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Integral por partes.
Das fórmulas básicas da derivação, uma não consta no formulário de
integrais:                                      sendo
          d u v)
           (           dv       du              u    f x)
                                                      (
                     u        v
             dx        dx       dx              v     g x)
                                                       (
Embora derivar um produto de funções de x seja simples, aplicar o
processo inverso não é tanto. Hoje dedicaremos a aula especialmente
para essa antiderivada, a antiderivada do produto de funções que é a
integral por partes.
     d u v)
      (                 dv       du
            dx        u        v    dx         du
                                               (    v)    udv     vdu
        dx              dx       dx


       du
       (     v)      udv      vdu      u   v        udv     vdu
Integral por partes
   du
   (    v)       udv      vdu        u   v       udv    vdu

 Com essa expressão teríamos que ter a soma de duas
 integrais para poder dizer o resultado direto:
             d x sin x
                          x cos x        sin x
                 dx
              x cos xdx     sinxdx       x sinx    k

                                v   dx
             u       dv
 Dificilmente teremos uma expressão assim para
 resolver e sim, por exemplo:
 x cos xdx       x   sinx -         sinxdx
                                         x   sinx      cosx   k
Integral por partes
 Ou seja, em vez de:
              udv       vdu     u    v    k
 Usaremos:
                udv     u   v       vdu
 Nesses casos para resolver uma integral precisaremos
 de outro, assim não resolvemos a integral de imediato
 e sim POR PARTES.
Integral por partes:
 Diante da igualdade:

               udv       u   v   vdu

 Além de identificar quem é u e dv, devemos nos
 preocupar se a segunda integral será “resolvível”, ou
 seja, se ela terá solução direta. Então devemos ter esse
 cuidado.
Exemplos:                  udv     u    v       vdu


   xe xdx

 Nada no formulário, pois a integral de ex é ex , então o x
  fica “sobrando”. Perfeita para a integral por partes.
 Cuidado ao escolher quem é u e quem é dv. Temos que
  escolher u para garantir que du seja mais simples e não
  “atrapalhe” a integral de vdu.
 No nosso caso então x é a melhor escolha para u, e
  consequentemente, dv será exdx.
 u=x     du=dx            dv=exdx v = ex
   xexdx    xex     exdx    xe x       ex   k    ex(x   1)   k
udv         u        v            vdu


Exemplos:
                                            2                            2
1    x ln xdx             R tA                         x3 ln x
                                            3                            3


2   ln xdx                     R ta                x ln x        1           k


             dx        R ta
                                           x
                                                         ln x2
3                                                  2
                                                                     3       k
         2         2                   2
    (x            3)               x           3


4   ex cos xdx                ta           ex
                          R                   sin x         cos x        k
                                            2

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  • 2. Integral por partes. Das fórmulas básicas da derivação, uma não consta no formulário de integrais: sendo d u v) ( dv du u f x) ( u v dx dx dx v g x) ( Embora derivar um produto de funções de x seja simples, aplicar o processo inverso não é tanto. Hoje dedicaremos a aula especialmente para essa antiderivada, a antiderivada do produto de funções que é a integral por partes. d u v) ( dv du dx u v dx du ( v) udv vdu dx dx dx du ( v) udv vdu u v udv vdu
  • 3. Integral por partes du ( v) udv vdu u v udv vdu  Com essa expressão teríamos que ter a soma de duas integrais para poder dizer o resultado direto: d x sin x x cos x sin x dx x cos xdx sinxdx x sinx k v dx u dv  Dificilmente teremos uma expressão assim para resolver e sim, por exemplo: x cos xdx x sinx - sinxdx x sinx cosx k
  • 4. Integral por partes  Ou seja, em vez de: udv vdu u v k  Usaremos: udv u v vdu  Nesses casos para resolver uma integral precisaremos de outro, assim não resolvemos a integral de imediato e sim POR PARTES.
  • 5. Integral por partes:  Diante da igualdade: udv u v vdu  Além de identificar quem é u e dv, devemos nos preocupar se a segunda integral será “resolvível”, ou seja, se ela terá solução direta. Então devemos ter esse cuidado.
  • 6. Exemplos: udv u v vdu xe xdx  Nada no formulário, pois a integral de ex é ex , então o x fica “sobrando”. Perfeita para a integral por partes.  Cuidado ao escolher quem é u e quem é dv. Temos que escolher u para garantir que du seja mais simples e não “atrapalhe” a integral de vdu.  No nosso caso então x é a melhor escolha para u, e consequentemente, dv será exdx.  u=x du=dx dv=exdx v = ex xexdx xex exdx xe x ex k ex(x 1) k
  • 7. udv u v vdu Exemplos: 2 2 1 x ln xdx R tA x3 ln x 3 3 2 ln xdx R ta x ln x 1 k dx R ta x ln x2 3 2 3 k 2 2 2 (x 3) x 3 4 ex cos xdx ta ex R sin x cos x k 2