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FUNÇÕES GERADORAS
                                        (continuação – aula de 04.10.2011)

Preste muita atenção para a seguinte demonstração e, sobretudo, no resultado final. Para começarmos, vamos
lembrar que:


                                                 ( N ) r ! .( N −r )!
                                                   r
                                                     =
                                                              N
                                                                !


Desenvolvendo, temos:

                                              N .( N −1) .( N − 2)...( N −r +1)
                                   (N )
                                    r
                                          =
                                                             r!

Para chegar no resultado que nos interessa, vamos substituir      N =−n    para termos o seguinte:

                                    −n = (−n−1) . (−n−2) ...(−n+r −1)
                                   ( )
                                     r                r!

Colocando (-1) em evidência, obtemos:

                                                 ( n+1) . ( n+ 2) ... (n−r+1)
                                       (−1)r .
                                                              r!

que é igual à seguinte expressão em fatoriais:

                                                             ( n+1) !
                                                 (−1)r .
                                                           r ! . (n−1) !

E assim chegamos no importante resultado para o estudo das funções geradoras:




                                     ( n+r −1)
                                         r
                                                    =(−1) .
                                                            r
                                                                (−n )
                                                                  r



Agora, vejamos alguns exemplos:
Exemplo 1:
Sendo xi ≥1 (i = 1 e 2), quantas soluções existem na equação
                          2x1 + x2 ?
resolução:

Note que para 2x1 = {2, 4, 6,...} teriamos as seguintes potências

                                   (x2 + x4 + x6 + …)

Por sua vez, para x2 = {1, 2, 3,...} teriamos as seguintes potências

                                   (x1 + x2 + x3 + …)

Também, devemos lembrar que

                              1 = 1 + x + x2 + x3 + ...
                             1−x
Pois nos permite estender como podemos verificar nos seguintes exemplos:

                             1 = 1 + x 2 + x4 + x6 + …
                                2
                            1−x

                              1 = 1 + x3 + x6 + x 9+ ...
                                 3
                             1−x
1 = 1 + x4 + x8 + x12 + …
                                4
                            1−x
Em assim por diante, de maneira que podemos chegar na seguinte expressão geral:


                          1
                            p n
                       (1−x )
                                =      Σ ( n+r−1) x
                                            r
                                             r
                                                             .
                                                                 rp




Por exemplo:

                                          ¿
                       1
                     (1−x )2
                             =     Σ    r =0
                                               ( )
                                                −2 . (−1)r . x n
                                                 r

E usando o importante resultado obtido inicialmente, temos:

                                          ¿
              1
                a b
           (1− x )
                    =     Σ    r =0
                                      ( )
                                       r                    (
                                      −b .(−1)r . x a.n = b+r−1
                                                            r         )
Agora, voltando no exercício 2x1 + x2, temos:

                         (x2 + x4 + x6 + …).(x1 + x2 + x3 + …)

E para resolver, usamos os resultados que já sabemos:

                            1 = 1 + x 2 + x4 + x6 + …
                               2
                           1−x
Passamos o número 1 para o outro lado para chegarmos na seguinte expressão:


                     (x2 + x4 + x6 + …) =
                                                   1 -1=               x2

                                                      2               1−x 2


                                                  1−x
Da mesma maneira, fazemos:


                             ( x+ x + x +. ) =
                             23
                                                  x 3. (1+ x)   = x 3. (1+x) =
                                                      2       2           2 2
                                               (1−x ).(1− x )     (1−x )
                                                            ¿

                             = ( x 3+x 4 ) .
                                                 )Σ   r=0
                                                            (   −2+r−1 . x 2.r =
                                                                   r

               =         3
                             (0 ) ( 1) ( 2) ( 3 )
                   ( x +x ) [ 1 + 2 . x + 3 . x + 4 . x ...]
                                      4
                                          .
                                                            2                     4           6
                                                                                                     =


                   = ( x 3+x 4 ) . (1+2x 2 +3x 4 +4x 6 +5x 8+...)

Agora, note bem na relação dos expoentes de 'x' com os coeficientes do polinômio
obtido:

Expoentes            0            1       2   3   4     5         6           7       8   9       10 11   ...
Coeficientes         0            0       0   1   1     2         2           3       3   4        4 5    ...

A partir desse momento, podemos obter a solução para diversos resultados da
equação dada. Vejamos alguns exemplos:

Para 2x1 + x2 = 11, basta verificar que na tabela ao expoente 11 corresponde o
coeficiente 5. Portanto, são 5 soluções possíveis, que podemos enumerá-las da
seguinte maneira: 2 + 9, 4+ 7, 6 + 5, 8 + 3, e, por último, 10 + 1, totalizando as 5
soluções indicadas pela tabela.

Por sua vez, para 2x1 + x2 = 10, basta verificar que na tabela ao expoente 10
corresponde o coeficiente 4. Portanto, são 4 soluções possíveis, que podemos
enumerá-las da seguinte maneira: 2 + 8, 4 + 6, 6 + 4 e, finalmente, 8 + 2, totalizando
as 4 soluções indicadas pela tabela.

Agora, vamos resolver outro problema usando o mesmo método das 'funções
geradoras'.

Exemplo 2:
Sendo x1,2 ≥1 e y3 = {0, 2}, quantas soluções existem
na equação 4x1 + 2x2 + y3 ?
resolução:

Note que para 4x1 = {4, 8, 12,...} teriamos as seguintes potências (x4 + x8 + x12 + …) =
  x4
      4
 1− x
Enquanto para 2x2 = {2, 4, 6,...} teriamos as seguintes potências (x2 + x4 + x6 + …) =
  1 - 1 = x2
     2       2
 1−x     1−x

Por fim, para y3 = {0,2} teriamos (1+x 2 ) .

Agora, multiplicando essas três partes, teriamos:
2
                           x4 . x      . (1+x 2 ) = =             x6.(1+x2)
                                                                (1−x4).(1−x2)
                               4     2
                          1− x   1−x

               =       x 6. (1+x 2 )   = x6     =
                     2         2     2      2 2
                 (1−x ).(1+ x ).(1−x ) (1−x )

               = x
                      6
                          .
                                 1
                                   2 2
                              (1−x )
                                       = x 6.   Σ ( 2+n−1) x
                                                  r
                                                      r
                                                                            .
                                                                                2r
                                                                                     =



                              ( 0) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 )
               = x 6 . [ 1 + 2 . x 2 + 3 . x 4 + 4 . x 6 ...] =


                    = x 6 . (1+2x 2+3x 4 +4x 6+5x 8+...)

E chegariamos na tabela que relaciona 'expoente' com 'coeficiente' seguinte:

Expoentes       6     7         8   9   10 11 12 13 14 15                            16   ...
Coeficientes    1     0         2   0    3 0 4 0 5 0                                  6   ...

Assim, para 4x1 + 2x2 + y3 = 10, basta verificarmos a tabela para verificar que para o
expoente 10 o número de soluções são 3, que poderiamos confirmar pela seguinte
enumeração (1,3,0), (1,2,1) e (2,1,0).
E assim resolvemos esse exercício através do método das 'funções geradoras'.

Mais exemplos:

Podemos explorar o mesmo exercício que acabamos de resolver, por exemplo,
fazendo com que y3 ={0,1,2,3}, ao qual corresponderia o polinômio
  (1+x+ x 2 +x 3) . Aproveitando a resolução já feita, chegaríamos na
seguinte expressão:

                            x6       . (1+x+ x 2 +x 3) =
                          4       2
                      (1−x ).(1− x )

               =       x6       . [(1+ x 2 )+x.(1+x 2 )] =
                     4       2
                 (1−x ).(1− x )

                 =       x6       . (1+x 2 ).(1+x) =
                       4       2
                   (1−x ).(1− x )

                            =    x 6. (1+ x 2 ).(1+x)   =
                                     2          2     2
                              (1+x ).(1− x ).(1−x )

                                  = (1+ x ).   x6     ,
                                                  2 2
                                             (1−x )
Usando alguns resultados do exercício anterior, obtemos a seguinte tabela 'expoente-
coeficiente':

Expoentes         6     7     8     9   10 11 12 13 14 15             16       ...
Coeficientes      1     1     2     2    3 3 4 4 5 5                   6       ...

Que nos proporciona diversas soluções, conforme já explicado pela correspondência
entre os expoentes e os coeficientes.

Porém, vamos para mais um exemplo usando o mesmo exercício sendo que agora y3
= {0,1}, que corresponde ao polinônio (1+x ) . Aproveitando os resultado
anteriores, chegaríamos à seguinte expressão:
x6       . (1+x ) =       x6     =
                   4       2                 4
               (1−x ).(1− x )            (1−x ).(1−x)

            = x 6 . (1+ x 4 +x 8+x 12 +...). (1+x+ x 2 +x 3+...)

E, mais uma vez, montariamos a tabela de 'expoentes-coeficientes' seguinte:

Expoentes       6   7   8   9 10 11   12   13    14    15     16       17      18       ...
                1   1   1   1 1 1     1    1      1     1     1         1       1       ...
                .   .   .   . 1 1     1    1      1     1     1         1       1       ...
                .   .   .   . . .      .    .     1     1     1         1       1       ...
                .   .   .   . . .      .    .     .     .      .        .       1       ...
Coeficientes    1   1   1   1 2 2     2    2      3     3     3         3       4       ...

Assim poderiamos ter diversas soluções, por exemplo, para 4x 1+2x2+y3 = 10 teriamos
2 soluções, que seriam (1,2,0) e (2,1,). Já para 4x 1+2x2+y3 = 12, teriamos também 2
soluções, que seriam (1,4,0) e (2,2,0). Por fim, para 4x1+2x2+y3 = 14, teriamos 3
soluções, que seriam (1,5,0), (2,3,0) e (3,1,0) ●


                                                                      Prof. Dr. Stefano De Leo
                                                                  Aula de 4 de outubro de 2011
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FUNÇÕES GERADORAS

  • 1. FUNÇÕES GERADORAS (continuação – aula de 04.10.2011) Preste muita atenção para a seguinte demonstração e, sobretudo, no resultado final. Para começarmos, vamos lembrar que: ( N ) r ! .( N −r )! r = N ! Desenvolvendo, temos: N .( N −1) .( N − 2)...( N −r +1) (N ) r = r! Para chegar no resultado que nos interessa, vamos substituir N =−n para termos o seguinte: −n = (−n−1) . (−n−2) ...(−n+r −1) ( ) r r! Colocando (-1) em evidência, obtemos: ( n+1) . ( n+ 2) ... (n−r+1) (−1)r . r! que é igual à seguinte expressão em fatoriais: ( n+1) ! (−1)r . r ! . (n−1) ! E assim chegamos no importante resultado para o estudo das funções geradoras: ( n+r −1) r =(−1) . r (−n ) r Agora, vejamos alguns exemplos:
  • 2. Exemplo 1: Sendo xi ≥1 (i = 1 e 2), quantas soluções existem na equação 2x1 + x2 ? resolução: Note que para 2x1 = {2, 4, 6,...} teriamos as seguintes potências (x2 + x4 + x6 + …) Por sua vez, para x2 = {1, 2, 3,...} teriamos as seguintes potências (x1 + x2 + x3 + …) Também, devemos lembrar que 1 = 1 + x + x2 + x3 + ... 1−x Pois nos permite estender como podemos verificar nos seguintes exemplos: 1 = 1 + x 2 + x4 + x6 + … 2 1−x 1 = 1 + x3 + x6 + x 9+ ... 3 1−x
  • 3. 1 = 1 + x4 + x8 + x12 + … 4 1−x Em assim por diante, de maneira que podemos chegar na seguinte expressão geral: 1 p n (1−x ) = Σ ( n+r−1) x r r . rp Por exemplo: ¿ 1 (1−x )2 = Σ r =0 ( ) −2 . (−1)r . x n r E usando o importante resultado obtido inicialmente, temos: ¿ 1 a b (1− x ) = Σ r =0 ( ) r ( −b .(−1)r . x a.n = b+r−1 r ) Agora, voltando no exercício 2x1 + x2, temos: (x2 + x4 + x6 + …).(x1 + x2 + x3 + …) E para resolver, usamos os resultados que já sabemos: 1 = 1 + x 2 + x4 + x6 + … 2 1−x
  • 4. Passamos o número 1 para o outro lado para chegarmos na seguinte expressão: (x2 + x4 + x6 + …) = 1 -1= x2 2 1−x 2 1−x Da mesma maneira, fazemos: ( x+ x + x +. ) = 23 x 3. (1+ x) = x 3. (1+x) = 2 2 2 2 (1−x ).(1− x ) (1−x ) ¿ = ( x 3+x 4 ) . )Σ r=0 ( −2+r−1 . x 2.r = r = 3 (0 ) ( 1) ( 2) ( 3 ) ( x +x ) [ 1 + 2 . x + 3 . x + 4 . x ...] 4 . 2 4 6 = = ( x 3+x 4 ) . (1+2x 2 +3x 4 +4x 6 +5x 8+...) Agora, note bem na relação dos expoentes de 'x' com os coeficientes do polinômio obtido: Expoentes 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... Coeficientes 0 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 ... A partir desse momento, podemos obter a solução para diversos resultados da equação dada. Vejamos alguns exemplos: Para 2x1 + x2 = 11, basta verificar que na tabela ao expoente 11 corresponde o
  • 5. coeficiente 5. Portanto, são 5 soluções possíveis, que podemos enumerá-las da seguinte maneira: 2 + 9, 4+ 7, 6 + 5, 8 + 3, e, por último, 10 + 1, totalizando as 5 soluções indicadas pela tabela. Por sua vez, para 2x1 + x2 = 10, basta verificar que na tabela ao expoente 10 corresponde o coeficiente 4. Portanto, são 4 soluções possíveis, que podemos enumerá-las da seguinte maneira: 2 + 8, 4 + 6, 6 + 4 e, finalmente, 8 + 2, totalizando as 4 soluções indicadas pela tabela. Agora, vamos resolver outro problema usando o mesmo método das 'funções geradoras'. Exemplo 2: Sendo x1,2 ≥1 e y3 = {0, 2}, quantas soluções existem na equação 4x1 + 2x2 + y3 ? resolução: Note que para 4x1 = {4, 8, 12,...} teriamos as seguintes potências (x4 + x8 + x12 + …) = x4 4 1− x Enquanto para 2x2 = {2, 4, 6,...} teriamos as seguintes potências (x2 + x4 + x6 + …) = 1 - 1 = x2 2 2 1−x 1−x Por fim, para y3 = {0,2} teriamos (1+x 2 ) . Agora, multiplicando essas três partes, teriamos:
  • 6. 2 x4 . x . (1+x 2 ) = = x6.(1+x2) (1−x4).(1−x2) 4 2 1− x 1−x = x 6. (1+x 2 ) = x6 = 2 2 2 2 2 (1−x ).(1+ x ).(1−x ) (1−x ) = x 6 . 1 2 2 (1−x ) = x 6. Σ ( 2+n−1) x r r . 2r = ( 0) ( 1 ) ( 2 ) ( 3 ) = x 6 . [ 1 + 2 . x 2 + 3 . x 4 + 4 . x 6 ...] = = x 6 . (1+2x 2+3x 4 +4x 6+5x 8+...) E chegariamos na tabela que relaciona 'expoente' com 'coeficiente' seguinte: Expoentes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ... Coeficientes 1 0 2 0 3 0 4 0 5 0 6 ... Assim, para 4x1 + 2x2 + y3 = 10, basta verificarmos a tabela para verificar que para o expoente 10 o número de soluções são 3, que poderiamos confirmar pela seguinte enumeração (1,3,0), (1,2,1) e (2,1,0). E assim resolvemos esse exercício através do método das 'funções geradoras'. Mais exemplos: Podemos explorar o mesmo exercício que acabamos de resolver, por exemplo, fazendo com que y3 ={0,1,2,3}, ao qual corresponderia o polinômio (1+x+ x 2 +x 3) . Aproveitando a resolução já feita, chegaríamos na
  • 7. seguinte expressão: x6 . (1+x+ x 2 +x 3) = 4 2 (1−x ).(1− x ) = x6 . [(1+ x 2 )+x.(1+x 2 )] = 4 2 (1−x ).(1− x ) = x6 . (1+x 2 ).(1+x) = 4 2 (1−x ).(1− x ) = x 6. (1+ x 2 ).(1+x) = 2 2 2 (1+x ).(1− x ).(1−x ) = (1+ x ). x6 , 2 2 (1−x ) Usando alguns resultados do exercício anterior, obtemos a seguinte tabela 'expoente- coeficiente': Expoentes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 ... Coeficientes 1 1 2 2 3 3 4 4 5 5 6 ... Que nos proporciona diversas soluções, conforme já explicado pela correspondência entre os expoentes e os coeficientes. Porém, vamos para mais um exemplo usando o mesmo exercício sendo que agora y3 = {0,1}, que corresponde ao polinônio (1+x ) . Aproveitando os resultado anteriores, chegaríamos à seguinte expressão:
  • 8. x6 . (1+x ) = x6 = 4 2 4 (1−x ).(1− x ) (1−x ).(1−x) = x 6 . (1+ x 4 +x 8+x 12 +...). (1+x+ x 2 +x 3+...) E, mais uma vez, montariamos a tabela de 'expoentes-coeficientes' seguinte: Expoentes 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 ... 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ... . . . . . . . . 1 1 1 1 1 ... . . . . . . . . . . . . 1 ... Coeficientes 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 ... Assim poderiamos ter diversas soluções, por exemplo, para 4x 1+2x2+y3 = 10 teriamos 2 soluções, que seriam (1,2,0) e (2,1,). Já para 4x 1+2x2+y3 = 12, teriamos também 2 soluções, que seriam (1,4,0) e (2,2,0). Por fim, para 4x1+2x2+y3 = 14, teriamos 3 soluções, que seriam (1,5,0), (2,3,0) e (3,1,0) ● Prof. Dr. Stefano De Leo Aula de 4 de outubro de 2011 Matemática Discreta – MA 200-Z -IMECC – Unicamp