode ser reescrita como:
~
~
utt  c 2u xx
~
~
u ( x,0)  u0 ( x) , ( x  0 , t  0 )
u ( x,0)  u ( x)
~
~
1
 t
(Eq. 8.26)
A solução da Equação 8.26 é dada pela fórmula de D’Alembert, definida como:
x  ct
~
~
~( x, t )  u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )  1 u ( s)ds
~
u
 1
2
2c x  ct
(Eq. 8.27)
Utilizando as definições de funções pares, e observando que ( x  ct ) é
sempre positivo para o semieixo positivo, a solução pode ser rescrita como:
90

92.  u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct


 u1 (s)ds, ( x  ct )  0
2
2c x  ct

u ( x, t )  
x  ct
ct  x
 u0 (ct  x)  uo ( x  ct )  1  u ( s)ds  u ( s)ds , ( x  ct )  0
  1

 1

2
2c  0
0


(Eq. 8.28)
De fato a Equação 8.28 é a solução da Equação 8.22. O próximo passa é
encontrar a solução do seguinte problema:
utt  c 2u xx

u ( x,0)  0
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  0

u (0, t )  g (t )
 x
(Eq. 8.29)
A solução do Problema 8.29 é dada por uma onda viajante para a direita e uma
para esquerda, assim:
u( x, t )  F ( x  ct )  G( x  ct )
(Eq. 8.30)
Como a única fonte de propagação de onda está no limite esquerdo do
problema, só é possível a criação de ondas viajantes para a direita, assim:
u( x, t )  F ( x  ct )
(Eq. 8.31)
Aplicando a condição de contorno:
u x (0, t )  F ' x (ct )  g (t )
(Eq. 8.32)
Definindo a seguinte substituição:
 ct  x  ct
(Eq. 8.33)
A Equação 8.32 pode ser escrita como:
x

F ' x ( x  ct )  g  t  
 c
(Eq. 8.34)
Ou seja:
F ( x  ct ) 
 
g  t  d
c
x 
x

(Eq. 8.35)
Aplicando uma substituição de variáveis:
91

93. F ( x  ct )  c
 x
t  
 c
 g  d
(Eq. 8.36)
 x
t  
 c
Como a condição de contorno só tem validade para a parte positiva do
domínio:
 t  x 


  c
x
 c  g ( )d , t 
u ( x, t )  
c
0

x
0,
t

c

(Eq. 8.37)
Agora, com as soluções dos Problemas 8.22 e 8.29, e devido ao fato da
equação da onda ser linear, a solução da Equação geral 8.21 é dada pela
soma das soluções encontradas, assim a solução é dada por:
( x  ct )  0
u0 ( x  ct )  uo ( x  ct ) 1 x  ct
u ( x, t ) 

 u1 (s)ds,
2
2c x  ct
( x  ct )  0
(Eq. 8.38)
( x  ct )  0
u ( x, t ) 
 x  ct
u0 (ct  x)  uo ( x  ct ) 1
 
2
2c 

ct  x

 x
t  
 c
0

0
 u1 ( s)ds   u1 ( s)ds   c  g ( )d

0
Exemplo 8.2:
Resolver o seguinte problema de propagação de onda em meio semi-infinito
com condição de Neumann:
92

94. utt  4u xx

2
u ( x,0)  e   x  5 
, ( x  0, t  0)

ut ( x,0)  0
u (0, t )  0
 x
(Eq. 8.39)
Solução:
A solução do problema 8.39 é dada pela Equação 8.38, substituindo os valores:
 u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )
,


2
u ( x, t )  
 u0 (ct  x)  uo ( x  ct ) ,


2
 e  ( x  2t  5) 2


u ( x, t )  
2
 e  ( x  2t  5)


( x  ct )  0
(Eq. 8.40)
( x  ct )  0
 e  ( x  2t  5)
,
2
2
e
2
 ( 2t  x  5) 2
,
x  2t
(Eq. 8.41)
x  2t
A Figura 8.4 mostra o perfil da Solução 8.41 plotada para alguns valores de
tempo. É possível perceber que a solução é a mesma da Figura 8.2, porém a
reflexão não é acompanhada por uma inversão de fase da onda, caraterística
da condição de contorno do tipo de Neumann.
Figura 8.4: Solução da Equação 8.41, plotada para alguns valores de tempo.
93

95. 8.3 – Solução da equação da onda baseado nas curvas características
para um meio semi-infinito
Quando a equação da onda possui como condição inicial ut ( x)  0 , e
condições de contorno nulas, a solução dada pela equação de D’Alembert
modificada pode ser escrita como:
Condição de Dirichlet:
 u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )
, ( x  ct )  0


2
u ( x, t )  
  u0 (ct  x)  uo ( x  ct ) , ( x  ct )  0


2
(Eq. 8.42)
Condição de Neumann:
 u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )
,


2
u ( x, t )  
 u0 (ct  x)  uo ( x  ct ) ,


2
( x  ct )  0
(Eq. 8.43)
( x  ct )  0
Plotando no plano x  t (Figura 8.5) é possível ver a aparição de duas zonas
distintas.
Figura 8.5: Domínio do problema de propagação de ondas em meios semiinfinitos.
Como mostrado na Figura 8.6, a solução na Região 1 não está no domínio de
influência da condição de contorno, assim a solução é dada pela equação de
D’Alembert normal, definida por:
u ( x, t ) 
u0 ( x  ct )  uo ( x  ct )
2
(Eq. 8.44)
94

96. Figura 8.6: Intervalo de dependência da solução na Região 1.
A Figura 8.7 mostra que a solução na Região 2 sofre influência da condição de
contorno, assim a solução é dada pela fórmula de D’Alembert modificada,
definida por:
Condição de Dirichlet
u ( x, t ) 
u0 ( x  ct )  uo (ct  x)
2
(Eq. 8.45)
Condição de Neumann
u ( x, t ) 
u0 ( x  ct )  uo (ct  x)
2
(Eq. 8.46)
Outra forma de se resolver o problema é definir as extensões ímpares ou pares
da condição inicial do problema, e resolver o problema utilizando-se a equação
de D’Alembert, como será mostrado no próximo exemplo.
Exemplo 8.3:
Resolver o seguinte problema de propagação de onda em meio semi-infinito:
utt  4u xx

u ( x,0)  1, x  (1,2)



0, x  (1,2) , ( x  0 , t  0 )
u ( x,0)  0
 t
u (0, t )  0

(Eq. 8.47)
Solução:
Como a condição de contorno do problema é do tipo Dirichlet, será utilizada
uma extensão ímpar do perfil inicial do problema, definido por:
95

97. x  2
 0,
 1,  2  x  1


~
u ( x,0)   0,
1 x 1
 1,
1 x  2

 0,
2 x

(Eq. 8.48)
Dessa forma, a Equação 8.39 pode ser escrita como:
~
~
utt  4u xx
~
~
u ( x,0)  uo ( x)
u ( x,0)  0
~
 t
(Eq. 8.49)
De fato a solução da Equação 8.41 é dada pela Equação de D’Alembert,
definida como:
~
~
u ( x  ct )  uo ( x  ct )
~
u ( x, t )  0
2
(Eq. 8.50)
O domínio de influência da condição inicial é encontrado traçando-se as
seguintes retas:
1
t
r1  x0  t  2 
c
2
(Eq. 8.51)
1
t
r2  x0  t  2 
c
2
(Eq. 8.52)
1
t
r3  x0  t  1 
c
2
(Eq. 8.53)
1
t
r4  x0  t  1 
c
2
(Eq. 8.54)
1
t
r5  x0  t  1 
c
2
(Eq. 8.55)
1
t
r6  x0  t  1 
c
2
(Eq. 8.56)
1
t
r7  x0  t  2 
c
2
(Eq. 8.57)
96

98. 1
t
r8  x0  t  2 
c
2
(Eq. 8.58)
A Figura 8.7 mostra o domínio de influência da solução inicial da Equação 8.47
plotado no plano x  t . É possível perceber a formação de 15 regiões
separadas no domínio.
Figura 8.7: Domínio de influência da solução inicial da Equação 8.47.
A Figura 8.8 mostra a solução do problema em cada região do domínio, dada
pela Equação 8.50.
Figura 8.8: Solução da Equação 8.49, plotada no plano x  t .
Porém o domínio é definido apenas para valores reais do eixo da abscissa,
assim a solução considerada será somente a parte positiva da solução,
mostrada na Figura 8.9.
97

99. Figura 8.9: Solução da Equação 8.47.
A Figura 8.10 mostra uma animação do perfil da solução para alguns valores
de tempo. É possível ver a reflexão na origem, seguido de uma mudança de
fase da onda.
Figura 8.10: Animação do perfil da solução da Equação 8.47.
98

100. 9 – Propagação de Ondas em Meios Finitos
Nos capítulos anteriores foram deduzidas soluções da equação da onda em
meios infinitos, e em meios semi-infinitos. Nesse capítulo será deduzida a
solução da propagação de ondas em meios finitos, dada pela transformada de
Fourier, um método com aplicações em diversos problemas práticos, esses
problemas serão discutidos com mais detalhes no Capítulo 10.
9.1 – Meio finito com limites fixos:
Um caso particular de propagação de ondas em meios finitos é quando o meio
possui os limites fixados em uma certa posição, o problema pode ser descrito
como:
utt  c 2u xx

u ( x,0)  u 0 ( x)

ut ( x,0)  u1 ( x) ,
u (0, t )  0

u ( L, t )  0

 x  (0, L)

t  0
(Eq. 9.1)
A Figura 9.1 mostra um diagrama esquemático do problema. É possível
perceber uma onda trafegando em uma corda finita, onde as pontas dessa
corda estão presas na origem.
Figura 9.1: Propagação de uma onda em um meio semi-infinito.
Para se resolver a Equação 9.1 serão encontradas soluções não triviais da
seguinte forma:
u( x, t )  T (t ).X ( x)
(Eq. 9.2)
Substituindo a Equação 9.2 em 9.1:
X ( x).T ' ' (t )  c 2T (t ) X ' ' ( x)
(Eq. 9.3)
99

101. Que pode ser escrita da seguinte forma:
T ' ' (t )
c 2T (t )

X ' ' ( x)
X ( x)
(Eq. 9.4)
Como as funções T (t ) e X (x) são independentes é possível criar uma
constante
T ' ' (t )
2
c T (t )

 , tal que:
X ' ' ( x)
 
X ( x)
(Eq. 9.5)
Dessa forma:
T ' ' (t )  c 2T (t )  0

 X ' ' ( x )  X ( x )  0
(Eq. 9.6)
Utilizando as condições de contorno:
u (0, t )  0
 X (0)T (t )  0
 

u ( L, t )  0
 X ( L)T (t )  0
(Eq. 9.7)
Como queremos soluções não triviais:
 X (0)  0

 X ( L)  0
(Eq. 9.8)
Dessa forma, é possível construir o seguinte problema:
 X ' ' ( x )  X ( x )  0

 X (0)  X ( L)  0
(Eq. 9.9)
Encontrar os autovalores  para os quais o Problema 9.9 possui soluções não
triviais é denominado problema de Sturm-Liouiville, para se resolver o problema
é necessário analisar três casos distintos:
i.
 0
Nesse caso a solução geral da Equação 9.9 é dada por:
X ( x)  C1e  (
 )x
 C2 e  (
 )x
(Eq. 9.10)
Utilizando as condições de contorno:
X (0)  0  C1  C2  0
(Eq. 9.11)
100

102.  )L
X ( L)  0  C1e  (
 C2 e  (
 )L
0
(Eq. 9.12)
Analisando o determinante da matriz dos coeficientes, formada pelas Equações
9.11 e 9.12:
1
e
L
1
e
L
0
(Eq. 9.13)
O que indica que a única solução do sistema é a solução trivial, ou seja:
C1  C2  0
(Eq. 9.14)
Como procuramos soluções não triviais para o problema 9.9, não é possível
encontrar autovalores negativos, que satisfaça essa condição.
ii.
 0
Nesse caso a solução geral da Equação 9.9 é dada por:
X ( x)  C1 x  C2
(Eq. 9.15)
Substituindo os valores iniciais:
X (0)  0  C2  0
(Eq. 9.16)
X ( L)  0  C1  0
(Eq. 9.17)
Como procuramos soluções não triviais, não é possível a escolha de um
autovalor nulo.
iii.
 0
Nesse caso a solução geral da Equação 9.9 é dada por:



X ( x)  C1sen  x  C2cos  x

(Eq. 9.18)
Utilizando as condições de contorno:
X (0)  0  C2  0

(Eq. 9.19)

X ( L)  0  C1sen  L  0
(Eq. 9.20)
101

103. Dessa forma, é possível de encontrar uma constante C1 não nula, se o
autovalor
 for escrito da seguinte forma:
 n 
    , n  1,2,3,...
 L 
2
(Eq. 9.21)
Dessa forma, a função X (x) pode ser escrita como:
 nx 
X ( x)  C1sen 
 , n  1,2,3,....
 L 
(Eq. 9.22)
Como C1 é uma constante qualquer positiva, escolheremos C1  1 , assim:
 nx 
X ( x)  sen 
 , n  1,2,3,....
 L 
(Eq. 9.23)
A Equação 9.23 é a solução do Problema de Sturm-Liouiville 9.9, e é conhecida
como autofunções do problema.
Agora, com os valores calculados de  , é possível encontrar uma solução da
Equação 9.6. Para isso é necessário encontrar a solução da seguinte equação:
T ' ' (t )  c 2T (t )  0

2

 n 

 (n)  
 L 

(Eq. 9.24)
A solução geral da Equação 9.24 é dada por:



Tn (t )  An sen (  )ct  Bn cos (  )ct

 nct 
 nct 
Tn (t )  An sen 
  Bn cos

 L 
 L 
(Eq. 9.25)
(Eq. 9.26)
Dessa forma a Equação 9.2 pode ser escrita como:

 nct 
 nct   nx 
u ( x, t ) n   An sen 
  Bn cos
 sen 
 , n  1,2,3,.... (Eq. 9.27)
 L 
 L   L 

Para cada valor diferente de n , é possível ter uma solução diferente da
Equação 9.1, assim, como a equação é linear, a solução completa da Equação
9.1 é dada pela soma de todas as soluções:
102

104. u ( x, t ) 


 nct 
 nct   nx 
  Bn cos
 sen 

 L 
 L   L 
  An sen
n 1
(Eq. 9.28)
Os coeficientes An e Bn são determinados a partir das condições iniciais do
problema:
u ( x,0)  u0 ( x)

ut ( x,0)  u1 ( x)
(Eq. 9.29)

 nx 
   Bn sen  L   u0 ( x)


n 1

  A nc sen  nx   u ( x)

 1

n 1 n L
 L 


(Eq. 9.30)
Foi demonstrado no Apêndice 3 a ortogonalidade das funções tipo seno e
cosseno, assim, multiplicando os dois lados da equação pela função seno:
  mx   
 nx 
 mx 
sen  L    Bn sen  L   u0 ( x) sen  L 
n 1




 


sen  mx   A nc sen  nx   u ( x) sen  mx 

 1



  L n 1 n L
 
 L 
 L 
 
(Eq. 9.31)
Como o sistema é completo e contínuo no intervalo x [0, L] , a multiplicação
pode ser incluída no operador somatório, dessa forma:

 nx   mx 
 mx 
  Bn sen L sen L   u0 ( x) sen L 


 



n 1

  A nc sen  nx  sen  mx   u ( x) sen  mx 

 
 1



n 1 n L
 L   L 
 L 
 
(Eq. 9.32)
Integrando no intervalo x [0, L] , e incluindo o operador integral no operador
somatório:
L
  L
 nx   mx  
 mx 
 sen 
dx    u0 ( x) sen 
dx
    Bn sen 
 L   L   0
 L 
n 1 0


L
L
nc

 nx   mx  
 mx 
   An L sen L sen L dx   u1 ( x) sen L dx


 
  0


n 1 0
(Eq. 9.33)
103

105. O resultado da integral da Equação 9.33 vale L / 2 se m  n , assim:
   L L
 nx 
dx
   Bn    u0 ( x) sen 
 L 
n 1 2  0

L
  A nc L   u ( x) sen  nx dx


 n L 2   1
 0
 L 
n 1

(Eq. 9.34)
Logo, os coeficientes An e Bn valem:

2L
 nx 
dx
 Bn   u0 ( x) sen 
L0
 L 


L
 A  2 u ( x) sen  nx dx


 n nc  1
 L 
0

(Eq. 9.35)
Conclusão:
A solução do Problema 9.1 é dada por:
 

 nct 
 nct   nx 
u ( x, t )    An sen 
  Bn cos
 sen 


L 
L   L 



n 1


2 L

 nx 
 An 
 u1 ( x) sen  L dx
nc 0




2L
 Bn   u0 ( x) sen  nx dx


L0

 L 

(Eq. 9.36)
Para a Equação 9.36 realmente representar a solução do Problema 9.36, a
série tem que ser convergente e duas vezes diferenciável no domínio
estudado. Por sorte, a maioria das funções “comuns” possuem essas
características.
Exemplo 9.1:
Resolver o seguinte problema de propagação de ondas em meios finitos:
utt  4u xx
u ( x,0)  x(  x)


,
ut ( x,0)  0
u (0, t )  0

u ( L, t )  0

 x  (0,  )

t  0
(Eq. 9.37)
104

106. Solução:
A solução do Exemplo 9.1 é dada pela Equação 9.36, calculando os
coeficientes An e Bn :
2 L
 nx 
An 
0sen 
dx  0

nc 0
 L 
Bn 
2L
 nx 
 x(  x)sen L dx
L0


(Eq. 9.38)
(Eq. 9.39)
Utilizando integral por partes:
L
L
2 
L


 nx  L 
 nx  
Bn   x(  x)cos

(  2 x)cos
 
dx  (Eq. 9.40)
L 
 L  n  0 0 n
 L  


L

2 
 L(  L)cosn    (  2 x)cos nx dx
Bn 



n 
 L  
0
(Eq. 9.41)
Integrando novamente:
 L(  L)cos n  



2 

L
L
Bn 
 

 nx  L 
 nx  L  (Eq. 9.42)
dx 
n (  2 x) sen 
    (2) sen 

 L  n  0 0
 L  n 
 



Bn 
L

2 
 L(  L)cosn   2  sen nx  L dx



n 
 L  n 
0
(Eq. 9.43)
2
Bn 
n
L
2



 L 
 nx  
 cos
 
 L(  L)cos n   2
 n 
 L 0



(Eq. 9.44)
2
Bn 
n
2



 L 
 L(  L)cosn   2  cosn   1


 n 




(Eq. 9.45)
Substituindo os limites do problema:
2
Bn 
n
  1 2



 2  cos n   1
 n



(Eq. 9.46)
105

107. Bn 
4
n 3
1  cosn 
(Eq. 9.47)
Rescrevendo a função cosseno:
Bn 
4
n
1  (1) 
n
3
(Eq. 9.48)
Dessa forma, a solução do problema é escrita como:
u ( x, t ) 
u ( x, t ) 


 nct 
 nct   nx 
  Bn cos
 sen 

 L 
 L   L 
  An sen
n 1



 4


1  (1) n cos 2nt  sen nx 
3


n 1 n
 
(Eq. 9.49)
(Eq. 9.50)
A Figura 9.2 mostra a solução do Exemplo 9.1 plotado para diferentes valores
de tempo, e utilizando nove termos da série de Fourier. É possível ver a
vibração da corda com o avanço do tempo.
Figura 9.2: Solução do Exemplo 9.1, dada pela Equação 9.50.
Exemplo 9.2:
Resolver o seguinte problema de propagação de ondas em meios finitos:
utt  9u xx

x

 , x  [0,2]
u ( x,0)   2

 x  3, x  (2,3] ,


ut ( x,0)  0

u (0, t )  u (3, t )  0
 x  (0,3)

t  0
(Eq. 9.51)
106

108. Solução:
A solução do Exemplo 9.2 é dada pela Equação 9.36, calculando os
coeficientes An e Bn :
2 L
 nx 
An 
0sen 
dx  0

nc 0
 L 
(Eq. 9.52)
3

2 2 x
 nx 
 nx 
Bn    sen 
dx   (3  x) sen 
dx  
L 0 2
 L 
 L 
2

(Eq. 9.53)
Calculando as integrais da Equação 9.53, via integral por partes:
2
2
x
1
 x
 nx 
 nx  L 
 nx  L
 2 sen L dx   2 cos L  n    2 cos L  n dx



 0 0



0
2
2
x
3


 nx 
 2n   1
 nx  3  
 2 sen L dx   n cos 3    2 sen 3  n  



 


 
0


2
(Eq. 9.54)
2
(Eq. 9.55)
0
x
1 3 
 nx 
 2n  3
 2n 
sen 
cos
dx  
 sen 


2  L 
2  n 
 3  n
 3 
0
2
2
(Eq. 9.56)
3
3

 nx 
 nx  L 
 nx  L
(3  x) sen 
dx   (3  x)cos
  cos
dx

 


 L 
 L  n  2 2  L  n

2
3
(Eq. 9.57)
3
2


 nx 
 2n  3   nx  L  
 (3  x)sen L dx  cos 3  n  sen L  n  





 
 
2

2
(Eq. 9.58)
 nx 
 2n  3
 2n  3 
 (3  x)sen L dx  cos 3  n  sen 3  n 







2
(Eq. 9.59)
3
3
2
Substituindo as Equações 9.56 e 9.59 na Equação 9.53:
 2n  3 
Bn  sen 


 3  n 
2
(Eq. 9.60)
107

109. Montando a solução do problema:
u ( x, t ) 


 nct 
 nct   nx 
  Bn cos
 sen 

 L 
 L   L 
  An sen
n 1
 3  2  2n 
  nx 


u ( x, t )   
 sen 
cos nt  sen 

 3 
n 1 n 
  3 



(Eq. 9.61)

(Eq. 9.62)
A Figura 9.3 mostra a condição inicial do problema, plotada utilizando a
Equação 9.62 com t  0 , para diferentes valores de n . É possível observar
que quanto mais termos da série de Fourier forem utilizados, mais a solução se
aproxima do perfil inicial da solução.
Figura 9.3: Variação do perfil inicial da solução, com o aumento da precisão do
método de Fourier.
A Figura 9.4 mostra a solução do Exemplo 9.2 plotado para diferentes valores
de tempo, e utilizando vinte termos da série de Fourier. É possível ver que a
vibração da corda possui um período igual a duas unidades de tempo do
problema.
Figura 9.4: Solução do Exemplo 9.2, dada pela Equação 9.62.
108

110. 9.2 – Meio finito com termo fonte “Função de Green”:
A solução da equação da onda para um meio finito com limites fixos foi
desenvolvida no Tópico 9.1, nesse tópico será desenvolvida a solução do
mesmo caso, porém, a propagação de ondas é devido ao acréscimo de um
termo fonte na equação, definido por:
utt  c 2u xx  f ( x, t )

u ( x,0)  0

,
ut ( x,0)  0
u (0, t )  0

u ( L, t )  0

 x  (0, L)

t  0
(Eq. 9.63)
De forma análoga ao discutido no Tópico 9.1, vamos considerar que a solução
da Equação 9.63 pode ser dada da seguinte forma:
un ( x, t )  Tn (t ).X n ( x)
(Eq. 9.64)
E que o termo fonte pode ser escrito da seguinte forma:
f n ( x, t )  Fn (t ).X n ( x)
(Eq. 9.65)
Substituindo na Equação 9.63:
X n ( x)T ' 'n (t )  c 2Tn (t ) X ' 'n ( x)  Fn (t ) X n ( x)
(Eq. 9.66)
X n ( x)T ' 'n (t )  Fn (t )  c 2Tn (t ) X ' 'n ( x)
(Eq. 9.67)
T ' 'n (t )  Fn (t )  X ' 'n ( x)  
(Eq. 9.68)
c 2Tn (t )
X n ( x)
A Equação 9.68 pode ser escrita como:
Tn ' ' (t )  c 2Tn (t )  Fn (t )


 X n ' ' ( x )  X n ( x )  0

(Eq. 9.69)
Utilizando as condições de contorno:
 X n (0)Tn (t )  0
u (0, t )  0
 

u ( L, t )  0
 X n ( L)Tn (t )  0
(Eq. 9.70)
Como queremos soluções não triviais:
109

111.  X n (0)  0

 X n ( L)  0
(Eq. 9.71)
Dessa forma, é possível construir o seguinte problema de Sturm-Liouiville:
 X n ' ' ( x )  X n ( x )  0

 X n (0)  X n ( L)  0
(Eq. 9.72)
A solução do problema 9.72 foi discutida no Tópico 9.1 e é dada por:
 nx 
X n ( x)  sen 
 , n  1,2,3,....
 L 
(Eq. 9.73)
Então as Equações 9.64 e 9.65 podem ser escritas como:
 nx 
u n ( x, t )  Tn (t ).sen 

 L 
(Eq. 9.74)
 nx 
f n ( x, t )  Fn (t ).sen 

 L 
(Eq. 9.75)
Como a Equação 9.63 é linear, a solução é dada como combinação linear de
outras soluções, assim:
u ( x, t ) 

n 1
f ( x, t ) 
 nx 

 L 
Tn (t ).sen

(Eq. 9.76)
 nx 

 L 
 Fn (t ).sen
n 1
(Eq. 9.77)
Substituindo as Equações 9.76 e 9.77 na Equação 9.63:
utt  c 2u xx  f ( x, t )
(Eq. 9.78)

 nx  2 
 nx  n 
 nx 
Tn ' ' (t ).sen L   c   Tn (t ).sen L  L    Fn (t ).sen L 







n 1
n 1
n 1

2
(Eq. 9.79)
110

112. 

 nx 
 nx  nc 
 nx 
Tn ' ' (t ).sen 
    Tn (t ).sen

   Fn (t ).sen 


 L 
 L  L 
 L 
n 1
n 1
n 1

2
(Eq. 9.80)
Que pode ser escrito como:
2

  nx 
 nc 
 Fn (t ) sen 
Tn ' ' (t )  Tn (t )

0

 L 
 L 
n 1




(Eq. 9.81)
Utilizando o princípio de ortogonalidade, discutido no Apêndice 3:
2

  nx   mx 
 nc 
 mx 
 Tn ' ' (t )  Tn (t ) L   Fn (t ) sen L sen L   0.sen L 


 



n 1
 



(Eq. 9.82)
L 
2
  nx   mx 
 

 nc 
Tn ' ' (t )  Tn (t )
 Fn (t ) sen 

 sen 
dx  0 (Eq. 9.83)
 
 L 
  L   L 
0 n 1

 

Por isso:
2


 nc 
Tn ' ' (t )  Tn (t )
 Fn (t )  0


 L 
n 1




(Eq. 9.84)
Observa-se que a Equação 9.84 é uma equação diferencial ordinária, muito
mais simples de resolver que a equação diferencial parcial original. As
condições de contorno dessa equação são dadas pelas condições de contorno
da equação original, ou seja:
u ( x,0) 

 nx 
0
 L 
Tn (0).sen
n 1
(Eq. 9.85)
Logo:
Tn (0)  0
ut ( x,0) 
(Eq. 9.86)

 nx 
0
L 

T 'n (0).sen
n 1
(Eq. 9.87)
111

113. T 'n (0)  0
(Eq. 9.88)
Assim pode ser formulada a seguinte equação diferencial ordinária:
2

 nc 
Tn ' ' (t )  Tn (t )
  Fn (t )
 L 


Tn (0)  0
T ' (0)  0
 n


(Eq. 9.89)
Para se resolver a Equação 9.89, é possível supor que a função:
Tn  C1Tn1 (t )  C2Tn 2 (t )
(Eq. 9.90)
é solução da equação homogênea associada:
 nc 
Tn ' ' (t )  
 Tn (t )  0
 L 
2
(Eq. 9.91)
Resolvendo essa equação, encontra-se que:
  nc  
  nc  
Tn  a1sen  
t   a2 cos 
t 
 L  
 L  
(Eq. 9.92)
É possível supor que:
  nc  
  nc  
Tn  1 (t ) sen  
t   2 (t )cos 
t 
 L  
 L  
(Eq. 9.93)
É solução do problema 9.89. Dessa forma:
T 'n   '1 (t )sent   1 (t )cost    '2 (t )cost   2 (t )sent 
(Eq. 9.94)
Onde:
 nc 

 L 
 
(Eq. 9.95)
Como condição suplementar, é possível supor que:
 '1 (t )sent    ' 2 (t )cost   0
(Eq. 9.96)
112

114. Assim:
T 'n  1 (t )cost   2 (t )sent 
(Eq. 9.97)
Derivando novamente:
T ' 'n   '1 (t )cost   1 (t ) 2 sent    '2 (t )sent   2 (t ) 2cost 
(Eq. 9.98)
Substituindo as Equações 9.98 e 9.93 na Equação 9.89:
 '1 (t )cost   1 (t ) 2 sent    '2 (t )sent   2 (t ) 2 cost  
  2 1 (t ) sen t   2 (t )cost   Fn (t )
(Eq. 9.99)
Rearranjando a equação:
 '1 (t )cost    '2 (t )sent   Fn (t )
(Eq. 9.100)
As Equações 9.96 e 9.100 formam o seguinte sistema:
 '1 (t ) sen t    '2 (t )cost   0

 '1 (t )cos t    '2 (t )sent   Fn (t )
(Eq. 9.101)
Resolvendo as funções:
 '1 
1

Fn (t )cos (t )
(Eq. 9.102)
1
 '2   Fn (t ) sen (t )

1 
1

2  
1
(Eq. 9.103)
Fn (t )cos (t )

(Eq. 9.104)
Fn (t ) sen (t )
(Eq. 9.105)
Substituindo na Equação 9.93:
Tn 
1
1
F (t )cos (t )dt.sen t    Fn (t ) sen(t )dt.cost 
 n

(Eq. 9.106)
Colocando as funções na integral:
113

115. Tn 
1
t
 Fn (t )cos(t )sen ( )dt 
0
1
t

0
Fn (t ) sen (t )cos ( )dt
(Eq. 9.107)
Utilizando a seguinte relação trigonométrica:
sen (a)cos (b) 
1
sen (a  b)  sen (a  b)
2
(Eq. 9.108)
É possível escrever a Equação 9.107 como:
1 t
Tn 
 Fn (t )sen (t   )  sen (  t )dt
2 0
1 t

 Fn (t )sen (t   )  sen (t   )dt
2 0
(Eq. 9.109)
Simplificando:
1 t
1 t
Tn 
 Fn (t )sen (  t )dt  2  Fn (t )sen (t   )dt
2 0
0
(Eq. 9.110)
1 t
1 t
Fn (t ) sen (  t )dt 

 Fn (t )sen (  t )dt
2 0
2 0
(Eq. 9.111)
Tn 
Tn 
1
t

0
Fn (t ) sen ( (  t ))dt
Substituindo o valor de
Tn 
(Eq. 9.112)
 , e trocando os índices t por  :
L t
 nc

 Fn ( )sen  L (t   ) d
nc 0


(Eq. 9.113)
Aplicando a Equação 9.113 na Equação 9.76 é possível escrever a solução do
problema, na seguinte forma:
L t
 nc

 nx 
u ( x, t )  
Fn ( ) sen 
(t   ) d sen 


 L

 L 
n 1nc 0

(Eq. 9.114)
Relembrando a definição utilizada para a função fonte, dada pela Equação
9.77:
114

116. f ( x, t ) 

 nx 

 L 
 Fn (t ).sen
n 1
(Eq. 9.115)
Utilizando o princípio de ortogonalidade:
Fn (t ) 
2L
 nx 
 f ( x, t )sen L dx
L0


(Eq. 9.116)
Substituindo a Equação 9.116 em 9.114:
L t 2L
 nx 
 nc

 nx 
u ( x, t )  
 L  f ( x, )sen L dx.sen  L (t   ) d sen L 






n 1nc 0 0

(Eq. 9.117)
2 tL
 nx   nc

 nx 
u ( x, t )  
  f ( x, )sen L sen  L (t   ) dx.sen L d

 



n 1nc 0 0

(Eq. 9.118)
Substituindo a variável espacial:
2 tL
 n   nc

 nx 
u ( x, t )  
  f ( , )sen L sen  L (t   ) d .sen L d

 



n 1nc 0 0

(Eq. 9.119)
É possível rearranjar a Equação 9.119 de forma que todos os termos fiquem
dentro da integral, assim:
2  1
 nx   nc
  n 
  n sen L sen  L (t   ) sen L  f ( , )d d

 
 

0 0 c n 1
tL
u ( x, t )   
(Eq. 9.120)
A Equação 9.120 pode ser escrita como:
tL
u ( x, t )    Gx, t   ,   f ( , )dd
(Eq. 9.121)
00
A função Gx, t   ,   é conhecida como função de Green, capaz de
expressar a solução de uma EDP associada com um termo fonte, definida por:
115

117. G( x, t   , ) 
2  1
 nx   nc
  n
  n sen L sen  L (t   ) sen L
c n 1

 
 



(Eq. 9.122)
A Equação 9.122 é a solução da Equação 9.63, definida com base na função
de Green do problema.
9.3 – Meio finito com limites variáveis:
A solução da equação da onda para um meio finito com limites fixos foi
desenvolvida nos Tópicos 9.1 e 9.2, nesse tópico será desenvolvida a solução
de um caso mais geral, que pode ser definido como:
u tt  c 2 u xx  f ( x, t )

u ( x,0)  u 0 ( x)

,
u t ( x,0)  u1 ( x)
u (0, t )  g (t )

u ( L, t )  h(t )

 x  (0, L)

t  0
(Eq. 9.123)
Deve-se encontrar uma solução w( x, t ) , tal que:
w(0, t )  g (t )

w( L, t )  h(t )
(Eq. 9.124)
De fato, a função w( x, t ) pode ser definida como:
w( x, t ) 
x
x

h(t )  1   g (t )
L
 L
(Eq. 9.125)
Onde w( x, t ) obedece as condições impostas pela Equação 9.124. É possível
fazer a seguinte substituição de variáveis:
V ( x, t )  u( x, t )  w( x, t )
(Eq. 9.126)
Derivando a função V ( x, t ) :
 h(t ) g (t ) 
V x  u x  wx  u x  

L 
 L

(Eq. 9.127)
Vxx  u xx
(Eq. 9.128)
Vt  ut  wt
(Eq. 9.129)
116

118. Vtt  utt  wtt
(Eq. 9.130)
Substituindo as Equações 9.128 e 9.130 em 9.123:
Vtt  wtt  c 2Vxx  f ( x, t )
(Eq. 9.131)
Que pode ser escrita como:
Vtt  c 2Vxx  f ( x, t )  wtt
(Eq. 9.132)
Definindo as condições iniciais do problema:
u ( x,0)  V ( x,0)  w( x,0)
u ( x,0)  V ( x,0)  w ( x,0)
 t
t
t

u (0, t )  V (0, t )  w(0, t )
u ( L, t )  V ( L, t )  w( L, t )

(Eq. 9.133)
A Equação 9.133 pode ser escrita com base na função V ( x, t ) , assim:
V ( x,0)  u0 ( x)  w( x,0)
V ( x,0)  u ( x)  w ( x,0)
 t
1
t

V (0, t )  0
V ( L, t )  0

(Eq. 9.134)
Assim, o problema inicial dado pela Equação 9.123, pode ser escrito como:
Vtt  c 2Vxx  f ( x, t )  wtt ( x, t )

V ( x,0)  u0 ( x)  w( x,0)

,
Vt ( x,0)  u1 ( x)  wt ( x,0)
V (0, t )  0

V ( L, t )  0

 x  (0, L)

t  0
(Eq.9.135)
Que pode ser escrita como:
Vtt  c 2Vxx  F ( x, t )

V ( x,0)  V0 ( x)

,
Vt ( x,0)  V1 ( x)
V (0, t )  0

V ( L, t )  0

 x  (0, L)

t  0
(Eq.9.136)
117

119. Onde:
F ( x, t )  f ( x, t )  wtt ( x, t )
V0 ( x)  u0 ( x)  w( x,0)
(Eq. 9.137)
V1 ( x)  u1 ( x)  wt ( x,0)
Como a Equação 9.136 é linear, a solução pode ser representada como uma
combinação linear de outras soluções. Assim, a função V ( x, t ) será construída
da seguinte forma:
V ( x, t )  V 1 ( x, t )  V 2 ( x, t )
(Eq. 9.138)
Onde a Equação 9.136 fica escrita da seguinte forma:
V 1tt  c 2V 1 xx
 1
V ( x,0)  V0 ( x)
 1
V t ( x,0)  V1 ( x) ,
 1
V (0, t )  0
V 1 ( L, t )  0

 x  (0, L)

t  0
V 2 tt  c 2V 2 xx  F ( x, t )
 2
V ( x,0)  0
 2
,
V t ( x,0)  0
 2
V (0, t )  0
V 2 ( L, t )  0

 x  (0, L)

t  0
(Eq.9.139)
(Eq.9.140)
A solução da Equação 9.139 foi discutida no Tópico 9.1, dada pela Equação
9.36, assim:
V ( x, t ) 
1


 nct 
 nct   nx 
  Bn cos
 sen 

 L 
 L   L 
  An sen
n 1
(Eq. 9.141)
A solução da Equação 9.40 foi discutida no Tópico 9.2, dada pela Equação
9.121, definida por:
118

120. tL
V 2 ( x, t )    Gx, t   , F ( , )dd
(Eq. 9.142)
00
Dessa forma a solução final da Equação 9.123 é dada por:
u( x, t )  V ( x, t )  w( x, t )  V 1 ( x, t )  V 2 ( x, t )  w( x, t )
u ( x, t ) 
tL


 nct 
 nct   nx 
  Bn cos
 sen 
 
 L 
 L   L 
(Eq. 9.143)
  An sen
n 1
x
x

  Gx, t   , F ( , )dd  L h(t )  1  L  g (t )


00
(Eq. 9.144)
A Equação 9.144 representa a solução do caso mais geral possível da
propagação de ondas em meios finitos. No Capítulo 10 serão discutidas
algumas aplicações da Equação 9.144 em diversos problemas práticos.
119

121. 10 – Problemas de Propagação de Ondas em Meios Finitos
No Capítulo 9 foi deduzida a solução da propagação de ondas em meios
finitos, dada pela forma de séries de Fourier. Nesse capítulo serão tratados
alguns exemplos de aplicação das soluções deduzidas no capítulo anterior.
10.1 – Problema do martelo chato batendo em uma corda:
Um problema interessante que pode ser modelado pelas séries de Fourier é a
geração de ondas em um meio elástico devido ao impacto de um martelo com
cabeça quadrada ou pontiaguda.
Primeiramente será discutido o caso onde o martelo possui a cabeça quadrada,
ou martelo chato. Um martelo de densidade  transfere à corda uma energia
igual ao impulso que o martelo possuía antes do choque. Inicialmente a corda
está totalmente esticada, e recebe um impacto do martelo que possui largura
igual a 2 . A Figura 10.1 mostra um esboço esquematizando o problema.
Figura 10.1: Esboço do problema do martelo com a cabeça quadrada.
A velocidade inicial da corda, transferida pelo martelo é pode ser calculada
utilizando-se a seguinte relação:
I  mv
(Eq. 10.1)
Considerando o martelo bidimensional:
v
I
2
(Eq. 10.2)
Assim a equação que governa esse problema pode ser modelada como:
120

122. utt  c 2u xx

u ( x,0)  0


 I
, x  [ x0   , x0   ] ,


ut ( x,0)   2
0, x  [ x   , x   ]

0
0


u (0, t )  u ( L, t )  0

 x  (0, L)

t  0
(Eq. 10.3)
A solução do problema é dada pela Equação 9.36, repetida aqui por
conveniência:
 

 nct 
 nct   nx 
u ( x, t )    An sen 
  Bn cos
 sen 


 L 
 L   L 
n 1


2 L

 nx 
An 

 u1sen  L dx
nc 0




L
 Bn  2  u0 sen  nx dx


L0

 L 

(Eq. 10.4)
Calculando os coeficientes An e Bn :
2L
 nx 
Bn   0.sen 
dx  0
L0
 L 
(Eq. 10.5)
2 L
 nx 
An 
 u1sen L dx
nc 0


(Eq. 10.6)
x 
2 0
I
 nx 
An  
 2 sen L dx
nc x  


(Eq. 10.7)
0
x0  
I 
 nx  L 
An  
 cos L  n 
nc 


 x
An  
(Eq. 10.8)
0

 nx0   n 
sen 
 sen 

2
L   L 
n  c 
2 IL
(Eq. 10.9)
Substituindo na Equação 10.4:
121

123. u ( x, t ) 
u ( x, t ) 


 nct 
 nct   nx 
  Bn cos
 sen 

 L 
 L   L 
  An sen
n 1
  2 IL
 nx0   n
sen 
 sen 
2
L   L

n 1 n  c


(Eq. 10.10)
  nct   nx 
 sen 
 sen

L   L 
 
(Eq. 10.11)
A Equação 10.11 representa a solução do problema do martelo com cabeça
quadrada. A Figura 10.2 mostra a solução plotada considerando os quinhentos
primeiros termos da série de Fourier, e o seguinte conjunto de dados:
 I  10
L  5

  1

c  2
  1

 x 0  2 .5
(Eq. 10.12)
É possível observar a vibração da corda após o impacto do martelo na mesma.
Nos momentos iniciais após o impacto, a corda assume um perfil parecido com
a largura do martelo.
Figura 10.2: Solução do problema do martelo com cabeça quadrada, plotado
com os dados mostrados na Equação 10.12.
10.2 – Problema do martelo pontiagudo batendo em uma corda:
Consideremos agora um martelo com a cabeça pontiaguda, batendo na mesma
posição que o martelo com a cabeça quadrada, como mostrado na Figura 10.3.
122

124. Figura 10.3: Esboço do problema do martelo com a cabeça pontiaguda.
A equação que governa esse problema levará em consideração uma função do
tipo delta de Dirac, porém a solução pode ser encontrada com base na solução
do tipo cabeça quadrada, considerando que a largura do martelo tende à zero.

Dessa forma, marcando a Equação 10.11 como u ( x, t ) , a solução é dada
por:
u ( x, t )  lim [u  ( x, t )]
(Eq. 10.13)
 0
Aplicando a propriedade da soma do limite, podemos introduzir o limite dentro
do operador somatório, assim:
u ( x, t ) 
  2 IL
1
 nx0   nct   nx 
 n
sen
 sen
 sen 
 lim sen 

2
 L
 L   L   L   0 
n 1 n  c




(Eq. 10.14)
Esse limite é conhecido como limite fundamental trigonométrico, e possui valor
igual a um, assim:
u ( x, t ) 
u ( x, t ) 
  2 IL
 nx0   nct   nx  n 
sen 
 sen 
 sen 
 

n 2 c  L   L   L  L 
n 1


  2I
 nx0   nct   nx 
 sen 
sen 

 L   L   L 
  nc sen
n 1
(Eq. 10.15)
(Eq. 10.16)
123

125. A Equação 10.16 representa a solução do problema do martelo com cabeça
pontiaguda. A Figura 10.4 mostra a solução plotada considerando os
quinhentos primeiros termos da série de Fourier, e os mesmos dados da
Equação 10.12. É possível ver que a resposta do sistema ao estimulo é muito
parecido, porém o formato da onda que trafega no meio é afetado pela
diferença entre os tipos de martelo.
Figura 10.4: Solução do problema do martelo com cabeça pontiaguda, plotado
com os dados mostrados na Equação 10.12.
10.3 – Problema da corda ressonante:
O problema da corda ressonante é um problema de propagação de ondas em
meios finitos, onde o mecanismo de geração de ondas é um termo fonte
externo à corda. Esse problema pode ser modelado segundo a seguinte
equação:
utt  cu xx  G ( x) sen 0t 
u ( x,0)  0


,
ut ( x,0)  0
u (0, t )  0

u ( L, t )  0

Onde
 x  (0, L)

t  0
(Eq. 10.17)
0 é a frequência de oscilação da fonte, e G(x) é uma função
comportada, ou seja, possui valores reais em todo o domínio do problema, com
derivadas primeiras e segundas contínuas. A solução de problemas com
termos fonte é discutida no Tópico 9.2, onde a solução é dada na forma da
integral de Green (Equação 9.121), definida como:
tL
u ( x, t )    Gx, t   ,   f ( , )dd
(Eq. 10.18)
00
Onde:
124

126. G( x, t   , ) 
2  1
 nx   nc
  n
  n sen L sen  L (t   ) sen L
c n 1

 
 



(Eq. 10.19)
O termo fonte da Equação 10.18 é dado por:
f ( , )  G( )sen (0 )
(Eq. 10.20)
Substituindo as Equações 10.19 e 10.20 na Equação 10.18:
tL 
 2
 nx   nc
  n
u ( x, t )     
sen 
(t   ) sen 
 sen 
 L   L
  L
0 0 n 1 nc

G( ) sen (0 )dd

(Eq. 10.21)
A Equação 10.21 pode ser reescrita como:
t
 2
 
 nx    nc

sen 
.  sen 
(t   )  sen (0 ) d .


 nc
 L 0  L

 

u ( x, t )   

L
n 1 

 n 

.  sen  L G ( ) d



 0 

(Eq. 10.22)
Resolvendo a integral com relação ao tempo:
  nc


I t   sen 
(t   )  sen (0 )d
 L


0
t
(Eq. 10.23)
É possível definir a frequência natural de oscilação da corda como:
n 
nc
L
(Eq. 10.24)
Utilizando um substituição trigonométrica, a Equação 10.23 fica escrita como:
It 
1t
 cosn (t   )  0   cosn (t   )  0 d
20
(Eq. 10.25)
Integrando a equação:
1  senn (t   )  0  senn (t   )  0 
It  


2
  n  0
0   n
0
t
(Eq. 10.26)
Substituindo os limites de integração:
125

127. 1  sen (n t )  sen (0t ) sen (0t )  sen (n t ) 
It  


2
0   n
0   n

(Eq. 10.27)
Rearranjando a Equação 10.27, a solução da integral 10.23 fica escrita como:
It 
0 sen (nt )  n sen (0t )
2
2
0   n
(Eq. 10.28)
Substituindo o resultado da integral 10.23 na Equação 10.22:
u ( x, t ) 
L
 2
 nx    n
sen 
.  sen 


 L  0  L
n 1 nc

  sen (n t )  n sen (0t ) 

G( ) d 0


2
2
0   n



(Eq. 10.29)
Essa equação expressa à solução do Problema 10.17, quando
Agora, será calculado esse resultado quando
0   n .
0  n que é conhecido como
o problema da ressonância. Para isso será calculado o seguinte limite:
u R ( x, t )  lim u ( x, t )
 n  0
(Eq. 10.30)
Utilizando a regra da soma para o limite, o operador limite pode ser introduzido
dentro do operador somatório, assim:
L
 2


 nRx    nR 
u R ( x, t )   
sen 
.  sen 
G ( ) d .
 L  0  L 

n R 1  n Rc


(Eq. 10.31)
Onde:
 sen (n t )  n sen (0t ) 
  lim  0

2
2
 n  0
0   n


(Eq. 10.32)
O subscrito R indica apenas os valores de n onde em que
0  n .
Utilizando a regra de L’hôpital:
 t cos (n t )  sen (0t ) 
  lim  0

 n  0 
2n


sen (0t )  t0 cos (0t )
20
(Eq. 10.33)
(Eq. 10.34)
Logo a Equação 10.31 fica escrita como:
126

128. L
 2
sen (0t )  t0 cos (0t ) 

 nRx    nR 
u R ( x, t )   
sen 
.  sen
G ( ) d .

20
 L  0  L 

nR 1  n Rc


(Eq. 10.35)
Como a função G (x) é uma função comportada, a amplitude de vibração da
corda cresce indefinidamente com o passar do tempo. Assim, é fácil perceber
que:
lim u R ( x, t )  
(Eq. 10.36)
t 
Assim, a solução final do problema da corda ressonante é dada pela soma das
Equações 10.29 e 10.35, ou seja:
L
 2
  sen (n t )   n sen (0t ) 
 nx    n 
u ( x, t )   
sen 
.  sen 
G ( ) d 0

2
2
0   n
 L  0  L 

n 1 nc


L
 2
sen (0t )  t0 cos (0t ) 

 nRx    nR 
  
sen 
.  sen 
G ( ) d .

20
 L  0  L 

n R 1  n Rc


(Eq. 10.37)
Exemplo 10.1:
Encontrar a solução do problema da corda ressonante, dada pela seguinte
equação:
utt  4u xx  10sen 5t 
u ( x,0)  0


,
ut ( x,0)  0
u (0, t )  0

u (2 , t )  0

 x  (0,2 )

t  0
(Eq. 10.38)
Solução:
A solução do problema é dada pela Equação 10.37, calculando a integral
espacial:
IS 
2
 n 
10sen 
d

 2 
0
(Eq. 10.39)
127

129. 2

 n  2 
I S  10 cos  
 2  n 0

IS 

20
1  (1) n
n
(Eq. 10.40)

(Eq. 10.41)
A solução pode ser escrita como:
u ( x, t ) 



 40
 sen (n t )  n sen (0t ) 
 nx 
sen 
1  (1) n . 0

 2

2
2
0   n
 L 
n 1 n c




 40
sen (0t )  t0 cos (0t ) 
 n x 
sen  R . 1  (1) n
 2

20
 L 
n R 1  n Rc



(Eq. 10.42)
Substituindo os valores do problema:
u ( x, t ) 


 20

5sen (n t )  n sen (5t ) 
 nx 
sen   1  (1) n .

2
2
52  n
 2
n 1 n 





 20
 nR x 
n sen (5t )  5tcos (5t ) 
. 1  (1)
 2 sen 

10
 2 
n R 1  n R



(Eq. 10.43)
Como
n 
nc
n
L
(Eq. 10.44)
É possível observar que a frequência ressonante é quando n  5 , assim:
u ( x, t ) 


5sen (nt )   n sen (5t ) 
 20
 nx 
sen   1  (1) n .

2
25  n 2
 2

n 1 n 


n5
8
 5 x  sen (5t )  5tcos (5t ) 
  sen  

10
 2
 5

(Eq. 10.45)
A Figura 10.5 mostra a solução dada pela Equação 10.45 plotada para alguns
valores de tempo. É possível perceber que a amplitude de oscilação cresce
indefinidamente com o tempo.
128

130. Figura 10.5: Variação do perfil da Solução 10.45 para alguns valores de tempo.
10.4 – Problema da corda com extremidades livre:
Até o momento, a solução do tipo funções de Fourier foram obtidas quando a
ponta da corda está presa em algum ponto do domínio, agora será considerado
o caso da propagação de ondas em uma corda que possui as duas
extremidades livres para oscilar ao longo de uma haste, como mostrada na
Figura 10.6.
Figura 10.6: Problema de propagação de ondas em uma corda com
extremidades livres.
Esse problema pode ser descrito segundo a seguinte equação:
utt  c 2u xx

u ( x,0)  u 0 ( x)

ut ( x,0)  u1 ( x) ,
u (0, t )  0
 x
u x ( L, t )  0

 x  (0, L)

t  0
(Eq. 10.46)
129

131. Onde as condições de contorno do tipo u x (0, t )  u x ( L, t )  0 são construídas
de forma em que as extremidades da corda estão sempre sendo forçadas
contra as hastes verticais. Para se resolver esse problema é necessário se
construir o problema de Sturm-Liouiville associado, assim será considerado
que a solução do problema possui a seguinte forma:
u( x, t )  T (t ).X ( x)
(Eq. 10.47)
Substituindo a Equação 10.47 em 10.46:
X ( x).T ' ' (t )  c 2T (t ) X ' ' ( x)
(Eq. 10.48)
Que pode ser escrita da seguinte forma:
T ' ' (t )
c 2T (t )

X ' ' ( x)
X ( x)
(Eq. 10.49)
Como as funções T (t ) e X (x) são independentes é possível criar uma
constante
T ' ' (t )
2
c T (t )

 , tal que:
X ' ' ( x)
 
X ( x)
(Eq. 10.50)
Dessa forma:
T ' ' (t )  c 2T (t )  0

 X ' ' ( x )  X ( x )  0
(Eq. 10.51)
Utilizando as condições de contorno:
u x (0, t )  0
 X ' (0)T (t )  0
 

 X ' ( L)T (t )  0
u x ( L, t )  0
(Eq. 10.52)
Como queremos soluções não triviais:
 X ' (0)  0

 X ' ( L)  0
(Eq. 10.53)
Dessa forma, é possível construir o seguinte problema de Sturm-Liouiville:
 X ' ' ( x )  X ( x )  0

 X ' (0)  X ' ( L)  0
(Eq. 10.54)
130

132. Da mesma forma como foi feito no Capítulo 9, para se resolver esse problema
é necessário fazer três suposições a respeito da constante  :
i.
 0
Nesse caso a solução geral da Equação 10.54 é dada por:
X ( x)  C1e  (
 )x
 C2 e  (
 )x
(Eq. 10.55)
Utilizando as condições de contorno:
X ' (0)  0    C1   C2  0
X ' ( L)  0   C1  e  (
 )L
 C2  e (
(Eq. 10.56)
 )L
0
(Eq. 10.57)
Analisando o determinante da matriz dos coeficientes, formada pelas Equações
10.56 e 10.57:
 
 e

L
e
L
0
(Eq. 10.58)
O que indica que a única solução do sistema é a solução trivial, ou seja:
C1  C2  0
(Eq. 10.59)
Como procuramos soluções não triviais para o problema 10.54, não é possível
encontrar autovalores negativos, que satisfaça essa condição.
ii.
 0
Nesse caso a solução geral da Equação 10.54 é dada por:
X ( x)  C1 x  C2
(Eq. 10.60)
Substituindo os valores iniciais:
X ' (0)  0  C1  0
X ' ( L)  0  C 2  K 0
(Eq. 10.61)
(Eq. 10.62)
Onde K 0 é uma constante qualquer. Observe que nesse caso a escolha de
um autovalor nulo satisfaz a Equação 10.54, sendo assim considerada uma
solução do problema de Sturm-Liouiville, escrevendo a solução:
X 0 ( x)  K 0
(Eq. 10.63)
131

133. iii.
 0
Nesse caso a solução geral da Equação 9.9 é dada por:



X ( x)  C1sen  x  C2cos  x

(Eq. 10.64)
Utilizando as condições de contorno:
X ' (0)  0  C1  0


X ' ( L)  0   C2  sen  L  0
(Eq. 10.65)
(Eq. 10.66)
Ou seja:
 L  n , n  1,2,3...
(Eq. 10.67)
 n 
n    , n  1,2,3...
 L 
(Eq. 10.68)
2
Por isso, considerando a constante C 2 igual a um:
 nx 
X n ( x)  cos
 , n  1,2,3...
L 

(Eq. 10.69)
A solução final do problema de Sturm-Liouiville deve ser construída como a
soma das soluções para   0 e   0 , assim:
 n 
  0  n    , n  0,1,2...
 L 
(Eq. 10.70)
X n ( x)  X 0 ( x)  X n ( x)
(Eq. 10.71)
2
Considerando a constante K 0 igual a um:
 nx 
X n ( x)  cos
 , n  0,1,2...
 L 
(Eq. 10.72)
A Equação 10.72 é a solução do Problema de Sturm-Liouiville 10.54.
substituindo o valor encontrado de n na Equação 10.51:
T ' ' (t )  c 2T (t )  0
(Eq. 10.73)
Resolvendo o sistema:
132

134. Tn (t )  An sen (  ct )  Bn cos(  ct )
(Eq. 10.74)
 nct 
 nct 
Tn (t )  An sen 
  Bn cos
 , n  0,1,2...
L 
L 


(Eq. 10.75)
Substituindo as Equações 10.72 e 10.75, na Equação 10.47:

 nct 
 nct   nx 
u n ( x, t )   An sen 
  Bn cos
cos
 , n  0,1,2... (Eq. 10.76)
 L 
 L   L 

Como a equação da onda é linear, solução geral é dada pela soma de todas as
soluções parciais, assim:
u ( x, t ) 


 nct 
 nct   nx 
  Bn cos
cos

 L 
 L   L 
  An sen
n0 
(Eq. 10.77)
Observa-se que uma mudança no tipo de condição de contorno do problema
mudou a forma da solução dada pela série de Fourier, e mudou o índice do
operador somatório. Os coeficientes An e Bn são determinados a partir das
condições iniciais do problema:
u ( x,0)  u0 ( x)

ut ( x,0)  u1 ( x)
(Eq. 10.78)
 
 nx 
   Bn cos L   u0 ( x)


n  0 

  A nc cos nx   u ( x)

 1

n  0  n L
 L 


(Eq. 10.79)
Foi demonstrado no Apêndice 3, a ortogonalidade das funções tipo seno e
cosseno, assim, multiplicando os dois lados da equação pela função cosseno:
  mx   
 nx 
 mx 
cos L    Bn cos L   u0 ( x)cos L 
n  0 




 


cos mx   A nc cos nx   u ( x)cos mx 

 1



  L n  0  n L
 
 L 
 L 
 
(Eq. 10.80)
Como o sistema é completo e contínuo no intervalo x [0, L] , a multiplicação
pode ser incluída no operador somatório, dessa forma, integrando no intervalo
dado:
133

135. L
  L
 nx   mx  
 mx 
cos
dx    u0 ( x)cos
dx
    Bn cos
 L   L   0
 L 
n0 0


L
L
nc
 
 nx   mx  
 mx 
    An L cos L cos L dx    u1 ( x)cos L dx

 
  0


n  0  0
(Eq. 10.81)
O resultado da integral no lado esquerdo da Equação 10.81 foi demonstrado no
Apêndice 3, assim:

2L
 mx 
dx
 Bn   u0 ( x)cos
L0
 L 


L
 A  2 u ( x)cos mx dx


 n nc  1
 L 
0

(Eq. 10.82)
Logo a solução final do problema da corda com extremidades livres, pode ser
escrito como:
 

 nct 
 nct   nx 
u ( x, t )    An sen 
  Bn cos
 cos


 L 
 L   L 
n0 


2 L

 mx 
 An 
 u1 ( x)cos L dx
nc 0




L
 Bn  2  u0 ( x)cos mx dx


L0

 L 

(Eq. 10.83)
Observa-se que a solução final possui uma forma semelhante ao problema da
corda com extremidades fixas (Eq. 9.36), porém os auto vetores dos sistemas
foram escritos com base na função cosseno.
134

136. 11 – Equação de Conservação de Calor
As equações de conservação de calor são um tipo especial das leis de
conservação demonstradas no Capítulo 3, que pode ser resolvido utilizando as
séries de Fourier. A metodologia desenvolvida nesse capítulo é a mesma
desenvolvida no Capítulo 9.
11.1 – Condução de calor em uma barra de comprimento finito:
Para se modelar a condução de calor, primeiro deve ser lembrada a forma
diferencial da lei de conservação:
ut  Fx  f ( x, t )
(Eq. 11.1)
A função F ( x, t ) foi modelada como sendo o fluxo de uma propriedade através
do volume de controle. No caso da conservação de calor, o fluxo condutivo é
dado pela lei de Fourier, definida por:
F ( x, t )  
T
x
(Eq. 11.2)
Substituindo a Equação 11.2 em 11.1:
Tt   .Txx  f ( x, t )
(Eq. 11.3)
A equação 11.3 define a condução de calor em uma barra homogênea.
Considerando uma barra finita, e condições de contorno do tipo de Dirichlet, é
possível se escrever a seguinte equação:
Tt  Txx  f ( x, t )
T ( x,0)  T ( x)

0
,

T (0, t )  T1

T ( L, t )  T2

 x  (0, L)

t  0
(Eq. 11.4)
Onde T1 e T2 são constantes. O primeiro passo para se resolver esse
problema é a construção de condições de contorno homogêneas, assim é
possível se escrever uma função w( x, t ) onde:
x
x

w( x, t )  T2  1  T1
L
L

(Eq. 11.5)
Utilizando uma substituição de variáveis do tipo:
135

137. u( x, t )  T ( x, t )  w( x, t )
(Eq. 11.6)
Calculando as derivadas parciais:
ut ( x, t )  Tt ( x, t )  wt ( x, t )  Tt ( x, t )

u xx ( x, t )  Txx ( x, t )  wxx ( x, t )  Txx ( x, t )
(Eq. 11.7)
Calculando as condições de contorno:
u ( x,0)  T ( x,0)  w( x,0)  u0 ( x)

u (0, t )  T (0, t )  w(0, t )  0
u ( L, t )  T ( L, t )  w( L, t )  0

(Eq. 11.8)
Dessa forma a Equação 11.4 fica escrita como:
ut  u xx  f ( x, t )
u ( x,0)  u ( x)

0
,

u (0, t )  0

u ( L, t )  0

 x  (0, L)

t  0
(Eq. 11.9)
Como a Equação 11.9 é linear, a solução pode ser dada pela combinação
linear de outras soluções, assim a solução pode ser escrita como:
u( x, t )  u1 ( x, t )  u2 ( x, t )
(Eq. 11.10)
Onde u1 ( x, t ) é a solução dada sem o termo fonte, definida por:
u1t  u1xx
u ( x,0)  u ( x)
 1
0
,

u1 (0, t )  0

u1 ( L, t )  0

 x  (0, L)

t  0
(Eq. 11.11)
E u 2 ( x, t ) é a solução dada com o termo fonte, definida por:
u 2t  u 2 xx  f ( x, t )
u ( x,0)  0
 2
,

u 2 (0, t )  0

u 2 ( L, t )  0

 x  (0, L)

t  0
(Eq. 11.12)
136

138. 11.2 – Solução da equação do calor sem termo fonte:
A solução da Equação 11.11 pode ser assumida como:
u1 ( x, t )  X ( x)T (t )
(Eq. 11.13)
Assim a Equação 11.11 pode ser escrita como:
T ' (t ) X ' ' ( x)

 
 .T (t ) X ( x)
(Eq. 11.14)
Utilizando as condições de contorno:
u1 (0, t )  0
 X (0)T (t )  0
 

 X ( L)T (t )  0
u1 ( L, t )  0
(Eq. 11.15)
Como queremos soluções não triviais:
 X (0)  0

 X ( L)  0
(Eq. 11.16)
Dessa forma, é possível construir o seguinte problema:
 X ' ' ( x )  X ( x )  0

 X (0)  X ( L)  0
(Eq. 11.17)
A Equação 11.17 é o problema de Sturm-Liouiville associado ao problema de
condução de calor em uma barra metálica homogênea. A solução desse
problema foi deduzida no Tópico 9.1 e é dada por:
 n 
n    , n  1,2,3,...
 L 
(Eq. 11.18)
 nx 
X n ( x)  sen 
 , n  1,2,3,....
 L 
(Eq. 11.19)
2
Substituindo os autovalores encontrados na Equação 11.14:
T ' (t )   .T (t )  0
(Eq. 11.20)
A solução da Equação 11.20 é dada por:
Tn (t )  An e t , n  1,2,3,....
(Eq. 11.21)
137

139. 2
Tn (t )  An
 n 
 
 t
 L 
e
, n  1,2,3,....
(Eq. 11.22)
Dessa forma a Solução 11.13 fica escrita como:
2
u1n ( x, t ) 
 n 
 nx    L  t
An sen 
e   ,
 L 
n  1,2,3,....
(Eq. 11.23)
Como a Equação 11.11 é linear, sua solução é dada por combinação linear de
outras soluções, assim:
2
u1 ( x, t ) 

 An
 n 
 nx    L  t
sen
e  
n 1


 L 
(Eq. 11.24)
A Equação 11.24 é a solução da Equação 11.11, o coeficiente An pode ser
encontrado utilizando-se a condição inicial, assim:
u1 ( x,0)  u0 ( x) 
 nx 

 L 

 An sen
n 1
(Eq. 11.25)
Utilizando o princípio de ortogonalidade desenvolvido no Apêndice 3:
 mx 
 mx  
 nx 
sen 
u0 ( x)  sen 
  An sen 

 L 
 L n 1
 L 
(Eq. 11.26)
Como o sistema é completo e contínuo no intervalo x [0, L] , a multiplicação
pode ser incluída no operador somatório, dessa forma, integrando no intervalo
dado:

 mx 
 nx   mx 
 sen L u0 ( x)dx    An sen L sen L dx



 

n 10
0
L
L
(Eq. 11.27)
O resultado da integral do lado direito foi deduzido no Apêndice 3, assim o
coeficiente An é dado por:
2 L  nx 
An   sen 
u0 ( x)dx
L0  L 
(Eq. 11.28)
Por isso, a solução final do Problema 11.11 é dado por:
138

140. 2

 n 
 

 t
u ( x, t )  A sen  nx e  L 
 n  L 
 1


n 1


2 L  nx 
u0 ( x)dx
 An   sen 
L0  L 

(Eq. 11.29)
11.3 – Solução da equação de calor considerando o termo fonte:
A equação de calor considerando o termo fonte é dada pela Equação 11.12,
para se resolver essa equação à solução será definida como:
u2 ( x, t )  X ( x)T (t )
(Eq. 11.30)
E o termo fonte será definido como:
f ( x, t )  X ( x) F (t )
(Eq. 11.31)
A função X (x) foi encontrada na solução do problema de Sturm-Liouiville
definido no Tópico 11.2, dada por:
 nx 
X n ( x)  sen 
 , n  1,2,3,....
 L 
(Eq. 11.32)
Dessa forma, a Equação 11.12 fica escrita como:
 nx 
 n 
 nx 
 nx 
sen 
T 'n (t )   
 Tn (t ) sen 
  F (t ) sen 

 L 
 L 
 L 
 L 
2
(Eq. 11.33)
Colocando a função seno em evidência:
2

 nx  
 n 
sen 
 T 'n (t )   
 Tn (t )  F (t )  0
 L 
 L 



(Eq. 11.34)
Utilizando a condição inicial:
u2 ( x,0)  X ( x)T (0)  0
(Eq. 11.35)
Como buscamos soluções não triviais:
T (0)  0
(Eq. 11.36)
Dessa forma é possível se escrever a seguinte equação diferencial ordinária:
139

141. 2

 n 
T 'n (t )   
 Tn (t )  F (t )

 L 
T (0)  0

(Eq. 11.37)
Para se resolver a Equação 11.37 será utilizado o método dos fatores
integrantes, multiplicando a equação pelo fator integrante:
et T 'n (t )  etTn (t )  et F (t )
(Eq. 11.38)
Onde
 n 
   
 L 
2
(Eq. 11.39)
Assim a Equação 11.38 pode ser escrita como:


d t
e Tn (t )  et F (t )
dt
(Eq. 11.40)
Resolvendo a equação:
et Tn (t )  
1

et F (t )dt  c
(Eq. 11.41)
Substituindo a condição de contorno:
et Tn (t ) 
1
t
t
e

F (t )dt
(Eq. 11.42)
F (t )dt
(Eq. 11.43)
0
Finalmente:
Tn (t ) 
e t
t
t
e
 0
A equação 11.43 pode ser reescrita como:
Tn (t ) 
2
L
t

 n 2 0
 n 
  (t  )

 L 
e
2
F ( )d
(Eq. 11.44)
Substituindo a Equação 11.44 na Equação 11.30:
u2 ( x, t )  X ( x)T (t )
(Eq. 11.45)
140

142. u 2 n ( x, t ) 
2
t
L

 n 2 0
 n 
  (t  )

 L 
e
2
 nx 
F ( )d .sen 
 , n  1,2,3,.... (Eq. 11.46)
 L 
Como a Equação da condução é linear:
u 2 ( x, t ) 


2
L
t
2 
n 1 n  0
 n 
 (t  )

 L 
e
2
 nx 
F ( )d .sen 

 L 
(Eq. 11.47)
O termo fonte dado pela Equação 11.31 pode ser escrito como:
 nx 
f ( x, t )  sen 
 F (t )
 L 
(Eq. 11.48)
Utilizando as relações de ortogonalidade:
 mx 
 nx   mx 
 sen L  f ( x, t )dx   F (t )sen L sen L dx



 

0
0
L
L
(Eq. 11.49)
A integral do lado direito da equação foi resolvida no Apêndice 3, assim o termo
fonte é dado por:
2 L  nx 
F (t )   sen 
 f ( x, t )dx
L0  L 
(Eq. 11.50)
Substituindo a Equação 11.50 em 11.47:
2
u 2 ( x, t ) 


2L
t
2 
n 1 n  0
 n  L
 (t  )

 nx 
 L 
e
sen
f

0
 nx 

 ( x, )dxd .sen 

 L 
 L 
(Eq. 11.51)
Que pode ser reescrita da seguinte forma:

2L
 nx   n
u 2 ( x, t )     
sen 
 sen 
 n 2
 L   L
0 0 n 1


tL 
 n 
  (t  ) L 


e


2

 f ( , )d d



(Eq. 11.52)
A Equação 11.52 representa a solução da conservação de calor em uma barra
finita e homogênea com a presença de um termo fonte. É possível escrever
essa solução com base na função de Green, dada pela seguinte forma:
141

143. tL
u 2 ( x, t )    Gx, t   ,   f ( , )dd
(Eq. 11.53)
00
Onde:

2L
 nx   n
G ( x, t   ,  )   
sen 
 sen 
 n 2
 L   L
n 1



 n 
  (t  ) L 


e
2







(Eq. 11.54)
11.4 – Solução final da equação de calor:
No Tópico 11.1 foi definida a equação geral da conservação de calor, dada
pela Equação 11.4. Foi definida e seguinte substituição de variáveis:
u( x, t )  T ( x, t )  w( x, t )
(Eq. 11.55)
E foi definido que a função u ( x, t ) podia ser escrita como:
u( x, t )  u1 ( x, t )  u2 ( x, t )
(Eq. 11.56)
No tópico 11.2 foi encontrada a solução da função u1 ( x, t ) , dada pela Equação
11.29. No tópico 11.3 foi encontrada a solução da função u2 ( x, t ) , dada pela
Equação 11.53. Agora para se encontrar a solução do problema inicial, pode se
reescrever a Equação 11.55 como:
T ( x, t )  w( x, t )  u1 ( x, t )  u2 ( x, t )
(Eq. 11.57)
Logo, a solução formal da equação de calor em uma barra finita e homogênea
é dada por:
2
 
 n  
 
 t
x  
x

 nx   L 
T ( x, t )   T2  1  T1     An sen 
e

L    n 1

 L 
L



(Eq. 11.58)
t L

   G  x, t   ,   f ( , )dd 


0 0

Onde:
142

144. 

L
 An  2 sen  nx u0 ( x)dx
  

L0  L 

(Eq. 11.59)
u0 ( x)  T ( x,0)  w( x,0)

2

 n  

  (t  )


2L
 nx   n 
 L  
G ( x, t   ,  )   
sen 
 sen 
e
2


 L   L 

n 1  n 





Exemplo 11.1:
Considere uma barra de 50 cm, inicialmente a 200 °C. Essa barra possui as
extremidades isoladas e a 30°C, e condutividade térmica   2 . Escrever e
plotar a solução para a condução de calor no interior da barra.
Solução:
O Exemplo 11.1 pode ser modelado segundo a seguinte equação:
Tt  2Txx
T ( x,0)  200

,

T (0, t )  30

T (50, t )  30

 x  (0,50)

t  0
(Eq. 11.60)
A solução dessa equação é dada pela Equação 11.58, onde:
f ( , )  0
(Eq. 11.61)
Assim a Equação 11.58 pode ser escrita como:
2
 
 n  
 
 t

x 
x

 nx   L 
T ( x, t )   T2  1  T1     An sen 
e

 L    n 1
 L 
L



(Eq. 11.62)
Substituindo os dados do problema:
2
 
 n  
 2
 t

 nx   50 
T ( x, t )  30    An sen 
e

 50 
 n 1



(Eq. 11.63)
Calculando o coeficiente An :
143

145. 
2 L  nx 
u0 ( x)dx
 An   sen 
L0  L 

u ( x)  T ( x,0)  w( x,0)
 0
(Eq. 11.64)

2 L  nx 
u0 ( x)dx
 An   sen 
L0  L 

u ( x)  200  30  170
 0
(Eq. 11.65)
34 L  nx 
An   sen 
dx
5 0  50 
(Eq. 11.66)
50
34 
 nx  50 
An   cos


5 
 50  n  0
An 
340
1  cosn 
n
An 
340
1  (1) n
n
(Eq. 11.67)

(Eq. 11.68)

(Eq. 11.69)
Dessa forma, a solução é definida como:
2
 
 n  
 2
 340
 nx   50  t 
n

T ( x, t )  30   
1  (1) sen 
e

 50 
 n 1 n





(Eq. 11.70)
Figura 11.1: Distribuição de temperatura na barra do Exemplo 1.
144

146. A Figura 11.1 mostra a distribuição de temperatura para a barra do Exemplo
11.1, dada pela Equação 11.70, plotado para alguns valores diferentes de
tempo. É possível ver a dissipação de calor na barra, e a estabilização da
temperatura da mesma.
145

147. Referências Bibliográficas
Boas, M. L., Mathematical Methods in the Phsical Sciences, John Wiley &
Sons, 1983.
Boyce, W. E., DiPrima, R. C., “Elementary Differential Equations and Boundary
Value Problems”, Seventh Edition, John Wiley & Sons, 2001.
Farlow, S., “Partial Differencial Equations for Scientists and Engineers”, Dover
Publications, New York, 1993.
Figueiredo, D. G., “Análise de Fourier e Equações Diferenciais Parciais”, IMPA,
1977.
Knobel, R., “An Introduction to the Mathematical Theory of Waves”, American
Mathematical Society, 1999.
Spiegel, M. R., “Análise de Fourier”, McGraw-Hill, 1976.
Whitham, G.B., “Linear and Nonlinear Waves”, John Wiley & Sons, 1976.
146

148. Apêndice 1: Derivadas parciais e regra da cadeia para funções
dependentes de várias variáveis
A1.1 – Derivadas parciais
As derivadas parciais descrevem um papel importante quando calculamos
funções dependentes de várias variáveis, sendo o sentimento físico de uma
derivada parcial o de se calcular a inclinação da superfície no sentido em que
se está derivando.
As notações mais comuns utilizadas são:
 2u
xy
(Eq. A1.1)
onde se lê derivada da função u ( x, y ) em relação a y e em relação a x .
Observa-se que nessa notação as derivadas ocorrem da direita para a
esquerda. Existe também uma segunda notação que simplifica a escrita para
cálculos muito extensos:
 2u
 u yx
xy
(Eq. A1.2)
observa-se agora que o sentido de leitura dessa segunda notação é da
esquerda para a direita.
O seguinte teorema enunciado a seguir, implica que o sentido de leitura da
derivada não influencia no valor final para funções contínuas:
Teorema A1.1: “Comutatividade da Derivada Parcial”
Seja u ( x, y)    R , sendo que u ( x, y ) é uma função de classe C , (
2
2
u ( x, y) admite derivadas de segunda ordem contínuas e possui todas as
derivadas contínuas), definida em um subconjunto   R contínuo, então:
2
 2u
 2u

xy yx
(Eq. A1.3)
A demonstração desse teorema pode ser encontrada em livros de cálculo, e
suas implicações (comutatividade) podem ser estendidas para derivadas de
qualquer ordem.
147

149. A1.2 – Regra da cadeia para funções de várias variáveis
Esse tópico será iniciado relembrando os conceitos da regra da cadeia. A
derivada de uma função f ( g ( x)) é dada por:
f ' ( g ( x)) 
df ( g ) dg
dg dx
(Eq. A1.4)
Exemplo:
Calcular a derivada em relação a x da seguinte função:
f ( x)  ( x 2  2 x)
(Eq. A1.5)
Resolução:
Definem-se as seguintes funções compostas:

 f ( g ( x))  g ( x)

 g ( x)  x 2  2 x

(Eq. A1.6)
Utilizando-se a Equação A1.4:
f ' ( g ( x)) 
df ( g ( x)) dg
dg
dx
f ' ( g ( x)) 
1
.(2 x  2)
2 g ( x)
Então:
f ' ( g ( x)) 
(2 x  2)
2 ( x  2 x)
2
(Eq. A1.7)
Teorema A1.2: “Regra da Cadeia para funções de n variáveis e um
parâmetro”
Dada uma função f ( x1 , x2 , x3 ,...,xn ) onde xi  xi (t ) (i  1,2,...,n) , temos
que:
148

150. df f x1 f x2 f x3 f xn



...
dt x1 t x2 t x3 t xn t
(Eq. A1.8)
Exemplo:
Calcular a derivada de f ( x, y, z )  x  z. y , onde x(t )  t , y (t )  t e
2
z (t )  2t com relação à t :
Resolução:
Utilizando a Equação A1.8:
df ( x, y, z ) f x f y f z



dt
x t y t z t
df ( x, y, z )
 (1).(1)  ( z ).(2t )  ( y)(2)
dt
df ( x, y, z )
 1  (2t ).(2t )  (t 2 )(2)
dt
df ( x, y, z )
 1  6t 2
dt
(Eq. A1.9)
Teorema A1.3: “Regra da Cadeia para funções de n variáveis e m
parâmetros”
Dada uma função f ( x1 , x2 , x3 ,...,xn ) onde xi  xi (t1 , t 2 , t3 ,...,t m )
(i  1,2,...,n) , temos que:
n f x
df
i

dt j i 1 xi t j
(Eq. A1.10)
Exemplo 1:
Calcular a derivada de f ( x, y)  x. y , onde x(u, v)  u.v , y(u, v)  u sen (v)
2
com relação à u :
Resolução:
Utilizando a Equação A1.10:
149

151. df f x f y


du x u y u
df
 ( y).(v)  ( x).(2u.sen (v))
du
df
 (u 2 sen (v)).(v)  (u.v).(2u.sen (v))
du
df
 3u 2 .v.sen (v)
du
(Eq. A1.11)
Exemplo 2:
Considere a função f ( x, y ) , onde x  x(u, v) e y  y(u, v) , Calcule:
a) f uu
b) f uv
Resolução da Letra a):
Calculando a derivada da função f ( x, y ) em relação à u :
df f x f y


du x u y u
f u  f x xu  f y yu
Calculando a derivada segunda da função f ( x, y ) em relação à u :
d2 f
  f x    f y 

 
 
du 2 u  x u  u  y u 


Podendo ser escrita como:
d2 f


  f x xu    f y yu 
u
du 2 u
Utilizando a regra do produto:
d2 f


 ( f x ).(xu )  f x xuu  ( f y ).( yu )  f y yuu
u
du 2 u
150

152. Observe que as funções derivadas definidas por f x e f y também são funções
que dependem das variáveis ( x, y ) , assim para calcularmos a derivada parcial,
devemos utilizar novamente o conceito de regra da cadeia, assim:
 f y x f y y 
 f x f x y 
.xu  f x xuu  
f uu   x

 x u y u 
 x u  y u . yu  f y yuu





f uu   f xx xu  f xy yu .xu  f x xuu   f yx xu  f yy yu . yu  f y yuu
2
2
f uu  f xx xu  f yy yu  2 f xy xu yu  f x xuu  f y yuu
2
2
f uu  f xx xu  f yy yu  2 f xy xu yu  f x xuu  f y yuu
(Eq. A1.12)
Resolução da Letra b):
Calculando a derivada da função f ( x, y ) em relação à u :
f u  f x xu  f y yu
Calculando a derivada de f u em relação à v :
f uv 

 f x xu     f y yu 
v
v
Novamente utilizando a regra do produto e a regra da cadeia:
f uv 


( f x ).xu  f x xuv  ( f y ).yu  f y yuv
v
v
f uv  ( f xx xv  f xy yv ).xu  f x xuv  ( f yx xv  f yy yv ).yu  f y yuv
Assim:
f uv  f xx xv xu  f yy yv yu  f xy xu yv  f xy xv yu  f x xuv   f y yuv
(Eq. A1.13)
151

153. Apêndice 2: Solução alternativa da equação da onda
No Tópico 2.3 foi discutido a solução clássica da equação da onda, obtida por
Jean le Rond d'Alembert, nesse tópico será discutida uma solução geral de
uma forma mais simples e eficiente, utilizando operações lineares sobre os
operadores diferenciais.
O problema da solução da equação da onda consiste em encontrar a solução
da seguinte equação:
utt  c 2u xx

c  constante
   x  

0  t  
“EDP Hiperbólica”
(Eq. A2.1)
A Equação A2.1 pode ser escrita da seguinte forma:
utt  c 2u xx  0
(Eq. A2.2)
ou utilizando operadores diferenciais:
 2u
 2u
 c2 2  0
t 2
x
(Eq. A2.3)
Considerando que operadores diferenciais são de fato operadores lineares,
onde a demonstração está fora do escopo desse livro, pode-se escrever a
Equação A2.3 da seguinte forma:
  


  c   c u  0
x  t
x 
 t
(Eq. A2.4)
assim têm-se que a Equação A2.4 é válida se e somente se:
u
 u

 c  0
 t
x


(Eq. A2.5)
ou
u
 u

 c  0
 t
x


(Eq A2.6)
que são as equações da advecção para a esquerda e para a direita. A solução
dessas equações é feita utilizando-se o método das características, e é
descrita com mais detalhes no Capítulo 3, sendo escrita como:
u( x, t )  f ( x  ct )
(Eq. A2.7)
152

154. u( x, t )  g ( x  ct )
(Eq. A2.8)
Assim a solução geral da Equação A2.1 é dada pela soma das Equações A2.7
e A2.8:
u( x, t )  f ( x  ct )  g ( x  ct )
(Eq. A2.9)
Que é a mesma solução demonstrada no Tópico 2.3.
153

155. Apêndice 3: Ortogonalidade de Funções
Na álgebra linear o produto interno de dois vetores bidimensionais é dado por:
u, v  u x v x  u y v y
(Eq. A3.1)
Adotando uma notação indexada:
u, v  u1v1  u2v2
(Eq. A3.2)
Estendendo essa notação para vetores tridimensionais:
u, v  u1v1  u2v2  u3v3
(Eq. A3.3)
De forma análoga, se o vetor possuir um tamanho n , o produto interno é dado
por:
n
u, v   ui vi
(Eq. A3.4)
i 1
Agora, se substituirmos os vetores por funções contínuas no domínio, o
produto interno de duas funções pode ser definido como:
b
f ( x), g ( x)   f ( x) g ( x)dx
(Eq. A3.5)
a
A Equação A3.5 define produto interno de duas funções contínuas. Por
definição, dois vetores são ditos ortogonais se são perpendiculares entre si, ou
seja, se o produto interno entre eles for nulo. De forma análoga, duas funções
são ditas ortogonais se:
f ( x), g ( x)  0
(Eq. A3.6)
A3.1 – Ortogonalidade de funções do tipo seno:
Agora que foi apresentado o conceito de ortogonalidade de funções, vamos
definir as seguintes funções:
 nx 
f ( x)  sen 

 L 
(Eq. A3.7)
154

156.  mx 
g ( x)  sen 

 L 
(Eq. A3.8)
As funções definidas são as mesmas deduzidas no Capítulo 9, quando se
estuda a propagação de ondas em meios finitos. O estudo dessas funções é
denominado análise de Fourier, onde Joseph Fourier no século 19 contribui
com os principais estudos dessa área. Aplicando o produto interno dessas
funções em um domínio finito dado por x  (0, L) :
 nx   mx 
f ( x), g ( x)   sen 
 sen 
dx
 L   L 
0
L
(Eq. A3.9)
Existem duas situações diferentes na integral acima:
i.
mn
Nessa situação a Equação A3.9 pode ser escrita como:
 mx 
f ( x), g ( x)   sen 2 
dx
 L 
0
L
(Eq. A3.10)
Que pode ser escrita da seguinte forma:
f ( x), g ( x) 
1L
 2mx 
1  cos L dx
20


(Eq. A3.11)
Integrando:
L
1
 2mx  L 
f ( x), g ( x)   x  sen 


2
 L  2m  0
(Eq. A3.12)
Enfim,
f ( x), g ( x) 
ii.
L
2
(Eq. A3.13)
mn
Nessa forma a Equação A3.9 pode ser escrita como sendo:
155

157.  nx   mx 
f ( x), g ( x)   sen 
 sen 
dx
 L   L 
0
L
(Eq. A3.14)
Que pode ser escrita da seguinte forma:
1 L   (n  m)x 
 (n  m)x 
f ( x), g ( x)   cos
  cos
 dx
2 0 
L
L



(Eq. A3.15)
Integrando a Equação A3.15:
L
1 L
L
 (n  m)x 
 (n  m)x 
f ( x), g ( x)  
sen 
sen 


2 (n - m)
L
L

 (n  m)

 0
(Eq. A3.15)
Substituindo os valores, é possível verificar que:
f ( x), g ( x)  0
(Eq. A3.16)
Dessa forma, foi deduzida a propriedade de ortogonalidade da função seno:
L
 ,m  n
 nx   mx 
 sen L sen L dx   2

 

0
0, m  n

L
(Eq. A3.17)
A3.2 – Ortogonalidade de funções do tipo cosseno:
De forma análoga ao que foi feito para a função seno, é possível definir a
seguinte função cosseno:
 nx 
f ( x)  cos

 L 
(Eq. A3.18)
E formar o seguinte produto interno no domínio finito dado por x  (0, L) :
 nx   mx 
f ( x), g ( x)   cos
cos
dx
 L   L 
0
L
(Eq. A3.19)
Para se resolve essa integral é necessário analisar dois casos distintos:
i.
mn
156

158. Nesse caso:
 nx 
f ( x), g ( x)   cos 2 
dx
 L 
0
L
(Eq. A3.20)
Utilizando uma substituição trigonométrica:

 nx 
f ( x), g ( x)   1 - sen 2 
 dx
 L 

0
L
(Eq. A3.21)
Essa integral foi resolvida no caso seno, e possui a seguinte solução:
L
L
x
 2mx 
f ( x), g ( x)   
sen 

 L  0
 2 4m
f ( x), g ( x) 
ii.
L
2
(Eq. A3.22)
(Eq. A3.23)
mn
Nesse caso a Equação A3.19 fica escrita como:
 nx   mx 
f ( x), g ( x)   cos
cos
dx
 L   L 
0
L
(Eq. A3.24)
Utilizando uma substituição trigonométrica, a Equação A3.24 pode ser escrita
da seguinte forma:
1 L  (n  m)x 
 (n  m)x 
f ( x), g ( x)   cos
  cos
dx
20 
L
L



(Eq. A3.25)
Resolvendo a integral:
L
1
L
L
 (n  m)x 
 (n  m)x 
f ( x), g ( x)  
sen 
sen 


2  (n  m)
L
L

 (n  m)

 0
(Eq. A3.26)
Substituindo os valores, encontra-se o seguinte valor:
157

159. f ( x), g ( x)  0
(Eq. A3.27)
Assim, combinando as Equações A3.23 e A3.27, encontra-se a relação de
ortogonalidade da função cosseno.
L
 ,m  n
 nx   mx 
 cos L cos L dx   2

 

0
0, m  n

L
(Eq. A3.28)
158