O documento discute conceitos de juros compostos, apresentando fórmulas e exemplos numéricos para cálculo de montantes, juros, valores atuais e nominais. É abordada a diferença entre juros simples e compostos, assim como taxas equivalentes, períodos não inteiros e a distinção entre taxas nominais e efetivas.

1. Washington Franco Mathias
José Maria Gomes
Matemática
Financeira
Com + de 600 exercícios
resolvidos e propostos
5ª Edição

2. Capítulo 3
JUROS
COMPOSTOS
Mathias
Gomes

3. Juros Compostos
Juros Simples:
• Apenas o capital inicial rende juros;
• O Juro é diretamente proporcional ao tempo e à taxa.
Juros Compostos:
• O Juro gerado pela aplicação, em um período, será
incorporado;
• No período seguinte, o capital mais o juro passa a ge-
rar novos juros;
• O regime de juros compostos é mais importante, por-
que retrata melhor a realidade.
Mathias
Gomes

4. Diferença entre os regimes
de capitalização
Co= 1000,00
i= 20 % a.a.
n= 4 anos
n Juros Simples Juros Compostos
Juro por Período Montante Juro por período Montante
1 1000 x 0,2 = 200 1200 1000 x 0,2 = 200 1200
2 1000 x 0,2 = 200 1400 1200 x 0,2 = 240 1440
3 1000 x 0,2 = 200 1600 1440 x 0,2 = 288 1728
4 1000 x 0,2 = 200 1800 1728 x 0,2 = 346 2074
Mathias
Gomes

5. Montante EXEMPLO
O cálculo do montante, em juros compostos
é dado pela fórmula:
C n = C o (1 + i ) n
Cn = montante ao fim de “n” períodos
Co = capital inicial
n = número de períodos
i = taxa de juros por período
Mathias
Gomes

6. Exemplo
Uma pessoa toma $ 1.000,00 emprestado a juros de 2% a.m.
pelo prazo de 10 meses com capitalização composta. Qual o
montante a ser devolvido ?
Resolução: C0 = 1.000
i = 2% a .m.
n = 10 meses
Temos: C n = C 0 (1 + i ) n
C 10 = C 0 (1 + i )10
C 10 = 1.000 (1 + 0,02 )10
C 10 = 1.000 (1,02 )10
Mathias
∴ C 10 = $1.218,99
Gomes

7. Cálculo de Juro EXEMPLO
O juro é dado pela fórmula seguinte:
Jn =C.[( +i) −1
o 1 ] n
Jn = juros após “n” períodos
Co = capital inicial
n = número de períodos
i = taxa de juros por período
Mathias
Gomes

8. Exemplo
Qual o juro pago no caso do empréstimo de $ 1.000,00 à taxa
de juros compostos de 2% a.m. e pelo prazo de 10 meses ?
Resolução: C0 = 1.000
i = 2% a .m.
n = 10 meses
Temos: Jn = [C 0 (1 + i ) n − 1]
J 10 = 1.000[(1 + 0,02 )10 − 1]
J 10 = 1.000[(1,02 )10 − 1]
J 10 = 1.000[0,21899 ]
Mathias
∴ J 10 = $218,99
Gomes

9. Valor Atual e Valor
Nominal EXEMPLO
• O Valor Atual corresponde ao valor da aplicação
em uma data inferior à do vencimento.
• O Valor Nominal é o valor do título na data do
seu vencimento.
N
V=
(1 + i ) n
V = valor atual
N = valor nominal
i = taxa de juros
n = número de períodos que antecede o vencimento do título
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Gomes

10. Exemplo
a) Por quanto devo comprar um título, vencível daqui a 5 me-
ses, com valor nominal de $ 1.131,40, se a taxa de juros com-
postos corrente for de 2,5% a.m. ?
Resolução:
N=1.131,40
V
n = 5 Meses
Mathias
Gomes

11. Exemplo
N = 1.131,40
i = 2,5 % a.m.
n = 5 meses
N
V =
(1 + i ) n
1.131,40 1.131,40
V = 5
≅
(1,025) 1,131408
V ≅ $1.000,00
Portanto, se comprar o título por $ 1.000,00, não esta-
rei fazendo mau negócio.
Mathias
Gomes

12. Exemplo
b) Uma pessoa possui uma letra de câmbio que vence daqui a
1 ano, com valor nominal de $ 1.344,89. Foi-lhe proposta a tro-
ca daquele título por outro, vencível daqui a 3 meses e no valor
de $ 1.080,00. Sabendo-se que a taxa corrente de mercado é
de 2,5% a.m., pergunta-se se a troca proposta é vantajosa.
Resolução:
N=1.344,89
N*=1.080,00
0 3 12
Mathias
Gomes

13. Exemplo
O valor atual na data focal zero da letra de câmbio que vence
em 12 meses é dado por:
N 1344, 89
V1 = =
(1 + i )12 (1, 025)12
1.344, 89
V1 = ≅ 1.000, 00
1, 344889
∴ V 1 = $1.000, 00
Calculemos agora o valor atual na data zero, da letra que vence
em 3 meses:
N* 1080, 00
V2 = 3
=
(1 + i ) (1, 025)3
Mathias
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14. Exemplo
1.080,00
V2 =
1,076891
∴ V 2 = $1.002,89
Comparando os dois valores atuais constatamos que:
V 2 > V1
Ou seja, o título que vence em 3 meses tem um valor atual um
pouco maior que o que vence em 12 meses. Portanto, a troca
seria vantajosa.
Mathias
Gomes

15. Taxas Equivalentes EXEMPLO
Duas taxas de juros são equivalentes se, consi-
derados o mesmo prazo de aplicação e o mesmo
capital, for indiferente aplicar em uma ou em ou-
tra.
iq = 1 + i − 1
q
onde:
iq = taxa referente a uma fração 1/q a que se refere a taxa “i”.
i = taxa referente a um intervalo de tempo unitário
Mathias
Gomes

16. Exemplo
a) Dada a taxa de juros de 9,2727% ao trimestre, determinar a
taxa de juros compostos equivalente mensal.
Resolução:
iq = q 1 + i − 1
Sendo que: q = 3 meses
i = 9,2727% a.t.
Portanto: i 3 = 3 1 + 0,092727 − 1
i 3 = 3 1,092727 − 1
i 3 = 1,03 − 1
∴ i 3 = 0,03a.m.
ou i 3 = 3% a.m.
Mathias
Gomes

17. Exemplo
b) Suponhamos que C0 = 1.000,00; iq = 2% a.m.; i = 26,824%
a.a. e n = 1 ano. Verificar se i e iq são equivalentes.
Resolução: Para verificar se as duas taxas são equivalentes,
vamos aplicar o capital de $ 1.000,00 pelo mesmo prazo. Va-
mos adotar 1 ano, que é o período de aplicação corresponden-
te à taxa i.
O montante à taxa i, é:
C1 = 1.000(1,26824)
C1 = $ 1.268,24
Calculando-se o montante em 12 meses para a taxa iq, tem-se:
C1’ = 1.000(1,02)12
C1’ = 1.000(1,268242)
Logo: C1’ = $ 1.268,24
Mathias
Gomes

18. Exemplo
Portanto, como C1 = C1’, podemos concluir que a taxa de 2%
a.m. é equivalente à taxa de 26,824% ao ano.
Note-se que esta taxa é maior que a taxa equivalente obtida a
juros simples (ou seja: 2% x 12 meses = 24% ao ano).
c) Se um capital de $ 1.000,00 puder ser aplicado às taxas de
juros compostos de 10% ao ano ou de 33,1% ao triênio, deter-
minar a melhor aplicação.
Resolução: Para determinar qual a melhor aplicação, vamos a-
plicar o capital disponível às duas taxas e por um mesmo prazo.
Façamos a aplicação por 3 anos, que é o período da segunda ta-
xa.
Mathias
Gomes

19. Exemplo
Aplicando à taxa de 10% a.a.
C3 = 1.000(1 + 0,10)3
C3 = 1.000(1,331)
C3 = $ 1.331,00
Aplicando à taxa de 33,1% ao triênio, por um triênio:
C1 = 1.000(1 + 0,331)1
C1 = 1.000(1,331)
C1 = $ 1.331,00
É portanto, indiferente aplicar-se a qualquer das taxas; ou seja,
as taxas são equivalentes.
Mathias
Gomes

20. Períodos Não-Inteiros
Convenção Exponencial EXEMPLO
Nesta convenção, os juros do período não-
inteiro são calculados utilizando-se a taxa equiva-
lente.
n+ p / q
Cn , p / q = Co(1 + i )
Co = Capital inicial
n = número de períodos inteiros
i = taxa de juros
p/q = fração própria (p<q) de um período a que se refere a ta-
xa “i”
Cn,p/q = montante ao fim de (n+p/q) períodos
Mathias
Gomes

21. Exemplo
Um capital de $ 1.000,00 é emprestado à taxa de juros com-
postos de 10% a.a., pelo prazo de 5 anos e 6 meses. Tendo
por base a capitalização anual, qual será o montante ?
Resolução:
a) por etapas:
1ª etapa: calculamos o montante para os períodos inteiros:
C5 = C0(1 + i)5
C5 = 1.000(1,10)5
C5 = 1.000(1,61051)
C5 = $ 1.610,51
2ª etapa: como a taxa está em base anual (12 meses), te-
mos:
p = 6 meses p 1
q = 12 meses } ∴ =
q 2
Mathias
Gomes

22. Exemplo
Portanto:
C’n,p/q = Cn(1 + i)p/q
C’5,1/2 = C5(1,10)1/2
C’5,1/2 = 1.610,51(1,048809)
C’5,1/2 = $ 1.689,12
b) usando a fórmula:
C’n,p/q = C0(1 + i)n+p/q
C’5,1/2 = 1.000(1,10)5+1/2
C’5,1/2 = 1.000(1,10)5,5
C’5,1/2 = $ 1.689,12
Mathias
Gomes

23. Taxa Efetiva e Nominal
Diz-se que a taxa é nominal quando o pe-
ríodo de capitalização não coincide com o período
da taxa.
i kn
C nk = C o (1 + )
k
e
i k
i f = (1 + ) − 1
k
Mathias
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24. Taxa Efetiva e Nominal
EXEMPLO
i = taxa nominal
if = taxa efetiva
k = número de capitalizações para 1 período da taxa
efetiva
n = número de períodos de capitalização da taxa no-
minal
C0 = Principal
Cnk = Montante
Mathias
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25. Exemplo
1) Um banco faz empréstimos à taxa de 5% a.a., mas adotando
a capitalização semestral dos juros. Qual seria o juro pago por
um empréstimo de $ 10.000,00, feito por 1 ano ?
Resolução: Adotando-se a convenção de que a taxa por perío-
do de capitalização seja a taxa proporcional simples à taxa no-
minal dada, tem-se:
i 5
i = 5% a.a. i ' = = = 2,5%a.s.
k 2
Onde k corresponde ao prazo de formação de juros, ou
seja, é o número de vezes em que foi dividido o período corres-
pondente à taxa dada.
Nestas condições, o montante no primeiro semestre é
dado por:
Mathias
Gomes

26. Exemplo
C1 = C0 (1+i/k)1
C1 = 10.000 (1 + 0,025)1 = $ 10.250,00
E, no segundo semestre, tem-se:
C2 = 10.250(1 + 0,025)1=$ 10.506,25
O montante que seria devido caso a capitalização fosse anual é
dado por:
C’ = C0(1 + i)1
C’ = 10.000(1 + 0,05) = $ 10.500,00
Constatamos que existe uma pequena diferença para mais no
montante, quando o prazo de capitalização não coincide com o
prazo da taxa.
Mathias
Gomes

27. Exemplo
A taxa efetiva nesta operação, em que temos duas capitalizações,
é dada por:
if = 506,25/10.000,00 = 0,050625 a.a.
ou if = 5,0625% a.a.
E a taxa efetiva quando a capitalização é feita no período da taxa
é:
i’f = 500,00/10.000,00 = 0,05 a.a.
ou i’f = 5% a.a.
Mathias
Gomes

28. Exemplo
Observe-se que podemos obter o resultado diretamente, a-
plicando os $ 10.000,00 em dois semestres:
C2 = 10.000 (1,025)2 = 10.506,25
A taxa efetiva é dada por:
1 + if = (1,025)2 = 1,050625
if = 5,0625% a.a.
Mathias
Gomes

29. Exemplo
2) Um capital de $ 1.000,00 foi aplicado por 3 anos, à taxa de
10% a.a. com capitalização semestral. Calcular o montante e
a taxa efetiva da operação.
Resolução: i = 10% a.a.
K=2
n = 3 anos
Portanto: Cnk = C0 (1 + i/k)kn
C6 = 1.000 (1 + 0,10/2)2.3
C6 = 1.000 (1 + 0,05)6
C6 = $ 1.340,10
A taxa efetiva é dada por:
if = (1 + i/k)2 - 1
if = (1 + 0,05)2 - 1
if = 10,25% a.a.
Mathias
Gomes

30. Exemplo
3) Sabendo-se que uma taxa nominal de 12% a.a. é capitalizada
trimestralmente, calcular a taxa efetiva.
Resolução: Como em 1 ano existem 4 trimestres, temos k=4.
Então: if = (1+i/k)k - 1
if = (1+0,12/4)4 - 1
if = (1,03)4 - 1
if =1,12551 - 1
if =0,12551 a.a. ou if = 12,551% a.a.
Mathias
Gomes