O documento discute os conceitos de desconto composto, apresentando suas modalidades e fórmulas para cálculo. Exemplos numéricos ilustram como aplicar as fórmulas em questões sobre desconto de títulos e empréstimos.

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Matemática Financeira
Marcos Luciano
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DESCONTO COMPOSTO
Quando um título de crédito (duplicata, nota
promissória) é quitado antes da data de
vencimento acordada, gera para aquele que
paga o direito a um desconto pela antecipação
do pagamento. De uma forma geral, acontece
o pagamento antecipado de um título antes da
data acordada para o pagamento em data
futura.
Operação de Desconto.
A operação de desconto (independentemente
do tipo de regime: simples ou composto),
consiste em projetar um valor monetário futuro
(valor nominal – cujo vencimento é em uma
data futura) para uma data atual (presente),
obtendo um valor monetário presente (valor
atual).
Elementos da operação de Desconto:
 N: valor nominal → É o valor do título na
data de vencimento. Conhecido como: valor
futuro, valor de face, valor do título, valor da
duplicata, valor da promissória, valor do
cheque;
 n: é o prazo de antecipação; é o período
da operação;
 D: desconto → é o valor da redução, do
abatimento que se obtém pela antecipação do
pagamento do título. Reduz o valor nominal;
 A: valor atual → é o valor do título na
data em que é quitado, antes de sua data de
vencimento. Conhecido como: valor presente,
valor atual, valor líquido, valor após o desconto,
valor reduzido, valor descontado. Vale a
seguinte relação, independente da modalidade
do desconto: A = N - D;
 i: taxa de desconto (da operação) →
valor percentual, seguido de uma unidade de
tempo.
MODALIDADES DE DESCONTO COMPOSTO
O desconto composto possui as seguintes
modalidades:
 Desconto composto comercial ou por
fora (Df): a referência é o valor nominal (N).
 Desconto composto racional ou por
dentro (Dd):a referência é o valor atual (A).
RESOLUÇÃO:
DESCONTO COMPOSTO COMERCIAL OU
POR FORA (Df)
É o desconto calculado sobre o valor nominal
(N). É importante ressaltar que o valor atual é o
valor de referência do desconto racional (por
dentro).
• Fórmula para o cálculo do valor atual
composto comercial:
• É válida a seguinte relação:
OBSERVAÇÕES:
• A taxa é normalmente é indicada
percentualmente, mas realizamos os cálculos
na forma centesimal (fracionária) ou decimal
(unitária). Dica: na fórmula do desconto
composto comercial a taxa é substituída na
forma decimal.
• O fator normalmente não é
fornecido em um tabela (mas pode ser
acontecer). A depender do valor do tempo (n),
será preciso fazer o cálculo.

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EXERCÍCIOS EM AULA
01. (NÍVEL SUPERIOR PROMINP
CESGRANRIO) Qual o valor atual, em reais,
de um título cujo valor de face é R$ 2.000,00
descontado dois meses antes do
vencimento (desconto composto por fora),
sendo a taxa de desconto de 10% ao mês?
a) 1.600,00
b) 1.620,00
c) 1.680,00
d) 1.720,00
e) 1.800,00
02. (SEFAZ RJ FGV) Um título com três anos
até o vencimento tem valor futuro de R$
10.000,00. Sabendo-se que um banco
apresenta uma taxa de desconto composto
comercial de 50% ao ano, o valor presente
desses título é
a) R$ 1.250,00
b) R$ 2.000,00
c) R$ 3.333,33
d) R$ 4.000,00
e) R$ 5.000,00
DESCONTO COMPOSTO RACIONAL OU
POR DENTRO (Dd)
É o desconto calculado sobre o valor atual (A).
É importante ressaltar que o valor atual é o
valor de referência do desconto racional (por
dentro).
• Fórmula para o cálculo do valor atual
composto racional:
• É válida a seguinte relação:
OBSERVAÇÕES:
• As expressões: capitalização =
capitalizados = aplicações bancárias =
financiamentos são indicativas do regime
composto (a não ser que a questão informe
que o regime é o simples);
• A taxa e o tempo, obedecem,
obrigatoriamente, ao período da
capitalização(correção). Caso o mesmo não
seja dado, adotaremos o período da taxa;
• O fator é chamado fator de
acumulação de um único capital. Seu valor
pode ser obtido em uma tabela, que pode ser
fornecida. Em algumas provas pode ser dado o
valor a ser utilizado ou ainda, se o tempo (n) for
pequeno, será preciso fazer o cálculo.
• A taxa é normalmente é indicada
percentualmente, mas realizamos os cálculos
na forma centesimal (fracionária) ou decimal
(unitária). Dica: na fórmula do desconto
composto comercial a taxa é substituída na
forma decimal.
EXERCÍCIOS EM AULA
04. (AFRFB ESAF) Obtenha o valor hoje de
um título de R$ 10.000,00 de valor nominal,
vencível ao fim de três meses, a uma taxa
de juros de 3% ao mês, considerando um
desconto racional composto e desprezando
os centavos.
a) R$ 9.140,00
b) R$ 9.126,00
c) R$ 9.151,00
d) R$ 9.100,00
e) R$ 9.174,00
02. (ANALISTA CVM ESAF 2010) Um título é
descontado quatro meses antes do seu
vencimento a uma taxa de desconto de 5%
ao mês, sendo o valor do desconto racional
composto calculado em R$ 4.310,00.
Marque o valor mais próximo do valor
nominal do título.

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(A) R$ 20.000,00
(B) R$ 24.309,00
(C) R$ 21.550,00
(D) R$ 25.860,00
(E) R$ 15.690,00
RESOLUÇÃO:
02. (ANEEL ESAF) Carlos contraiu um
empréstimo que deverá ser pago da
seguinte forma: dois anos após a data do
fechamento do negócio, R$ 20.000,00: três
anos após a data do fechamento do
negócio, R$ 30.000,00. Sabendo que o
empréstimo foi contraído a uma taxa de
juros compostos de 3% ao mês, conclui-se
que Carlos tomou emprestada, em reais, a
quantia de
RESOLUÇÃO:
03. (AFRBF ESAF) Uma pessoa tomou um
empréstimo á taxa de 4% ao mês, com juros
compostos capitalizados mensalmente.
Este empréstimo deve ser pago em duas
parcelas mensais e iguais de R$ 1.000,
daqui a 13 e 14 meses, respectivamente. O
valor que mais se aproxima do valor de um
único pagamento no décimo quinto mês
que substitui estes dois pagamentos é:
(A) R$ 2.012,00
(B) R$ 2.121,00
(C) R$ 2.333,33
(D) R$ 2.484,84
(E) R$ 2.516,16
RESOLUÇÃO:
04. (AFRFB ESAF) Ana quer vender um
apartamento por R$ 400.000,00 à vista ou
financiado pelo sistema de juros compostos
a taxa de 5% ao semestre. Paulo está
interessado em comprar esse apartamento
e propõe à Ana pagar os R$ 400.000,00 em
duas parcelas iguais, com vencimento a
contar a partir da compra. A primeira
parcela com vencimento em seis meses e a
segunda com vencimento em dezoito
meses. Se Ana aceitar a proposta de Paulo,
então, sem considerar os centavos, o valor
de cada uma das parcelas será igual a:
(A) R$ 220.237,00
(B) R$ 230.237,00
(C) R$ 242.720,00
(D) R$ 275.412,00
(E) R$ 298.654,00

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RESOLUÇÃO:
05. (AFRFB ESAF) Uma empresa adquiriu de
seu fornecedor mercadorias no valor de R$
100.000,00 pagando 30% à vista. No
contrato de financiamento realizado no
regime de juros compostos, ficou
estabelecido que para qualquer pagamento
que for efetuado até seis meses a taxa de
juros compostos será de 9,2727% ao
trimestre. Para qualquer pagamento que for
efetuado após seis meses, a taxa de juros
compostos será de 4% ao mês. A empresa
resolveu pagar a dívida em duas parcelas.
Uma parcela de R$ 30.000,00 no final do
quinto mês e a segunda parcela dois meses
após o pagamento da primeira. Desse
modo, o valor da segunda parcela, sem
considerar os centavos, deverá ser igual a:
(A) R$ 62.065,00.
(B) R$ 59.065,00.
(C) R$ 61.410,00.
(D) R$ 60.120,00.
(E) R$ 58.065,00.
RESOLUÇÃO:
06. (AFC ESAF) Uma pessoa contraiu uma
dívida no regime de juros compostos que
deverá ser quitada em três parcelas. Uma
parcela de R$ 500,00 vencível no final do
terceiro mês; outra de R$ 1.000,00 vencível
no final do oitavo mês e a última, de R$
600,00 vencível no final do décimo segundo
mês. A taxa de juros cobrada pelo credor é
de 5% ao mês. No final do sexto mês o
cliente decidiu pagar a dívida em uma única
parcela. Assim, desconsiderando os
centavos, o valor equivalente a ser pago
será igual a:
a) R$ 2.535,00;
b) R$ 2.100,00;
c) R$ 2.153,00;
d) R$ 1.957,00;
e) R$ 1.933,00.
RESOLUÇÃO: