Este documento apresenta 10 questões de matemática sobre geometria plana e espacial. As questões envolvem cálculos geométricos em figuras como triângulos, círculos e esferas para determinar medidas como distâncias, ângulos e raios.

1. DOMUS_Apostila 01 - MATEMÁTICA II - Módulo 43 (Exercício 04)
Na posição I o círculo também tangencia AB e na
posição F ele é tangente a BC. Os lados do triângulo
valem AB = 6 cm, AC = 8 cm e BC = 10 cm.
Determine a distância percorrida pelo centro do
Exercício 04 círculo.
Questão 04
Questão 01
Considere a circunferência inscrita num triângulo
isósceles com base de 6cm e altura de 4cm. Seja t a reta
Uma gangorra é formada por uma haste rígida AB, tangente a esta circunferência e paralela à base do
apoiada sobre uma mureta de concreto no ponto C, triângulo. O segmento de t compreendido entre os lados
como na figura. Quando a extremidade B da haste toca do triângulo mede:
o chão, a altura da extremidade A em relação ao chão é: a) 1 cm
b) 1,5 cm
c) 2 cm
d) 2,5 cm
e) 3 cm
Questão 05
3
A figura representa um cone de volume 36dcm
contendo três cilindros cujos volumes V1, V2 e V3 estão,
1
nesta ordem, em progressão geométrica de razão .
3m 27
a)
3
b) m
3
c)
(6 3 ) m
5
d)
(5 3 ) m
6
e) 2 2 m
Sabe-se que cada um dos cilindros tem a altura igual
Questão 02
ao raio de sua base. Determine o raio da base do cone.
Consideremos um ponto de luz no chão a 12 m de um
edifício. Numa posição entre a luz e o edifício, encontra- Questão 06
se um homem de 2 m de altura, cuja sombra projetada
no edifício, pela mesma luz, mede 8 m. A sombra de um prédio, num terreno plano, numa
Diante do exposto, calcule: determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse mesmo
a) a distância entre o homem e o edifício; instante, próximo ao prédio, a sombra de um poste de
b) o valor da cossecante do ângulo formado pelo facho altura 5 m mede 3m.
de luz que atinge o homem.
Questão 03
Na figura a seguir, o círculo de raio 1 cm rola da
posição I para a posição F, sempre tangenciando o
cateto AC do triângulo retângulo ABC.
A altura do prédio, em metros, é:
a) 25.
b) 29.
c) 30.
d) 45.
e) 75.
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2. DOMUS_Apostila 01 - MATEMÁTICA II - Módulo 43 (Exercício 04)
Questão 07 Questão 10
No triângulo ABC da figura, que não está desenhada Considere o triângulo ABC isósceles em que o ângulo
em escala, temos:
distinto dos demais, BAC, mede 40°. Sobre o lado AB ,
tome o ponto E tal que ACE = 15°. Sobre o lado AC ,
tome o ponto D tal que DBC = 35°. Então, o ângulo EDB
vale:
a) 35°
b) 45°
c) 55°
d) 75°
e) 85°
GABARITO
a) Mostre que os triângulos ABC e BEC são semelhantes Questão 01
e, em seguida, calcule AB e EC.
b) Calcule AD e FD.
Letra D.
Questão 08
Questão 02
Um observador, em P, enxerga uma circunferência de
centro O e raio 1 metro sob um ângulo è, conforme a) 9 m
mostra a figura. b)
13
2
Questão 03
4 cm
a) Prove que o ponto O se encontra na bissetriz do
Questão 04
ângulo è.
b) Calcule tg(è), dado que a distância de P a O vale 3
metros. Letra B.
Questão 09 Questão 05
Em um dia de sol, uma esfera localizada sobre um R=6cm
plano horizontal projeta uma sombra de 10 metros, a
partir do ponto B em que está apoiada ao solo, como Questão 06
indica a figura.
Letra A.
Questão 07
a) Os triângulos ABC e BEC são semelhantes pois
ˆ
BÂC ≈ CBE e ˆ ˆ
BC A ≈ EC B
AB = 24
EC = 3
Sendo C o centro da esfera, T o ponto de tangência
b) AD = 15 e FD = 9
de um raio de luz, BD um segmento que passa por C,
perpendicular à sombra BA, e admitindo A, B, C, D e T
coplanares: Questão 08
a) justifique por que os triângulos ABD e CTD são
semelhantes. a) Para provarmos que o ponto O se encontra sobre a
b) calcule o raio da esfera, sabendo que a tangente do bissetriz do ângulo è, devemos mostrar que os ângulos
OPT e OPS são congruentes.
ângulo BÂD é 1/2.
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3. DOMUS_Apostila 01 - MATEMÁTICA II - Módulo 43 (Exercício 04)
De fato:
Como PS e PT são segmentos tangentes à
circunferência de centro O e raio 1, com origem no
mesmo ponto (P),
PS = PT.
Por LLL, os triângulos retângulos OTP e OSP são
congruentes. Logo, á = â = è e, desse modo, OP é
2
bissetriz do ângulo è.
(4 2)
b) tg è =
7
Questão 09
a) Como AD é tangente à esfera no ponto T, o ângulo
CTD (CTD = CTA) é reto. Temos ainda que o triângulo
ABD é retângulo. Observando que os ângulos BAD e TCD
são congruentes, concluímos que os triângulos ABD e
CTD são semelhantes por ALA.
b) 10 [( 5 ) - 2] m
Questão 10
Letra D.
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