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Matemática Financeira
 Aplicada ao Varejo

   Prof.Esp. Dickson V. Santos
  MSN: dicksonvs@hotmail.com
Aula
 5                 01




       Regime de Juros Simples
              Descontos
       Períodos de Capitalização
Regime de Juros Simples
                               02


Somente recordando os conceitos desenvolvidos anteriormente,
notamos que o regime de juros simples é adotado,
principalmente em duplicatas, boletos, carnês (em multas) e etc,
com operações inferiores a um período, normalmente.

Esta medida não impede que seja adotado para períodos
superiores, contudo, o regime se torna menos compensador que
o regime de juros compostos, como veremos em breve!
Regime de Juros Simples
                                       03


Para calcularmos valor presente (P), valor futuro (F), taxa de
juros (i) e períodos (n), sob o regime de juros simples, adotamos
a expressão:
                                 F=P(1+i.n)


E, para calcular-se os juros correspondentes a uma operação:

                                    J=P.i.n


Ex.: Assim, se tivéssemos que pagar um boleto no valor de $600,00, com atraso
de 5dias e taxa de juros simples de 0,1%.a.d., teríamos que:

            F=600,00(1+0,001.5)= $603,00 e J=600,00.0,001.5=$3,00
Descontos
                             04


Muitas vezes as empresas necessitam de recursos financeiros
de terceiros. Além de empréstimos e outras captações de
recursos, as empresas fazem uma operação conhecida como
desconto de título de crédito.

 O título de crédito (como uma duplicata) é o compromisso de
  alguém com a empresa para o pagamento em uma
  determinada data.

 A empresa necessitando da antecipação deste dinheiro
  recorre à uma instituição financeira que aplica um desconto
  no valor do título. Este desconto é o juro cobrado pela
  instituição financeira pela antecipação do dinheiro.
Descontos
                              05


 Chama-se “Valor de Face”, ou “Valor Nominal” do título, o
  valor nominalmente expresso neste título. O “Valor de
  Resgate” é o valor antecipado pelo Banco após ser aplicado o
  desconto.

 A “Taxa de Desconto” é o índice usado para calcular o
  desconto e, o “Período de Antecipação”, é período em que o
  título foi antecipado.

 Chama-se Desconto Simples por ser calculado dentro do
  regime de capitalização simples.

             O Desconto pode ser de dois tipos:
    Desconto Simples Bancário, ou Comercial ou “Por Fora”
        Desconto Simples Racional, ou “Por Dentro”
Descontos
                               06

Estaremos focados, neste curso, no desconto comercial ou
bancário, em função de sua difusão e adoção no mercado.

Quando lidamos com as operações de desconto, devemos
determinar os fatores (variáveis) que o tornam possíveis de
ocorrerem...

Assim, se formos executar quaisquer operações, devemos ter,
basicamente:

          N    (Valor de Face)
          i    (Taxa de juros ou desconto)
          n    (Períodos / Tempo de vencimento)
          Dc   (Desconto comercial
          VR   (Valor recebido/ Valor do Resgate)
Descontos
                                       07

Dessa forma, considere a situação:
“Uma nota promissória de $1000,00 tem vencimento para daqui a 3 meses. Você
deseja descontá-la hoje, junto a um banco. Se a taxa de juros é de 5% a.m., qual o
valor do desconto? Quanto receberá no total?”
                                                            VR=?        Dc       1000,00

Agora vem uma questão...                          +
                                                      ...
                                                  -                 1        2   3

Mas como calcular-se descontos e o valor recebido? Simples...

                                  Desconto:
                                   Dc=N.i.n

                              Valor a Receber:

     VR=N – Dc                   VR=N - (N.i.n)                    VR=N.(1-i.n)
Descontos
                                       08

Dessa forma, temos condições de saber quanto o banco
descontará do valor de face e quanto receberemos,
efetivamente!

Assim, temos:
“Uma nota promissória de $1000,00 tem vencimento para daqui a 3 meses. Você
deseja descontá-la hoje, junto a um banco. Se a taxa de juros é de 5% a.m., qual o
valor do desconto? Quanto receberá no total?”

Inicialmente, temos que: N=1000,00, n=3, i=5%=0,05.
Desejamos encontrar Dc e VR.

      Dc=N.i.n           Dc=1000,00.0,05.3                    Dc=150,00

VR=N.(1-i.n)            VR=1000,00.(1-0,05.3)               VR=1000,00.0,85
                              VR=850,00
Descontos
                                   09

Ex.: Qual o valor de face de um título resgatado 3 meses antes do
seu vencimento, por $4132,00, sabendo-se que a taxa de
desconto simples bancário utilizada foi de 2,1% a.m.?

Temos: VR=4132,00, n=3, i=2,1%=0,021. N=?


             VR=N.(1-i.n)         4132,00=N.(1-0,021.3)

                 4132,00=N.0,937            N=4409,82
Descontos
                               10

Ex.: Recebi um cheque de um cliente em minha loja, no valor de
$1350,00, pré-datado para 45dias. Vou precisar deste valor
antecipadamente e gostaria de descontar este cheque no banco
em que minha loja tem conta. O gerente me informou que a taxa
de juros de desconto era de 2,5% a.m., pelo bom relacionamento
da loja com o banco. Quanto poderei resgatar? Quanto terei de
desconto?
Temos: n=45dias=1,5meses, i=2,5%=0,025, N=1350,00
        VR=?, Dc=?

VR=N.(1-i.n)     VR=1350,00.(1-0,025.1,5)   VR=1350,00.0,9625
                          VR=1299,38

               Dc=N.i.n      Dc=1350,00.0,025.1,5
                            Dc=50,62
Descontos
                                11

Ex.: Sua empresa decidiu resgatar um título de $12000,00, 60
dias antes do seu vencimento, obtendo um valor de $10800,00.
Visando minimizar um equívoco operacional, resolveu aplicar
este valor por 120 dias, à uma taxa de juros simples de 1,4% a.m.
Quanto obteve ao final das operações? Foi compensador?

Temos, que:   N=12000,00, VR=10800,00, n=60dias=2meses
              P=10800,00, n=120dias=4meses, i=1,4%=0,014



F=P(1+i.n)     F=10800,00(1+0,014.4)            F=10800,00(1,056)
                         F=11404,80

          Como 11404,80 < 12000,00, houve prejuízo!
Descontos-Exs.
                                     12

1) Um título de R$1020,00 é descontado com um banco, 90 dias antes de seu
vencimento, a uma taxa de desconto simples de 5% a.m. Qual o valor
descontado? Qual o valor recebido?

2) Ao fornecer produtos a um cliente, minha empresa recebeu R$31200,00 de
promissória, com vencimento em 60dias. Levei esta promissória para ser
descontada no banco, ao qual fui informado de que a taxa de desconto seria de
1,35% a.m. Quanto receberei com este resgate?

3) Uma empresa possui três títulos a vencer e decide descontá-los num banco. A
taxa desconto simples bancário contratada era de 3,0% a. m. Quanto a empresa
resgatará, no total?
                           Título    Valor de Face    Vence em:
                             1        7230,00           90
                             2        8510,00           60
                             3        9150,00           75
Períodos de Capitalização
                                  13

Segundo os cálculos que realizamos até o momento, pudemos
notar que períodos e taxas põem, de acordo com a situação,
assumir referências distintas, ou seja, não estarem ambas
adequadas às resoluções de problemáticas.

Se considerássemos a questão:
“Emprestei R$900,00, devendo pagar no prazo de 135 dias, com uma taxa de
juros simples de 3,0% a.m. Quanto pagarei no total?”

Neste simples caso percebemos que temos períodos em dias e
taxa de juros determinada ao mês. Devemos transformar uma
delas ao padrão da outra, para que os cálculos sejam realizados,
portanto!
Períodos de Capitalização
                                          14




                             Dicas fundamentais:

 Ano comercial ≠ Ano Calendário
(Considerar 360 dias e não 365)

 Mês Comercial ≠ Mês Calendário
(Considerar 30 dias para casa mês e não 28, 29, 30 e 31)

 Sempre converter período de operação no padrão da taxa
(Se n em dias e % a.m., converter dias para mês, por ex.)

 Recordar conceitos de regra de três simples
(Calcular períodos por regra de três como alternativa à tabela a seguir)
Períodos de Capitalização
                                              15

Como forma de facilitar seus cálculos e conversões, temos a tabela:
                                         Período

     De                                                Para

                  Dia    Mês      Bimestre   Trimestre    Quadrimestre   Semestre    Ano

    1 Dia         1     0,03333   0,01666    0,11111          0,00833    0,00555    0,00277

    1 Mês         30      1       0,50000    0,33333          0,25000    0,16666    0,08333

  1 Bimestre      60      2          1       0,66666          0,50000    0,33333    0,16666
                                                                                              -
 1 Trimestre      90      3       1,50000          1          0,75000    0,50000    0,25000
                                                                                              +
1 Quadrimestre   120      4          2       1,33333            1        0,66666    0,33333

 1 Semestre      180      6          3             2          1,50000       1       0,50000

    1 Ano        360      12         6             4            3           2         1



                  Notem que podemos trabalhar com período (n) em:
          dias, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres e anos
Períodos de Capitalização
                                        16

Agora, se retomássemos o exemplo, teríamos:
“Emprestei R$900,00, devendo pagar no prazo de 135 dias, com uma taxa de juros
simples de 3,0% a.m. Quanto pagarei no total?”

Deveríamos transformar o período de dias em meses, acompanhando a taxa de juros
(a.m.).
Ficaríamos com:

   30   _____ 1                   30 1
                                     =             30x=135.1          x=4,5meses
                                  135 x
  135 _____ x

Apoiando-se na expressão de valor futuro para o regime de juros simples, obtemos:
(P=900,00, n=4,5meses, i=3,0%=0,03, F=?)

          F=P(1+i.n)        F=900,00(1+0,03.4,5)        F=900,00.(1,135)
                                   F=1021,50
Períodos de Capitalização
                                      17

Ex.: Minha empresa recebeu, como forma de pagamento pela
prestação de serviços, uma promissória no valor de R$17500,00,
com data de vencimento de 72dias. Ao descontar esta promissória
no banco, a taxa de desconto cobrada foi de 13,2% a.a. Qual será o
valor resgatado?

Temos, que:    N=17500,00, n=72dias=0,20meses, VR=?
               i=13,2%=0,132
  360   1
                    360 1
                       =            360x=72                      x=0,20
  72    x           72 x
         (Alternativamente, usando a tabela, teríamos 72.0,00277~0,20)
                                     (1 dia em relação ao ano)


VR=N.(1-i.n)     VR=17500,00.(1-0,132.0,20)                       VR=17500,00.0,9736
                           VR=17038,00
Períodos de Capitalização-Exs.
                                       18

1) Converta os períodos abaixo:

a) 123 dias para meses
b) 16 meses para dias
c) 5 anos para semestres
d) 17 meses para dias
e) 115 dias para anos

2) Qual o valor de face de um título resgatado 111dias antes do seu vencimento por
$2145,00. sabendo-se que a taxa de desconto simples bancário utilizada foi de 9,6%
a.m.? Qual o valor do desconto obtido?

3) Um fornecedor recebeu quatro promissórias como pagamento, conforme indicado
abaixo. Estas promissórias foram resgatadas antes do vencimento, por uma taxa de
desconto de 1,5% a.m. Qual o total resgatado?  Promissória Valor de Face Vence em:
Qual o total descontado?                           1         4500,00        35
                                                   2        6100,00       40
                                                   3        3250,00       30
                                                   4        5050,00       67

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  • 1. Matemática Financeira Aplicada ao Varejo Prof.Esp. Dickson V. Santos MSN: dicksonvs@hotmail.com
  • 2. Aula 5 01 Regime de Juros Simples Descontos Períodos de Capitalização
  • 3. Regime de Juros Simples 02 Somente recordando os conceitos desenvolvidos anteriormente, notamos que o regime de juros simples é adotado, principalmente em duplicatas, boletos, carnês (em multas) e etc, com operações inferiores a um período, normalmente. Esta medida não impede que seja adotado para períodos superiores, contudo, o regime se torna menos compensador que o regime de juros compostos, como veremos em breve!
  • 4. Regime de Juros Simples 03 Para calcularmos valor presente (P), valor futuro (F), taxa de juros (i) e períodos (n), sob o regime de juros simples, adotamos a expressão: F=P(1+i.n) E, para calcular-se os juros correspondentes a uma operação: J=P.i.n Ex.: Assim, se tivéssemos que pagar um boleto no valor de $600,00, com atraso de 5dias e taxa de juros simples de 0,1%.a.d., teríamos que: F=600,00(1+0,001.5)= $603,00 e J=600,00.0,001.5=$3,00
  • 5. Descontos 04 Muitas vezes as empresas necessitam de recursos financeiros de terceiros. Além de empréstimos e outras captações de recursos, as empresas fazem uma operação conhecida como desconto de título de crédito.  O título de crédito (como uma duplicata) é o compromisso de alguém com a empresa para o pagamento em uma determinada data.  A empresa necessitando da antecipação deste dinheiro recorre à uma instituição financeira que aplica um desconto no valor do título. Este desconto é o juro cobrado pela instituição financeira pela antecipação do dinheiro.
  • 6. Descontos 05  Chama-se “Valor de Face”, ou “Valor Nominal” do título, o valor nominalmente expresso neste título. O “Valor de Resgate” é o valor antecipado pelo Banco após ser aplicado o desconto.  A “Taxa de Desconto” é o índice usado para calcular o desconto e, o “Período de Antecipação”, é período em que o título foi antecipado.  Chama-se Desconto Simples por ser calculado dentro do regime de capitalização simples. O Desconto pode ser de dois tipos:  Desconto Simples Bancário, ou Comercial ou “Por Fora”  Desconto Simples Racional, ou “Por Dentro”
  • 7. Descontos 06 Estaremos focados, neste curso, no desconto comercial ou bancário, em função de sua difusão e adoção no mercado. Quando lidamos com as operações de desconto, devemos determinar os fatores (variáveis) que o tornam possíveis de ocorrerem... Assim, se formos executar quaisquer operações, devemos ter, basicamente: N (Valor de Face) i (Taxa de juros ou desconto) n (Períodos / Tempo de vencimento) Dc (Desconto comercial VR (Valor recebido/ Valor do Resgate)
  • 8. Descontos 07 Dessa forma, considere a situação: “Uma nota promissória de $1000,00 tem vencimento para daqui a 3 meses. Você deseja descontá-la hoje, junto a um banco. Se a taxa de juros é de 5% a.m., qual o valor do desconto? Quanto receberá no total?” VR=? Dc 1000,00 Agora vem uma questão... + ... - 1 2 3 Mas como calcular-se descontos e o valor recebido? Simples... Desconto: Dc=N.i.n Valor a Receber: VR=N – Dc VR=N - (N.i.n) VR=N.(1-i.n)
  • 9. Descontos 08 Dessa forma, temos condições de saber quanto o banco descontará do valor de face e quanto receberemos, efetivamente! Assim, temos: “Uma nota promissória de $1000,00 tem vencimento para daqui a 3 meses. Você deseja descontá-la hoje, junto a um banco. Se a taxa de juros é de 5% a.m., qual o valor do desconto? Quanto receberá no total?” Inicialmente, temos que: N=1000,00, n=3, i=5%=0,05. Desejamos encontrar Dc e VR. Dc=N.i.n Dc=1000,00.0,05.3 Dc=150,00 VR=N.(1-i.n) VR=1000,00.(1-0,05.3) VR=1000,00.0,85 VR=850,00
  • 10. Descontos 09 Ex.: Qual o valor de face de um título resgatado 3 meses antes do seu vencimento, por $4132,00, sabendo-se que a taxa de desconto simples bancário utilizada foi de 2,1% a.m.? Temos: VR=4132,00, n=3, i=2,1%=0,021. N=? VR=N.(1-i.n) 4132,00=N.(1-0,021.3) 4132,00=N.0,937 N=4409,82
  • 11. Descontos 10 Ex.: Recebi um cheque de um cliente em minha loja, no valor de $1350,00, pré-datado para 45dias. Vou precisar deste valor antecipadamente e gostaria de descontar este cheque no banco em que minha loja tem conta. O gerente me informou que a taxa de juros de desconto era de 2,5% a.m., pelo bom relacionamento da loja com o banco. Quanto poderei resgatar? Quanto terei de desconto? Temos: n=45dias=1,5meses, i=2,5%=0,025, N=1350,00 VR=?, Dc=? VR=N.(1-i.n) VR=1350,00.(1-0,025.1,5) VR=1350,00.0,9625 VR=1299,38 Dc=N.i.n Dc=1350,00.0,025.1,5 Dc=50,62
  • 12. Descontos 11 Ex.: Sua empresa decidiu resgatar um título de $12000,00, 60 dias antes do seu vencimento, obtendo um valor de $10800,00. Visando minimizar um equívoco operacional, resolveu aplicar este valor por 120 dias, à uma taxa de juros simples de 1,4% a.m. Quanto obteve ao final das operações? Foi compensador? Temos, que: N=12000,00, VR=10800,00, n=60dias=2meses P=10800,00, n=120dias=4meses, i=1,4%=0,014 F=P(1+i.n) F=10800,00(1+0,014.4) F=10800,00(1,056) F=11404,80 Como 11404,80 < 12000,00, houve prejuízo!
  • 13. Descontos-Exs. 12 1) Um título de R$1020,00 é descontado com um banco, 90 dias antes de seu vencimento, a uma taxa de desconto simples de 5% a.m. Qual o valor descontado? Qual o valor recebido? 2) Ao fornecer produtos a um cliente, minha empresa recebeu R$31200,00 de promissória, com vencimento em 60dias. Levei esta promissória para ser descontada no banco, ao qual fui informado de que a taxa de desconto seria de 1,35% a.m. Quanto receberei com este resgate? 3) Uma empresa possui três títulos a vencer e decide descontá-los num banco. A taxa desconto simples bancário contratada era de 3,0% a. m. Quanto a empresa resgatará, no total? Título Valor de Face Vence em: 1 7230,00 90 2 8510,00 60 3 9150,00 75
  • 14. Períodos de Capitalização 13 Segundo os cálculos que realizamos até o momento, pudemos notar que períodos e taxas põem, de acordo com a situação, assumir referências distintas, ou seja, não estarem ambas adequadas às resoluções de problemáticas. Se considerássemos a questão: “Emprestei R$900,00, devendo pagar no prazo de 135 dias, com uma taxa de juros simples de 3,0% a.m. Quanto pagarei no total?” Neste simples caso percebemos que temos períodos em dias e taxa de juros determinada ao mês. Devemos transformar uma delas ao padrão da outra, para que os cálculos sejam realizados, portanto!
  • 15. Períodos de Capitalização 14 Dicas fundamentais:  Ano comercial ≠ Ano Calendário (Considerar 360 dias e não 365)  Mês Comercial ≠ Mês Calendário (Considerar 30 dias para casa mês e não 28, 29, 30 e 31)  Sempre converter período de operação no padrão da taxa (Se n em dias e % a.m., converter dias para mês, por ex.)  Recordar conceitos de regra de três simples (Calcular períodos por regra de três como alternativa à tabela a seguir)
  • 16. Períodos de Capitalização 15 Como forma de facilitar seus cálculos e conversões, temos a tabela: Período De Para Dia Mês Bimestre Trimestre Quadrimestre Semestre Ano 1 Dia 1 0,03333 0,01666 0,11111 0,00833 0,00555 0,00277 1 Mês 30 1 0,50000 0,33333 0,25000 0,16666 0,08333 1 Bimestre 60 2 1 0,66666 0,50000 0,33333 0,16666 - 1 Trimestre 90 3 1,50000 1 0,75000 0,50000 0,25000 + 1 Quadrimestre 120 4 2 1,33333 1 0,66666 0,33333 1 Semestre 180 6 3 2 1,50000 1 0,50000 1 Ano 360 12 6 4 3 2 1 Notem que podemos trabalhar com período (n) em: dias, meses, bimestres, trimestres, quadrimestres, semestres e anos
  • 17. Períodos de Capitalização 16 Agora, se retomássemos o exemplo, teríamos: “Emprestei R$900,00, devendo pagar no prazo de 135 dias, com uma taxa de juros simples de 3,0% a.m. Quanto pagarei no total?” Deveríamos transformar o período de dias em meses, acompanhando a taxa de juros (a.m.). Ficaríamos com: 30 _____ 1 30 1 = 30x=135.1 x=4,5meses 135 x 135 _____ x Apoiando-se na expressão de valor futuro para o regime de juros simples, obtemos: (P=900,00, n=4,5meses, i=3,0%=0,03, F=?) F=P(1+i.n) F=900,00(1+0,03.4,5) F=900,00.(1,135) F=1021,50
  • 18. Períodos de Capitalização 17 Ex.: Minha empresa recebeu, como forma de pagamento pela prestação de serviços, uma promissória no valor de R$17500,00, com data de vencimento de 72dias. Ao descontar esta promissória no banco, a taxa de desconto cobrada foi de 13,2% a.a. Qual será o valor resgatado? Temos, que: N=17500,00, n=72dias=0,20meses, VR=? i=13,2%=0,132 360 1 360 1 = 360x=72 x=0,20 72 x 72 x (Alternativamente, usando a tabela, teríamos 72.0,00277~0,20) (1 dia em relação ao ano) VR=N.(1-i.n) VR=17500,00.(1-0,132.0,20) VR=17500,00.0,9736 VR=17038,00
  • 19. Períodos de Capitalização-Exs. 18 1) Converta os períodos abaixo: a) 123 dias para meses b) 16 meses para dias c) 5 anos para semestres d) 17 meses para dias e) 115 dias para anos 2) Qual o valor de face de um título resgatado 111dias antes do seu vencimento por $2145,00. sabendo-se que a taxa de desconto simples bancário utilizada foi de 9,6% a.m.? Qual o valor do desconto obtido? 3) Um fornecedor recebeu quatro promissórias como pagamento, conforme indicado abaixo. Estas promissórias foram resgatadas antes do vencimento, por uma taxa de desconto de 1,5% a.m. Qual o total resgatado? Promissória Valor de Face Vence em: Qual o total descontado? 1 4500,00 35 2 6100,00 40 3 3250,00 30 4 5050,00 67